Náhodná procházka a její aplikace

MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Náhodná procházka a její aplikace Bakalářská práce Vedoucí bakalářské práce RNDr. Martin Kolář, Ph. D. Brno 2007 Michaela Bartuňková

Poděkování Chtěla bych poděkovat RNDr. Martinu Kolářovi, Ph. D. za vedení bakalářské práce, cenné rady a připomínky při zpracování daného tématu. Dále bych ráda poděkovala RNDr. Marii Budíkové, Dr. za doporučení vhodné doplňující literatury.

Prohlášení Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala sama, pouze za pomoci RNDr. Martina Koláře, Ph. D. a uvedené literatury. V Brně dne 22. 5. 2007 Michaela Bartuňková

OBSAH Obsah Úvod 4 1 Stochastické procesy 6 2 Jednoduchá náhodná procházka 8 2.1 Symetrickánáhodnáprocházka.......... 9 2.2 Neférováhra.......... 11 2.3 Martingal........... 15 3 Zákon arcsinu 18 4 Vícerozměrná náhodná procházka 23 5 Aplikace náhodné procházky 28 5.1 Analýzacenakciívpraxi... 28 5.2 Modelovánípohybucenakcií............ 30 5.2.1 Martingalsoučinunáhodnýchproměnných....... 30 5.2.2 Generovánítrajektorií........... 30 Seznam použité literatury 34 3

ÚVOD Úvod Ve své práci se chci věnovat široké problematice stochastického procesu nazývaného náhodná procházka, jeho vlastnostem, využití v praxi a problémům na náhodnou procházku navazujícím. Náhodná procházka mě zaujala svými pozoruhodnými vlastnostmi. Tento jednoduchý proces lze využít při tvorbě pravděpodobnostního stromu náhodných jevů. Pro jeho jednoduchost byl v minulosti a stále je velmi oblíbený a hojně využívaný v nesčetných oborech lidské činnosti, např. při sledování chování zákazníků na trhu, stejně jako odhadování polohy prchajících válečných zajatců. Náhodná procházka je také podpůrný nástroj v mnoha vědních disciplínách pro řešení specifických problémů, ať už se jedná o fyziku, ekonomii či např. ekofyziku. Po představení jednotlivých vlastností a rozdělení stochastických procesů přejdeme k jednoduché náhodné procházce, kterou dělíme na symetrickou a její protiklad, nesymetrickou. Pro komplexnější pohled na problematiku nezůstanou opomenuty martingaly. Skutečnosti o setrvání či pohybu částice konajícího náhodnou procházku zjistíme za pomoci speciální věty, zákona arcsinu. Základním kamenem u jednoduché náhodné procházky je Pólyova věta a nebude tomu jinak ani u kapitoly o vícerozměrné náhodné procházce. Vícerozměrný prostor nabízí široké spektrum možností, které nevyčerpáme. Zá- 4

ÚVOD věrečná část pak bude věnována využití náhodné procházky. K teorii náhodné procházky není jednoduché nalézt specifickou literaturu. Mnoho autorů řeší tento problém pouhou zmínkou či odkazem na literaturu jinou. Existuje ale dostatek souborných svazků o teorii pravděpodobnosti a v nich autoři teorii náhodné procházky neopomíjejí. 5

KAPITOLA 1. STOCHASTICKÉ PROCESY Kapitola 1 Stochastické procesy Uvažujme měřitelný prostor(ω, A), množinu reálných čísel R a indexovou množinu T,kterámávýznamčasu.Mějmezobrazení X:Ω T R, které má tyto vlastnosti: a)pro t T: X(, t)jenáhodnáveličinavzhledemka(značíme X t ), b) pro ω Ω: X(ω, ) je prvkem množiny reálných funkcí definovaných na T. Takové zobrazení X se pak nazývá stochastický proces definovaný na množině T.Značímejej {X t ; t T }. Jestliže budeme uvažovat o jeho složkách, pak a)pro t Tse X(, t)nazývát-tásložkastochastickéhoprocesu, b) pro ω Ω se X(ω, ) nazývá realizace stochastického procesu příslušná možnému výsledku ω, c)pro t T a ω Ωsečíslo X(ω, t)nazývárealizacít-tésložky stochastického procesu příslušné možnému výsledku ω. 6

KAPITOLA 1. STOCHASTICKÉ PROCESY Stochastické procesy můžeme dělit z hlediska času či jejich stavů. Stochastický proces může být z hlediska času diskrétní(množina T je nejvýše spočetná a lineárně uspořádaná) či spojitý(množina T je interval). Stejně takzhlediskastavůmůžebýtdiskrétní( t T je X t diskrétníveličina) nebospojitý( t Tje X t spojitáveličina).vdalšíchkapitoláchsebudeme věnovat stochastickým procesům s diskrétním časem a diskrétními stavy(viz příklad). Příklad 1.PetraPaveldalidohrydohromadyvklad5Kč(Petrvložil 3KčaPavel2Kč).Petrbudeházetmincí.Padne-lipanna,vyhraje1Kč, vopačnémpřípadě1kčprohraje.hrajesedozruinováníjednohozhráčů. Hrupopíšemejakostochastickýproces {X t ; t T },kde X t označujepočet korun,kterémápetrpot-témhodu X t {0,1,...,5}.Poházeníse mohla zrealizovat např. tato posloupnost hodů: {P, O, O, O, P, O, O} {4,3,2,1,2,1,0} y 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 x Obrázek 1.1: Průběh Petrovy hry 7

