DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY (II). Jaá je pravděpodobnost že při deseti poctivých hodech poctivou hrací ostou a) padnou samé šesty b) nepadne ani jedna šesta c) padne alespoň jedna šesta d) padnou právě tři šesty? Jaý počet šeste je v sérii deseti hodů nejvíce pravděpodobný? 2. Klíčivost semen je 8%. Zasejeme deset semen. a) Jaá je pravděpodobnost že vylíčí právě sedm semen? b) Jaá je pravděpodobnost že vylíčí alespoň sedm semen? c) Jaý počet vylíčených semen je nejvíce pravděpodobný? Výslede: Označme p pravděpodobnost že vylíčí právě semen. Seznam pravděpodobností p je v následující tabulce: 2 3 4 5 6 7 8 9 P ( X = ) 7 4 6 7 5 4 8 6 26 88 2 32 268 7 3. Dejme tomu že čtvrtina dospělých občanů v dané zemi je pro legalizaci ouření marihuany. Jaá je pravděpodobnost že v náhodně vybraném vzoru dvaceti dospělých jedinců je jich alespoň pět pro legalizaci? Výslede: 59 4. Dejme tomu že třicet procent stromů v porostu je napadených červenou hnilobou. Vybereme náhodně sto stromů. Jaá je pravděpodobnost že alespoň dvacet z nich je napadených? Výslede: 99 5. Pěstujeme hrách s bílými a fialovými věty. Věříme v platnost Mendelových záonů a předpoládáme tudíž že rostlina vyvete fialově s pravděpodobností 3 4. Jaá je pravděpodobnost že z deseti rostlin jich právě vyvete fialově? Jaý počet fialově vyvetlých rostlin je nejvíce pravděpodobný? Výslede: 35 3 25 2 5 5 2 3 4 5 6 7 8 9 Počet rostlin teré vyvetou fialově
6. Při přijímacích zoušách na lesnicou faultu psali studenti test z biologie s padesáti otázami. U aždé otázy byly uvedeny tři možné odpovědi z toho právě jedna správná. Za aždou správnou odpověď zísal student jeden bod (bylo tedy možno zísat nejvýše padesát bodů). Jestliže student zísal méně než deset bodů nebyl doporučen e studiu. Předpoládejme že student se na zoušu vůbec nepřipravil a volil proto odpovědi zcela náhodně. a) Jaý počet zísaných bodů je při tomto postupu nejvíce pravděpodobný? b) Jaá je pravděpodobnost že student při psaní testu uspěl (tj. zísal alespoň deset bodů)? Výslede: a) 6 a 7 b) 99. 4 2 8 6 4 2 5 5 2 25 3 35 4 45 5 Počet bodů 7. Deset tisíc brouů se zcela náhodně rozmístí na dvou a půl tisíci rostlin. Popište rozdělení pravděpodobností počtu brouů na rostlině a znázorněte je graficy. (Předpoládáme že rostliny jsou stejně velié.) Výslede: 2 8 6 4 2 8 6 4 2 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 Počet brouů na rostlině 8. Dvě stě našich spoluobčanů bezdomovců se zcela náhodně rozmístilo (a poté usadilo) na homogenním stanovišti o rozloze deset čtverečních ilometrů. Uvnitř tohoto stanoviště je desetihetarový pozeme patřící jiné naší spoluobčance Zuzce H. S jaou pravděpodobností osídlili Zuzčino území alespoň tři bezdomovci? Výslede: 32 2
9. Tisíc turistů vyrazilo na dvacet ilometrů dlouhou túru. Každý z nich dostal na cestu od pořadatelů po jednom jogurtu. Během túry odhodili turisté všechny elímy od jogurtů podél cesty. Sto metrů dlouhý úse cesty vede územím mene Apačů. Každého turistu terý na jejich území odhodí elíme Apačové salpují. Jestliže předpoládáme že turisté odhazují elímy v průběhu túry zcela náhodně jaá je pravděpodobnost že alespoň dva z nich přijdou o salp? Výslede: 96. Brouci jsou zcela náhodně rozmístěni na rostlinách s intenzitou (denzitou) 42 broua na jednu rostlinu. Jaý počet brouů na rostlině je nejvíce pravděpodobný? Určete tuto pravděpodobnost. (Předpoládáme že rostliny jsou stejně velié.). Rostliny jsou na dané loalitě rozmístěny zcela náhodně s intenzitou jedna rostlina na metr čtvereční. Jaý počet rostlin v náhodně vybraném ruhu o průměru jeden metr je nejvíce pravděpodobný? Výslede: 2. Loua je rozdělená na devět set stejně velých čtverců. Dvě stě dvacet jeden z těchto čtverců přitom neobsahuje žádnou sedmirásu. Předpoládejte že sedmirásy jsou na louce rozmístěny zcela náhodně a opírajíce se o tento předpolad odhadněte počet sedmiráse na louce. Výslede: 264 3. Brouci jsou rozmístěni zcela náhodně na (stejně veliých) rostlinách s intenzitou čtyři brouci na rostlinu. S jaou pravděpodobností se na rostlině nachází lichý (resp. sudý) počet brouů? Výslede: 49983 (resp. 57) 4. Předpoládejme že během léta uhynou z dané věové třídy určité populace v průměru tři jedinci denně