Vážeí zákazíci dovolujeme si Vás upozorit že a tuto ukázku kihy se vztahují autorská práva tzv. copyright. To zameá že ukázka má sloužit výhradì pro osobí potøebu poteciálího kupujícího (aby èteáø vidìl jakým zpùsobem je titul zpracová a mohl se také podle tohoto jako jedoho z parametrù rozhodout zda titul koupí èi e). Z toho vyplývá že eí dovoleo tuto ukázku jakýmkoliv zpùsobem dále šíøit veøejì èi eveøejì apø. umis ováím a datová média a jié iteretové stráky (ai prostøedictvím odkazù) apod. redakce akladatelství BEN techická literatura redakce@be.cz

Napìtí aprázdo Proud akrátko S 9 + + N + P$ Výpoèet R T podle vztahu uvedeého a obr..1.3: ( + ) 7 W + + Výpoèet R T ze vztahu (.1.1): S 7 W - N V zapojeí podle Théveia bude U T 12 V R T 100 W. V zapojeí podle Nortoa bude I N 120 ma G N 1/R T 10 ms..2 ANALÝZA OBVOÙ METOOU KIRCHHOFFOVÝCH ROVNIC Kirchhoffovy zákoy vycházejí z pricipu zachováí eergie a zachováí áboje aplikovaého a elektrické obvody. 1) Záko zachováí áboje I. Kirchhoffùv záko (I. KZ) Algebraický souèet všech proudù I k tekoucích do jedoho bodu (uzlu) je rove ule. Q Ç P (.2.1) P 2) Záko zachováí eergie II. Kirchhoffùv záko (II. KZ) Algebraický souèet apìtí v uzavøeé smyèce je rove ule. Q Ç N N (.2.2) Gustav Robert Kirchhoff ( 124 17) 126 J. OLEÈEK: ZÁKLAY ELEKTRONIKY 1. ÍL A

Jestliže chceme sestavit soustavu lieárì ezávislých rovic a základì Kirchhoffových zákoù staèí aby: každá z ich obsahovala jede proud který eí obsaže v žádé jié rovici; žádá z lieárì ezávislých rovic eobsahovala apìtí které je obsažeo v jié rovici. Urèeí ezávislých rovic provedeme a základì topologického schématu zapojeí. Pøi sestavováí rovic vycházíme ze schématu zapojeí..2.1 Použité ázvosloví Topologické schéma Pøi vytváøeí topologického schématu vycházíme ze schématu zapojeí aalyzovaého obvodu (pøíklad schématu zapojeí je a obr..2.1). Pøi sestavováí topologického schématu používáme tyto ázvy: Uzel je bod ve kterém jsou spojey dva ebo více obvodových prvkù a obr..2.1 jsou uzly ozaèey èíslicemi. Vìtev je èást obvodu mezi dvìma uzly do které jsou zapojey obvodové prvky. Smyèka je posloupost koeèého poètu vìtví které a sebe v uzlech avazují a vytváøejí uzavøeou dráhu. V každém uzlu který leží ve smyèce se smìjí stýkat pouze dvì vìtve které jsou souèástí smyèky. Pøípadé další vìtve vycházející z uzlu již musí být souèástí jiých smyèek. Vztažý (refereèí uzel) je jede z uzlù který jsme zvolili a se kterým každý další uzel tvoøí uzlovou dvojici. Ke vztažému uzlu vztahujeme apø. apìtí z ostatích uzlù. Zvolíme-li a obr..2.1 jako vztažý uzel 4 potom k ìmu vztahujeme apìtí z uzlu 1 z uzlu 2 atd. Vztažému uzlu èasto øíkáme refereèí uzel. Úplý strom obsahuje vìtve které spojují všechy uzly ale evytváøejí pøitom ai jedu smyèku. Sestrojeí stromu je zpravidla jedoduché. Pøíklad je uvede a obr..2.3. Úplý strom vytváøí spojice mezi uzly 1 a 2 2 a 3 2 a 4 1 a. Obr..2.1 Pøíklad aalyzovaého obvodu A J. OLEÈEK: ZÁKLAY ELEKTRONIKY 1. ÍL 127 Y WHY VP\þN X]HO Obr..2.2 Topologické schéma k obr..2.1