KAPITOLA 2. JEDNODUCHÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA Kapitola 2 Jednoduchá náhodná procházka Stejně jako v Příkladu 1. si představme hráče, tentokrát v kasinu. Hráč hází mincí proti bankéři. Jestliže hodí pannu, vyhraje 1 Kč, jestliže padne orel, 1 Kč vyhraje bankéř. Hra končí po zruinování našeho hráče. Právě tato situacejetypickýmpříkladem,kterýřešímepomocínáhodnéprocházky 1 (odtud jejíalternativnínázev ruinováníhráče ). Zavedemestochastickýproces {X t ; t T },jehožprvkytvoříposloupnost X 1, X 2,...nezávislýchnáhodnýchveličinnabývajícíchhodnot1spravděpodobností pa-1spravděpodobností q=1 p.veličiny X 1, X 2,...budou označovat jednotlivé hody našeho hráče. Dále předpokládejme, že náš hráč přišeldokasinasurčitýmobnosem S 0,aoznačme S n celkovébohatstvínašeho hráče. Tedy S n = S 0 + X 1 + X 2 +...+X n = S 0 + budecelkovébohatstvínašehohráčeponhodech.posloupnost {S n } n=0nazývámejednoduchounáhodnouprocházkou( jednoduchá odpovídájednomu 1 Tentotermínzavedlvroce1906KarlPearson(1897-1936),kdyždemonstrovalvětu nejpravděpodobnějšímísto,kdenajítopilce,jeněkdepoblížzačátkujehocesty,jejíž empirický důkaz není těžké najít. 8 i=1 X i

KAPITOLA 2. JEDNODUCHÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA rozměru, tedy pohybu částice po přímce). Jednoduchá náhodná procházka se dnes využívá s úspěchem v různých modelových situacích, např. při určení polohy hmotného bodu v roztoku v intervalech jedné sekundy či hodnoty Dow-Jonesova indexu na burze v intervalu jednoho týdne měřeného vždy v pondělí. Těmto aplikacím jednoduché náhodné procházky se budeme věnovat později. 2.1 Symetrická náhodná procházka Jak je uvedeno v úvodu kapitoly, je důležité, s jakou pravděpodobností se částicepohybujejednímnebodruhýmsměrem,aodtohoseodvíjíipravděpodobnostní tabulky možného výsledku. Nejjednodušším případem jistě budestav,kdyse p=q,tedypravděpodobnostpohybuvobousměrechje stejná,ato 1.Takovánáhodnáprocházkasenazývásymetrická. 2 V případě symetrické náhodné procházky je zřejmé, že nezávislé náhodné veličinyposloupnosti X 1, X 2,...nabývajíhodnot1nebo 1sestejnoupravděpodobností. Dále je nutné uvést tři důležité vlastnosti symetrické náhodné procházky, a to prostorovou homogenitu, časovou homogenitu a Markovovu vlastnost. Lemma 2.1. Jednoduchá náhodná procházka je prostorově homogenní, tedy P(S n = j S 0 = a)=p(s n = j+ b S 0 = a+b). Důkaz.Oběstranyjsourovny P( n i=1 X i= j a). Lemma 2.2. Jednoduchá náhodná procházka je časově homogenní, tedy P(S n = j S 0 = a)=p(s m+n = j S m = a). 9

KAPITOLA 2. JEDNODUCHÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA Důkaz. Obě strany se rovnají, neboť P( X i = j a)=p( i=1 m+n i=m+1 X i = j a). Lemma 2.3. Jednoduchá náhodná procházka splňuje Markovovu vlastnost, tedypro n 0 P(S m+n = j S 0, S 1,..., S m )=P(S m+n = j S m ). Důkaz.Jezřejmé,žepokudznáme S m, S m+n závisípouzenakrocích X m+1, X m+2,...,x m+n,nikolinapředchozíchkrocích. Je zřejmé, že při zkoumání náhodné procházky nás zajímá, zda se částice vrátí do počátku jeho pohybu. Následující věta ukáže, že při jednoduché symetrické náhodné procházce se částice vždy vrátí do svého počátku. Věta 2.4(Pólyova). Pravděpodobnost návratu částice konající jednoduchou symetrickou náhodnou procházku do své výchozí polohy je rovna 1. Důkaz.Předpokládejme,žečásticejevesvévýchozípolozevčase t=0,dále označme P n pravděpodobnosttoho,žesečásticevčase t=nvrátídosvého počátku, což nastane v případě, kdy částice vykoná v obou směrech stejný početkroků.tedy P 2n+1 =0a P 2n = ( 2n n ) 2 2n = 1 2 2n (2n)! (n!) 2. Použijeme-linyníStirlingovavzorce n! 2πn ( n e) n,dostaneme P 2n 1 πn. Podle této aproximace je P 2n =. n=1 10

