P. Girg. 23. listopadu 2012

Transkript

1 Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt platí Potom platí ásledující tvrzeí. a a, b b.. Posloupost {c } {a } + {b } je také kovergetí a má itu c a + b. 2. Posloupost {d } {a } {b } je také kovergetí a má itu d a b.. Posloupost {x } {a } {b } je také kovergetí a má itu x a b. 4. Za dodatečého předpokladu N: b 0 a b 0 je také posloupost {y } {a } /{b } kovergetí a má itu y a/b. Abychom mohli předchozí větu použít, je třeba zát hodotu ěkterých it. Věta.2 Zámé ity.) Necht α, q a k jsou reálá čísla, potom poslouposti { k { k α } q, { k q } jsou kovergetí a platí ásledující tvrzeí α > 0 α }, k α 0, ) q > k α 0, q 2) k α q 0. )

2 Příklad. Vypočtěte ity., /0), , ad. Limita 0. je zámá ita z Věty.2 typu ), kde k, α 2 > 0. Tudíž ad 2. Limita 4 00 /0) je zámá ita z Věty.2 typu 2), kde k 4, α 00 a q /0 >. Tudíž 4 00 /0) ad. Limita je zámá ita z Věty.2 typu ), kde k 42, α 0 a q 00. Tudíž ad 4. Limita 000 je zámá ita z Věty.2 typu ), kde k, α 000 a q. Tudíž Věta.4 Další zámé ity.) Poslouposti { }, { } a { + ) } jsou kovergetí a platí, 4) 0, 5) + ) e ) Nyí si ukážeme, jak ze zámých it z Vět.2 a.4 lze pomocí Věty. o algebře it počítat složitější ity. Příklad.5 Vypočtěte itu

3 Nejprve vytkeme ejrychleji rostoucí čle z čitatele i jmeovatele ) Poslouposti { 5 }, { } a { 7 } jsou zámého typu podle Věty.2 a jsou tedy kovergetí. Podle ) platí rovosti 5 0, 0 a Z těchto rovostí dostaeme podle Věty. o algebře it kovergetích posloupostí) tuto rovost Tudíž kombiací předchozí rovice a 7) dostaeme. což jsme měli vypočítat , Příklad.6 Vypočtěte itu Nejprve vytkeme ejrychleji rostoucí čle z čitatele i jmeovatele ) 4 Abychom mohli použít Větu., musíme ukázat, že poslouposti { 5 } 4, { } 4 a { } 4 jsou kovergetí a vypočítat jejich ity.. Posloupost { 5 } 4 je zámého typu k 5, α, q 4) podle Věty.2, je 5 kovergetí a podle 2) je Posloupost { } 4 je zámého typu k, α 0, q 4) podle Věty.2, je kovergetí a podle 2) je Posloupost { } 4 { 4 } 4 je zámého typu k 4, α 0, q 4) podle Věty 4.2, je kovergetí a podle 2) je

4 Z předchozích rovostí dostaeme podle Věty. o algebře it kovergetích posloupostí) tuto rovost Tudíž kombiací předchozí rovice a 8) dostaeme což jsme měli vypočítat , Příklad.7 Vypočtěte itu 2. Protože podle Věty.4 je platí předposledí rovost v ásledujících úpravách ostatí úpravy jsou základí algebraické úpravy): 2 ) ) Příklad.8 Vypočtěte itu ) Protože podle Věty.2 je 0 a podle Věty.4 je + ) e, platí podle Věty. uvedeé rovosti v ásledujících úpravách kromě prvích dvou úprav, které jsou základí algebraické úpravy): ) 2 + ) ) + + ) ) + ) [ + ) ] [ + ) ] [ + )] [ + ) ] [ + ) ] [ )] + e e e 2. 4

5 Příklad.9 Řešitelý pouze odmociovým trikem!) Vypočtěte itu ) +. Čle + i čle roste ade všechy meze. Ai jeda z posloupostí { + }, { } eí kovergetí a elze přímo použít Větu. o algebře it. Naštěstí lze provést ásledující trik zvaý odmociový trik) založeý a rovosti a + b)a b) a 2 b 2 : + ) ) ) + ) ) Protože N: + >, je také N: + > a tedy Dále N: ) N: + > 0. 0) + + < Kombiací rovostí 9), 0) a ) dostaeme + 2 /2. ) /2 N: 0 < + < /2. 2) /2 Podle Věty.2, rovost ) k /2 a α /2 > 0), je / /2 Z této ity, erovosti 2) a Věty o sevřeí viz předáška) dostaeme, že což jsme měli vypočítat. ) + 0, Věta.0 O součiu omezeé poslouposti a poslouposti kovergetí k ule) Necht {a } je omezeá posloupost a {b } je kovergetí posloupost reálých čísel a echt platí b 0. Potom posloupost {c } {a } {b } je také kovergetí a má itu Příklad. Vypočtěte itu c 0. si. 5

6 O poslouposti {si } evíme ic kromě toho, že je omezeá, ebot N: si. O poslouposti { } víme, že koverguje k 0. Tudíž podle Věty.0 platí, že si 0. 6