T E O R I E C H Y B A V Y R O V N Á V A C Í P O

Transkript

1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ, OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu T E O R I E C H Y B A V Y R O V N Á V A C Í P O Č E T 2 č. úlohy 6 název úlohy T E S T O V Á N Í S T A T I S T I C K Ý C H H Y P O T É Z zadání 68 studijní skupina G-263 zpracoval SETNIČKA MARTIN martin.setnicka@fsv.cvut.cz datum

2 ZADÁNÍ

3 TECHNICKÁ ZPRÁVA Numerické řešení bylo provedeno pomocí skriptu programu Matlab. Byl použit statistický toolbox. Následuje teoretický postup. Číselné hodnoty jsou sestaveny přehledně v závěru. Ve všech případech byly prováděny oboustranné testy. Příklad 1 - Pro výpočet zde i v části d. byly použity standardní funkce 'mean' a 'std'. la = mean( vektor_mereni ) % vyrovnaná délka sgma = std( vektor_mereni ) % aposteriorni smerodatna odchylka jednotkova l A : Výpočet hranic intervalu pomocí inverzní distribuční funkce studentova rozdělení 'tinv': la +/- tinv( 1-alfa/2, m-1 ) *sgma /sqrt( m ) kde 'alfa' je hladina významnosti, 'm' počet pozorování a 'm-1' počet nadbytečných měření σ A : Výpočet hranic intervalu pomocí inverzní distribuční funkce chí-kvadrát rozdělení 'chi2inv': sqrt( m *sgma^2 /chi2inv( alfa/2, m-1 ) ) % dolní hranice sqrt( m *sgma^2 /chi2inv( 1-alfa/2, m-1 ) ) % horní hranice Část c. t_test = abs( la-l 0 ) *sqrt( m ) /sgma % hodnota testovaciho kriteria tinv( 1-alfa/2, m-1 ) % kriticka hodnota ( 1 -tcdf( t_test, m-1 ) )*2 % p-hodnota pomoci distribucni fce Část d. - Hodnota testovacího kritéria bylo volena < 1 sgma^2 /sgmb^2; % hodnota testovaciho kriteria.. a do inverzní distribuční funkce Fisherova rozdělení byla použita pravděpodobnost odpovídající dolní mezi. finv( alfa/2, m-1, n-1 ) % kriticka hodnota fcdf( f_test, m-1, n-1 )*2 % p-hodnota pomoci distribucni fce Příklad 2 1) Rovnice oprav ( Jde o opravy provozní doby 'T', malé 't' je teplota, 'b' jsou odhadované koeficienty ) v = b0 + b1.*t + b2.*t.^2 - T 2) Matice plánu: A = [ ones(t), t, t.^2 ] 3) Úloha je lineární, proto volíme redukovaná měření jsou 'T' a výsledkem jsou přímo koeficienty 'b' b = inv( A'*A ) * A'*T 1) v = A*b - T % opravy 2) m02 = v'*v /(n-3) % aposteriorni smerodatna odchylka jednotkova ve druhe mocnine 3) Qb = m02 *inv( A'*A ) % kovarianční matice vyrovnaných koeficientů 4) p = 2:3; % pořadí testovaných koeficientů ve vektru 'b' a matici 'Qb' q = length(p); % počet testovaných koeficientů Hodnota testovacího kritéria bylo > 1 test = 1/q/m02 *b(p)'*qb(p,p)^-1*b(p) % hodnota testovaciho kriteria.. a do inverzní distribuční funkce Fisherova rozdělení byla použita pravděpodobnost odpovídající horní mezi. kh = finv(1-alfa/2,q,n-3) % kriticka hodnota kde 'n' je počet dvojic měřen a 'n-3' nadbytečný počet měření Část c. ( viz příklad 1 c. ) test = abs( b(3)-0 ) / Qb(3,3)^0.5 * sqrt(n) % hodnota testovaciho kriteria kh = tinv( 1-alfa/2, n-3 ) % kriticka hodnota Část d. 1) Výpočet jednotlivých směrodatných odchylek 'T' : sgmt = diag( A*Qb*A' ).^0.5 1) Pro výpošet mezí viz příklad 1 b. T_aprox +/- tinv( 1-alfa/2, n-3 ).* sgma kde 'T_aprox' jsou provozní doby spočtené pomocí vyrovnaných koeficientů

4 Příklad 3 - Pro přimky vyrovnané minimalizací oprav 'x' a 'y' byla použita funkce 'polyfit' ( 3. argument je stupen regresního polynomu) Označení: x ~ výška, y ~ váha, a, b ~ vyrovnané koeficienty regresních přímek 1) Minimalizace oprav 'y' a y T 1 = ( A A). A. y ; kde A je matice plánu Ay = [ones(n,1),x] b y 2) Minimalizace oprav 'x' a x T 1 = ( A A). A. x b ; kde A je matice plánu Ay = [ones(n,1),y] x 3) Minimalizace oprav 'x' a 'y' ( minimalizace vzálenosti od regresní přímky ) xt = mean(x) % x-souradnice teziste yt = mean(y) % y-souradnice teziste vx = xt-x % redukce k tezisti vy = yt-y % redukce k tezisti alfa = atan2(2*sum(vx.*vy),((sum(vx.^2)-sum(vy.^2))) )/2; axy(1) = yt - tan(alfa)*xt bxy(2) = tan(alfa) % q.. sumy oprav k tezisti qxy = vx' * vy qxx = vx' * vx qyy = vy' * vy r1 = qxy / sqrt( qxx*qyy ) % vypocet primo (z oprav) r2 = sqrt( a y /a x ) % druhy vypocet ze smernic Část c. test = r1 *sqrt(n-2) /sqrt(1-r1^2) % hodnota testovaciho kriteria kh = tinv( 1-alfa/2,n-2 ) % kriticka hodnota V Ý S L E D K Y: alfa pro všechny výpočty: α = 0.05 Příklad 1 l A = m σ A = m Z Á V Ě R: P { m < l A < m } = 95% P { m< σ A < m } = 95% Část c. H0: l0 = la testovací kritérium ktitická hodnota p-hodnota > alfa => Nezamítáme nulovou hypotézu. Část d. H0: σ A = σ B testovací kritérium ktitická hodnota p-hodnota < alfa => Zamítáme nulovou hypotézu. Přijímáme hypotézu H 1 : σ A σ B Příklad 2 β 0 = σ β0 = β 1 = σ β1 = β 2 = σ β2 = H0: β 2 = 0 β 1 = 0 testovací kritérium ktitická hodnota p-hodnota e-007 < alfa => Zamítáme nulovou hypotézu. Přijímáme hypotézu H 1 : β 2 0 β 1 0 Část c. H0: β 2 = 0 testovací kritérium ktitická hodnota p-hodnota < alfa => Zamítáme nulovou hypotézu. Přijímáme hypotézu H 1 : β 2 0

5 Část d. Příklad 3 y = a x + b 1) Minimalizace oprav 'y': a = b = ) Minimalizace oprav 'x': a = b = ) Minimalizace oprav 'x' a 'y': a = b = Výsledky obou postupů se dle předpokladu neliší r = Část c. H0: r = 0 ktitická hodnota... P (-1,98 < r < 1,98) = 95% p-hodnota > alfa => Nezamítáme nulovou hypotézu.