Je možé vybrat i jié vìtve ke kostrukci úplého stromu apø. vìtev spojující uzly a 4 místo vìtve spojující uzly 1 a. Nezávislé vìtve jsou vìtve kterými doplíme úplý strom a topologické schéma. Všechy ezávislé vìtve tvoøí doplìk stromu. Nezávislá smyèka je tvoøea vìtvemi stromu a ezávislou vìtví. Pojmy uzel a vìtev stromu jsou využíváy jak bude ukázáo dále k výpoètu potøebého poètu ezávislých rovic pro øešeí obvodù metodou Kirchhoffových zákoù. Je uté si všimout že pokud mezi dvìma spojovacími body eí žádý obvodový prvek jedá se o jede uzel ikoliv o dva uzly apø. uzly 2 a 4 a obr..2.1. Orietaèí šipka orietaèí šipky zakreslujeme do schématu a poèátku aalýzy kdy ještì pøesì ezáme polarity apìtí a smìry proudù v obvodu. Zvoleých orietací se musíme po celou dobu výpoètu držet esmíme ji mìit. Teprve potom když øešeím rovic dostaeme èíselé hodoty vèetì zaméek urèíme skuteèé smìry šipek. Kreslíme-li apì ovou šipku apø. z uzlu 1 do uzlu 2 pøedpokládáme tím že v uzlu 1 je vùèi uzlu 2 kladé apìtí U 12. Jeho velikost potom urèíme jako rozdíl apìtí U 1 a U 2 : U 12 U 1 U 2 ikoliv aopak..2.2 Výpoèet metodou Kirchhoffových rovic Kirchhoffovy zákoy jsou obsažey ve vztazích (.2.1) a (.2.2). Urèeí poètu Kirchhoffových rovic Ozaème: poèet uzlù ve schématu u; poèet vìtví v. Poèet ezávislých rovic p pro proudy ve vìtvích urèíme pomocí vztahu: S X - (I. Kirchhoffùv záko I. KZ) (.2.3) Poèet ezávislých smyèek s bude: V Y - S (II. Kirchhoffùv záko II. KZ) (.2.4) Obr..2.3 Zapojeí obvodu pro pøíklad výpoètu 12 J. OLEÈEK: ZÁKLAY ELEKTRONIKY 1. ÍL A

Postup výpoètu si vysvìtlíme a pøíkladu Uvažujme zapojeí obvodu podle obr..2.4. Jsou zámy parametry apájecích zdrojù i parametry všech dvojpólù zapojeých do obvodu. Jako vztažý uzel uvažujme uzel 4. Poèet uzlù: u 4 Poèet všech vìtví v 6. Poèet ezávislých rovic pro I. KZ: p u 1 4 1 3. Obr..2.4 Topologické schéma pro pøíklad Poèet ezávislých rovic pro II. KZ: výpoètu s v p 6 3 3. V dalším textu budeme ozaèovat proudy tekoucí ve z uzlu s kladým zamékem. Rovice pro I. Kirchhoffùv záko (I. KZ) podle uvedeého schématu: uzel 1: I 6 + I 1 + I + I 02 0 uzel 2: I 1 + I 2 + I 3 0 uzel 3: I 4 I 2 + I 6 0 Rovice pro II. Kirchhoffùv záko (II. KZ): smyèka {123} U 01 + I 1. R 1 + I 2. R 2 0 smyèka {324} I 2. R 2 + I 3. R 3 + I 4. R 4 0 smyèka {142} I. R I 3. R 3 I 1. R 1 0 Tím jsme dostali soustavu 6 ezávislých rovic s šesti ezámými velièiami I 1 až I 6. Jedotlivé proudy a apìtí dostaeme jejich øešeím. Pøíklad: Vypoèítejte jak velký proud prochází v zapojeí podle obr..2. jedotlivými odpory. Urèete apìtí a rezistoru R 3. Hodoty odporù a apìtí apájecích zdrojù jsou ásledující: R 1 W R 2 2 W R 3 4 W; U 01 4 V U 02 2 V. Poèet uzlù: u 2; poèet vìtví: v 3. Poèet rovic pro I. KZ: p u 1 1 poèet rovic pro II. KZ: s v p 2. Obr..2. Zapojeí obvodu k pøíkladu A J. OLEÈEK: ZÁKLAY ELEKTRONIKY 1. ÍL 129

