III. Úplná pravděpodobnost. Nezávislé pokusy se dvěma výsledky. Úplná pravděpodobnost Nezávislé pokusy se dvěma výsledky Náhodná veličina

Transkript

1 III Přednáška Úplná pravděpodobnost Nezávislé pokusy se dvěma výsledky Náhodná veličina

2 Pravděpodobnost při existenci neslučitelných hypotéz Věta Mějme jev. Pokud H 1,H 2, : : :,H n tvoří úplnou skupinu vzájemně neslučitelných hypotéz, pak nx P() = P(H i ) P(jH i ) : i=1 Mějme a tři alternativní hypotézy, H 1,H 2,H 3, pak H 1 H 3 H 1 H2 H 3 H 2 P() = P( H 1 ) + P( H 2 ) + P( H 3 ) P( H i ) = P(H i )P(jH i ), i = 1,2,3 P() = P(H 1 )P(jH 1 )+ + P(H 2 )P(jH 2 )+ + P(H 3 )P(jH 3 )

3 Příklad Osivo se skládá ze 3/4 ze semen I. jakosti a z 1/4 ze semen II.jakosti. Semena I. jakosti vyklíčí s pravděpodobností 0,94 a semena II. jakosti vyklíčí s pravděpodobností 0,72. Kolik procent osiva vyklíčí? P(H 1 ) = 3=4 P(jH 1 ) = 0,94 P(H 2 ) = 1=4 P(jH 2 ) = 0,72 P() = P(H 1 )P(jH 1 ) + P(H 2 )P(jH 2 ) = = 0,75 0,94 + 0,25 0,72 = 0,885 Příklad Jaké procento z vyklíčené populace je první jakosti?

4 Bayesova formule (dvě alternativní hypotézy) Máme jevy a H. Jevy H a H 0 tvoří úplnou skupinu alternativních hypotéz. P() = P(H) P(jH) + P(H 0 ) P(jH 0 ), P( H) = P(H) P(jH) = P() P(Hj), P( H) P(Hj) =, P() Bayesova věta pro dvě alternativní hypotézy Mějme jev a alternativní hypotézy H a H 0, pak P(Hj) = P(H) P(jH) P(H) P(jH) + P(H 0 ) P(jH 0 )

5 Použití úplné pravděpodobnosti a Bayesovy formule Příklad Preventivní test označí správně 99 % nemocných (senzitivita) a správně označí 98 % zdravých (specificita). V populaci jsou 3 % nemocných. Zvažte, zda je účelné test provozovat. 1. Jak velkou část populace test označí pozitivně? 2. Jak velkou část nemocné populace označí test pozitivně? 3. Jak velkou část zdravé populace označí test pozitivně?

6 Použití úplné pravděpodobnosti a Bayesovy formule H jedinec je nemocný, P(H) = 0,03, H 0 jedinec je zdravý, P(H 0 ) = 0,97, jh nemocný má pozitivní test, P(jH) = 0,99, jh 0 zdravý má pozitivní test, P(jH 0 ) = 0,02, jedinec má pozitivní test...? H jedinec má pozit. test a je nemocný...? H jedinec má pozit. test a je zdravý...? P() = P(H) P(jH) + P(H 0 ) P(jH 0 ) = 0,049 P(Hj) = P(H) P(jH) P(H) P(jH) + P(H 0 ) P(jH 0 ) = 0,61 P(H 0 j) = 1 ` P(Hj) = 0,39

7 Změna zadání H jedinec je nemocný, P(H) = 0,01, H 0 jedinec je zdravý, P(H 0 ) = 0,97, jh nemocný má pozitivní test, P(jH) = 0,99, jh 0 zdravý má pozitivní test, P(jH 0 ) = 0,02, jedinec má pozitivní test...? H jedinec má pozit. test a je nemocný...? H jedinec má pozit. test a je zdravý...? P() = P(H) P(jH) + P(H 0 ) P(jH 0 ) = 0,029 P(Hj) = P(H) P(jH) P(H) P(jH) + P(H 0 ) P(jH 0 ) = 0,33 P(H 0 j) = 1 ` P(Hj) = 0,67

8 Bayesova formule, obecně Věta (Bayesova) Mějme jev. Pokud H 1,H 2, : : :,H n tvoří úplnou skupinu vzájemně neslučitelných hypotéz, pak P(H k j) = P( H k) P() = P(H k) P(jH k ) nx P(H i ) P(jH i ) i=1 P(H i ) pravděpodobnost hypotézy H i a priori P(H i j) pravděpodobnost H i a posteriori

9 Bernoulliův pokus Probíhá série 3 pokusů. Jev nastane v každém pokusu s pravděpodobností P() = p. p p 1 ` p 0 p 1 ` p p 1 ` p 0 0 p 3 p 2 (1 ` p) p 2 (1 ` p) p(1 ` p) 2 1 ` p 0 p 1 ` p 0 p 1 ` p p 1 ` p 0 0 p 2 (1 ` p) p(1 ` p) 2 p(1 ` p) 2 q 3

10 Bernoulliův pokus Probíhá série n pokusů. Jev nastane v každém pokusu s pravděpodobností P() = p. Pravděpodobnost, že jev nastane v n-té sérii právě k-krát je n P(B k ) = p k k (1 ` p) n`k : Příklad V testu má každá odpověď dvě alternativy. Jaká je pravděpodobnost, že náhodným výběrem zodpovíte správně nejméně 8 otázek z = 0,05

11 Náhodná proměnná Funkce definovaná na, přiřazující každému elementárnímu jevu E reálné číslo X (E) X :! R : Dva hody mincí = f(l,l),(r,l),(l,r),(r,r)g E 2 (L,L) (R,L) (L,R) (R,R) X (E) 2 R Výška v populaci. Nedá se popsat výčtem.

12 Typy náhodných veličin diskrétní obor hodnot je posloupnost spojitá obor hodnot je interval

13 Popis náhodných veličin Rozložení (rozdělení) pravděpodobnosti Pravidlo přiřazující hodnotám náhodné veličiny pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude této hodnoty. Distribuční funkce náhodné veličiny X F : R! h0,1i každé hodnotě x přiřadí pravděpodobnost F (x), že náhodná veličina X nabude hodnoty menší nebo rovno x F (x) = P(X» x) :

14 Vlastnosti distribuční fce Neklesající. Pokud x 1» x 2, pak F (x 1 )» F (x 2 ) Zprava spojitá. lim h!0 F (x + h) = F (x) Má pevné hodnoty v nevlastních bodech. lim F (x) = 0, x!`1 lim F (x) = 1 : x!1 P(a < X» b) = F (b) ` F (a) Graf

15 Frekvenční funkce diskrétní náhodná veličina pravděpodobnostní funkce. spojitá náhodná veličina funkce hustoty.