I C T V M A T E M A T I C E Dynamická geometrie v interaktivních metodách výuky Mgr. Horáčková Bronislava Ostrava 2009
Využití dynamické geometrie Geometrie, ať rovinná či prostorová patří k velmi obtížným tématům matematiky pro žáky základních i středních škol. Přesto má velký význam pro rozvoj žákových schopností. Proto je snahou přiblížit daná témata co největší názorností doplněnou interaktivní formou. Žák si může vyzkoušet velmi rychle a poměrně snadno různé možnosti daného úkolu bez toho, aby musel sám rýsovat konstrukci. Dynamická geometrie je moderní, rychle se rozvíjející oblast geometrie, která je s úspěchem začleňována do výuky na všech typech škol. Počítačové programy umožňují oprostit se od statické geometrie, ve školní praxi reprezentované rýsováním do sešitu respektive na tabuli, kde jednou narýsované objekty již dále nelze výrazně měnit. Základním rysem dynamické geometrie není jen interaktivnost, neboli možnost změny parametrů (např. polohy, rozměrů, barvy) narýsovaných objektů. Nejdůležitější charakteristikou je zachování zadaných vztahů mezi objekty během pohybu. Dynamický přístup umožňuje hlubší pochopení souvislostí a snadné zobrazení zadané konstrukce při změně výchozích parametrů. Schopností podněcovat představivost a kreativnost je dynamická geometrie předurčena k výuce, zároveň je však vhodným prostředkem pro výzkumnou činnost v různých oblastech. Programy Cabri Geometrie: interaktivní geometrický náčrtník, řadí se ke skupině programů zvaných Prostředí dynamické geometrie charakteristika : - rychlé a přesné rýsování geometrických konstrukcí - manipulace s hotovou konstrukcí - možnost použití měřených hodnot v konstrukci - nástroje pro analytickou geometrii - experimentování a ověřování hypotéz ICT v Matematice 1 CLJ
obr. 1 obr. 2 obr. 3 ICT v Matematice 2 CLJ
Derive : výpočetní program, který dokáže "vypočítat cokoliv", řadí se ke skupině programů zvaných Počítačové algebraické systémy charakteristika : - numerické i symbolické výpočty - úprava výrazů, řešení rovnic a matic - výpočty derivací a integrálů - kreslení grafů funkcí obr. 4 obr. 5 ICT v Matematice 3 CLJ
obr. 6 Zařazení těchto výukových programů do škol je podmíněno finančními prostředky pro zakoupení multilicencí daného softwaru. GEONExt a GeoGebra GeoGebra je také dynamický matematický software, který je určen pro výuku na základních a středních školách. Spojuje v sobě dva pohledy na řešený problém - prostřednictvím geometrie a také algebry. Úlohy z algebry lze vyjádřit graficky, nemluvě o grafech funkcí nebo o úlohách z analytické geometrie atd. Je tedy náhradou za program Derive 6. Jde o interaktivní geometrický systém, se kterým je možno konstruovat: body, přímky, úsečky, vektory, kružnice, kuželosečky, ale třeba i grafy funkcí, které lze následně interaktivně měnit. Lze také přímo zadávat rovnice či souřadnice. Program též umožňuje počítat s čísly, vektory, souřadnicemi bodů, určovat derivace, integrály, nulové body a extrémy funkcí. Umožňuje vlastně dva úhly pohledu na jednotlivé objekty: výraz v algebraickém okně odpovídá objektu v geometrickém okně a naopak. ICT v Matematice 4 CLJ
GEONExt je dynamický software pro matematiku, který může nahradit Cabri geometrii Plus II. Ve školách více podporován program Cabri. První výhodou je české prostředí programu Cabri, což ale program GEONExt také splňuje. Stejně tak druhou výhodu srozumitelný popis funkcí v menu má i program GEONExt, zdá se mi dokonce přehlednější díky většímu počtu vhodně rozmístěných tlačítek. Další dvě výhody (inteligentní identifikace vybrané oblasti a subtilní rýsování) záleží na subjektivním dojmu uživatele, podle mého názoru totéž nabízí i GEONExt. Výhodou programu Cabri je kvalitní práce s množinami bodů a rychlost. Program GEONExt sice tak podrobnou práci s množinami nenabízí, má ale na rozdíl od programu Cabri možnost práce se skupinami objektů. Programování v jazyce Java přináší kromě snadné rozšiřitelnosti také újmu v podobě menší rychlosti prováděných operací. Není to patrné při běžném rýsování a používání programu GEONExt, u složitějších konstrukcí se na pomalejších počítačích může zpoždění projevit. Oba programy mají propracovanou práci s čísly, měření délek a úhlů a vepisování výrazů do obrázku. Zajímavé je srovnání výstupních formátů obou programů. Cabri ukládá rysy v podobě textových souborů, jejichž obsah může být analyzován pouhým čtením. Pomocí kopírování a přenesení do jiné aplikace je možné obrázek uložit ve vektorové i rastrové podobě. Prostřednictvím externího programu CabriJava lze z hotové konstrukce vytvořit applet použitelný na internetu. GEONExt kopírování nenabízí, má však vestavěnou možnost exportu a to jednak do internetové stránky s appletem, do rastrového souboru a také do souboru ve formátu SVG. obr. 7 ICT v Matematice 5 CLJ