Uzel 2 zvolme jako refereèí. Rovice pro I. KZ v uzlu 1: I 2 + I 3 + I 2 0 Rovice pro II. KZ horí smyèka R 1. I U 02 R 3. I 3 0 po dosazeí:. I 1 2 4. I 3 0 dolí smyèka R 2. I 2 + R 3. I 3 U 01 0. 2. I 2 + 4. I 3 4 0. Postupým øešeím dostaeme: ± ± ± ± ± E ± - F ± ± ± ± ± G ± ± Ã ± Ã H ± ± ± ± J - - $ K $ I $ 1S WtQRGSRUX EXGH 9 Z pøíkladu je zøejmé že výpoèet pomocí Kirchhoffových rovic je pomìrì složitý. Zjedodušeí dosáheme použijeme-li zjedodušeé metody øešeí mezi které patøí metoda smyèkových proudù a metoda uzlových apìtí..2.3 Metoda smyèkových proudù Metoda smyèkových proudù vychází z metody Kirchhoffových rovic. Spoèívá v tom že: v obvodu zvolíme s v p ezávislých smyèek proudu a poèítáme podle II. Kirchhoffova zákou. Proto jsou pøi této metodì používáy zdroje apìtí. Je-li v zapojeí zdroj proudu je vhodé jej pøepoèítat døíve uvedeým zpùsobem a ekvivaletí zdroj apìtí. Metodu si vysvìtlíme a pøíkladu Metoda spoèívá v tom že vytvoøíme ezávislé smyèky jejichž poèet urèíme ze vztahu (.2.4). V ich zvolíme smyèkové proudy které v každé smyèce ozaèíme libovolì. Musíme sestavit tolik rovic kolik je smyèek. V pøíkladu a obr..2.6 jsou dva uzly a tøi vìtve. Poèet ezávislých rovic pro II. KZ bude: s v p s (u 1) 3 1 2. 130 J. OLEÈEK: ZÁKLAY ELEKTRONIKY 1. ÍL A

V uvedeém obvodu mùžeme sestrojit dvì ezávislé smyèky. Zøejmì bychom mohli sestrojit ještì tøetí smyèku ale ta by ebyla ezávislá. Postup sestaveí rovic: Prví smyèka apìtí ve smyèce se musejí rovat ule. Rovici sestavíme tak že jdeme ve smìru šipky a sèítáme apìtí od proudù a jedotlivých rezistorech: Rovice pro prví smyèku: I 1. R 1 + R 3. I 1 + R 3. I 2 U 02 Po úpravì: I 1. (R 1 + R 3 ) + R 3. I 2 U 02. Rovici pro druhou smyèku apíšeme pøímo v koeèé podobì: I 1. R 3 + I 2 (R 2 + R 3 ) U 01. Uvedeé rovice mùžeme velmi sado zapsat v maticovém tvaru: ± Obr..2.6 Pøíklad obvodu se smyèkovými proudy Použití výpoèetí techiky umožòuje efektiví øešeí úloh pomocí maticového poètu. Sestaveí odporové matice pro metodu smyèkových proudù (viz matici ad tímto øádkem) I. Odporová matice a) Nakreslíme matici která má tolik sloupcù i øádkù kolik je ezávislých smyèek; Q Q Q Q Q Q Q Q QQ b) 1. smyèka vyplòujeme buòky v prvím øádku matice prvek matice R 11 : prvek který zapisujeme do 1. sloupce 1. øádku zapíšeme jako souèet všech odporù ve smyèce 1; prvek matice R 12 : zjistíme odpory spoleèé pro smyèky 1 a 2 v závislosti a tom zda šipky proudù I 1 a I 2 jsou souhlasé èi ikoliv zapíšeme rezistory spoleèé obìma smyèkám se zamékem + ebo do buòky 1. øádku a 2. sloupce. A J. OLEÈEK: ZÁKLAY ELEKTRONIKY 1. ÍL 131

