Semestrální práce. 2. semestr

Transkript

1 Licenční studium č Semestrální práce 2. semestr PŘEDMĚT 2.2 KALIBRACE A LIMITY JEJÍ PŘESNOSTI Příklad 1 Lineární kalibrace Příklad 2 Nelineární kalibrace Příklad 3 Rozlišení mezi lineární a nelineární kalibrací

2 2/17 V Ústí nad Orlicí dne: Ing. Karel Pávek

3 3/17 Licenční studium č Semestrální práce semestr... 1 Předmět Kalibrace a limity její přesnosti... 1 Příklad č Lineární kalibrace... 4 Kalibrace vrtulkového anemometru Testo Zadání Data Návrh kalibrační přímky Parametry kalibrace Kalibrační tabulka Závěr... 7 Příklad č Nelineární kalibrace... 8 Kalibrace brzdy bicyklového ergometru Zadání Data Návrh kalibračního modelu Kvadratický spline Regresní diagnostika Kubický spline Regresní diagnostika Závěr Parametry kalibrace Kalibrační tabulka Příklad č Rozlišení mezi lineární a nelineární kalibrací Kalibrace žhaveného anemometru Zadání Data Kontrola linearity kalibrační závislosti Návrh kalibračního modelu Parametry kalibrace a kalibrační model Kalibrační meze Kalibrační tabulka Závěr... 17

4 4/17 Příklad č. 1 Lineární kalibrace Kalibrace vrtulkového anemometru Testo ZADÁNÍ Kalibrace vrtulkového anemometru Testo 452 byla provedena v aerodynamickém tunelu současným odečítáním rychlosti proudění vzduchu na přístroji Testo 452 a na normálu (ověřený anemometr vyšší třídy). Vyšetřete kalibrační přímkuaurčete bodový a intervalový odhad rychlosti proudění vzduchu pro odečety na přístroji Testo 452 = 1, 5 a 15 m.s -1.Odstraňte z kalibračních dat případné odlehlé hodnoty. Výrobcem udávaná přesnost přístroje Testo 452 je ± ( % z měřeného hodnoty) m.s -1 v rozmezí naměřených hodnot rychlosti proudění vzduchu od 0.4 do 40 m.s DATA Počet n = 15. Jméno datového souboru Testo452.dat. Program ADSTAT Modul Kalibrace a Regresní diagnostika Číslo měření Údaj měřidla [m.s -1 ] Údaj normálu [m.s -1 ] NÁVRH KALIBRAČNÍ PŘÍMKY Vhodnost kalibračního modelu (přímky) byla ověřena kontrolou přítomnosti eventuálních vlivných bodů v datech. Pomocí modulu Regresní diagnostika Grafy vlivných bodů programu ADSTAT byl detekován bod č. 1 jako odlehlý (na hranici průkaznosti) a body č. 14, 15 byly indikovány jako extrémy. Základní statistické charakteristiky pro původní data a pro data po odstranění odlehlého bodu č. 1 jsou v následujících tabulkách: Statistické charakteristiky regrese: Model pro data Původní Bez bodu 1 Vícenásobný korelační koeficient, R E E-01 Koeficient determinace, R E E-01 Predikovaný korelační koeficient, Rp E E-01 Střední kvadratická chyba predikce, MEP E E-03 Akaikeho informační kritérium, AIC E E+01

