Pravděpodobnost je Martina Litschmannová MODAM 2014
|
|
|
- Marian Esterka
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 ravděpodobnost je Martina Litschmannová MODAM 2014
2 Jak osedlat náhodu? Řecká mytologie: Bratři Zeus, oseidon, Hádes hráli v kostky astragalis. Zeus vyhrál nebesa, oseidon moře a Hádes peklo.
3 Jak osedlat náhodu? Jaká je šance, že hodíte-li kostkou, tak padne šestka?
4 Jak osedlat náhodu? Jaká je šance, že Wimbledon 2014 vyhraje? Rafael Nadal (1) Tomáš Berdych (6) Vincent Millot (200)
5 Jak osedlat náhodu? Jaká je šance, že pojišťovna vydělá na cestovním pojištění?
6 Náhodu nelze ovládnout, ale šanci na výskyt náhodných jevů lze odhadnout.
7 Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? okus děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně za určitých, stejně nastavených, počátečních podmínek. Deterministické pokusy Za určitých počátečních podmínek se dostaví vždy stejný výsledek. X Náhodné pokusy ro určité počáteční podmínky existuje množina možných výsledků, přičemž jeden z nich nastane.
8 Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Hod kostkou
9 Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Stanovení množství cholesterolu v krvi
10 Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Měření počtu požadavků za určité období
11 Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Hod kostkou Náhodný jev tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O pravdivosti tohoto tvrzení lze po ukončení pokusu rozhodnout. Značíme velkými písmeny (A, B, X, Y, ). adne šestka.
12 Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Hod kostkou Náhodný jev tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O pravdivosti tohoto tvrzení lze po ukončení pokusu rozhodnout. Značíme velkými písmeny (A, B, X, Y, ). adne sudé číslo.
13 Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Stanovení množství cholesterolu v krvi Náhodný jev tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O pravdivosti tohoto tvrzení lze po ukončení pokusu rozhodnout. Značíme velkými písmeny (A, B, X, Y, ). Zjištěná hodnota cholesterolu bude odpovídat normě. ro laika v oboru nutno specifikovat!!!
14 Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Měření počtu požadavků za určité období Náhodný jev tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O pravdivosti tohoto tvrzení lze po ukončení pokusu rozhodnout. Značíme velkými písmeny (A, B, X, Y, ). Během jedné hodiny bude vytvořeno více než 300 funkčních požadavků.
15 Základní pojmy Náhodný pokus konečný děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá Náhodný jev tvrzení o výsledku náhodného pokusu, o jehož pravdivosti můžeme po ukončení pokusu rozhodnout (značíme A, B, X, Y, ) Elementární jev ω jednotlivý výsledek náhodného pokusu (nelze jej vyjádřit jako sjednocení dvou různých jevů) Základní prostor Ω množina všech elementárních jevů Náhodný jev (jinak) libovolná podmnožina základního prostoru
16 Typy jevů adne 7. adne 6. adne méně než 7. Jev nemožný Jev náhodný Jev jistý Ω
17 Vybrané vztahy mezi jevy A Ω A Ω A Ω B B A doplněk jevu A průnik jevů A a B sjednocení jevů A a B A A B A B A Ω B 3 B 5 B 7 B jevy disjunktní B 1 B 2 B 4 B 6 úplná množina vzájemně disjunktních jevů Ω = n B i i=1, kde i j: B i B j = Ω
18 Co je to pravděpodobnost? Číselné vyjádření šance, že při náhodném pokusu daný jev nastane. 0 0,05 0,95 1 jev nemožný Ω jev jistý jev prakticky nemožný jev prakticky jistý Jak pravděpodobnost definovat?
19 očátky teorie pravděpodobnosti 17. století Jak rozdělit spravedlivě bank mezi hráče, byla-li série hazardních her ukončena předčasně? Blaise ascal ( ) zdroj: ierre de Fermat ( ) zdroj: kids.britannica.com
20 Klasická definice pravděpodobnosti (ierre Simon de Laplace, 1812) Založena na předpokladu, že náhodný pokus může mít n různých, avšak rovnocenných výsledků. Nechť Ω je množina n rovnocených elementárních jevů. ravděpodobnost jevu A, jenž je složen z m těchto elementárních jevů je: ( A) m n Mějme férovou hrací kostku. Jaká je pravděpodobnost, že padne 6? 1 Označme: A padne 6, pak ( A ). 6
21 Statistická definice pravděpodobnosti (Richard von Mises, počátek 20. století) ( A) lim n n( A) n očet realizací pokusu příznivých jevu A očet všech realizací pokusu Jaká je pravděpodobnost padnutí 6 na hrací kostce, nevíme-li, zda je tato kostka férová?
