DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY (II)



Podobné dokumenty
S1P Příklady 02. Náhodná proměnná (veličina) Mějme krabičku o rozměrech 1 x 2 x 3 cm. Na stranách jsou obrázky: :

Čtvrťáci a matematika VIII

Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě.

Teoretická rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Modely diskrétní náhodné veličiny. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti

NUMP403 (Pravděpodobnost a Matematická statistika I)

Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka

Řešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC

Matematika pro kombinované studium BOZO. Konzultace pátá. RNDr. Libuše Samková, Ph.D. pf.jcu.cz

Eiffelova věž. zaokrouhlené na tisíce. zaokrouhlené na desítky. zaokrouhlené na stovky. podtržené číslo. zaokrouhlené na desetitisíce


Seminární práce k předmětu Didaktika matematiky. Téma práce: Aplikační matematické úlohy

Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení

Kód uchazeče ID:... Varianta: 14

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)

1. Tři shodné obdélníky jsou rozděleny různými způsoby. První je rozdělen na 4 shodné části, poslední obdélník na 6 shodných částí.

Řešené příklady z pravděpodobnosti:

PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA I

STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI. 1. Co je to pravděpodobnost Začneme matematickým modelem pro popis náhodných jevů a jejich

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/

5. cvičení 4ST201_řešení

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH

, 1. skupina (16:15-17:45) Jméno: se. Postup je třeba odůvodnit (okomentovat) nebo uvést výpočet. Výsledek bez uvedení jakéhokoliv

pravděpodobnost, náhodný jev, počet všech výsledků

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005)

Autor: Jana Krchová Obor: Matematika. Procenta

Alternativní rozdělení. Alternativní rozdělení. Binomické rozdělení. Binomické rozdělení

Testování hypotéz. December 10, 2008

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.

Tématické celky { kontrolní otázky.

MATEMATIKA. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2 Pravidla správného zápisu řešení. 3.2 Pokyny k uzavřeným úlohám 7-15 DIDAKTICKÝ TEST

Server Internetu prostøednictvím slu eb (web, , pøenos souborù) poskytuje data. Na na í pracovní stanici Internet

Server Internetu prostøednictvím slu eb (web, , pøenos souborù) poskytuje data. Na na í pracovní stanici Internet

Odhad ve fyzice a v životě

ANKETA. Užívání návykových látek 2007/2008

III. Úplná pravděpodobnost. Nezávislé pokusy se dvěma výsledky. Úplná pravděpodobnost Nezávislé pokusy se dvěma výsledky Náhodná veličina

S1P Příklady 01. Náhodné jevy

Páťáci a matematika I. Přirozená čísla větší než milión. 1. Zapište čísla do tabulky. 2. Přečtěte čísla zapsaná v tabulce. Rozepište do tabulky čísla:

S T A T I S T I K A. Jan Melichar Josef Svoboda. U n iverzita Jan a Evangelist y P u rk yn ě v Ústí nad La b em

ZLOMKY A DESETINNÁ ČÍSLA. Růžena Blažková

Pojistná matematika. Úmrtnostní tabulky, komutační čísla a jejich použití. Silvie Kafková

Je-li rostlinné společenstvo tvořeno pouze jedinci jedné populace, mluvíme o monocenóze nebo také o čistém prostoru.


PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku?

13. Lineární procesy

NA LOUCE živo ichové- bezobratlí ela medonosná melák zemní

(motto: Jestliže má jednotlivec rád čísla, pokládá se to za neurózu. Celá společnost se ale sklání před statistickými čísly. Alfred Paul Schmidt)

HERNÍ PLÁN pro provozování okamžité loterie PIRÁTI

Diskrétní rozdělení Náhodná veličina má diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, jestliže existuje seznam hodnot

5 Informace o aspiračních úrovních kritérií

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016

Písemná zkouška z českého jazyka

Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015)

Obsah. Moderní doba! Jak vydržet a hlavně JAK přežít? 11 Co je stárnutí a proč k němu dochází? 33

Úloha č. 1 Rozměry fotografie jsou a = 12 cm a b = 9 cm. Fotografii zvětšíme v poměru 5 : 3. Určete rozměry zvětšené fotografie.

o ochraně včel, zvěře, vodních organismů a dalších necílových organismů při použití přípravků na ochranu rostlin