KAPITOLA 2. JEDNODUCHÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA Abychom ukázali, že se částice skutečně vrátí do své výchozí polohy, musíme vyšetřit délku časového intervalu, po němž se částice do svého počátku poprvé vrátí.nechť Q 2n jepravděpodobnost,žesečásticepřináhodnéprocházce vrátí v 2n-tém kroku poprvé do své původní polohy. Pak zřejmě platí n 1 P 2n = Q 2n + P 2k Q 2n 2k. k=1 V další části důkazu využijeme generující funkce. Položme a Pak dostaneme G(x)= P 2k x k k=1 H(x)= Q 2k x k. k=1 tedy Zřejmě platí Q= G(x)=H(x)+G(x)H(x) k=1 H(x)= G(x) 1+G(x). G(x) Q 2k = H(1)= lim x 1 1+G(x), kde Q značí pravděpodobnost, že se částice vůbec někdy vrátí do své původní polohy.protožejealeřada k=1 P 2kdivergentní,dostanemetedyvýsledek Q=1. 2.2 Neférová hra Pro snadnější představu budeme navazovat na předchozí příklad našeho hráče vkasinu.představaférovéhry(tedy p=q= 1)jezdevícenežlákavá,ale 2 v reálném životě to tak bohužel nefunguje. Předpokládejme tedy, že naše 11

KAPITOLA 2. JEDNODUCHÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA pravděpodobnostvýhryje p < 1 (jejasné,žebankéřsvoupravděpodobnost 2 výhry zmanipuluje ve svůj prospěch). Budeme uvažovat případ, kdy známe naši pravděpodobnost p a zároveň celkové bohatství naše(označíme A) i bankéřovo(označíme B, A + B = N). V tomto případě je ale lehčí vydat se složitější cestou, tedy spočítat pravděpodobnostinašehozruinování x i připočátečnímstavunašehobohatství ikč pro libovolné i. Nejdřívesiukážemeřešenípro N=5.Hledámepravděpodobnosti x 0, x 1,..., x 5,kdezřejmě x 0 =1,neboťjakmilebudehráčjednouzruinován,hra končí,ax 5 =0,jelikožjestližebudejednouzruinovánbankéř,hráčovavýhra je jistá. Jestliže začneme ve stavu 3, užitím vzorce pro podmíněnou pravděpodobnost dostaneme x 3 = p x 4 + q x 2 Rovnicidáleupravujemeazavedemesubstituci r= p : q (p+q)x 3 = p x 4 + q x 2 p(x 3 x 4 )=q(x 2 x 3 ) x 2 x 3 = p q (x 3 x 4 )=r(x 3 x 4 ), r <1. Tyto rovnice můžeme zapsat pro jakýkoli počáteční stav z daných šesti: x 0 x 1 = r(x 1 x 2 ) x 1 x 2 = r(x 2 x 3 ) x 2 x 3 = r(x 3 x 4 ) x 3 x 4 = r(x 4 x 5 ) Podosazeníhodnot x 0 = 1ax 5 = 0anáslednýchúpraváchdostaneme následující vztahy: x 0 =(1+r+r 2 + r 3 + r 4 )x 4 =1 12

KAPITOLA 2. JEDNODUCHÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA x 1 = 1 r4 1 r 5 x 2 = 1 r3 1 r 5 x 3 = 1 r2 1 r 5 x 4 = 1 r 1 r 5. Po zobecnění na libovolnou hodnotu N, A a B získáme obecné řešení x A = 1 rb 1 r N Pokud bude N dostatečně velké, můžeme jmenovatel položit roven 1. Pak pravděpodobnost našeho zruinování závisí pouze na koeficientu r a jmění bankéře B.Jestližebude Bdostatečněvelké,pak r B 0apravděpodobnost našeho zruinování je téměř jistá. Pravděpodobnostizruinovánípři p=0,45, p=0,495ap=0,499jsou uvedeny v následujícíh tabulkách. Z tabulek je zřejmé, že rozdíly při různých pravděpodobnostech výhry hráče jsou opravdu markantní. A B 1 5 10 20 50 1 0,550 0,905 0,973 0,997 1,000 5 0,260 0,732 0,910 0,988 1,000 10 0,204 0,666 0,881 0,984 1,000 20 0,185 0,638 0,868 0,982 1,000 50 0,182 0,633 0,866 0,982 1,000 Tabulka 2.1: Pravděpodobnost zruinování hráče při p = 0,45 13

KAPITOLA 2. JEDNODUCHÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA A B 1 5 10 20 50 1 0,505 0,842 0,918 0,961 0,989 5 0,175 0,525 0,699 0,838 0,948 10 0,100 0,367 0,550 0,731 0,905 20 0,058 0,242 0,402 0,599 0,839 50 0,031 0,143 0,259 0,438 0,731 Tabulka 2.2: Pravděpodobnost zruinování hráče při p = 0,495 A B 1 5 10 20 50 1 0,501 0,833 0,911 0,954 0,982 5 0,168 0,504 0,674 0,808 0,918 10 0,093 0,339 0,510 0,679 0,849 20 0,049 0,208 0,347 0,519 0,742 50 0,022 0,100 0,184 0,315 0,549 Tabulka 2.3: Pravděpodobnost zruinování hráče při p = 0,499 V rámci neférové hry můžeme uvést ještě dva speciální příklady využitelné v praxi, a to jednoduchou náhodnou procházku s pohlcujícími stěnami a s odrážejícími stěnami. V rámci řešení využijeme matici přechodu. Maticí přechodu nazýváme matici pravděpodobností přechodu 1. řádu, označujeme P = P(n, n+1),kde i-téčíslovj-témsloupciudávápravděpodobnost, sjakousečásticezbodu idostanedobodu j. Příklad 2(Jednoduchá náhodná procházka s pohlcujícími stěnami). Na ú- sečceodélce3jsouvyznačenybody0,1,2,3.vbodě2senacházíčástice. Tato částice koná náhodnou procházku po úsečce tak, že s pravděpodobností pseposuneojednotkuvpravoaspravděpodobností q=1 pseposune 14