22 n A / n Statistická definice pravděpodobnosti 0,16 1/6 Relativní četnost jevu "padne 6" n ( A) lim n n( A) n
23 Geometrická pravděpodobnost Zobecnění klasické pravděpodobnosti pro případ, kdy počet všech možných výsledků náhodného pokusu je nespočetný. V rovině (případně na přímce nebo v prostoru) je dána určitá oblast Ω a v ní další uzavřená oblast A. ravděpodobnost jevu A, který spočívá v tom, že náhodně zvolený bod v oblasti Ω leží i v oblasti A je: A A Jaká je pravděpodobnost, že meteorit dopadl na pevninu?
24 Kolmogorovův axiomatický systém (Andrej Nikolajevič Kolmogorov, 1933) Definuje pojem pravděpodobnosti a její vlastnosti, neudává však žádný návod k jejímu stanovení. 1. ravděpodobnost každého jevu A je reálné číslo mezi 0 a 1 (včetně). 2. ravděpodobnost, že nějaký jev nastane (pravděpodobnost jevu jistého) je rovna ravděpodobnost, že nastane některý z navzájem se vylučujících jevů, je rovna součtu jejich pravděpodobností. A to pro každých spočetně mnoho jevů.
25 Vybrané vlastnosti pravděpodobnosti Nechť množina Ω obsahuje n elementárních jevů, nechť je pravděpodobnost na této množině, A a B jevy. otom platí : 1. 0 A 1 2. Ω = 1; = 0 3. A = 1 A 4. A B = A + B A B A, B disjunktní jevy A B = A + B 5. A B = A B. B A, B nezávislé jevy A B = A. B
26 1. an Ondra Hypoch tak dlouho obtěžoval lékaře, až mu lékař napsal prášky. V příbalovém letáku se Ondra dočetl, že mají dva možné nežádoucí účinky: a) vypadání zubů (15%), b) upadnutí palců na rukou (20%). Zároveň je v letáku napsáno, že nebyla prokázána závislost mezi výskytem jednotlivých typů nežádoucích účinků. S jakou pravděpodobností se bude moci Ondra po ukončení léčby kousnout do palce? (dle: Luboš ick; přednáška Dirichletovy šuplíčky na semináři OSMA)
27 Z Ondra bude mít po ukončení léčby zuby R Ondra bude mít po ukončení léčby prsty na rukou Z = 0,85, R = 0,80 S jakou pravděpodobností se bude moci Ondra po ukončení léčby kousnout do palce? Z = 0,15 Z = 0,85 Z R = 0,80 0,85 = 0,68 R = 0,80 R = 0,20
28 Věta o úplné pravděpodobnosti A B 3 B 5 B 7 B 1 B 2 B 4 B 6 n n n A = i=1 A B i = i=1 A B i = i=1 A B i B i
29 2. Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy? 70% 30%
30 2. Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy? 70% 30% 80% 20%
31 2. Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy? 10% 90% 70% 30% 80% 20%
32 ravoúhlý Vennův diagram 10% 90% 70% 30% 80% 20%
33 DV DV D DV CH DV D D DV CH CH DV 0, 80, 3 01, 0, 7 0, 31 DV CH 0, 1 KV CH 0, 9 CH 0, 7 0,07 0,63 D 0, 3 0,24 DV D 0, 8 KV D 0, 2 0,06
34 Rozhodovací strom ohlaví Délka vlasů Studenti CH 0, 7 DV CH 0, 1 CH KV CH 0, 9 DV KV CH DV 0, 701, 0, 07 CH KV 0, 70, 9 0, 63 D 0, 3 D DV D 0, 8 DV D DV 0, 30, 8 0, 24 KV D 0, 2 KV D KV 0, 30, 2 0, 06
35 DV DV D DV CH DV D D DV CH CH DV 0, 24 0, 07 0, 80, 3 01, 0, 7 0, 31 ohlaví Délka vlasů Studenti CH 0, 7 DV CH 0, 1 CH KV CH 0, 9 DV KV CH DV 0, 701, 0, 07 CH KV 0, 70, 9 0, 63 D 0, 3 D DV D 0, 8 DV D DV 0, 30, 8 0, 24 KV D 0, 2 KV D KV 0, 30, 2 0, 06
36 Bayesův teorém Thomas Bayes ( ) zdroj: B k A A B A k i A Bk A B i
37 2. Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. A) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec? 70 % Apriorní pravděpodobnost
38 2. Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. B) Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec? Aposteriorní pravděpodobnost