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech Matice sousednosti a počty sledů

1. Na stole jsou tři hromádky jablek. Na první je o třináct jablek méně než na druhé, na třetí hromádce je o osm

alternativní rozdělení Statistika binomické rozdělení bi(n, π)(2)

Text: Jan Moravec. Co cestou uvidíme? Především velice pestrou ukázku vesměs teplomilných přírodních společenstev. V S O U L A D U S P Ř Í R O D O U

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze

Přednáška. Další rozdělení SNP. Limitní věty. Speciální typy rozdělení. Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení

ALOKACE PROSTŘEDKŮ Z EVROPSKÝCH FONDŮ PRO VYBRANÉ OP [ÚDAJE V MILIONECH EUR]

Jak vyčistit špinavou vodu

TVAROSLOVÍ Mgr. Soňa Bečičková

6 5 = 0, = 0, = 0, = 0, 0032

Pravděpodobnost a statistika

VÝVOJ KOJENECKÉ ÚMRTNOSTI V ČESKÉ REPUBLICE V LETECH

Přiřaď k páčkám 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 písmena a, b, c, d a urči,

Instore radio research

UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

Příklady pro 8. ročník

(iv) D - vybíráme 2 koule a ty mají různou barvu.

MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU

pravděpodobnosti a Bayesova věta

Statistika. Počet přestupků počet odebraných bodů za jeden přestupek. Statistický soubor 1

Operace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A+B=(a ij ) m n +(b ij ) m n =(a ij +b ij ) m n.

Pravděpodobnost je Martina Litschmannová MODAM 2014

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.

6. Měření Youngova modulu pružnosti v tahu a ve smyku

STATUTÁRNÍ MĚSTO LIBEREC

Příloha č. 1 Část II. Ekonomika systému IDS JMK

VYHLÁŠKA ze dne 21. září 2012 o ochraně včel, zvěře, vodních organismů a dalších necílových organismů. při použití přípravků na ochranu rostlin,

327/2012 Sb. VYHLÁŠKA

Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. pravděpodobnost. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec. Prof.RND. RND.

Les provází člověka od počátku dějin, pouze v tomto období však byl přírodním výtvorem. S proměnou člověka v zemědělce docházelo k masivnímu kácení a

Oznámení o svolání schůzí vlastníků dluhopisů vydaných společností CPI BYTY, a.s. (dále jen Oznámení )

Pracovní list č. 1 - Šumava a Lipenská přehrada

Hodnocení přesnosti výsledků z metody FMECA

Promile. Předpoklady:

Na Týřově FUN AEROBIC Rakovník

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

Transkript:

DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY (II). Jaá je pravděpodobnost že při deseti poctivých hodech poctivou hrací ostou a) padnou samé šesty b) nepadne ani jedna šesta c) padne alespoň jedna šesta d) padnou právě tři šesty? Jaý počet šeste je v sérii deseti hodů nejvíce pravděpodobný? 2. Klíčivost semen je 8%. Zasejeme deset semen. a) Jaá je pravděpodobnost že vylíčí právě sedm semen? b) Jaá je pravděpodobnost že vylíčí alespoň sedm semen? c) Jaý počet vylíčených semen je nejvíce pravděpodobný? Výslede: Označme p pravděpodobnost že vylíčí právě semen. Seznam pravděpodobností p je v následující tabulce: 2 3 4 5 6 7 8 9 P ( X = ) 7 4 6 7 5 4 8 6 26 88 2 32 268 7 3. Dejme tomu že čtvrtina dospělých občanů v dané zemi je pro legalizaci ouření marihuany. Jaá je pravděpodobnost že v náhodně vybraném vzoru dvaceti dospělých jedinců je jich alespoň pět pro legalizaci? Výslede: 59 4. Dejme tomu že třicet procent stromů v porostu je napadených červenou hnilobou. Vybereme náhodně sto stromů. Jaá je pravděpodobnost že alespoň dvacet z nich je napadených? Výslede: 99 5. Pěstujeme hrách s bílými a fialovými věty. Věříme v platnost Mendelových záonů a předpoládáme tudíž že rostlina vyvete fialově s pravděpodobností 3 4. Jaá je pravděpodobnost že z deseti rostlin jich právě vyvete fialově? Jaý počet fialově vyvetlých rostlin je nejvíce pravděpodobný? Výslede: 35 3 25 2 5 5 2 3 4 5 6 7 8 9 Počet rostlin teré vyvetou fialově

