Cvičení 1. Úvod do teoretické informatiky(2014/2015) cvičení 1 1

Podobné dokumenty
Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Teorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky.

Pro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.

MIDTERM D. Příjmení a jméno:

Základy teorie množin

Relace. R, S vyjmenovaním prvků. Sestrojte grafy relací R, S. Určete relace

Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy

Přijímací zkouška - matematika

Aritmetika s didaktikou I.

Matematická analýza 1

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

Princip rozšíření a operace s fuzzy čísly

PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů

Kapitola 1. Relace. podle definice podmnožinou každé množiny. 1 Neříkáme už ale, co to je objekt. V tom právě spočívá intuitivnost našeho přístupu.

Množina je nejdůležitější matematický pojem, na kterém stojí veškeré další matematické pojmy.

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2016

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2017

ZÁKLADY ARITMETIKY A ALGEBRY I

Množiny, relácie, zobrazenia

Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Regulární pologrupy. Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy

Jednoznačné a nejednoznačné gramatiky

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Algebra Struktury s jednou operací

Automaty a gramatiky(bi-aag) Motivace. 1. Základní pojmy. 2 domácí úkoly po 6 bodech 3 testy za bodů celkem 40 bodů

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie

RELACE, OPERACE. Relace

Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce

3. Algebraické systémy

Ekvivalence. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 5

Algebra 2 KMI/ALG2. Zpracováno podle přednášek prof. Jiřího Rachůnka a podle přednášek prof. Ivana Chajdy. slidy k přednáškám

Svazy. Jan Paseka. Masarykova univerzita Brno. Svazy p.1/37

Formální jazyky a gramatiky Teorie programovacích jazyků

3 Množiny, Relace a Funkce

B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík

Teoretická informatika - Úkol č.1

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Algebra I Cvičení. 4) Množina všech matic s nulou v levém dolním rohu a s jedničkami na diagonále.

Úlohy k procvičování textu o svazech

Obsah. Množiny (opakování) Relace a zobrazení (opakování) Relace Binární relace na množině Zobrazení Rozklady, ekvivalence Uspořádání

Pojem relace patří mezi pojmy, které prostupují všemi částmi matematiky.

NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016

Úvod do teoretické informatiky(2017/2018) cvičení 6 1

Teorie množin. pro fajnšmekry - TeMno. Lenka Macálková BR Solutions Orličky. Lenka (Brkos 2010) TeMno

Návody k domácí části I. kola kategorie C

1. Pologrupy, monoidy a grupy

Množiny, základní číselné množiny, množinové operace

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 2.

I) Příklady (převeďte následující věty do formulí PL1 a ověřte jejich ekvivalenci pomocí de Morganových zákonů):

6.1.2 Operace s komplexními čísly

Matematická logika. Miroslav Kolařík

Lineární algebra Eva Ondráčková

B A B A B A B A A B A B B

Kongruence na množině celých čísel

Booleova algebra Luboš Štěpánek

ÚVOD DO ARITMETIKY. Michal Botur

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Lineární algebra : Lineární prostor

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině

Bezkontextové jazyky 2/3. Bezkontextové jazyky 2 p.1/27

Turingovy stroje. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík. Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008.

Fuzzy množiny, Fuzzy inference system. Libor Žák

1 Soustavy lineárních rovnic

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:

Matematika IV - 7. přednáška Uspořádané množiny, svazy a Booleovy algebry

Cvičení z Lineární algebry 1

Relace a kongruence modulo

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

M M. Je-li ρ M 2 relace, pak vztah (x, y) ρ zapisujeme x ρ y.

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno

Výroková a predikátová logika - VI

Formální systém výrokové logiky

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α

Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony.

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

VYBRANÉ KAPITOLY Z ALGEBRY. Jaroslav Beránek

Definice 4.1 Nechť (X, ) je svaz s nejmenším prvkem 0 a největším prvkem 1. Komplement prvku x X je každý prvek y, pro který platí. x y = 1, x y = 0.