39 DV 0, 80, 3 01, 0, 7 0, 31 CH DV CH DV 0, 07 0, 226 DV 0, 31 Studenti CH 0, 7 D 0, 3 Daný stav DV CH 0, 1 CH D KV CH 0, 9 DV D 0, 8 Výsledek testu DV KV DV CH DV 0, 701, 0, 07 CH KV 0, 70, 9 0, 63 D DV 0, 30, 8 0, 24 KV D 0, 2 KV D KV 0, 30, 2 0, 06
40 2. Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. B) Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec? CH DV CH DV DV 0, 07 0, 31 0, 226 Aposteriorní pravděpodobnost
41 3. V jednom městě jezdí 85% zelených taxíků a 15% modrých. Svědek dopravní nehody vypověděl, že nehodu zavinil řidič modrého taxíku, který pak ujel. Testy provedené za obdobných světelných podmínek ukázaly, že svědek dobře identifikuje barvu taxíku v 80% případů a ve 20% případů se mýlí. A) Jaká je pravděpodobnost, že viník nehody skutečně řídil modrý taxík? B) ak byl nalezen další nezávislý svědek, který rovněž tvrdí, že taxík byl modrý. Jaká je nyní pravděpodobnost, že viník nehody skutečně řídil modrý taxík? Úlohu prezentovali psychologové Kahneman a Tversky (Anděl; Matematika náhody; 2007)
42 Označme: M taxík byl modrý Z taxík byl zelený SM 1 (SZ 1 ) první svědek viděl modrý (zelený) taxík SM 2 (SZ 2 ) druhý svědek viděl modrý (zelený) taxík
43 SM SM M SM Z SM M M SM Z Z SM 0,800,15 0,200,85 0, 29 1 SM Z 20 SZ Z , 1 0, Z 0, 85 0,17 0,68 M 0, 15 0,12 0,03 SM M 0, 80 SZ M ,
44 M SM SM M SM 0,12 0,17 0, ,4138 SM Z 20 SZ Z , 1 0, Z 0, 85 0,17 0,68 M 0, 15 0,12 0,03 SM M 0, 80 SZ M ,
45 M SM SM M SM 0,12 0,17 0, ,4138 Daný stav (před výpovědi svědků) Výsledek výpovědi 1. svědka M 0, 15 SM M 0, 80 M 1 SM 1 SM M 0,150,80 0, 12 1 Taxi Z 0, 85 Z SZ M , SM Z , SZ 1 SM 1 SZ M 0,150,20 0, 03 1 SM Z 0,850,20 0, 17 1 SZ Z , SZ 1 SZ Z 0,850,80 0, 68 1
46 Situace před výpovědi prvního svědka: M = 0, 15, Z = 0,15 Situace po výpovědi prvního svědka: M SM 1 = 0, 4138, Z SM 1 = 0,5862
47 4. V jednom městě jezdí 85% zelených taxíků a 15% modrých. Svědek dopravní nehody vypověděl, že nehodu zavinil řidič modrého taxíku, který pak ujel. Testy provedené za obdobných světelných podmínek ukázaly, že svědek dobře identifikuje barvu taxíku v 80% případů a ve 20% případů se mýlí. A) Jaká je pravděpodobnost, že viník nehody skutečně řídil modrý taxík? B) ak byl nalezen další nezávislý svědek, který rovněž tvrdí, že taxík byl modrý. Jaká je nyní pravděpodobnost, že viník nehody skutečně řídil modrý taxík? Úlohu prezentovali psychologové Kahneman a Tversky (Anděl; Matematika náhody; 2007)
48 M1SM 2 SM 2 0, 4482 SM SM 2 M1 2 0,3310 0,4482 0,7386 M1 0, 4138 Taxi Z1 0, 5862 Daný stav (po výpovědi 1. svědka) SM M 0, 80 M1 Z1 2 1 SZ M 0, SM Z 0, Výsledek výpovědi 2. svědka SM 2 SZ 2 SM 2 SM M 0, SZ M 0, SM Z 0, SZ Z 0, SZ 2 SZ Z 0,
49 M SM 1 SM 2 = M SM 1 SM 2 SM 1 SM 2 = 0,15 0,8 0,8 0, ,15 0,8 0,8 + 0,85 0,2 0,2 Taxi Daný stav (před výpovědi svědků) M 0, 15 Z 0, 85 SM M 0, 80 M Z 1 SZ M , SM Z , SZ Z , Výsledek výpovědi 1. svědka SM 1 SZ 1 SM 1 SZ 1 Výsledek následné výpovědi 2. svědka 0,80 0,20 0,80 0,20 0,20 0,80 0,20 SM 2 SZ 2 SM 2 SZ 2 SM 2 SZ 2 SM 2 0,80 SZ 2
50 Situace před výpovědi prvního svědka: M = 0, 1500, Z = 0,8500 Situace po výpovědi prvního svědka: M SM 1 = 0, 4138, Z SM 1 = 0,5862 Situace po výpovědi druhého svědka: M SM 1, SM 2 = 0, 7386, Z SM 1, SM 2 = 0,2614