KAPITOLA 2. JEDNODUCHÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA o jednotku vlevo. Dosáhne-li částice bodu 0 či 3, setrvá tam. Popište tento proces pomocí vhodného stochastického procesu. Řešení.Zavedemestochastickýproces {X n ; n N 0 }smnožinoujehostavů {0,1,2,3},přičemž X n = j,jestližesevokamžiku nčásticenacházívbodě j. Matice přechodu P pak pro daný proces vypadá následovně. 1 0 0 0 q 0 p 0 0 q 0 p 0 0 0 1 Příklad 3(Jednoduchá náhodná procházka s odrážejícími stěnami). Na ú- sečceodélce3jsouvyznačenybody0,1,2,3.vbodě2senacházíčástice. Tato částice koná náhodnou procházku po úsečce tak, že s pravděpodobností pseposuneojednotkuvpravoaspravděpodobností q=1 pseposune ojednotkuvlevo.dosáhne-ličásticebodu0či3,vdalšímkrokusevracízpět po ose. Popište tento proces pomocí stochastického procesu. Řešení.Zavedemestochastickýproces {X n ; n N 0 }smnožinoujehostavů {0,1,2,3},přičemž X n = j,jestližesevokamžiku nčásticenacházívbodě j. Matice přechodu P pak pro daný proces vypadá následovně. 0 1 0 0 q 0 p 0 0 q 0 p 0 0 1 0 2.3 Martingal Při pokusech pochopit zjevný fakt, že ve férových hrách nelze vydělávat peníze, se začala vytvářet teorie martingalu. Tato teorie se stala jedním z hlav- 15

KAPITOLA 2. JEDNODUCHÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA ních nástrojů studia stochastických procesů. V této subkapitole budeme minimalizovat detaily, aby bylo možné uvést intuitivní rysy martingalů. Posloupnostnáhodnýchproměnných {M n ;0 n < }nazvememartingalemvzhledemk{x n ;1 n < },tj.posloupnostináhodnýchproměnných, jestliže splňuje dvě základní vlastnosti: a)pro n 1: f n : R n R:M n = f n (X 1,..., X n ), b)posloupnost {M n }splňujepro n 1základnímartingalovouidentitu E(M n X 1,..., X n 1 )=M n 1. Martingalová identita vede k teorii, která osvětluje skutečnost, že hráč ve férové hře nemůže očekávat peněžní výhru, i když chytře mění své sázky. Ke zběžnému nahlédnutí do této teorie nám poslouží následující ukázky martingalů. Tyto příklady nám ukážou proměnlivost a možnosti martingalu. Příklad 4. Jestliže X n jsou nezávislé náhodné proměnné s E(X n ) = 0 pro n 1,pakparciálnísoučetprocesůdaných S 0 =0aS n = pro n 1jemartingalvzhledemkposloupnosti {X n :1 n< }. Řešení. Použijeme martingalovou identitu, tedy E(S n S n 1 )=E(S n 1 + X n S n 1 )=E(S n 1 S n 1 )+E(X n S n 1 ) = S n 1 +0=S n 1. Příklad 5. Jestliže X n jsou nezávislé náhodné proměnné s E(X n ) = 0 a D(X n )=σ 2 pro n 1,pak M 0 =0aM n = Sn 2 n σ 2 pro n 1 námdávámartingalvzhledemkposloupnosti {X n :1 n< }. Řešení. Nejdříve musíme zkontrolovat, zda martingalová vlastnost platí jak pro podmíněnou, tak pro nepodmíněnou část procesu: E(M n X 1,..., X n 1 )=E(Sn 1 2 +2S n 1X n + Xn 2 n σ2 X 1,..., X n 1 ) 16 i=1 X i

KAPITOLA 2. JEDNODUCHÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA Nyníje Sn 1funkcíposloupnosti 2 {X 1, X 2..., X n 1 }ajejípodmíněnápravděpodobnostjeprávě Sn 1 2.Jestližesepodívámenadruhýsčítanec,vidíme, že E(S n 1 X n X 1, X 2..., X n 1 )=S n 1 E(X n X 1, X 2..., X n 1 ). Dáleje E(X n X 1, X 2..., X n 1 )=E(X n )=0,kde X n jenezávislénaposloupnosti X 1, X 2..., X n 1.Analogickýmzdůvodněnímnalezneme E(X 2 n X 1, X 2..., X n 1 )=σ 2. Po shrnutí všech těchto dílčích výsledků je ověření martingalové vlastnosti pro M n = S 2 n nσ 2 kompletní. 17

