1.5.9 Zákon zachování mechanické energie III Předpoklady: Dokonale pružný centrální ráz dvou koulí Pedagogická poznámka:

Transkript

1 .5.9 Zákon zacování mecanické energie III Předpoklady: 58 Dokonale pružný centrální ráz dvou koulí v v m m Speciální typ srážky, situace známá z kulečníku: dokonale pružný: při srážce se neztrácí energie, centrální ráz: srazí se dvě stejně velké koule tak, že bod dotyku leží na spojnici těžišť (koule se do sebe trefí). Ryclosti po srážce se zřejmě změní potřebujeme další písmena, nejčastější variantou se použití dvojitéo w. Platí: Zákon zacování ybnosti (při srážce raje roli pouze vzájemné působení koulí): m v + m v m w + m w. Zákon zacování energie (ráz je dokonale pružný): mv + mv mw + mw. Cceme určit ryclosti koulí po srážce (dvě odnoty) potřebujeme soustavu dvou rovnic (už ji máme) zdánlivě pouze matematický problém. Ale druá rovnice obsauje drué mocniny zkusíme ji zjednodušit. Upravíme si druou rovnici: Podobně si upravíme i první rovnici: mv + mv mw + mw mv + mv mw + mw mv mw mw mv mv + mv mw + mw m ( v w ) m ( w v ) m v m w m w m v ( ) ( ) m v w m w v ( )( + ) ( )( + ) m v w v w m w v w v Nyní možné druou rovnici vydělit první. m v w v + w m w v w + v ( )( ) ( )( ) m ( v w ) m ( w v ) ( v + w ) ( w + v ) v v w w ( v w ) ( w v ) + + mv + mv mw + mw Dokonale pružný centrální ráz je popsán dvojicí rovnic:. v v w w Pedagogická poznámka: Odvození většinou pouze promítnu a krátce okomentuji. Nemá smysl, aby si studenti odvození opisovali.

2 Př. : Kuličky se poybují směrem způsobem naznačeným na obrázku. Urči jejic ryclosti po srážce. m,5kg, m kg, v 5m/s, v m/s. v v m m m v + m v m w + m w,5 5 +,5w + w v v w w 5 w w,5,5 w + w / 5 w w w w 5 Dosadíme do první rovnice: 5 w w w ( w 5) 5 3w w w m/s, 7 m/s 3 35 w w 5 5 m/s 6, 7 m/s 3 3 Lečí kulička zryclí, těžší zpomalí Př. : Kuličky se poybují proti sobě způsobem naznačeným na obrázku. Urči jejic ryclosti po srážce. m,5kg, m kg, v 5m/s, v m/s. v v m m m,5kg, m kg, v 5m/s, v m/s (koule se poybuje opačným směrem) m v + m v m w + m w,5 5 +,5w + w v v w w 5 w w 7,5,5w + w 5 w w w 5 + w Dosadíme do první rovnice: 7,5,5w ( 5 w ), 5,5w w 5 m/s w 5 + w m/s + +. Lečí kulička se odrazí zpátky, těžší se zastaví. Pedagogická poznámka: Dopředu žáky nevaruji, že si mají dát pozor na znaménko. Př. 3: Na kulečníkovém stole stojí koule o motnosti m, do které narazí centrálně stejná koule o motnosti m ryclostí v. Urči stav po proběnutí rázu, pokud byl dokonale pružný. Situaci si trocu zpřeledníme tím, že změníme indexování. Místo indexů a použijeme s (stojící) a p (poybující se).

3 m m, m m, v s, vp v mv + mv mw + mw m + m vp mws + mwp / : m v v w w v w w p p s vp ws + wp v w + w p s p Rovnice sečteme: w w Koule, která se poybovala, se zastaví. p p Dosadíme w p do první rovnice: vp ws + wp ws + ws vp Koule, která stála, se rozjede ryclostí v, koule, která se kutálela, se zastaví. Výsledek odpovídá zkušenostem z kulečníku, kde se mnoé situace spočtenému příkladu blíží. Například tento ukázkový úder (4 sekunda). Pedagogická poznámka: Následující příklady jsou pro lepší studenty. Většina studentů má dost práce s předcozími, kde se dosazuje. Př. 4: Odvoď ze soustavy pro dokonale pružný centrální ráz m v + m v m w + m w v v w w vzorec pro výslednou ryclost w. Najdi pomocí vzorce pro ryclost w co nejrycleji vzorec pro ryclost w. w v v + w Dosadíme do první rovnice: m v m v m w m ( v v w ) mv + mv mw + mv mv + mw m w + m w m v + m v m v + m v mv + mv mv w m + m Ryclost drué kuličky bycom moli spočítat podobně. Ušetříme si však práci následující úvaou. Obě kuličky jsou ve zcela rovnocenné situaci. Kdybycom proodili jejic označení, musela by ryclost první kuličky (teď ale značené jako druá) vyjít stejně. Opíšeme tedy vzorec pro první kuličku a proodíme všecny indexy: mv + mv mv mv + mv mv w w m + m m + m Př. 5: Vozíček orské dráy vjíždí do svislé kruové zatáčky o poloměru m. Jakou ryclostí se musí poybovat v nejvyšším bodě zatáčky (návštěvníci jsou lavou vzůru), aby nespadl? Jakou ryclostí se musí poybovat na jejím začátku v nejnižším bodě (návštěvníci sedí normálně)? Z jaké výšky se vozík musel do zatáčky rozjet? Tření a odpor vzducu zanedbej. r m, v?, v?? Ryclost v v nejvyšším bodě Na vozík působí dvě síly: gravitace kolmo dolů d 3