51 Záleží na tom, zda svědkové vypovídali postupně nebo současně?
52 M SM 1 SM 2 = M SM 1 SM 2 SM 1 SM 2 = 0,15 0,64 0,15 0,64+0,85 0,04 0,7386 Daný stav Výsledek po výpovědi (před výpovědi svědků) svědků 0,15 M 0,64 0,16 0,16 SM 1 SM 2 SM 1 SZ 2 Taxi 0,04 SZ 1 SM 2 SZ 1 SZ 2 0,85 Z 0,04 0,16 0,16 0,64 SM 1 SM 2 SM 1 SZ 2 SZ 1 SM 2 SZ 1 SZ 2
53 Situace před výpovědi prvního svědka: M = 0, 1500, Z = 0,8500 Situace po výpovědi prvního svědka: M SM 1 = 0, 4138, Z SM 1 = 0,5862 Situace po výpovědi druhého svědka (následně vypovídajícího): M SM 1, SM 2 = 0, 7386, Z SM 1, SM 2 = 0,2614 Situace po výpovědi dvou svědků vypovídajících zároveň: M SM 1, SM 2 = 0, 7386, Z SM 1, SM 2 = 0,2614
54 4. Rodina má dvě děti. A) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? ředpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce.
55 4. Rodina má dvě děti. A) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? ředpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce.
56 4. Rodina má dvě děti. A) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? ředpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce.
57 4. Rodina má dvě děti. A) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? ředpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce. DD = 1 4
58 4. Rodina má dvě děti. Jedno z nich je dívka. B) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? ředpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce.
59 4. Rodina má dvě děti. Jedno z nich je dívka. B) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? ředpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce.
60 4. Rodina má dvě děti. Jedno z nich je dívka. B) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? ředpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce.
61 4. Rodina má dvě děti. Jedno z nich je dívka. B) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? ředpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky je stejná jako pravděpodobnost narození chlapce. DD = 1 3
62 4. Rodina má dvě děti. Jedno z nich se jmenuje Kleopatra. C) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? 62 odst. 1 zákona o matrikách: Matriční úřad nezapíše jméno, pokud je mu známo, že toto jméno užívá žijící sourozenec, mají-li sourozenci společné rodiče. 10 Dle MVČR (kdejsme.cz) a ČSÚ: K D i = 0, Označme: K D i CH i DK i DK i dítě je pojmenováno Kleopatra i - té dítě je dívka i té dítě je chlapec i té dítě je dívka a jmenuje se Kleopatra D i K i té dítě je dívka a nejmenuje se Kleopatra D i K DK i = K D i D i = 0, ,5 = 0, DK i = K D i D i = 0, ,5 = 0,499999
63 1. dítě 0, CH 1 0, , DK 1 DK 1
64 CH 1 0, , dítě 2. dítě 0, , , CH 2 0, DK 1 DK 1
65 CH 1 0, , DK 1 0, dítě 2. dítě 0, , , , , , CH 2 CH 2 DK 1
66 dvě dcery jedno dítě je Kleopatra (dvě dcery, z nichž jedna z nich je Kleopatra) = jedno z dětí je Kleopatra CH 1 0, , DK 1 0, DK 1 1. dítě 2. dítě 0, , , , , , , , CH 2 CH 2 CH 2
67 dvě dcery jedno dítě je Kleopatra (dvě dcery, z nichž jedna z nich je Kleopatra) = jedno z dětí je Kleopatra CH 1 0, , DK 1 0, DK 1 1. dítě 2. dítě 0, , , , , , , , CH 2 CH 2 CH 2
68 dvě dcery jedno dítě je Kleopatra (dvě dcery, z nichž jedna z nich je Kleopatra) = jedno z dětí je Kleopatra CH 1 0, , DK 1 0, DK 1 1. dítě 2. dítě 0, , , , , , , , CH 2 CH 2 CH 2
69 dvě dcery jedno dítě je Kleopatra = ( DK 1 DK 1 ) ( CH 1 DK 1 CH 1 DK 1 ) 1. dítě 2. dítě CH 1 0, , DK 1 0, DK 1 0, , , , , , , , CH 2 CH 2 CH 2
70 dvě dcery jedno dítě je Kleopatra = 0, , , , ( CH 1 DK 1 CH 1 DK 1 ) 1. dítě 2. dítě CH 1 0, , DK 1 0, DK 1 0, , , , , , , , CH 2 CH 2 CH 2
71 dvě dcery jedno dítě je Kleopatra = 0, , , , , , , , , , , , CH 1 0, , DK 1 0, DK 1 1. dítě 2. dítě 0, , , , , , , , CH 2 CH 2 CH 2
72 dvě dcery jedno dítě je Kleopatra = 0, , = 0, CH 1 0, , DK 1 0, DK 1 1. dítě 2. dítě 0, , , , , , , , CH 2 CH 2 CH 2
73 ro srovnání dvě dcery jedno dítě je Marie 0, 493 Dle MVČR (kdejsme.cz) a ČSÚ: M D = ,054037
74 Rodina má dvě děti. ravděpodobnost, že rodina má 2 dcery je Víme, že jedno z dětí je dcera. ravděpodobnost, že rodina má 2 dcery je Víme, že jedno z dětí se jmenuje Kleopatra. ravděpodobnost, že rodina má 2 dcery je 0,