KAPITOLA 3. ZÁKON ARCSINU Kapitola 3 Zákon arcsinu Jednou z dalších pomůcek při zkoumání náhodné procházky je tzv. zákon arcsinu. Zde si uvedeme dvě věty s překvapujícími výsledky. Uvažujme částici konající symetrickou náhodnou procházku, jejíž pravděpodobnostnávratudosvéhopočátkuvčase2njerovna ( 2n n ) 2 2n,označíme P 2n.Dásedokázat,žeprvnínávratčásticedosvéhopočátkuprávě včase2nnastanespravděpodobností P 2n 2n 1. Nyní se podívejme na opačný případ, tedy jaká je pravděpodobnost, že se částice nevrátí v čase 2n do svého počátku? Věta 3.1. Pravděpodobnost toho, že se částice konající symetrickou náhodnouprocházkuvčase2nnevrátídosvéhopočátku,je P 2n.Tedy Důkaz. Víme, že P(S 1 0, S 2 0,..., S 2n 0)=P 2n. P(S 1 0, S 2 0,..., S 2n 0)=1 Matematickou indukcí ukážeme, že platí rovnost P 2k P 2n =1 2k 1. k=1 18 k=1 P 2k 2k 1.

KAPITOLA 3. ZÁKON ARCSINU Pro n=1zjistíme,že P 2 = 1 2 aoběstranyserovnají.předpokládejme,že tvrzeníplatípro n 1.Máme tedyplatíipro n. 1 k=1 n 1 P 2k 2k 1 =1 k=1 P 2k 2k 1 P 2n 2n 1 = P 2n 2 P 2n 2n 1 = P 2n, Jestliženyníupravímepravděpodobnost P 2n pomocístirlingovyaproximace n! n n+1 2e n 2π,dostaneme P 2n (2n)2n+1 2e 2n 2π n 2n+1 e 2n (2π)2 2n= 1 nπ, cožnámpři P 2n 0an ukážejiždřívedokázanouskutečnost,ato že s pravděpodobností 1 se symetrická náhodná procházka vrátí do svého počátku. Někdy nás ale může zajímat nikoli první, ale poslední návrat částice dosvéhopočátkuastejnětakčassetrvánívkladnéčizáporné(resp.vpravé či levé) části od počátku. Právě k tomu slouží zákon arcsinu. Věta 3.2 (Zákonarcsinuposledníhonávratudopočátku).Nechť p = 1 2 a S 0 =0.Pakpravděpodobnost,ževčasovémintervalu(0,2n)sečástice konající symetrickou náhodnou procházku vrátí do svého počátku naposledy právěvčase2k,jerovna P 2k P 2n 2k. Důkaz. Pravděpodobnost, kterou hledáme(označíme b), je b=p(s 2k =0, S 2k+1 0,..., S 2n 0) = P(S 2k =0)P(S 2k+1 0,..., S 2n 0 S 2k =0) = P(S 2k =0)P(S 2k+1 0,..., S 2n 2k 0)=P 2k P 2n 2k. 19

KAPITOLA 3. ZÁKON ARCSINU Věta3.3(Zákonarcsinupročassetrvání).Nechť p= 1 2 a S 0=0.Pakpravděpodobnost, že částice konající symetrickou náhodnou procházku v časovém intervalu(0, 2n) stráví právě 2k časových jednotek v kladné části reálné osy, jerovna P 2k P 2n 2k. Důkaz. Důkaz provedeme pomocí matematické indukce. Označíme pro všechna mtaková,že m < n, c k,m = P 2k P 2m 2k.Pro n=1dostanemepravděpodobnost c 0,1 = c 1,1 = 1 2, kdezvěty3.2.dostaneme P 0 =1aP 2 = 1 2.Nejdříveověřímepřípad,kdy k= n.potompřioznačeníčasuprvníhonávratujako Tdostaneme c n,n = P(E n,n T=2r)P(T=2r)+P(E n,n T >2n)P(T >2n). r=1 Nynímůžemeříct,žepři T =2rsenáhodnáprocházkanacházívkladné (resp. v pravé) části od počátku na celém intervalu(0, 2r). Odtud P(E n,n T=2r)= c n r,n r 2 c n,n = 1 2 = 1 2 r=1 r=1 P(E n,n T >2n)= 1 2 c n r,n r P(T=2r)+ 1 P(T >2n) 2 P 2n 2r P(T=2r)+ 1 P(T >2n), 2 kdeposlednírovnost c n r,n r = u n r u 0 vyplývázindukčníhopředpokladu. Dále, P 2n 2r P(T=2r)= r=1 = P(S 2n 2r =0)P(T=2r) r=1 P(S 2n =0 T=2r)P(T=2r)=P 2n, r=1 20

