SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Leptání plasmou Ing. Pavel Bouchalík
1. ÚVOD Tato semestrální práce obsahuje písemné vypracování řešení příkladu Leptání plasmou. Jde o praktickou zkoušku znalostí získaných při přednáškách Plánování experimentu. 2. ZADÁNÍ ÚLOHY Byla změřena závislost rychlosti plasmového leptání při výrobě polovodičů (0,1 nm/min) na třech faktorech: A) mezera anoda/katoda B) tok plynu C) napětí na katodě Pro každou sérii měření byly provedeny dvě opakování. Rychlost leptání byla měřena pro různé kombinace hodnot sledovaných faktorů a každý faktor měl dvě úrovně označené 1 horní mez a -1 dolní mez. Výsledky faktorového pokusu jsou uvedeny v následující tabulce: tabulka 1: Zdrojová data A B C e1 e2-1 -1-1 247 400 1-1 -1 470 446-1 1-1 429 405 1 1-1 435 445-1 -1 1 837 850 1-1 1 551 670-1 1 1 775 865 1 1 1 660 530 Vysvětlivky: A, B, C úrovně faktorů e1, e2 rychlost leptání 3. ŘEŠENÍ ÚLOHY 3.1 Výpočet efektů a interakcí Výše uvedený příklad je možné řešit dvěma způsoby. První způsob řešení je založen na zprůměrňování výsledků měření rychlosti leptání. Vstupní data výpočtu jsou uvedeny v následující tabulce: tabulka 2: Vstupní údaje výpočtu první způsob výpočtu A B C AB BC AC e1 e2 průměr -1-1 -1 1 1 1 247 400 323,5 1-1 -1-1 1-1 470 446 458-1 1-1 -1-1 1 429 405 417 1 1-1 1-1 -1 435 445 440-1 -1 1 1-1 -1 837 850 843,5 1-1 1-1 -1 1 551 670 610,5-1 1 1-1 1-1 775 865 820 1 1 1 1 1 1 660 530 595
Vlastní výpočet efektů a interakci provedeme prostým vynásobením hodnot ve sloupečku průměr v tabulce č.2 odpovídajícími hodnotami ve sloupcích A, B, C, AB, BC, AC. Příslušné hodnoty efektů a interakcí pro jednotlivé faktory pak vypočteme sečtením hodnot v jednotlivých sloupcích a zprůměrňováním součtů, to je v tomto případě jejich vydělením osmi. Mezivýsledky a vypočtené hodnoty efektů a interakcí jsou uvedeny v tabulce č.3. Vlastní výpočet byl proveden v programu MS OFFICE EXCEL 2003. tabulka 3:Výpočet efektů a interakcí první způsob výpočtu Efekty A B C AB BC AC -323,5-323,5-323,5 323,5 323,5 323,5 458-458 -458-458 458-458 -417 417-417 -417-417 417 440 440-440 440-440 -440-843,5-843,5 843,5 843,5-843,5-843,5 610,5-610,5 610,5-610,5-610,5 610,5-820 820 820-820 820-820 595 595 595 595 595 595-37,5625 4,5625 153,8125-12,9375-14,3125-76,9375 EA EB EC IAB IBC IAC Vysvětlivky: EA efekt faktoru A EB efekt faktoru B EC efekt faktoru C IAB interakce faktorů AB IBC interakce faktorů BC IAC interakce faktorů AC K tomuto výpočtu je možné použít lineární regresi, která je k dispozici např. v programu MS OFFICE EXCEL v doplňku Analýza dat pod označením Regrese. Výstup výpočtu vypadá následovně (faktory a interakce nezávisle proměnné, Y průměry rychlostí leptání): VÝSLEDEK Regresní statistika Násobné R 0,99646376 Hodnota spolehlivosti R 0,99294003 Nastavená hodnota spolehlivosti R 0,95058018 Chyba stř. hodnoty 42,2496302 Pozorování 8 ANOVA Rozdíl SS MS F Významnost F Regrese 6 251053,1875 41842,2 23,4406 0,15680441 Rezidua 1 1785,03125 1785,03 Celkem 7 252838,2188
Koeficienty Chyba stř. hodnoty t stat Hodnota P Hranice 563,4375 14,9375 37,7197 0,016874 Soubor A -37,5625 14,9375-2,5146 0,240958 Soubor B 4,5625 14,9375 0,30544 0,811281 Soubor C 153,8125 14,9375 10,2971 0,061632 Soubor AB -12,9375 14,9375-0,8661 0,545599 Soubor BC -14,3125 14,9375-0,9582 0,513601 Soubor AC -76,9375 14,9375-5,1506 0,122082 Druhý způsob výpočtu je založen na uspořádání vstupních dat uvedeném v tabulce č.4. tabulka 4: vstupní data druhý způsob výpočtu A B C AB BC AC e -1-1 -1 1 1 1 247 1-1 -1-1 1-1 470-1 1-1 -1-1 1 429 1 1-1 1-1 -1 435-1 -1 1 1-1 -1 837 1-1 1-1 -1 1 551-1 1 1-1 1-1 775 1 1 1 1 1 1 660-1 -1-1 1 1 1 400 1-1 -1-1 1-1 446-1 1-1 -1-1 1 405 1 1-1 1-1 -1 445-1 -1 1 1-1 -1 850 1-1 1-1 -1 1 670-1 1 1-1 1-1 865 1 1 1 1 1 1 530 tabulka 5: Výpočet efektů a interakcí druhý způsob výpočtu Efekty A B C AB BC AC -247-247 -247 247 247 247 470-470 -470-470 470-470 -429 429-429 -429-429 429 435 435-435 435-435 -435-837 -837 837 837-837 -837 551-551 551-551 -551 551-775 775 775-775 775-775 660 660 660 660 660 660-400 -400-400 400 400 400 446-446 -446-446 446-446 -405 405-405 -405-405 405 445 445-445 445-445 -445-850 -850 850 850-850 -850 670-670 670-670 -670 670-865 865 865-865 865-865 530 530 530 530 530 530-37,5625 4,5625 153,8125-12,9375-14,3125-76,9375 EA EB EC IAB IBC IAC