prvek matice R 13 : zjistíme odpory spoleèé pro smyèky 1 a 3 v závislosti a tom zda šipky proudù I 1 a I 3 jsou souhlasé èi ikoliv zapíšeme rezistory spoleèé obìma smyèkám se zamékem + ebo do buòky 1. øádku a 3. sloupce. prvek matice R 1 : zjistíme odpory spoleèé pro smyèky 1 a v závislosti a tom zda šipky proudù I 1 a I jsou souhlasé èi ikoliv zapíšeme rezistory spoleèé obìma smyèkám se zamékem + ebo do buòky 1. øádku a. sloupce. c) 2. smyèka vyplòujeme buòky ve druhém øádku matice: prvek matice R 22 : prvek který zapisujeme do 2. øádku 2. sloupce zapíšeme souèet všech odporù ve smyèce 2; prvek matice R 21 : zjistíme odpory spoleèé pro smyèky 1 a 2 v závislosti a tom zda šipky proudù I 1 a I 2 jsou souhlasé èi ikoliv zapíšeme rezistory spoleèé obìma smyèkám se zamékem + ebo do buòky 2. øádku a 1. sloupce. prvek matice R 23 : zjistíme odpory spoleèé pro smyèky 2 a 3 v závislosti a tom zda šipky proudù I 2 a I 3 jsou souhlasé èi ikoliv zapíšeme rezistory spoleèé obìma smyèkám se zamékem + ebo do buòky 2. øádku a 1. sloupce. prvek matice R 2 : zjistíme odpory spoleèé pro smyèky 2 a v závislosti a tom zda šipky proudù I 2 a I jsou souhlasé èi ikoliv zapíšeme rezistory spoleèé obìma smyèkám se zamékem + ebo do buòky 2. øádku a. sloupce. d) -tá smyèka vyplòujeme buòky v -tém øádku matice: prvek matice R : prvek který zapisujeme do -tého øádku -tého sloupce zapíšeme souèet všech odporù ve smyèce ; prvek matice R 1 : zjistíme odpory spoleèé pro smyèky 1 a v závislosti a tom zda šipky proudù I 1 a I jsou souhlasé èi ikoliv zapíšeme rezistory spoleèé obìma smyèkám se zamékem + ebo do buòky. øádku a 1. sloupce. prvek matice R 2 : zjistíme odpory spoleèé pro smyèky a 2 v závislosti a tom zda šipky proudù I a I 2 jsou souhlasé èi ikoliv zapíšeme rezistory spoleèé obìma smyèkám se zamékem + ebo do buòky. øádku a sloupce. prvek matice R m : zjistíme odpory spoleèé pro smyèky a m v závislosti a tom zda šipky proudù I a I m jsou souhlasé èi ikoliv zapíšeme rezistory spoleèé obìma smyèkám se zamékem + ebo do buòky øádku a m-tého sloupce. prvek matice R ; 1 : zjistíme odpory spoleèé pro smyèky a -1 v závislosti a tom zda šipky proudù I a I 1 jsou souhlasé èi ikoliv zapíšeme rezistory spoleèé obìma smyèkám se zamékem + ebo do buòky øádku a (-1) sloupce. 132 J. OLEÈEK: ZÁKLAY ELEKTRONIKY 1. ÍL A