KAPITOLA 3. ZÁKON ARCSINU tedy c n,n = 1 2 P 2n+ 1 P(T >2n) 2 = 1 2 P 2n+ 1 2 P 2n= P 2n. Jetedyzřejmé,žetvrzeníplatípro k = navdůsledku, díkysymetrii, ipro k=0.nynísevěnujmepřípadu,kdy0 < k < n. c k,n = P(E k,n T=2r)P(T=2r). r=1 Znovuvidíme,žepokud T =2r,jenáhodnáprocházkanacelémintervalu (0, 2r) v kladné(resp. v pravé) části od počátku. Tedy, c k,n = 1 c k r,n r P(T=2r)+ 1 2 2 r=1 = 1 2 P 2n 2k c k,n r P(T=2r) r=1 P 2k 2r P(T=2r)+ 1 2 P 2k r=1 r=1 P 2n 2r 2k P(T=2r), kde poslední rovnost vyplývá opět z indukčního předpokladu. Dále vidíme, že P 2k 2r P(T=2r)=P 2k, r=1 P 2n 2r 2k P(T=2r)=P 2n 2k, r=1 c k,n = P 2k P 2n 2k. Mohlo by být matoucí, proč se tyto věty nazývají zákon arcsinu. Důvod je prostý. Zde uvedené důkazy jsou založené na úpravách pravděpodobností. Nenítovšakjedinýzpůsob.Tytodůkazymohoubýtprovedenyisvyužitím 21

KAPITOLA 3. ZÁKON ARCSINU již výše zmíněné Stirlingovy aproximace. Po jednoduchých úpravách dostanemeprodostatečněvelká kan P 2k P 2n 2k 1 π k(n k). Odtudprolibovolné x,kde0<x<1,platí,žepravděpodobnost,žepodíl času, který stráví částice v kladné části, na celkovém čase(0, 2n), je menší než x,jedánavztahem nx k=0 P 2k P 2n 2k 1 π nx 0 = 2 π arcsin x. 1 y(n y) dy 22

KAPITOLA 4. VÍCEROZMĚRNÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA Kapitola 4 Vícerozměrná náhodná procházka Náhodná procházka se dá samozřejmě zobecnit i na více rozměrů. Mějme poloupnostnezávislýchnáhodnýchproměnných X (r) 1, X (r) 2,..., X n (r) stejnérozdělení,kde X (r) k majících označuje r-rozměrnou náhodnou veličinu udávající pohyb částice během časového intervalu(k 1, k). Pro vícerozměrnou náhodnou procházku platí vztah S (r) n = S(r) 0 + k=1 X (r) k. Tento proces si můžeme přiblížit následovně. Zavedeme množinu mřížovýchbodů G r v r-rozměrnémeukleidovskémprostoru,kdesouřadnicetěchto bodů jsou celočíselné. Řekneme, že částice koná náhodnou procházku na množině G r,jestližesetatočásticevčase t=nnacházívnějakémmřížovémbodě této množiny. S pravděpodobností 1 2r sepaktatočásticevčase t=n+1posune, ale ne do některého ze sousedních mřížových bodů, jak by se intuitivně mohlo zdát. Musíme brát v úvahu, že vícerozměrná náhodná procházka je vlastně několik náhodných procházek složených dohromady. Pokud budeme 23

KAPITOLA 4. VÍCEROZMĚRNÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA uvažovatnapř.dvojrozměrnou,paksečásticeposuneo+1nebo 1povodorovnéoseastejnětakposvisléose.Jejínovápolohasetedynenachází v sousedních bodech, nýbrž v bodech[ 1, 1],[ 1, 1],[1, 1],[1, 1]. Částicevykonávápohybpo úhlopříčce. Polohučásticenámudávásoučet S (r) n v r-rozměrném eukleidovském prostoruvčase t=n,kdy S (r) n je homogenní aditivní Markovský řetězec, tzn. stochastický proces splňující Markovovu vlastnost, tedy budoucí stav tohoto řetězce závisí pouze na stavu přítomném, nikoli na stavech minulých. Dosadíme-li za r číslo 1, dostaneme již výše zmíněnou jednoduchou náhodnou procházku. Názorná ukázka možného pohybu částice je uvedena na obrázku. Obrázek 4.1: Možnost pohybu při dvourozměrné náhodné procházce Obrázek 4.2: Možnost pohybu při trojrozměrné náhodné procházce Stejně jako u jednoduché náhodné procházky si i zde uvedeme Pólyovu 24

KAPITOLA 4. VÍCEROZMĚRNÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA větu, tentokrát pro r-rozměrnou náhodnou procházku. V jejím důkazu využijeme Borelova-Cantelliho lemmatu uvedeného níže. Lemma4.1(Borelovo-Cantelliho).Nechť A= n m=n A m nastanenekonečně mnohokrát. Pak platí: a) n P(A n) < P(A)=0 b) n P(A n)= P(A)=1prodisjunktní A 1, A 2,... Věta 4.2(Pólyova). Pravděpodobnost toho, že se částice při náhodné procházcenamříži G r vrátínekonečněmnohokrátdosvévýchozípolohy,je pro r=1ar=2rovnajednéapro r 3jerovnanule. Důkaz.Předpokládejme, žesečásticenacházelavčase t = 0vpočátku souřadnic.označme P (r) n pravděpodobnost,žečásticebudevčase t=n opět v počátku, což nastane právě tehdy, když vykoná stejné množství kroků vpravoivlevo.platítedy P (r) 2n+1=0a P (r) 2n = n 1 +n 2 +...+n r=n = 1 ( ) 2n (2r) 2n n (2n)! (n 1!n 2!...n r!) 2 n 1 +n 2 +...+n r=n ( ) 2 n!. n 1!n 2!...n r! Dále platí ( 2n ) P (1) n 2n = 2 ( 2n 2n ) 2 P (2) n 2n = 4 ( 2n 2n ) 3 P (3) n 2n = 6. 2n 25