Z hodnot interakcí a efektů uvedených v tabulce č.5 je patrné, že jsme dospěli, ke stejným výsledkům. Analogicky jako v předchozím případě můžeme použít regresi z EXCELU. VÝSLEDEK Regresní statistika Násobné R 0,966361 Hodnota spolehlivosti R 0,933853 Nastavená hodnota spolehlivosti R 0,889754 Chyba stř. hodnoty 62,86278 Pozorování 16 ANOVA Rozdíl SS MS F Významnost F Regrese 6 502106,4 83684,4 21,17665 7,87538E-05 Rezidua 9 35565,56 3951,729 Celkem 15 537671,9 Koeficienty Chyba stř. hodnoty t stat Hodnota P Dolní 95% Horní 95% Dolní 95,0% Horní 95,0% Hranice 563,4375 15,7157 35,8519 5,06E-11 527,8861 598,9889 527,8861 598,9889 Soubor A -37,5625 15,7157-2,39013 0,040549-73,1139-2,01113-73,1139-2,01113 Soubor B 4,5625 15,7157 0,290315 0,778154-30,9889 40,11387-30,9889 40,11387 Soubor C 153,8125 15,7157 9,78719 4,28E-06 118,2611 189,3639 118,2611 189,3639 Soubor AB -12,9375 15,7157-0,82322 0,431654-48,4889 22,61387-48,4889 22,61387 Soubor BC -14,3125 15,7157-0,91071 0,386188-49,8639 21,23887-49,8639 21,23887 Soubor AC -76,9375 15,7157-4,89558 0,000853-112,489-41,3861-112,489-41,3861 Ze získaného výstupu je patrné, že získaný regresní model má koeficient determinace 0,934. Hodnoty t statistiky a pravděpodobnosti P určují faktory A, C a interakci AC jako statisticky významné (α = 0,05). 3.2 Grafická analýza významnosti efektů a interakcí To, že faktory A, C a také interakce faktorů AC jsou významné (mají vliv na zkoumaný model) bylo určeno testováním významnosti jednotlivých regresních konstant v předchozí kapitole. K témuž můžeme použít i některé grafické diagnostiky viz. níže uvedené. obr. 1: Regresní model y predikované 1000 800 600 400 200 0 y = 0,9339x + 37,27 R 2 = 0,9339 0 200 400 600 800 1000 y měřené obr. 2: Hlavní efekty Hlavní efekty 900 800 700 600 500 400 300 200 0 1 2 3 4 5 6 7 index A B C první druhý třetí
obr. 3: Párové interakce 650 600 550 500 450 Párové interakce 0 1 2 3 4 5 6 7 index AB BC AC obr. 4: Polonormální graf 350 300 250 200 150 100 Polonormální graf AC 50 0 0,55 0,65 0,75 0,85 0,95 A C Z grafu Hlavních efektů obr. 2 je patrné, že nejvýznamnější je vliv efektu C a také jako významný se jeví i efekt A, efekt B je nevýznamný. Z grafu párových interakcí obr. 3 je zřejmé, že interakce AC je významná a interakce AB a AC jsou nevýznamné a přibližně stejné. To je v souladu s grafickou diagnostikou Polonormální graf obr. 4 body A, AC a C jsou odlehlé od ostatních. 3.3 Anova test Test významnosti jednotlivých faktorů a interakcí můžeme provést rovněž pomocí ANOVY. Výsledky analýzy rozptylu efektů a interakcí jsou uvedeny v následující tabulce: tabulka 6: Anova FAKTOR volnost SS MS F test. Závěr testu A 1 22575 22575,0625 5,644559391 Významný B 1 333 333,0625 0,083277336 Nevýznamný C 1 378533 378532,5625 94,64645028 Významný AB 1 2678 2678,0625 0,669609789 Nevýznamný BC 1 3278 3277,5625 0,819505868 Nevýznamný AC 1 94710 94710,0625 23,68084574 Významný ABC 1 3570 3570,0625 0,892641153 Nevýznamný Chyba 8 31996 3999,4375 Celkem 15 537672 Hodnota kritického kvantitu F rozdělení: 4,54308 Vysvětlivky: = N,2 2 Celkem i= 1,k = 1 (y i,k µ ) c kde µ c je celkový průměr absolutních hodnot dolních a horních úrovní. Ostatní hodnoty SS = Celkem součet čtverců odchylek sloupců dolních a horních úrovní od sloupcových průměrů. Chyba je rozdíl mezi Celkem a sumou hodnot SS faktorů a interakcí F test. je hodnota testovacího kritéria a jde o poměr MS (SS/volnost) a Chyba F rozdělení spočteno v Excelu pomocí funkce FINV (0,05; 1; 15) U faktorů A, C a interakce AC jsou hodnoty testovacího kriteria F test. Větší než hodnoty kritického kvantitu F rozdělení jde tedy o významné hodnoty (zamítáme primární hypotézu H 0 o jejich nevýznamnosti na hladině významnosti α 0,05). To je v souladu se závěry z regrese a grafických diagnostik.
4. ZÁVĚR Na rychlost plazmového leptání mají tedy vliv tyto faktory: - mezera anoda/katoda (negativní vliv) -napětí na katodě (pozitivní vliv) Jako dálší z interakcí mezi faktory vyplývá, že velikost napětí na elektrodách závisí na vzdálenosti anoda/katoda.