Příklady: 7., 8. Práce a energie 1. Dělník tlačí bednu o hmotnosti m = 25, 0 kg vzhůru po dokonale hladké nakloněné rovině o úhlu sklonu α = 25. Působí na ni při tom stálou silou F o velikosti F = 209 N, která je rovnoběžná s nakloněnou rovinou. Vypočtěte práci, kterou při posunutí bedny o l = 1, 50 m podél nakloněné roviny vykonají tyto síly působící na bednu: a) [0,3 b] síla, kterou působí dělník, b) [0,3 b] tíhová síla, c) [0,3 b] normálová (tlaková) síla nakloněné roviny. d) [0,1 b] Jaká je celková práce, kterou vykonaly síly působící na bednu? 2. Na obrázku 1 je znázorněno zařízení s volnou kladkou: provaz je veden přes dvě nehmotné kladky, které se mohou otáčet bez tření. Na volné kladce visí nádoba o hmotnosti m = 20 kg. Na volný konec provazu působíme silou F. a) [0,3 b] Jak velká musí být síla F, máme-li nádobu zvedat stálou rychlostí? b) [0,3 b] O jakou vzdálenost musíme posunout volný konec provazu, chceme-li nádobu zvednout o h = 2, 0 cm? c) [0,2 b] Určete, jakou mechanickou práci vykonají při tomto posunutí následující síly: síla F, d) [0,2 b] tíhová síla G působící na nádobu. Obr. 1. 3. Dvě kostky o hmotnostech m 1 a m 2 spojené nehmotnou šňůrou podle obrázku 2 jsou uvolněny z klidového stavu. Koeficient dynamického tření mezi kostkou m 1 a deskou stolu je f d. Předpokládejme, že kladka má zanedbatelnou hmotnost a otáčí se bez tření. a) [0,4 b] Určete velikost tahové síly T, kterou je šňůra napínána. b) [0,2 b] Kostka m 1 na stole urazila dráhu L. Určete mechanickou práci třecí síly působící na kostku m 1 a tíhové síly působící na kostku m 2. c) [0,4 b] Určete velikost rychlosti v kostky m 1 v závislosti na uražené dráze L. 8. června 2006 ÚFI FSI VUT v Brně 1
Obr. 2. 4. Nádoba se pohybuje vzhůru po nakloněné rovině o úhlu sklonu α = 40. V bodě ležícím ve vzdálenosti l = 0, 55 m od jejího dolního konce (měřeno podél nakloněné roviny) je velikost rychlosti nádoby v 1 = 1, 4 m/s. Koeficient dynamického tření mezi nádobou a nakloněnou rovinou je f d = 0, 15. a) [0,4 b] Jak daleko se bude nádoba podél nakloněné roviny ještě pohybovat? b) [0,4 b] Jaká bude její rychlost poté, co opět sklouzne k dolnímu konci nakloněné roviny? c) [0,2 b] Jakou mechanickou práci vykonala třecí síla během celého tohoto pohybu? 5. Kostka o hmotnosti m = 3, 5 kg na obrázku 3 je urychlována stlačenou pružinou. Tuhost pružiny je k = 640 N/m. V okamžiku, kdy je pružina nenapjatá, ztrácí s ní kostka kontakt a pohybuje se dále po vodorovné podložce. Podložka je zčásti dokonale hladká, zčásti je vyrobena z materiálu, který působí na kostku třecí silou charakterizovanou koeficientem tření f d = 0, 25. Poloha rozhraní obou částí je shodná s polohou volného konce nenapjaté pružiny (obr. 3). Po ztrátě kontaktu s pružinou urazí kostka ještě d = 7, 8 m a zastaví se. a) [0,3 b] K jaké ztrátě mechanické energie E m došlo při brzdění kostky vlivem třecích sil? b) [0,3 b] Jaká byla největší hodnota kinetické energie E k,max kostky? c) [0,4 b] Jaké bylo stlačení pružiny l na začátku pokusu? Obr. 3. 6. Dělník vytlačil bednu o hmotnosti m = 25, 0 kg vzhůru po dokonale hladké nakloněné rovině o úhlu sklonu α = 25, 0. Působil na ni při tom silou o velikosti F = 209 N, která byl rovnoběžná s nakloněnou rovinou. Vypočtěte práci, kterou při posunutí bedny o l = 1, 50 m vykonaly síly působící na bednu: a) [0,2 b] síla F, kterou působil dělník, b) [0,2 b] tíhová síla G a c) [0,2 b] normálová (tlaková) síla N nakloněné roviny. d) [0,4 b] Jaká je celková práce W, kterou vykonaly všechny síly působící na bednu? 8. června 2006 ÚFI FSI VUT v Brně 2