5 5/17 Analýza reziduí: Model pro data Původní Bez bodu 1 Reziduální součet čtverců, RSC E E-02 Průměr absolutních hodnot reziduí, Me E E-02 Průměr relativních reziduí, Mer E E+00 Odhad reziduálního rozptylu, s^2(e) E E-03 Odhad směrodatné odchylky reziduí, s(e) E E-02 Kalibrační meze pro původní data: Kritická úroveň yc E-01 xc E-02 Limita detekce yd E-01 xd E-01 Mez stanovitelnosti ys E-01 xs E-01 Kalibrační meze pro data bez odlehlého bodu č. 1: Kritická úroveň yc E-01 xc E-02 Limita detekce yd E-01 xd E-01 Mez stanovitelnosti ys E-01 xs E-01 Odstraněním odlehlého bodu č. 1 došlo vesměs ke zlepšení statistických charakteristik (snížení MEP a mírný nárůst AIC, snížení hodnot Mer a s(e)). Došlo ke snížení kalibračních mezí odhadu xc, xd, xs a měřené hodnoty ys. Vzhledem k charakteru měření rychlosti proudění vzduchu je nejdůležitějším ukazatelem mez stanovitelnosti (Nejmenší hodnota signálu zde odečtu na přístroji Testo452 -, pro kterou je relativní směrodatná odchylka predikce z kalibračního modelu dostatečně malá a rovna číslu C. Obyčejně se velikost C volí 0.1). Pro stanovení parametrů kalibrační přímky volíme soubor dat po odstranění bodu č. 1.

6 6/17 4. PARAMETRY KALIBRACE Parametry kalibrace byly určeny pro soubor dat bez odlehlého bodu č. 1. Parametr Odhad Směrodatná TestH0:B[j]=0vs.HA:B[j]<>0 odchylka t-kriterium hypotéza H0 je Hlad. výz. Úsek E E E+00 Zamítnuta Směrnice E E E+02 Zamítnuta Obr. 1.1: Kalibrační přímka 5. KALIBRAČNÍ TABULKA ADSTAT Kalibrace: Měřená hodnota Přímý odhad Naszodiho odhad Konfidenční interval yexp[i] Xvyp[i] xvyp[i] Dolní mez Horní mez E E E E E E E E E E E E E E E+01

7 7/17 Intervalový odhad odečtu z rozšířené nejistoty: Měřená hodnota z 1max u xz1 U Ld Lh E E E E E E E E E E E E+01 Kde: z 1max = *Měřená hodnota (Maximální chyba odečtu dle výrobce) u xz1 = z 1max / 3 (Standardní nejistota za předpokladu rovnoměrného rozdělení chyb) U=2*u xz1 (Rozšířená nejistota pro koeficient rozšíření k u95% =2) Ld a Lh jsou dolní a horní mez intervalu spolehlivosti 6. ZÁVĚR Nejmenší odečet rychlosti proudění vzduchu na přístroji Testo 452 by neměl být menší, než mez stanovitelnosti ys = 0.71 m.s -1,ačkoliv vrtulku sondy uvede do pohybu již rychlost proudění vzduchu cca 0.2 m.s -1 (odpovídá modelem určené limitě detekce, resp. kritické úrovni). Z pohledu garantované přesnosti přístroje lze říci, že přístroj v dolní části rozsahu, dle kalibrační přímky, mírně nadhodnocuje, ale intervalové odhady (stanovené dle rozšířené nejistoty za předpokladu rovnoměrného rozdělení chyb) obsahují správné hodnoty. Přístroj splňuje údaje výrobce. Interval spolehlivosti stanovený z kalibrační křivky je užší, než IS stanovený z nejistot dle údajů výrobce.