4 tlaková síla kolejí kolmo dolů Výslednice (součet obou sil) tvoří dostředivou sílu, při nižší ryclosti je třeba menší dostředivá síla potřebná dostředivá síla se musí rovnat alespoň gravitační síla (ta se nemění a pokud bude příliš velká stáne vozík z kolejí). F F g d v mg m r gr v gr m/s m/s v Ryclost v v nejnižším bodě Běem jízdy obloukem se vozík dostává výš zmenšuje se jeo kinetická energie a zvětšuje se jeo energie potenciální, odporové síly zanedbáváme platí zákon zacování energie. E + E E + E E pd kd pn kn pd mvd mg + mv vd g + v Dosadíme: r (vozík vyjede o průměr zatáčky), v d v g r + gr 4gr + gr 5gr vd 5gr 5 m/s 4 m/s Výška rozjezdu Kinetickou energii v nejnižším místě zatáčky získal vozík z potenciální energie, kterou měl na počátku dráy. E + E E + E E (v nejvyšším místě vozík téměř stojí) pp kp pn kn kp mg mg + mv g g + v Dosadíme: r (vozík vyjede o průměr zatáčky), v g g r + gr 4gr + gr 5gr 5 5 r m 3 m gr gr Př. 6: Balistické kyvadlo sloužilo k určování ryclosti, kterou palné zbraně vystřelovaly projektily (úsťová ryclost). Vystřelený náboj narazí a uvízne v závaží (například bedna s pískem), které je uvázáno na dlouém závěsu. Závaží s uvíznutým projektilem se začne poybovat a vycylovat z klidové poloy. Experimentátor změří maximální výcylku a výpočtem určí ryclost střely. Střela o motnosti 8 g, uvízla v kyvadle o motnosti 5 kg a vycýlila o o 7 od svisléo směru. Urči počáteční ryclost kulky, jestliže kyvadlo má délku m. m n 8g,8kg, m k 5kg, α 7, l m, v n? Nejdříve určíme výšku, ze které do které kyvadlo vystoupalo. 4

5 l l- v Z obrázku vidíme, že platí: l cosα l l cosα l ( cosα ) ( cos7 ) m, 44 m (4,4cm) l Pro poyb kyvadla platí zákon zacování energie: Ek + E p Ek + E p ( E p, kyvadlo se poybuje s klidové poloy, E k v nejvyšším místě se kyvadlo zastaví). E E k p Mv Mg v g v g, 44 m/s,93m/s Běem zacycení náboje v závaží neplatí zákon zacování energie (náboj i závaží se deformuje). Působení náboje a závaží je však čistě vzájemné zákon zacování ybnosti: m v + m v m w + m w. n n z z n n z z Platí: v z (závaží před srážkou s nábojem stojí), wn wz (náboj zůstane v závaží a poybuje se s ním). m v m + m w ( m + m ) w ( + ) n n n z n z,8 5,93 vn m/s 586 m/s mn,8 Náboj se po výstřelu poyboval ryclostí 586 m/s. Závěrečné poznámky k energii a práci Pokud působí tření nebo jiná odporová síla, zákon zacování mecanické energie neplatí energie se přesto neztrácí, mění se pouze na nemecanické druy (většinou tepelnou energii, vzduc, podložka, zdrát při oýbání, všecno se zařívá). Energie a práce jsou dvě blízce svázané veličiny (stejná jednotka), přesto se zásadně liší: Energie carakterizuje stav tělesa (nezajímá nás, jak získal kamen ryclost, kdo o zvednul, zajímá nás pouze aktuální ryclost nebo výška, ve které se nacází). Říká se, že energie je stavová veličina. Při výpočtu práce, jsme se vždy zajímali, jakým způsobem děj probíal (jakou silou a na jaké dráze krabička na stole zabrzdila, jakou silou jsem nataoval pružinu). Práce tedy carakterizuje děj, při kterém nastane přeměna nebo přenos energie. Práce ani energie nejsou měřitelné veličiny (jako třeba ryclost, motnost, síla nebo poloa). Proto je vyjadřujeme pomocí veličin přímo měřitelnýc. Z tooto poledu jsou energie i práce trocu umělé abstrakce, pro nás však velice užitečné. 5