KAPITOLA 4. VÍCEROZMĚRNÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA Použijeme Stirlingovu aproximaci, čímž dostaneme P (1) 2n 1 (πn) P (2) 2n 1 πn P (r) 2n 1. (πn) r 2 Zpředchozíchvztahůplyne,žepro r=1ar=2je apro r 3platí n=1 n=1 P (r) 2n = P (r) 2n <. Z Borelova-Cantelliho lemmatu v posledním případě vyplývá, že se s pravděpodobností 1 částice vrátí do své výchozí polohy nejvýše konečně mnohokrát. Nynípro r=1ar=2ukážeme,žesespravděpodobností1částiceněkdy vrátí do svého počátku. Budeme tedy vyšetřovat délku časového intervalu, poněmžsečásticevrátípoprvédosvévýchozípolohy.vdalšíčástidůkazu využijemegenerujícíchfunkcí.nechť Q (r) 2n jepravděpodobnosttoho,žese částice konající náhodnou procházku na r-rozměrné mříži vrátí v n-tém kroku poprvé do své výchozí polohy. Pak platí Položímeza G r (x)ah r (x) n 1 P (r) 2n = Q (r) 2n+ P (r) 2k Q(r) 2n 2k. k=1 G r (x)= H r (x)= k=1 k=1 P (r) 2k xk Q (r) 2k xk. 26

KAPITOLA 4. VÍCEROZMĚRNÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA Potom úpravou předešlého vzorce dostaneme Dále platí Q (r) = G r (x)=h r (x)+g r (x)h r (x) H r (x)= G r(x) 1+G r (x) G r (x)= H r(x) 1 H r (x). k=1 Q (r) 2k = H r(1)=lim x 1 G r (x) 1+G r (x). Q (r) jepravděpodobnost, žesečásticevůbecněkdyvrátídosvévýchozí polohy.pro r=1ar=2jealeřada k=1 P(r) 2k divergentní,dostanemetedy výsledek Q (r) =1.Pro r 3naopakplatí Q (r) = k=1 P(r) 2k 1+ k=1 P(r) 2k, tedy0 < Q (r) <1.Např.pro r=3je Q (3) 0,35. 27

KAPITOLA 5. APLIKACE NÁHODNÉ PROCHÁZKY Kapitola 5 Aplikace náhodné procházky 5.1 Analýzacenakciívpraxi Jak již bylo řečeno, náhodná procházka má široké využití. Její předností je totiž jednoduchost, kterou mnoho procesů postrádá. V této kapitole se budeme věnovat aplikaci ekonomické, analýze cen akcií. Široké využití teorie náhodné procházky najdeme ve světě investic, ať už při investování samotném či sestavování optimálního portfolia v Markowitzově modelu. My se budeme věnovat právě investování. Při rozhodování o tom, kam budou proudit naše peníze, nám analytici nabízejí dvě možnosti, vydat se cestou technické nebo fundamentální analýzy. Technická analýza spočívá v dlouhodobém sledování pohybu cen akcií a na základě výsledných pozorování padne rozhodnutí o nákupu či prodeji. Méně praktická, leč velmi oblíbená metoda, je fundamentální analýza. Investiční poradci určují vnitřní hodnotu akcie, která je pro ně směrodatná. Nezáleží tedy na historických datech, jen na aktuálním rozdílu mezi vnitřní hodnotou a tržní cenou akcie. Fundamentální analytici totiž věří, že cena akcie nepodléhá trendu a nelze ji tedy do budoucna určit pomocí zkoumání 28

KAPITOLA 5. APLIKACE NÁHODNÉ PROCHÁZKY pohybu cen akcií. Lze jen s určitou pravděpodobností odhadnout budoucí cenu akcie, která závisí pouze na nynější hodnotě. Malý vtip si přichystal Burton G. Malkiel na svého kolegu, technického analytika. Při vyučování požádal studenty, aby házeli mincí a výsledky hodů zakreslovali do grafu. Počátkem měla být cena akcie 50$. Jak již bylo řečeno výše, pokud se částice konající náhodnou procházku nachází v kladné části, je pravděpodobné, že se v ní dlouhodobě bude pohybovat i nadále. Proto počáteční hodnota 50$ plně vyhovovala reálné situaci na trhu a existovalo zde minimální riziko, že by se cena akcie dostala do záporných hodnot. K podivu všech studentů se v grafech začaly objevovat známé obrazce podněcující nákup či prodej akcií. Jeden takový Malkiel odnesl právě svému příteli, který reagoval tak prudce, jak Malkiel předpokládal. Okamžitě chtěl kupovat, protože viděl známou sekvenci pohybu akcií. Pro ilustraci se podívejme na jeden takto náhodně generovaný úsečkový graf. Obrázek 5.1: Pohyb cen dané akcie generovaný hody mincí 29