II. Sloupcová matice zdrojù apìtí Sloupcová matice má stejý poèet øádkù jako odporová matice. Poèet øádkù odpovídá poètu ezávislých smyèek proudù. o jedotlivých políèek sloupcové matice zapíšeme všecha apìtí zdrojù U 0x pùsobících v odpovídající smyèce. Jestliže má apì ová šipka smìr opaèý ež šipka proudová bude pøíslušé apìtí se zamékem + v opaèém pøípadu bude mít zaméko. III. Sloupcová matice proudù Sloupcová matice má takový poèet øádkù kolik je ezávislých smyèek proudù. o jedotlivých políèek zapisujeme ozaèeí proudù I 1 až I kde je poèet ezávislých smyèek. Pøíklad a sestaveí matice metodou smyèkových proudù Výchozí obvod který máme øešit obsahuje zdroj proudu (obr..2.7). Pøed zahájeím výpoètu je výhodé teto zdroj proudu ahradit zdrojem apìtí jak je to zázorìo a obr..2.. Schéma obsahuje 4 uzly. Obr..2.7 Pøíklad k metodì smyèkových proudù Obr..2. Upraveý obvod podle obr..2.7 Poèet ezávislých smyèek: s v p v ( 1) 6 4 + 1 3 kdev je poèet všech vìtví 6; je poèet uzlù ve schématu. Pøi výpoètu použijeme smyèky podle obr..2.. Sestaveí rovic pro 3 smyèky: Smyèka 1: R. (I 1 I 3 ) + R 3. (I 1 I 2 ) + R 2. I 1 U 03 U 02 0 Smyèka 2: R 6. (I 2 I 3 ) + R 4. I 2 + R 3. (I 2 I 1 ) + U 03 + U 04 0 Smyèka 3: R 1. I 3 + R 6. (I 3 I 2 ) + R. (I 3 I 1 ) + U 01 0. Upravíme-li rovice podle idexù proudù dostaeme: Smyèka 1: (R + R 3 + R 2 ). I 1 R 3. I 2 R. I 3 U 02 + U 03 Smyèka 2: R 3. I 1 + (R 6 + R 4 + R 3 ). I 2 R 6. I 3 U 03 U 04 Smyèka 3: R. I 1 R 6. I 2 + (R 1 + R 6 + R ). I 3 U 01 A J. OLEÈEK: ZÁKLAY ELEKTRONIKY 1. ÍL 133

Tyto rovice mùžeme pøepsat do maticového tvaru: ± ± ± ± ± ± ± 2 ± ± Matici jsme mohli vyplit také podle výše uvedeého popisu: do buòky 11 jsme zapsali souèet všech odporù ve smyèce 1; do buòky 12 jsme zapsali odpor spoleèý pro smyèky 1 a 2 proudy mají opaèý smìr proto se záporým zamékem; do buòky 13 jsme zapsali odpor spoleèý pro smyèky 1 a 3 proudy mají opaèý smìr proto se záporým zamékem; do buòky 22 jsme zapsali souèet všech odporù ve smyèce 2; do buòky 21 jsme zapsali odpor spoleèý pro smyèky 2 a 1 proudy mají opaèý smìr proto se záporým zamékem; atd..2.3.1 Výpoèet smyèkových proudù pomocí odporových matic Èasto používaou metodou pro øešeí systému rovic je tzv. Cramerovo pravidlo. Zùstaeme-li u pøíkladu k obr..2. vypoèítáme: smyèkový proud I 1 pomocí vztahu ; (.2.a) smyèkový proud I 2 pomocí vztahu ; (.2.b) smyèkový proud I 3 pomocí vztahu (.2.c) Pro obvod o smyèkách vypoèítáme smyèkový proud I k (k 1 2 3 ): kde k N N (.2.) je determiat odporové matice; je determiat matice která vzike z odporové matice zámìou k-tého sloupce matice sloupcovou maticí zdrojù apìtí. 134 J. OLEÈEK: ZÁKLAY ELEKTRONIKY 1. ÍL A