přičemž úmrtnost je během celého léta stejná. Označme X počet jedinců teří uhynou během jednoho dne. a) Popište rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny X a určete jeho modus. b) Jaá je pravděpodobnost že během jednoho dne uhyne nejvýše jeden jedinec? Řešení. a) Předpoládejme že zvolená časová jednota (den) je velmi malá ve srovnání se střední délou života jedince. Rozdělení pravděpodobností veličiny X je potom Poissonovo s parametrem λ = 3. (Parametr λ má v daném ontextu význam intenzity umírání neboli mortality.) Nejvíce pravděpodobný je úhyn dvou nebo tří jedinců za den. b) 2 5. Házíme opaovaně hrací ostou. Předpoládejme že výslede žádného z hodů nezávisí na výsledcích předchozích hodů a že šesta padá s pravděpodobností 6. Jaá je pravděpodobnost že a) šesta padne poprvé při desátém hodu b) šesta padne nejpozději při desátém hodu c) výsytu šesty se nidy nedočáme? 6. Student Plíva střílí do terče přičemž má dispozici neomezený počet nábojů. Předpoládejme že pravděpodobnost zásahu nezávisí na předchozím průběhu střelby a je při aždém výstřelu stejná; označme tuto pravděpodobnost p. Konrétně nechť p = 5. a) Označme X počet výstřelů předcházejících prvnímu zásahu. Popište rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny X a určete jeho modus a střední hodnotu. b) Plíva vystřelí desetrát. Jaá je pravděpodobnost že se trefí alespoň třirát? c) Koli ran si Plíva musí zaoupit aby měl alespoň s 99% pravděpodobností zaručeno že po jejich vystřílení bude mít na svém ontě minimálně tři zásahy? 3
Návod řešení úlohy c): Označte X počet neúspěšných výstřelů předcházejících třetímu zásahu a určete rozdělení pravděpodobností veličiny X. K vyřešení naší úlohy stačí vyčíslit dostatečně velou část tohoto rozdělení. Výslede: a) x ˆ = E ( X ) = b) 95 c) 3 3 p = P( X = ) = 5 ( 5) p p = 5 + 3 = 5 + 3 p + Pro = jsou pravděpodobnosti p zaznamenány v následující tabulce: 2 3 4 5 6 7 8 9 PX ( = ) 25 88 88 56 7 82 55 35 22 3 8 Z tabuly vyplývá že P ( X ) = 99. Jina řečeno s pravděpodobností 99 bude počet neúspěšných výstřelů předcházejících třetímu zásahu roven nejvýše deseti. Minimální počet výstřelů teré musí Plíva učinit aby zasáhl terč s pravděpodobností alespoň 99 alespoň třirát je tedy roven třinácti. (Při výpočtu ovšem došlo ne zcela zanedbatelným zaorouhlovacím chybám; dybychom počítali opravdu přesně shledali bychom že počet zaoupených ran je třeba zvýšit na čtrnáct.) 2. 6 2 8 4 2 3 4 5 6 7 8 9 Počet neúspěšných výstřelů předcházejících třetímu zásahu 7. Přežívání jedinců v populaci s mortalitou nezávislou na věu. Uvažme populaci jedinců s mortalitou nezávislou na věu. Nechť p je pravděpodobnost že žijící jedinec do roa zemře. Tato pravděpodobnost je vantitativním vyjádřením mortality a dle našeho předpoladu nezávisí na věu jedince. Označme X délu života jedince v letech. Přesněji řeneme že X = de = 2 jestliže jedinec zemře v - tém roce svého věu. Určete rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny X a střední délu života jedince přináležejícího dané populaci. Výslede: Střední déla života jedince je p. Speciálně nechť p =. Střední déla života jedince ve zoumané populaci je pa deset let. Rozdělení pravděpodobností veličiny X je pro p = znázorněno graficy na následujícím obrázu. Všimněte si že medián tohoto rozdělení je roven sedmi. Jestliže je tedy zoumaná populace dostatečně početná pa více než polovina jedinců se dožije šesti let. Na druhou stranu vša více než polovina se jich nedožije sedmi let. 4
2 úmrtí 8 6 4 2 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 Vě jedince v letech 8. Za pomoci tabulového alulátoru vyčíslete následující binomicá rozdělení: a) Bi (; 5) b) Bi ( 2 6) c) Bi ( 2). S jaou přesností lze tato rozdělení aproximovat rozdělením Poissonovým? Výsledy znázorněte pomocí tyčových diagramů. (Při výpočtu pravděpodobností využijte reurentní formule.) Výslede: 2 5 5 Binomicé rozdělení Poissonovo rozdělení n = p = 5 λ = 5 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 Hodnota 5
25 2 5 Binomicé rozdělení Poissonovo rozdělení n = 2 λ = 3 3 p = 6 5 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 Hodnota 8 6 4 Binomicé rozdělení Poissonovo rozdělení n = p = λ = 5 2 2 2 25 3 35 4 45 5 55 6 65 7 75 8 Hodnota 6