6. Při přijímacích zoušách na lesnicou faultu psali studenti test z biologie s padesáti otázami. U aždé otázy byly uvedeny tři možné odpovědi z toho právě jedna správná. Za aždou správnou odpověď zísal student jeden bod (bylo tedy možno zísat nejvýše padesát bodů). Jestliže student zísal méně než deset bodů nebyl doporučen e studiu. Předpoládejme že student se na zoušu vůbec nepřipravil a volil proto odpovědi zcela náhodně. a) Jaý počet zísaných bodů je při tomto postupu nejvíce pravděpodobný? b) Jaá je pravděpodobnost že student při psaní testu uspěl (tj. zísal alespoň deset bodů)? Výslede: a) 6 a 7 b) 99. 4 2 8 6 4 2 5 5 2 25 3 35 4 45 5 Počet bodů 7. Deset tisíc brouů se zcela náhodně rozmístí na dvou a půl tisíci rostlin. Popište rozdělení pravděpodobností počtu brouů na rostlině a znázorněte je graficy. (Předpoládáme že rostliny jsou stejně velié.) Výslede: 2 8 6 4 2 8 6 4 2 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 Počet brouů na rostlině 8. Dvě stě našich spoluobčanů bezdomovců se zcela náhodně rozmístilo (a poté usadilo) na homogenním stanovišti o rozloze deset čtverečních ilometrů. Uvnitř tohoto stanoviště je desetihetarový pozeme patřící jiné naší spoluobčance Zuzce H. S jaou pravděpodobností osídlili Zuzčino území alespoň tři bezdomovci? Výslede: 32 2

9. Tisíc turistů vyrazilo na dvacet ilometrů dlouhou túru. Každý z nich dostal na cestu od pořadatelů po jednom jogurtu. Během túry odhodili turisté všechny elímy od jogurtů podél cesty. Sto metrů dlouhý úse cesty vede územím mene Apačů. Každého turistu terý na jejich území odhodí elíme Apačové salpují. Jestliže předpoládáme že turisté odhazují elímy v průběhu túry zcela náhodně jaá je pravděpodobnost že alespoň dva z nich přijdou o salp? Výslede: 96. Brouci jsou zcela náhodně rozmístěni na rostlinách s intenzitou (denzitou) 42 broua na jednu rostlinu. Jaý počet brouů na rostlině je nejvíce pravděpodobný? Určete tuto pravděpodobnost. (Předpoládáme že rostliny jsou stejně velié.). Rostliny jsou na dané loalitě rozmístěny zcela náhodně s intenzitou jedna rostlina na metr čtvereční. Jaý počet rostlin v náhodně vybraném ruhu o průměru jeden metr je nejvíce pravděpodobný? Výslede: 2. Loua je rozdělená na devět set stejně velých čtverců. Dvě stě dvacet jeden z těchto čtverců přitom neobsahuje žádnou sedmirásu. Předpoládejte že sedmirásy jsou na louce rozmístěny zcela náhodně a opírajíce se o tento předpolad odhadněte počet sedmiráse na louce. Výslede: 264 3. Brouci jsou rozmístěni zcela náhodně na (stejně veliých) rostlinách s intenzitou čtyři brouci na rostlinu. S jaou pravděpodobností se na rostlině nachází lichý (resp. sudý) počet brouů? Výslede: 49983 (resp. 57) 4. Předpoládejme že během léta uhynou z dané věové třídy určité populace v průměru tři jedinci denně přičemž úmrtnost je během celého léta stejná. Označme X počet jedinců teří uhynou během jednoho dne. a) Popište rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny X a určete jeho modus. b) Jaá je pravděpodobnost že během jednoho dne uhyne nejvýše jeden jedinec? Řešení. a) Předpoládejme že zvolená časová jednota (den) je velmi malá ve srovnání se střední délou života jedince. Rozdělení pravděpodobností veličiny X je potom Poissonovo s parametrem λ = 3. (Parametr λ má v daném ontextu význam intenzity umírání neboli mortality.) Nejvíce pravděpodobný je úhyn dvou nebo tří jedinců za den. b) 2 5. Házíme opaovaně hrací ostou. Předpoládejme že výslede žádného z hodů nezávisí na výsledcích předchozích hodů a že šesta padá s pravděpodobností 6. Jaá je pravděpodobnost že a) šesta padne poprvé při desátém hodu b) šesta padne nejpozději při desátém hodu c) výsytu šesty se nidy nedočáme? 6. Student Plíva střílí do terče přičemž má dispozici neomezený počet nábojů. Předpoládejme že pravděpodobnost zásahu nezávisí na předchozím průběhu střelby a je při aždém výstřelu stejná; označme tuto pravděpodobnost p. Konrétně nechť p = 5. a) Označme X počet výstřelů předcházejících prvnímu zásahu. Popište rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny X a určete jeho modus a střední hodnotu. b) Plíva vystřelí desetrát. Jaá je pravděpodobnost že se trefí alespoň třirát? c) Koli ran si Plíva musí zaoupit aby měl alespoň s 99% pravděpodobností zaručeno že po jejich vystřílení bude mít na svém ontě minimálně tři zásahy? 3