Ukázky užití Geonextu (ukázky vybrány pro 6., 7., 8., 9. roč. ZŠ) Sestrojení trojúhelníku podle věty sss : Žáci mají za úkol zkoumat, zda lze daný trojúhelník sestrojit: trojúhelníková nerovnost a + b > c Pokud budeme pohybovat v levém horním rohu se stranou a, b dostaneme se do situace, kdy součet stran bude menší než strana c = ukázka nesestrojitelnosti trojúhelníku. ICT v Matematice 6 CLJ
Příklad 1 Úkol: Pohybuj s libovolným červeným bodem. Jaké jsou oba čtyřúhelníky? Co se stane, pokud přetáhneme vrchol na druhou stranu přímky. Příklad 2 Úkol: Pohybuj libovolným červeným bodem. Jaké jsou oba trojúhelníky? Proč je mezi trojúhelníky přímka? Jak vzniká pravý trojúhelník? Jakou úlohu má přímka? ICT v Matematice 7 CLJ
Příklad 3 Úkol: Umísti přímku tak, aby oba trojúhelníky splynuly. Středová souměrnost Typ shodného zobrazení, žáci mají zadaný vzor a střed souměrnosti.žáci se nejprve učí sestrojovat útvar ve středové souměrnosti tak, že střed S nenáleží vzoru.co se stane, když S bude náležet vzoru?v programu lze velice snadno ukázat, že se v tomto případě vzor a obraz protínají. ICT v Matematice 8 CLJ
Čtyřúhelníky, rovnoběžníky Základní příklad na konstrukci, který zároveň dokazuje definici rovnoběžníku = čtyřúhelník, který má obě protilehlé strany rovnoběžné ( konstrukce pomocí dvou rovnoběžek vedených z vrcholů). Můžeme pohybovat libovolným vrcholem a vždy jsou dvě protilehlé strany rovnoběžné. Thaletova věta Thaletova kružnice Pokud sestrojím nad konstantním průměrem AB kružnici, zvolím libovolný bod C na dané kružnici, tak vznikne pravoúhlý trojúhelník. Lze dokázat, že věta platí tím, že nechám bod C pohyblivý a úhel ACB se bude automaticky měřit = vždy bude program ukazovat 90. ICT v Matematice 9 CLJ
Vzájemná poloha dvou kružnic Sestroj body S 1 a S 2 (středy dvou kružnic s poloměry r 1, r 2, r 1 >r 2 ). Kružnice k1 bude pevně zakotvena a se středem kružnice k2 budeme libovolně pohybovat. V jedné konstrukci lze ukázat všech 5 případů vzájemné polohy. Rozdělení úhlů Ukázky užití GeoGebry Konvexní úhel ICT v Matematice 10 CLJ
Nekonvexní úhel Velikost úhlu Pravý úhel Přímý úhel Plný úhel ICT v Matematice 11 CLJ
ICT v Matematice 12 CLJ
Interaktivní tabule Výukové programy jsou využívány za pomoci celé řady různých typů interaktivních tabulí. Nejčastěji jsou to Smart Board tabule. Geometrické úlohy vedoucí k přesouvání různých částí objektů. Úlohy jsou velmi náročné na prostorovou představivost. V hodinách není možné všechny objekty vystříhávat. Tabule umožní pohnout a natočit libovolné kousky. Překrývání těchto částí lze zkoušet mnohokrát. Na hýbající části je mnohem lépe vidět než když učitel posouvá části papíru po klasické tabuli. Pohyb lze v libovolném okamžiku zastavit a případně zopakovat. Konstrukční úlohy. Na běžné tabuli práce s klasickými nástroji je velmi obtížná. Se SMART Boardem je rýsování mnohem pohodlnější. Každou čáru lze kdykoli přesunout příp. úplně vypustit. Učitel má čas chodit mezi dětmi, kontrolovat práci s nástroji a pomáhat. Součástí galerie je pravítko, úhloměr i kružítko. Složitější konstrukce lze provádět v programu Dynamická geometrie nebo Geogebra. Oba tyto programy se SMART Boardem výborně spolupracují a žákům lze ukázat, jak vlastnosti celých objektů závisí na jednotlivých údajích. Interaktivní přístup k výuce rozvíjí kreativitu žáků. Ve výuce lze využívat také výukových programů, které jsou vytvořeny týmy odborníků. Nejčastěji jsou v oblasti geometrie používány produkty Didakty Dynamická geometrie v rovině, Dynamická geometrie v prostoru nebo Geometrie I. a II. Náměty či využití výukových materiálů lze také čerpat z nepřeberného množství domácí či zahraničních portálů. Velké množství materiálů je možné využívat z www.dum.cz. Materiály jsou přehledně členěny do jednotlivých oblastí vzdělávacího programu, je zde i zařazení podle typu vzdělávacího zařízení. Každá prezentace, test nebo pracovní list splňuje základní požadavky pro nové metody výuky. Ze zahraničních portálů patří mezi propracované www.infovek.sk nebo www.scholaris.pl. ICT v Matematice 13 CLJ