75 A co tenhle? Dokážete najít řešení? ředpokládejme, že test na zjištění drog má senzitivitu 99% a specificitu 99%. To znamená, že test správně identifikuje skutečného uživatele drog v 99% případů a že test vyloučí osobu, která drogy neužívá rovněž v 99% případů. ředpokládejme, že ve škole, která se rozhodla testovat své studenty na užívání drog je prevalence 0,5%. Tj. jen 0,5% ze všech studentů drogy skutečně bere. Student Fajfka měl test pozitivní. Jaká je pravděpodobnost, že student Fajfka skutečně užívá drogy? Jak by se tato pravděpodobnost změnila, pokud by opakovaný (nezávislý) test vyšel také pozitivní?
76 Děkuji za pozornost!
Pravděpodobnost je. Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava
Pravděpodobnost je Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava ŠKOMAM, 24. 1. 2017 Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Pokus děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně
PRAVDĚPODOBNOST JE. Martina Litschmannová
RAVDĚODOBNOST JE Martina Litschmannová Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Teorie pravděpodobnosti je matematická disciplína popisující zákonitosti týkající se náhodných jevů, tj. používá se k modelování
TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení
TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není
Matematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. září 2018 Teorie pravděpodobnosti Teorie pravděpodobnosti je odvětvím matematiky, které studuje matematické modely náhodných pokusu, tedy zabývá se
Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Náhodný jev jakékoli tvrzení
Statistické vyhodnocování experimentálních dat. Mgr. Martin Čada, Ph.D.
Statistické vyhodnocování experimentálních dat Mgr. Martin Čada, Ph.D. - Ústav fyziky a biofyziky, PřF JU - E-mail: mcada@prf.jcu.cz - Tel.: 266052418 - Organizace výuky, zkouška, zápočet - Přednášky a
Náhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy
Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale
Pravděpodobnost vs. Poměr šancí. Pravděpodobnostní algoritmy: Bayesova věta. Bayesova teorie rozhodování. Bayesova věta (teorém) Vzorec. ...
ravděpodobnostní algoritmy: Bayesova věta Fantasy is hardly an escape from reality. It is a way of understanding it. LLoyd Alexander ravděpodobnost vs. oměr šancí ravděpodobnost - poměr počtu jedinců surčitým
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 1. KAPITOLA - PRAVDĚPODOBNOST 2.10.2017 Kontakt Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. jana.seknickova@vse.cz Katedra softwarového inženýrství Fakulta
Pravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev
RAVDĚODOBNOST Náhodné pokusy okusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek ř. Změna skupenství vody při 00 C a tlaku 00 ka okusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných
Jaroslav Michálek A STATISTIKA
VUT BRNO FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ Jaroslav Michálek PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA BRNO 2006 preprint Kapitola 1 Úvod Prudký rozvoj výpočetní techniky, jehož jsme v posledních desetiletích svědky, podstatně
Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku?
Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 2. 4. 2012 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Co je statistika? 3 Popisná statistika Míry polohy statistických
Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015)
III Pravděpodobnost Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. Odkud se bere pravděpodobnost? 1. Pravděpodobnost, že z balíčku zamíchaných karet vytáhmene dvě esa je přibližně 0:012. Modely a teorie. 2. Pravděpodobnost,
Základní pojmy a úvod do teorie pravděpodobnosti. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Základní pojmy a úvod do teorie pravděpodobnosti Ing. Michael Rost, Ph.D. Co je to Statistika? Statistiku lze definovat jako vědní obor, zabývající se hromadnými jevy a procesy. Statistika zahrnuje jak
2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST
2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.
Teorie pravěpodobnosti 1
Teorie pravěpodobnosti 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodný jev a pravděpodobnost Každou zákonitost sledovanou v přírodě lze zjednodušeně charakterizovat jako
pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.
3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.