8 8/17 Příklad č. 2 Nelineární kalibrace Kalibrace brzdy bicyklového ergometru 1. ZADÁNÍ Byla provedena kalibrace mechanického výkonu P [W] brzdy bicyklového ergometru na rychlosti otáčení magneticky bržděného setrvačníku v [km.h -1 ]. Rychlost otáčení byla odečítána na tachometru ergometru. Měření bylo provedeno pro stupeň zatížení č. 3. Sestrojte nelineární kalibrační model, určete limitu detekce, parametry kalibračního modelu a mechanický výkon pro odečtenou rychlost otáčení setrvačníku 25, 30, 35 a 40 km.h DATA Počet n = 10. Jméno datového souboru ErgPV.dat. Program ADSTAT Modul Kalibrace a Regresní diagnostika v [km.h -1 ] P [W] NÁVRH KALIBRAČNÍHO MODELU 3.1. Kvadratický spline Regresní diagnostika Vhodnost kalibračního modelu (polynom druhého stupně) byla ověřena kontrolou přítomnosti eventuálních vlivných bodů v datech. Pomocí modulu Regresní diagnostika Grafy vlivných bodů programu ADSTAT byl detekován bod č. 1 jako odlehlý a bod č. 10jako extrém. Základní statistické charakteristiky pro původní data a pro data po odstranění odlehlého bodu č. 1 jsou v následujících tabulkách: Statistické charakteristiky regrese: ADSTAT Lineární regrese Model pro data Původní Bez bodu 1 Vícenásobný korelační koeficient, R E E-01 Koeficient determinace, R E E-01 Predikovaný korelační koeficient, Rp E E-01 Střední kvadratická chyba predikce, MEP E E+00 Akaikeho informační kritérium, AIC E E+00 Analýza reziduí: ADSTAT Kalibrace Model pro data Původní Bez bodu 1 Reziduální součet čtverců, RSC E E+00 Průměr absolutních hodnot reziduí, Me E E-01 Průměr relativních reziduí, Mer Odhad reziduálního rozptylu, s^2(e) E E-01

9 9/17 Odhad směrodatné odchylky reziduí, s(e) E E-01 Kalibrační meze pro původní data: Kritická úroveň yc E+00 xc E+01 Limita detekce yd E+00 xd E+01 Mez stanovitelnosti ys - xs - Kalibrační meze pro data bez odlehlého bodu č. 1: Kritická úroveň yc E+00 xc E+01 Limita detekce yd E+01 xd E+01 Mez stanovitelnosti ys - xs - Odstraněním odlehlého bodu č. 1 došlo jednoznačně ke zlepšení statistických charakteristik. Z podmínek pro metodu MNČ není splněno Scottovo kritérium multikolinearity (M = 0.696) a Cook-Weisbergův test heteroskedasticity. Došlo ke snížení limity detekce xd. Obr. 1.2: Kalibrační křivka Ergometru Kvadratický spline

10 10/ Kubický spline Regresní diagnostika Vhodnost kalibračního modelu (polynom třetího stupně) byla ověřena kontrolou přítomnosti eventuálních vlivných bodů v datech. Pomocí modulu Regresní diagnostika Grafy vlivných bodů programu ADSTAT byl detekován bod č. 1 jako odlehlý a bod č. 10jako extrém. Základní statistické charakteristiky pro původní data a pro data po odstranění odlehlého bodu č. 1 jsou v následujících tabulkách: Statistické charakteristiky regrese: ADSTAT Lineární regrese Model pro data Původní Bez bodu 1 Vícenásobný korelační koeficient, R E E-01 Koeficient determinace, R E E-01 Predikovaný korelační koeficient, Rp E E-01 Střední kvadratická chyba predikce, MEP E E-01 Akaikeho informační kritérium, AIC E E+01 Analýza reziduí: ADSTAT Kalibrace Model pro data Původní Bez bodu 1 Reziduální součet čtverců, RSC E E-01 Průměr absolutních hodnot reziduí, Me E E-01 Průměr relativních reziduí, Mer Odhad reziduálního rozptylu, s^2(e) E E-01 Odhad směrodatné odchylky reziduí, s(e) E E-01 Kalibrační meze pro původní data: Kritická úroveň yc E+00 xc E+00 Limita detekce yd E+00 xd E+01 Mez stanovitelnosti ys - xs - Kalibrační meze pro data bez odlehlého bodu č. 1: Kritická úroveň yc E+00 xc E+00 Limita detekce yd E+00 xd E+00 Mez stanovitelnosti ys - xs - Odstraněním odlehlého bodu č. 1 došlo jednoznačně ke zlepšení statistických charakteristik. Z podmínek pro metodu MNČ není splněno pouze Scottovo kritérium multikolinearity (M = 0.92). Došlo ke snížení limity detekce xd.