KAPITOLA 5. APLIKACE NÁHODNÉ PROCHÁZKY 5.2 Modelování pohybu cen akcií Jak jsme poznamenali v předchozím textu, fundamentální analýza pracuje s odhadem pravděpodobnosti budoucí ceny akcie. Tento pravděpodobnostní strom můžeme modelovat např. pomocí martingalů. V následujícím textu si uvedeme vhodný martingal doplněný o jednoduchou proceduru v programu Maple, která vykreslí náhodně generovaný graf pohybu cen akcií na burze. 5.2.1 Martingal součinu náhodných proměnných Vzhledem ke skutečnosti, že ceny akcií rostou nebo klesají a přitom každý pokles či vzestup ceny není roven konstatní částce, jako tomu bylo v případě generování pohybu cen akcií hody mincí, je vhodné tento proces modelovat za pomoci martingalu tvořeného součinem na sobě nezávislých náhodných proměnných. Přesněji si jej nadefinujeme v následujícím příkladu. Příklad 6. Mějme posloupnost na sobě nezávislých náhodných proměnných {X 1, X 2,..., X n },kde X n >0aE(X n )=1pro n 1.Jestližepoložíme M 0 =1aM n = X 1 X 2...X n pro n 1, M n jemartingal. Řešení. Použijeme martingalovou identitu, tedy E(M n M n 1 )=E(M n 1 X n M n 1 )=E(M n 1 M n 1 )E(X n M n 1 ) = X 1 X 2...X n 1 = M n 1 Pomocí tohoto martingalu nyní můžeme přejít ke grafickému znázornění cenových pohybů na burze. 5.2.2 Generování trajektorií Než začneme vytvářet proceduru v programu Maple, musíme si určit několik počátečních podmínek, které nás přiblíží k dostatečně věrohodnému modelu 30

KAPITOLA 5. APLIKACE NÁHODNÉ PROCHÁZKY cenových pohybů akcií. Čeká nás volba vhodného rozdělení. Abychom docílili stejné pravděpodobnosti růstu nebo poklesu ceny, nabízí se nám normální rozdělení. To ale nesplňuje druhou podmínku, tj. cena nikdy nedosáhne záporné hodnoty. Tuto skutečnost splňuje logaritmické rozdělení. Správný výběr bude zřejmě reprezentován logaritmicko-normálním rozdělením, které splňuje obě zmíněné podmínky. Procedura, která generuje náhodný pohyb ceny akcie, může vypadat následujícím způsobem: RW:=proc(n); pozice,cesta,p: P:=lognormal: pozice:=1: cesta:=pozice: from 1 to n do X:=stats[random,P](1): pozice:=pozice*x: cesta:=cesta,pozice: od: with(plots): pointplot([seq([i,cesta[i]],i=1..nops([cesta]))],connect=true); end: VproceduřeRWnámnudávápočetdnů,kdysebudenaburzesdanými akciemi obchodovat. Začínáme na hodnotě 1, tj. 100%. Standardním počtem dnů, po které se bude obchodovat, bude 200. Měřítko osy y je přizpůsobeno velikosti výkyvů ceny akcie. 31

KAPITOLA 5. APLIKACE NÁHODNÉ PROCHÁZKY Nyní přejděme k prvnímu grafu, který vychází z logaritmicko-normálního rozdělení se střední hodnotou 0 a rozptylem 1, tj. z předdefinovaného nastavení tohoto rozdělení v programu Maple. 200 150 100 50 0 50 100 150 200 Obrázek5.2:Modelsestředníhodnotou0arozptylem1 Jak je vidět, tento model nebude zcela realistický, neboť cenové výkyvy jsou příliš vysoké. Dostáváme se tím k druhému grafu, kde střední hodnota buderovna0arozptyltohotorozděleníbude 1 625. 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0 50 100 150 200 Obrázek5.3:Modelsestředníhodnotou0arozptylem 1 625 32

KAPITOLA 5. APLIKACE NÁHODNÉ PROCHÁZKY V druhém modelu se již cenové výkyvy neprojevují takovou mírou. Ještě výraznější je to na dalším grafu, kde střední hodnota bude nadále rovna 0arozptylbuderoven 1 160000.Můžemeříct,žecenovévýkyvyjsouzávislé na hodnotě rozptylu. 1.03 1.02 1.01 1 0.99 0.98 0.97 0 50 100 150 200 Obrázek5.4:Modelsestředníhodnotou0arozptylem 1 160000 33

LITERATURA Literatura [1] Grimmett, G.& Stirzaker, D.: Probability and Random Processes. Oxford, New York 2001 [2] Kemeny, J. G.: Úvod do finitní matematiky. SNTL, Praha 1971 [3]Malkiel,B.G.:B l adz acpowallstreet.wig-press,warszawa2003 [4] Rényi, A.: Teorie pravděpodobnosti. Academia, Praha 1972 [5] Ross, S. M.: Stochastic processes. John Wiley& Sons, 1996 [6]Rybička,J.:L A TEXprozačátečníky.Konvoj,Brno2003 [7] Steele, J. M.: Stochastic Calculus and Financial Applications. Springer, New York 2001 34