Návod řešení úlohy c): Označte X počet neúspěšných výstřelů předcházejících třetímu zásahu a určete rozdělení pravděpodobností veličiny X. K vyřešení naší úlohy stačí vyčíslit dostatečně velou část tohoto rozdělení. Výslede: a) x ˆ = E ( X ) = b) 95 c) 3 3 p = P( X = ) = 5 ( 5) p p = 5 + 3 = 5 + 3 p + Pro = jsou pravděpodobnosti p zaznamenány v následující tabulce: 2 3 4 5 6 7 8 9 PX ( = ) 25 88 88 56 7 82 55 35 22 3 8 Z tabuly vyplývá že P ( X ) = 99. Jina řečeno s pravděpodobností 99 bude počet neúspěšných výstřelů předcházejících třetímu zásahu roven nejvýše deseti. Minimální počet výstřelů teré musí Plíva učinit aby zasáhl terč s pravděpodobností alespoň 99 alespoň třirát je tedy roven třinácti. (Při výpočtu ovšem došlo ne zcela zanedbatelným zaorouhlovacím chybám; dybychom počítali opravdu přesně shledali bychom že počet zaoupených ran je třeba zvýšit na čtrnáct.) 2. 6 2 8 4 2 3 4 5 6 7 8 9 Počet neúspěšných výstřelů předcházejících třetímu zásahu 7. Přežívání jedinců v populaci s mortalitou nezávislou na věu. Uvažme populaci jedinců s mortalitou nezávislou na věu. Nechť p je pravděpodobnost že žijící jedinec do roa zemře. Tato pravděpodobnost je vantitativním vyjádřením mortality a dle našeho předpoladu nezávisí na věu jedince. Označme X délu života jedince v letech. Přesněji řeneme že X = de = 2 jestliže jedinec zemře v - tém roce svého věu. Určete rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny X a střední délu života jedince přináležejícího dané populaci. Výslede: Střední déla života jedince je p. Speciálně nechť p =. Střední déla života jedince ve zoumané populaci je pa deset let. Rozdělení pravděpodobností veličiny X je pro p = znázorněno graficy na následujícím obrázu. Všimněte si že medián tohoto rozdělení je roven sedmi. Jestliže je tedy zoumaná populace dostatečně početná pa více než polovina jedinců se dožije šesti let. Na druhou stranu vša více než polovina se jich nedožije sedmi let. 4

2 úmrtí 8 6 4 2 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 Vě jedince v letech 8. Za pomoci tabulového alulátoru vyčíslete následující binomicá rozdělení: a) Bi (; 5) b) Bi ( 2 6) c) Bi ( 2). S jaou přesností lze tato rozdělení aproximovat rozdělením Poissonovým? Výsledy znázorněte pomocí tyčových diagramů. (Při výpočtu pravděpodobností využijte reurentní formule.) Výslede: 2 5 5 Binomicé rozdělení Poissonovo rozdělení n = p = 5 λ = 5 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 Hodnota 5

25 2 5 Binomicé rozdělení Poissonovo rozdělení n = 2 λ = 3 3 p = 6 5 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 Hodnota 8 6 4 Binomicé rozdělení Poissonovo rozdělení n = p = λ = 5 2 2 2 25 3 35 4 45 5 55 6 65 7 75 8 Hodnota 6