Cvičení ze statistiky - 4. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 4 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dokončili jsme deskriptivní statistiku Tyhle termíny by měly být známé: Korelace Regrese Garbage in, Garbage out Vícenásobná regrese Pravděpodobnost
Pravděpodobnost a její vlastnosti
Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2016/2017 Tutoriál č. 1: Kombinatorika, úvod do teorie pravděpodobnosti Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Kombinatorika Kombinatorika
Inženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.
Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je
Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
Teoretická rozdělení
Teoretická rozdělení Diskrétní rozdělení Obsah kapitoly Studijní cíle Doba potřebná ke studiu Pojmy k zapamatování Úvod Některá teoretická rozdělení diskrétních veličin: Alternativní rozdělení Binomické
Základy teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika
Sada 1 Matematika. 16. Úvod do pravděpodobnosti
S třední škola stavební Jihlava Sada 1 Matematika 16. Úvod do pravděpodobnosti Digitální učební materiál projektu: SŠS Jihlava šablony registrační číslo projektu:cz.1.09/1.5.00/34.0284 Šablona: III/2 -
Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Definice P(A/B) pravděpodobnost nastoupení jevu A za předpokladu, že nastal jev B (P(B) > 0) definujeme vztahem
Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)
Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje
Kde se vzala pravděpodobnost? Jaroslav Horáček
Kde se vzala pravděpodobnost? Jaroslav Horáček Pravděpodobnost Mezi veřejností synonymum pro neurčitost Mihlo se kolem ní spousta význačných matematiků Starověk a středověk málo materiálů Jeden z mála
Metody zpracování fyzikálních měření
etody zpracování fyzikálních měření Jakub Čížek katedra fyziky nízkých teplot Tel: 9 788 jakub.cizek@mff.cuni.cz http://physics.mff.cuni.cz/kfnt/vyuka/metody/obsah.html Doporučená literatura: D.S. Silva,
Distribuční funkce je funkcí neklesající, tj. pro všechna
Téma: Náhodná veličina, distribuční funkce a její graf, pravděpodobnostní funkce a její graf, funkce hustoty pravděpodobnosti a její graf, výpočet střední hodnoty a rozptylu náhodné veličiny 1 Náhodná
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Práce s
Podmíněná pravděpodobnost
odmíněná pravděpodobnost 5. odmíněná pravděpodobnost 5.. Motivace: Opakovaně nezávisle provádíme týž náhodný pokus a sledujeme nastoupení jevu A v těch pokusech, v nichž nastoupil jev H. odmíněnou relativní
1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)
1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) Pravděpodobnost pojmy 1. Diskrétní pravděpodobnostní prostor(definice, vlastnosti, příklad). Diskrétní pravděpodobnostní prostor je trojice(ω, A, P), kde
pravděpodobnosti a Bayesova věta
NMUMP0 (Pravděpodobnost a matematická statistika I) Nezávislost, podmíněná pravděpodobnost, věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesova věta. Házíme dvěma pravidelnými kostkami. (a) Jaká je pravděpodobnost,
KOMBINATORIKA. 1. cvičení
KOMBINATORIKA 1. cvičení Co to je kombinatorika Kombinatorika je vstupní branou do teorie pravděpodobnosti. Zabývá se různými způsoby výběru prvků z daného souboru. 2011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU
Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. Pravděpodobnostn. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec
Pravděpodobnostn podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec Prof.RND.Jana Zvárov rová,, DrSc. Motivace V medicíně má mnoho problémů pravěpodobnostní charakter prognóza diagnoza účinnost
Diskrétní rozdělení Náhodná veličina má diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, jestliže existuje seznam hodnot
Rozdělení Náhodná veličina Náhodná veličina je vyjádření výsledku náhodného pokusu číselnou hodnotou. Jde o reálnou funkci definovanou na množině. Rozdělení náhodné veličiny udává jakých hodnot a s jakou
III. Úplná pravděpodobnost. Nezávislé pokusy se dvěma výsledky. Úplná pravděpodobnost Nezávislé pokusy se dvěma výsledky Náhodná veličina
III Přednáška Úplná pravděpodobnost Nezávislé pokusy se dvěma výsledky Náhodná veličina Pravděpodobnost při existenci neslučitelných hypotéz Věta Mějme jev. Pokud H 1,H 2, : : :,H n tvoří úplnou skupinu
Tomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.
Motivace. 1. Náhodné jevy. Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.
Přednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky
řednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky Statistika vychází z pravděpodobnosti odmíněná pravděpodobnost, Bayesůvvzorec Senzitivita, specificita, prediktivní hodnoty Frekventistická
1 Zadání Zadání- Náboj 2010 Úloha1.Kvádrsdélkamihran1, a,2amápovrch54.najdětehodnotučísla a.
Úloha1.Kvádrsdélkamihran1, a,2amápovrch54.najdětehodnotučísla a. Úloha2.Pomocíprávětříosmičekalibovolnýchzesymbolů+,,,/, vytvořtečíslo3.jedensymbol můžete použít i víckrát. Úloha3.Vejtekmělknihuzteoriemnožin,jejížlistybylyčíslovanépostupně0,1,2,3,...
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometire Gradovaný řetězec úloh Téma: obsahy a obvody mnohoúhelníků, grafy funkcí s absolutní
Přednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky
řednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky Statistika vychází z pravděpodobnosti odmíněná pravděpodobnost, Bayesův vzorec Senzitivita, specificita, prediktivní hodnoty Frekventistická
2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru.
Varianta I 1. Definujte pravděpodobnostní funkci. 2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. 3. Definujte Fisher-Snedecorovo rozdělení.
Obsah. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Pravděpodobnost. Pravděpodobnost. Děj pokus jev
Obsah Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Definice pojmů Náhodný jev Pravděpodobnost Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi;-) roman.biskup(at)email.cz
Cvičení 1. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc.
1 Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v
Pravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Diskrétní rozdělení Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 6 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 6) Diskrétní rozdělení Pravděpodobnost a
( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204
9.2.7 Nezávislé jevy I Předpoklady: 9204 Př. : Předpokládej, že pravděpodobnost narození chlapce je stejná jako pravděpodobnost narození dívky (a tedy v obou případech rovna 0,5) a není ovlivněna genetickými
Tento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla
Ramseyovy věty Martin Mareš Tento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla na mé letošní přednášce z Kombinatoriky a grafů I Předpokládá, že čtenář se již seznámil se základní
6. T e s t o v á n í h y p o t é z
6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně
STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA
Poslední aktualizace: 29. května 200 STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA PŘÍKLADY Pro zdárné absolvování předmětu doporučuji věnovat pozornost zejména příkladům označenými hvězdičkou. Příklady
UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE
UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Testy dobré shody Vedoucí diplomové práce: RNDr. PhDr. Ivo
Posloupnosti a jejich konvergence
a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace, integrály.
Informační a znalostní systémy
Informační a znalostní systémy Teorie pravděpodobnosti není v podstatě nic jiného než vyjádření obecného povědomí počítáním. P. S. de Laplace Pravděpodobnost a relativní četnost Pokusy, výsledky nejsou
KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC
Přednáša 04 Přírodovědecá faulta Katedra matematiy KMA/P506 Pravděpodobnost a statistia KMA/P507 Statistia na PC jiri.cihlar@ujep.cz Záon velých čísel Lemma Nechť náhodná veličina nabývá pouze nezáporných
Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. Matematika. Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám
Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Matematika Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám Doc. PaedDr. Dalibor Martišek, Ph.D. RNDr. Milana Faltusová 5 Autoři: Lektorovala: Doc.
Seminář z matematiky. jednoletý volitelný předmět
Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Seminář z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je koncipován pro přípravu studentů k úspěšnému zvládnutí profilové (školní)
Jevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy. Příklad: při hodu hrací kostkou padne trojka
Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že
KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC
Přednáška 03 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC jiri.cihlar@ujep.cz Diskrétní rozdělení Důležitá diskrétní rozdělení pravděpodobnosti
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus
Příprava na vyučování oboru Člověk a jeho svět s cíli v oblasti OSV
Příprava na vyučování oboru Člověk a jeho svět s cíli v oblasti OSV Název učební jednotky (téma) Příbuzenské vztahy v rodině Stručná anotace učební jednotky Žáci zjišťují informace od spolužáků a zapisují
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus
III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor016 Vypracoval(a),
3. Matice a determinanty
. Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl
Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz
Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat Róbert Lórencz 1. přednáška Úvod http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Róbert Lórencz (ČVUT FEL, 2007) Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Úvod do teorie pravděpodobnosti Náhoda a pravděpodobnost, náhodný jev, náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti
Intuitivní pojem pravděpodobnosti
Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Poznámka: Výsledek pokusu není předem znám (výsledek
Statistika (KMI/PSTAT)
Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení šesté aneb Podmíněná pravděpodobnost Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 13 Pravděpodobnost náhodných jevů Po dnešní hodině byste měli být schopni: rozumět pojmu podmíněná pravděpodobnost
Pravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,
Vybrané kapitoly z pravděpodobnosti
Vybrané kapitoly z pravděpodobnosti Martina Litschmannová Ostrava 2011 VŠB TU Ostrava, Fakulta elektrotechniky a informatiky Úvod Mílí čtenáři, skripta Vybrané kapitoly z pravděpodobnosti a Úvod do statistiky
Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti
PRAVDĚPODOBNOST anotace Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti VM vytvořil: Mgr. Marie Zapadlová Období vytvoření VM: září 2013 Klíčová
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC
22 SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC V této kapitole se dozvíte: jak je definováno sčítání matic a jaké má základní vlastnosti jak je definováno násobení matic číslem a jaké má základní vlastnosti zda a proč se
Pravděpodobnost a statistika pro SŠ
Pravděpodobnost a statistika pro SŠ RNDr. Blanka Šedivá, Ph.D., katedra matematiky, Fakulta aplikovaných věd Západočeské univerzity v Plzni sediva@kma.zcu.cz 28. března 2012 Počátky teorie pravděpodobnosti
Bayesovská klasifikace digitálních obrazů
Výzkumný ústav geodetický, topografický a kartografický Bayesovská klasifikace digitálních obrazů Výzkumná zpráva č. 1168/2010 Lubomír Soukup prosinec 2010 1 Úvod V průběhu nedlouhého historického vývoje
Rozhodovací procesy v ŽP HRY A SIMULAČNÍ MODELY
Rozhodovací procesy v ŽP HRY A SIMULAČNÍ MODELY Teorie her proč využívat hry? Hry a rozhodování varianty her cíle a vítězné strategie (simulační) Modely Operační hra WRENCH Cv. Katedra hydromeliorací a
9. Úvod do teorie PDR
9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální
ZÁKLADY TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI
ZÁKLDY TEORIE RVDĚODOBNOSTI 1 Vytvořeno s podporou projektu růřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
17. Posloupnosti a řady funkcí
17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.
Základy teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. pravděpodobnost. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec. Prof.RND. RND.
Pravděpodobnostn podobnostní charateristiy diagnosticých testů, Bayesův vzorec Prof.RND RND.Jana Zvárov rová,, DrSc. Náhodný pous, náhodný n jev Náhodný pous: výslede není jednoznačně určen podmínami,
1)! 12 a) 14 a) K = { 1 }; b) K = { 6 }; c) K ={ 2 }; d) K ={ 3 }; e) K ={ 4 }; f) K = 0 ! ; N; 17 a) K =N; b) K ={ 2; 3;
Kombinatorika Peníze, nebo život? Kombinatorická pravidla) 7 a) NE b) ANO c) ANO d) NE e) ANO f) ANO [vínová zlatý potisk] [vínová stříbrný potisk] [vínová bílý potisk] [fialová zlatý potisk] [fialová
3 PRAVDĚPODOBNOST. Základní vztahy: Pravděpodobnost negace jevu A: P A 1 P A
3 RAVDĚODOBNOST Základní vztahy: ravděpodobnost negace jevu A: A 1 A ravděpodobnost sjednocení jevů A,B: A B A B A B - pro disjunktní (neslučitelné) jevy A, B: A B A B ravděpodobnost průniku jevů A, B:
Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Institut celoživotního vzdělávání Fakulta regionálního rozvoje a mezinárodních studií
Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Institut celoživotního vzdělávání Fakulta regionálního rozvoje a mezinárodních studií STATISTIKA pro TZP Modul : Pravděpodobnost a náhodné veličiny Prof
Obsah. I. Objektivní pravděpodobnosti. 1. Pravděpodobnost a relativní četnosti... 23
Obsah Předmluva... 15 I. Objektivní pravděpodobnosti 1. Pravděpodobnost a relativní četnosti... 23 1.1 Úvod... 23 1.2 Základy frekvenční interpretace... 24 1.2.1 Pravděpodobnost a hromadné jevy... 24 1.2.2
1. MATEMATICKÉ MODELY ROZHODOVACÍCH SITUACÍ
Markl: Matematické modely rozhodovacích situací /nhry.doc/ Strana. MATEMATICKÉ MODELY ROZHODOVACÍCH SITUACÍ Popis obecné rozhodovací situace (rozhodovacího procesu) vyžaduje zadání následujících údajů:.
Která tvrzení jsou pravdivá nezávisle na tom, který den v týdnu byla vyslovena? Tvrzení trosečníka Dana.
Trosečníci Adam, Barry, Code a Dan zapoměli po čase kalendář. Začali se dohadovat, který den v týdnu vlastně je. Každý z nich řekl svůj názor: A: Dnes je úterý nebo zítra je neděle B: Dnes není úterý nebo
Matematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška první Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To
PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA I
PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA I RNDr. Tomáš Mrkvička, Ph.D. 16. března 2009 Literatura [1] J. Anděl: Statistické metody, Matfyzpress, Praha 1998 [2] V. Dupač, M. Hušková: Pravděpodobnost a matematická
Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost