May 31, Rovnice elipsy.notebook. Elipsa 2. rovnice elipsy. SOŠ InterDact Most, Mgr.Petra Mikolášková

Transkript

1 Elipsa 2 rovnice elipsy SOŠ InterDact Most, Mgr.Petra Mikolášková 1

2 Název školy Autor Název šablony Číslo projektu Předmět SOŠ InterDACT s.r.o. Most Mgr. Petra Mikolášková III/2_Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT VY_32_INOVACE_07 Přírodní vědy matematika Tematický celek Rovnice elipsy 2 Téma popis vlastností elipsy Druh učebního materiálu Výklad formou prezentace, součástí jsou praktické příklady Metodický pokyn seznámení s konstrukcí elipsy 2

3 opakování: 3

4 Popis a vlastnosti elipsy > Elipsa má dvě ohniska, označme je E a F. > Elipsa obsahuje dva hlavní vrcholy, A a B a dva vedlejší vrcholy, C a D. > Střed elipsy, na obrázku vrchol S, leží ve středu úsečky EF, tedy mezi ohnisky. > Přímka, která prochází hlavními vrcholy (a také ohnisky), se nazývá hlavní osaelipsy, přímka která prochází vedlejšími vrcholy se nazývá vedlejší osa elipsy. > Úsečka, která spojuje libovolný hlavní bod a střed elipsy, se nazývá hlavní poloosa. Na obrázku se jedná o úsečky AS a BS. > Úsečka, která spojuje libovolný vedlejší bod a střed elipsy, se nazývá vedlejší poloosa. Na obrázku se jedná o úsečky CS a DS. > Konstanta K, která je rovna součtu délek spojnic bodu elipsy s ohnisky, je rovna délce úsečky AB. To je hezky vidět, pokud chceme vypočítat součet pro bod B. Pro bod platí, že součet má tvar: FB + EB. Úsečka EB nám pokryje téměř celou úsečku AB a zbylá část, úsečka AE je stejně dlouhá jako úsečka FB. Proto FB + EB = AB. 4

5 Elipsa je kuželosečka. Základní vlastností elipsy je, že každý bod elipsy má od daných dvou bodů v rovině stejný součet vzdáleností. Těmto bodům se říká ohniska. 5

6 Excentricita Další důležitou konstantou v elipse je excentricita, značíme e, neboli výstřednost. Excentricita je rovna vzdálenosti ohnisek od středu elipsy, tedy e = ES = FS. Jak můžeme excentricity vypočítat? Nejdříve zjistíme, čemu je rovna vzdálenost ED a FD. 6

7 Excentricitu už pak můžeme vyjádřit pomocí Pythagorovy věty jako e = a 2 b 2 Čím je elipsa více podobná kružnici, tj. čím méně zploštělá je, tím menší má excentricitu. 7

8 Rovnice elipsy Platí: 8

9 Dále musí nějak vyjádřit délku úseček EX a FX. Začneme s úsečkou FX. Dokreslíme do obrázku další dvě úsečky tak, aby nám vznikl pravoúhlý trojúhelník. 9

10 10

11 11

12 Konstrukce pomocí obdélníku n dílků 12

13 Napište rovnici elipsy, která má ohniska v bodech E[ 3; 0] a F[3; 0] a hlavní poloosu a = 5. Nejprve musíme určit výstřednost elipsy. Ta je rovna. Musí platit, že a 2 =b 2 +e 2, můžeme lehce určit velikost vedlejší poloosy b: Rovnice má předpis potom 13

14 Napište rovnici elipsy s ohnisky v bodech 1; 0] a E[ F[1; 0], která prochází bodem. Nejprve musíme opět určit výstřednost e. Tu vypočítáme jako. e = 1 b 2 =a 2 e 2 = a 2 1 Pro proměnnou a nám vyšly dvě hodnoty. Nyní musíme určit, jaká je správná. To zjistíme, pokud dosadíme danou hodnotu do rovnice b 2 =a 2 e 2. V druhém případě by hodnota b 2 vyšla záporná a proto můžeme s jistotou říci, že délka hlavní poloosy je a 2 = 9. Dosadíme bod X: Rovnice dané elipsy proto bude 14

15 Jestliže střed elipsy neleží v počátku má souřadnice S [m, n], pak rovnice elipsy má tvar: hlavní osa rovnoběžná s x hlavní osa rovnoběžná s y Souřadnice ohnisek: 15

16 Úpravou rovnic dostáváme: Po přeznačení získáme obecnou rovnici elipsy ve tvaru: 16

17 Napište rovnici elipsy ve středovém tvaru a určete souřadnice hlavních a vedlejších vrcholů A,B,C,D a souřadnice ohnisek E, F, je li dáno a) a = 5, b = 3, S [0,0] b) a = 9, b = 15, S [ 3, 1] (a) A [ 5, 0], B [ 5, 0], C [0, 3], D [0, 3], E [ 4, 0], F [4, 0], b), 17