11 Obr. 2.2: Kalibrační křivka ergometru Kubický spline 11/17

12 12/17 4. ZÁVĚR Níže uvedené tabulky obsahují základní statistické charakteristiky pro kvadratický a kubický spline (data bez odlehlého bodu č. 1): Statistické charakteristiky regrese: ADSTAT Lineární regrese Model Kvadratický Kubický Vícenásobný korelační koeficient, R E E-01 Koeficient determinace, R E E-01 Predikovaný korelační koeficient, Rp E E-01 Střední kvadratická chyba predikce, MEP E E-01 Akaikeho informační kritérium, AIC E E+01 Analýza reziduí: ADSTAT Kalibrace Model Kvadratický Kubický Reziduální součet čtverců, RSC E E-01 Průměr absolutních hodnot reziduí, Me E E-01 Průměr relativních reziduí, Mer Odhad reziduálního rozptylu, s^2(e) E E-01 Odhad směrodatné odchylky reziduí, s(e) E E-01 Kalibrační meze pro kvadratický spline: Kritická úroveň yc E+00 xc E+01 Limita detekce yd E+01 xd E+01 Mez stanovitelnosti ys - xs - Kalibrační meze pro kubický spline: Kritická úroveň yc E+00 xc E+00 Limita detekce yd E+00 xd E+00 Mez stanovitelnosti ys - xs - Z výše uvedeného jednoznačně vyplývá, že kubický model je lepší. Zúžení intervalu spolehlivosti predikce, ve prospěch kubického modelu, je zřejmé z grafického znázornění obou kalibračních křivek (obr. 2.1 a obr. 2.2) Parametry kalibrace Jako lepší byl zvolen kubický model s parametry kalibrace: Koeficienty rovnice : e[i]*x^3+f[i]*x^2+g[i]*x+h[i] pro k[i-1] < x <= k[i] k[i] e[i] f[i] g[i] h[i] E E E E E+00

13 13/ Kalibrační tabulka Kalibrační tabulka kubického modelu pro měřené hodnoty rychlosti (yexp[i] = 25, 30, 35 a 40 km.h -1 a jim odpovídající odhady mechanického výkonu [W] brzdy ergometru: Měřená hodnota Přímý odhad Konfidenční interval yexp[i] xvyp[i] Dolní mez Horní mez E E E E E E E E E E E E E E E E+02

14 14/17 Příklad č. 3 Rozlišení mezi lineární a nelineární kalibrací Kalibrace žhaveného anemometru 1. ZADÁNÍ Kalibrace žhaveného anemometru BABUC M byla provedena v aerodynamickém tunelu současným odečítáním rychlosti proudění vzduchu na přístroji BABUC M a na normálu (Prandtlova trubice a mikromanometr UMK). Elektronický převodník přístroje má, dle výrobce, lineární charakteristiku. Ověřte, zda kalibrační závislost skutečné apřístrojem indikované rychlosti proudění vzduchu, je skutečně lineární. Sestrojte optimální kalibrační model a určete bodový a intervalový odhad rychlosti proudění vzduchu pro odečety na přístroji BABUC M = 0.5; 1.0; 5 a 15 m.s -1. Pozn.: Přístroj BABUC M je vícefunkční dataloger. Měření rychlosti proudění vzduchu umožňuje např. použití sondy se žhaveným drátkem. Výrobcem udávaná přesnost přístroje ve spojení se žhaveným anemometrem je ± 0.04 m.s -1 pro odečtenou hodnotu < 1 m.s -1 a 4% odečtené hodnoty pro zbytek rozsahu. Rozsah měření 0.04 až 50 m.s DATA Počet n = 15. Jméno datového souboru BabEt.dat. Program ADSTAT Modul Kalibrace a Regresní diagnostika Babuc Etalon [m/s] [m/s] KONTROLA LINEARITY KALIBRAČNÍ ZÁVISLOSTI Při bližším pohledu na proložení kalibrační závislosti přímkou (Obr. 3.1) a zvláště na tvar průběhu reziduí (Obr. 3.2), je zřejmé, že pro danou závislost není lineární kalibrační model nejvhodnější.