Paradoxy nekonečna. Co analyzuje Matematická analýza? Nekonečné procesy. n(n + 1) + = n 2 + = π2 6

1. Množiny, zobrazení, relace

Úvod do lineární algebry

Marie Duží

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA I

4 Pojem grafu, ve zkratce

Syntetická geometrie I

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

Matematika IV - 7. přednáška Uspořádané množiny, svazy a Booleovy algebry

Formální jazyky. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32

0. Množiny, relace a zobrazení

Transkript:

Úvod do teoretické informatiky(2014/2015) cvičení 1 1 Cvičení 1 Příklad 1: Pro každý z následujících formálních zápisů množin uveďte(svými slovy), jaké prvky daná množina obsahuje: a) {1,3,5,7,...} b) {..., 4, 2,0,2,4,...} c) {n n = 2mpronějaké m N} d) {n n = 2mpronějaké m Nan = 3kpronějaké k N} e) {n Z n = n+1} a) Lichá přirozená čísla b)sudáceláčísla c) Přirozená čísla dělitelná dvěmi beze zbytku d) Přirozená čísla dělitelná šesti beze zbytku e) Žádné, jedná se o prázdnou množinu Příklad 2: Popište vhodným formálním zápisem následující množiny: a) Množinaobsahujícíčísla 1, 10a100. b) Množina obsahující všechna celá čísla větší než 5. c) Množina obsahující všechna přirozená čísla menší než 5. d) Množina neobsahující žádné prvky. e) Množina všech podmnožin dané množiny X. a) {1,10,100}. b) {n Z n > 5}. c) {n N n < 5}nebo {0,1,2,3,4}. d) e) {Y Y X} Příklad3: Uvažujmemnožiny A = {x,y,z}ab = {x,y}. a) Je A B? b)je A B? c) Coje A B? d)coje A B? e) Coje A B? f)coje P(B)?

2 Úvod do teoretické informatiky(2014/2015) cvičení 1 a) Ne b)ano c) A d) B e) {(x,x),(x,y),(y,x),(y,y),(z,x),(z,y)} f) {,{x},{y},{x,y}} Příklad 4: Rozhodněte, zda platí: a) a {{a},{a,{a}}} ne b) {a,{a}} P({a,{a}}) = ne c) { } {{ }} ano Příklad 5: Určete všechny prvky následujících množin: a) {a,{a}} {a,{b},c} a,{a},{b},c b) {a,{a}} {a,{b},c} a c) {a,{a}} {a,{b},c} {a} Příklad 6: Jestližemnožina Amá aprvkůamnožina Bmá bprvků,kolikprvkůmá množina A B? Vaši odpověď vysvětlete. a b Příklad7: Jestližemnožina Cmá cprvků,kolikprvkůmámnožina P(C)?Vašiodpověď vysvětlete. 2 c Příklad8: Připomeňtesi,cojetorelace,ajakéznátetypyrelací(homogennívs.nehomogenní, unární, binární, atd.).

Úvod do teoretické informatiky(2014/2015) cvičení 1 3 a) Přesně definujte, co to znamená, že relace je reflexivní, ireflexivní, symetrická, asymetrická, antisymetrická, tranzitivní, funkční. b) Uvědomte si souvislost mezi binárními relacemi a orientovanými grafy(které mohou být i nekonečné) a popište, co jednotlivé vlastnosti uvedené v předchozím bodě znamenají z hlediska grafu reprezentujícího příslušnou relaci. c) Připomeňte si, co to znamená, že relace je ekvivalence. Jak pojem ekvivalence souvisí s pojmem rozkladu? Příklad 9: Uveďte příklad binární relace, která je: a) Reflexivní a symetrická, ale není tranzitivní. Například následující relace na množině R: {(x,y) R R x y 1} Nebo následující relace na množině {a, b, c}: {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,a), (b,c), (c,b)} b) Reflexivní a tranzitivní, ale není symetrická. Například relace na množině N nebo relace {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (a,c), (b,c)} namnožině {a,b,c}. c) Symetrická a tranzitivní, ale není reflexivní. Například relace {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,a), (b,c), (c,b), (a,c), (c,a)} na množině {a, b, c, d} nebo prázdná relace nad jakoukoliv neprázdnou množinou. Příklad 10: Připomeňte si, co to znamená, že relace je uspořádání. Jaké znáte typy uspořádání? Uveďte příklad uspořádání na množině přirozených čísel, které není úplným uspořádáním. Například relace dělitelnosti na přirozených číslech. Příklad11: Nechť X = {1,2,3,4,5}aY= {6,7,8,9,10}.Unárnífunkce f : X Yabinární funkce g : X Y Yjsoupopsánynásledujícímitabulkami: n f(n) 1 6 2 7 3 6 4 7 5 6 g 6 7 8 9 10 1 10 10 10 10 10 2 7 8 9 10 6 3 7 7 8 8 9 4 9 8 7 6 10 5 6 6 6 6 6