6 Na začátku to vypadalo jednoduše a jako všecno, čím víc o tom víme, tím víc se to komplikuje. Konec kapitoly přenecáme někomu daleko povolanějšímu. Dovolíme si citaci z legendární fyzikální literatury, z vysokoškolskýc přednášek americkéo fyzika Ricarda Feynmana. Existuje skutečnost nebo ccete-li zákon, kterým se řídí všecny přírodní jevy. Pokud víme, tento zákon je přesný a neexistuje z něo žádná výjimka. Je to zákon zacování energie. Říká, že existuje veličina nazývaná energií, která se nemění v průběu mnoa změn, jenž postupuje příroda. To je velmi abstraktní myšlenka, vždyť jde o matematický princip. Hovoří o existenci číselné veličiny, která se průběu procesů nemění. Není to popis mecanismu, ani něčeo konkrétnío, je to jen podivuodná skutečnost, když spočítáme nějakou veličinu, pak pozorujme, jak příroda provádí své kousky, nakonec provedeme výpočet znovu a dostaneme totéž číslo. (Něco jako střelec na černém poli, který po určitém počtu kroků které detailně neznáme se stále nacází na černém poli. To je zákon této ry.) Protože jde o abstraktní myšlenku, ilustrujeme její smysl pomocí analogie. Představme si dítě, například nějakéo Cipíska, který má kostky. Všecny jsou nezničitelné a nedají se rozdělit na části, všecny jsou stejné. Předpokládejme, že Cipísek má 8 kostek. Maminka o ráno necá v pokoji se všemi 8 kostkami a každý večer je starostlivě počítá. Takto objeví fenomenální zákonitost, bez oledu na to, co clapec s kostkami přes den dělá, jic je každý večer 8. Takováto situace se opakuje několik dní, až jednou zůstane jen 7 kostek. Krátké ledání však ukáže, že jedna kostka je pod kobercem a že se počet kostek ve skutečnosti nezměnil. Jednou se však počet kostek změnil. Zůstalo jic jen 6. Pečlivý průzkum, který matka provedla, však ukázal, že bylo otevřené okno a tím se dostaly dvě kostky ven. Dalšío dne však matka napočítala 3 kostek, což vyvolalo značné překvapení. Potom si však maminka uvědomila, že Cipísek měl na návštěvě kamaráda, který si s sebou přinesl své kostky a několik jic u Cipíska zapomněl. Když matka vrátila přebytečné kostky, zavřela okno a nepustila na návštěvu kamarády, všecno bylo zase v pořádku. Až jednou při počítání zjistila, že zbylo jen 5 kostek. V pokoji byla krabice na račky, a když se do ní matka ctěla podívat, clapec jí to nectěl dovolit a dal se do křiku. Matka však byla velmi zvědavá a dost vynalézavá. Věděla, že každá kostka váží g, a tak zvážila krabici, když bylo všec 8 kostek venku. Zjistila, že váží 5g, a proto při další kontrole kostek zvážila opět krabici, odečetla 5 g, dělila stem. Zjistila zákonitost: počet kostek ( motnost krabice) 5g + konstanta venku g Později se objevily nové odcylky, ale ukázalo se, že špinavá voda ve vaně změnila svoji ladinu. Dítě ázelo kostky do vody a matka je tam nemola vidět, protože voda byla špinavá. Přidáním dalšío členu do vzorce však zjistila, kolik kostek je ve vodě. Protože původní výška vody byla 5 cm a každá kostka zvedla ladinu o,5 cm, nový vzorec má tvar: počet kostek ( motnost krabice) 5 g ( výška vody) 5cm + + konstanta venku g,5cm Jak Cipísek rostl a poyboval se po čím dál větší části světa, našla matka celou řadu členů odpovídajícíc počtu kostek nacázejícíc se na místec, do nicž nesměla nalédnout. Tak našla komplexní vzorec pro veličinu, kterou je třeba vypočítat a která v podmínkác jejío světa zůstává stálá. Čím je tento příklad podobný zákonu zacování energie? Musíme udělat jednu důležitou abstrakci, musíme si odmyslet kostky. Odstraníme-li první členy v předcozíc vzorcíc, zjistíme, že počítáme víceméně abstraktní věci. Podobnost spočívá především v tom, že 6

7 počítáme-li energii, dostáváme se do situace, že někdy část energie odcází ze systému a někdy zase do systému přicází. Abycom ověřili zákon zacování energie, musíme dávat pozor, aby nic nepřišlo ani neodešlo. Dále, energie má mnoo různýc forem a pro každou máme zvláštní vzorec. Jsou to: gravitační energie, kinetická energie, tepelná energie, elastická energie, elektrická energie, cemická energie, radiační energie, jaderná energie, energie vázaná na motnost. Když sčítáme příspěvky jednotlivýc energií, součet se nezmění, nebude-li nějaká energie dodána nebo odebrána. Je důležité si uvědomit, že současná fyzika vlastně neví, co je energie. Nepředstavujme si, že by se energie vyskytovala v určitém počtu malýc kapiček. Tak to není. Existují však vztay pro výpočet určité číselné veličiny a při sčítání všec příspěvků dostáváme 8 vždy stejné číslo. Je to abstraktní věc v tom smyslu, že nic neříká o mecanismu nebo příčinác jednotlivýc vztaů. Feynmanovy přednášky z fyziky I kapitola 4, strany 5/5 nakladatelství Fragment Srnutí: 7