8. června 2006 ÚFI FSI VUT v Brně 3 7. Na částici o hmotnosti m v místě x působí proměnná síla o velikosti F (x) = F 0 (x/x 0 1), kde F 0 a x 0 jsou konstanty. a) [0,4 b] Určete práci W této síly při přemístění částice z polohy x 1 = 0 do polohy x 2 = 2x 0. b) [0,3 b] Určete změnu kinetické energie E k částice při tomtéž přemístění, je-li síla F jedinou silou, která na částici působí. c) [0,3 b] Určete velikost rychlosti v 2 částice v poloze x 2, je-li velikost její rychlosti v poloze x 1 rovna hodnotě v 1. 8. Těleso o hmotnosti m = 2, 0 kg, které bylo zpočátku v klidu, se začne pohybovat rovnoměrně zrychleně a během t = 3, 0 s dosáhne rychlosti o velikosti v 1 = 10 m/s. a) [0,4 b] Jakou práci W vykoná výsledná urychlující síla během uvedeného časového intervalu t = 3, 0 s? b) [0,3 b] Jaký je okamžitý výkon P 1 této síly na konci uvedeného časového intervalu? c) [0,3 b] Jaký je okamžitý výkon P 1 této síly na konci první poloviny časového intervalu? 2 9. Kabina zdviže na obrázku 4váží G = 20000 N. Tažné lano zdviže se přetrhlo v okamžiku, kdy zdviž stála v prvním poschodí a její dno bylo ve vzdálenosti d = 4 m od konce tlumicí pružiny o tuhosti k = 1, 2 10 5 N/m. Při přetržení lana bylo uvedeno do chodu bezpečnostní zařízení, které sevřelo kabinu mezi svislé vodicí kolejnice. Na kabinu tak začala působit třecí síla o stálé velikosti F t = 5000 N, směřující proti jejímu pohybu. a) [0,2 b] Jaká byla rychlost kabiny v 1 těsně před nárazem na tlumicí pružinu? b) [0,3 b] Určete maximální stlačení l pružiny. c) [0,3 b] Jakou dráhu s urazí kabina od okamžiku odskoku od pružiny do okamžiku, kdy se dostane do bodu obratu a začne opět padat? d) [0,2 b] Určete přibližně celkovou dráhu s celk, kterou kabina urazí od okamžiku přetržení lana do úplného zastavení. Obr. 4. 10. Stroj tlačí kmen o hmotnosti m = 50 kg stálou rychlostí vzhůru po nakloněné rovině o úhlu sklonu α = 30. Síla F, kterou stroj na kmen působí, je stálá a má vodorovný směr. Koeficient tření mezi kmenem a nakloněnou rovinou je f d = 0, 20. a) [0,3 b] Určete práci W F, kterou vykoná síla F stroje při posunutí kmenu o l = 6, 0 m podél nakloněné roviny. b) [0,3 b] Určete práci W G tíhové síly G působící na kmen při tomtéž posunutí. c) [0,4 b] Jaká energie E je rozptýlena třecími silami?
11. Tenká tyč délky L a zanedbatelné hmotnosti je na konci uchycena tak, aby se mohla otáčet ve svislé rovině, podle obrázku 5. K jejímu druhému konci je upevněna těžká koule o hmotnosti m. Tyč odchýlíme od svislého směru o úhel θ a volně vypustíme. Uvažme časový interval mezi uvolněním tyče a okamžikem, kdy koule prochází nejnižším bodem své trajektorie. a) [0,3 b] Jakou práci W G vykoná v tomto intervalu tíhová síla G působící na kouli? b) [0,2 b] Jaká je změna tíhové potenciální energie E p soustavy koule + Země? c) [0,2 b] Jaká hodnota tíhové potenciální energie E p,0 odpovídá konfiguraci soustavy koule + Země, v níž je koule v krajní poloze, přisoudíme-li nejnižší poloze koule nulovou hodnotu této energie? d) [0,3 b] Pomocí zadaných veličin určete velikost rychlosti v 1 koule v nejnižší její poloze. Obr. 5. 12. Na obrázku 6 jsou znázorněny dvě stejné pružiny spojené krátkým vláknem o délce l = 10 cm. Délka každé z pružin v nenapjatém stavu je d 0 = 50 cm a tuhost k = 500 N/m. Horní pružina je připevněna ke stropu, na volném konci dolní pružiny visí krabice o váze G = 100 N. Další dvě ohebná vlákna, každé o délce s = 85 cm (v dobrém přiblížení neměnné) jsou k soustavě připojena podle obrázku. Krátké vlákno přepálíme, takže krabice zůstane zavěšena pouze na pružinách a dlouhých vláknech a začne se pohybovat. Vlivem odporové síly prostředí se krabice nakonec zastaví v nové rovnovážné poloze. a) [0,4 b] Rozhodněte, zda tato poloha bude ležet nad, či pod původní rovnovážnou polohou, kterou zaujímala krabice před přepálením krátkého vlákna a určete vzdálenost y, jak daleko bude od ní vzdálena. b) [0,2 b] Jakou celkovou práci W p vykonaly pružné síly obou pružin v časovém intervalu mezi přepálením vlákna a ustálením nové rovnovážné polohy? c) [0,2 b] Jakou celkovou práci W G vykonala tíhová síla ve stejném časovém intervalu? d) [0,2 b] Jakou celkovou práci W b vykonaly brzdné síly ve stejném časovém intervalu? Obr. 6. 8. června 2006 ÚFI FSI VUT v Brně 4
8. června 2006 ÚFI FSI VUT v Brně 5 13. Malá kostka o hmotnosti m může klouzat bez tření po dráze tvaru smyčky smrti, znázorněné na obrázku 7. Kostku vypustíme z klidové polohy v bodě P, který leží ve výšce h = 5R nade dnem smyčky. a) [0,4 b] Určete výslednici F všech sil, které působí na kostku, v okamžiku jejího průchodu bodem Q. b) [0,1 b] Nakreslete obrázek a výslednici sil F vyznačte. c) [0,5 b] Z jaké výšky h k je třeba kostku volně vypustit, aby ztratila kontakt se smyčkou právě při průchodu jejím vrcholem? Obr. 7.