15 15/17 Obr. 3.1: Regresní model přímka Obr. 3.2: Graf predikce - rezidua 4. NÁVRH KALIBRAČNÍHO MODELU Návrh kalibračního modelu provedeme určením minimálních hodnot průměru relativních reziduí (M er ), odhadu směrodatné odchylky reziduí (s(e)) a limity detekce (x d ) pro co nejnižší stupeň polynomu. Model Počet uzlů * M er [%] s(e) x d Přímka Kvadratický spline Kubický spline * Konstantní uzlové intervaly 4.1. Parametry kalibrace a kalibrační model Dle zvolených kritérií je nejvýhodnější kalibrační model kvadratický spline se dvěma uzly: Koeficienty rovnice : f[i]*x^2+g[i]*x+h[i] pro k[i-1] < x <= k[i] k[i] f[i] g[i] h[i] E E E E E E E E E E E E-01

16 16/17 Obr. 3.3: Grafické znázornění kalibračního modelu pro BABUC M: 4.2. Kalibrační meze Kritická úroveň yc E-01 xc E-02 Limita detekce yd E-01 xd E-02 Mez stanovitelnosti ys - xs Kalibrační tabulka Kalibrační tabulka kubického modelu pro naměřené hodnoty rychlosti proudění vzduchu (yexp[i] = 0.5; 1.0; 5.0 a 15 m.s -1 a jim odpovídající odhady skutečné rychlosti: Měřená hodnota Přímý odhad Konfidenční interval yexp[i] xvyp[i] Dolní mez Horní mez E E E E E E E E E E E E E E E E+01

17 17/17 Intervalový odhad odečtu z rozšířené nejistoty: Měřená hodnota z 1max u xz1 U Ld Lh E E E E E E E E E E E E E E E E+01 Kde: z 1max = 0.04 m.s -1 pro odečtenou hodnotu < 1 m.s -1 (Maximální chyba odečtu dle výrobce) z 1max = 0.04*Měřená hodnota u xz1 = z 1max / 3 (Standardní nejistota za předpokladu rovnoměrného rozdělení chyb) U=2*u xz1 (Rozšířená nejistota pro koeficient rozšíření k u95% =2) Ld a Lh jsou dolní a horní mez intervalu spolehlivosti 5. ZÁVĚR Z pohledu garantované přesnosti přístroje lze říci, že přístroj v dolní části rozsahu, dle kalibrační křivky, mírně nadhodnocuje a intervalové odhady (stanovené dle rozšířené nejistoty za předpokladu rovnoměrného rozdělení chyb) neobsahují správné hodnoty pro nízké rychlosti proudění vzduchu (do cca 1.5 m.s -1 ). Limita detekce je větší, než garantovaná dolní mez měřícího rozsahu stanovená výrobcem rozdíl je zřejmě způsoben nevhodnou metodou kalibrace: Použitá metoda kalibrace pomocí Prandtlovy trubice a mikromanometru UMK není pro nízké rychlosti proudění vzduchu (do cca 1.5 m.s -1 ) nejvhodnější. Přístroj splňuje údaje výrobce pro hodnoty rychlosti proudění vzduchu větší než 1.5 m.s -1. Interval spolehlivosti stanovený z kalibrační křivky je užší - pro hodnoty rychlosti proudění vzduchu větší než 1.5 m.s -1 - než IS stanovený z nejistot dle údajů výrobce.

18 Název souboru: Predm22 Adresář: E:\VYUKA\LS\Diskety\LS89002\Pavek\Kalibrace Šablona: D:\Program Files\Microsoft Office\Sablony\Normal.dot Název: 1 Předmět: Autor: OEM Klíčová slova: Komentáře: Datum vytvoření: :29 Číslo revize: 55 Poslední uložení: :34 Uložil: Ing. Karel Pávek Celková doba úprav: min. Poslední tisk: :24 Jako poslední úplný tisk Počet stránek: 17 Počet slov: (přibližně) Počet znaků: (přibližně)