4 Úvod do teoretické informatiky(2014/2015) cvičení 1 a) Jakájehodnota f(2)? b)codefiničnímoboremaoboremhodnotfunkce f? c) Jakájehodnota g(2,10)? d)codefiničnímoboremaoboremhodnotfunkce g? e) Jakájehodnota g(4,f(4))? a) 7 b)definičníoborje {1,2,3,4,5},oborhodnotje {6,7}. c) 6 d) {(x,y) x X,y Y} e) 8 Příklad 12: Připomeňte si, co to znamená, že funkce je injektivní(prostá), surjektivní (na) a bijektivní. Je funkce f(x) = x + 1 injektivní, surjektivní a/nebo bijektivní na množině přirozených čísel N? A na množině celých čísel Z? Na množině Z je funkce f injektivní, surjektivní i bijektivní, na množině N je injektivní,alenenísurjektivníanibijektivní(prožádné x Nnení f(x) = 0). Příklad13: Připomeňtesipojembinárníoperacenamnožiněacotoznamená,žedaná operace je asociativní, a co to znamená, že je komutativní. Uveďte příklad operace, která: a) je asociativní, ale není komutativní, b) je komutativní, ale není asociativní. c) není asociativní ani komutativní. Příklad 14: Uvažujmeasociativníoperaci namnožině S.Ukažte,žehodnotavýrazu x 1 x 2 x n,kde x i S,jedobředefinovaná,neboťtatohodnotanezávisínakonkrétním uzávorkování. Uzávorkovanévýrazydefinujmenásledovně: x,kde x S,jeuzávorkovanývýraz,a(α 1 α 2 ), kde α 1 a α 2 jsouuzávorkovanévýrazy,jeuzávorkovanývýraz(ažádnédalšíuzávorkované výrazy neexistují). Velikost výrazu α, kterou označíme size(α), je definována tak, že size(x) = 1prox Sasize((α 1 α 2 )) = size(α 1 )+size(α 2 ).Hodnotuvýrazuαoznačmeval(α).Zápisem α = βbudemeoznačovat,že αaβjsouidentickévýrazy.zápis val(α) = val(β)znamená,že výrazy α a β nabývají stejných hodnot. Pro libovolné uzávorkované výrazy α, β, γ tedy platí ((α β) γ) (α (β γ))a(val(α) val(β)) val(γ) = val(α) (val(β) val(γ))(protože jeasociativní).jetakéočividné,že val((α 1 α 2 )) = val(α 1 ) val(α 2 ). Řekněme, že α je uzávorkovaný výraz vzniklý nějakým libovolným doplněním závorek do výrazu x 1 x 2 x n.vdalšímtextubudemezápisem α k,kde 0 k n,označovatvýraz

Úvod do teoretické informatiky(2014/2015) cvičení 1 5 tvaru (( ((x 1 x 2 ) x 3 ) ) x k ) (x k+1 (x k+2 ( (x n 1 x n ) ))).Speciálnětedy α 1 = (x 1 (x 2 ( (x n 1 x n ) )))aα n 1 = (( ((x 1 x 2 ) x 3 ) ) x n ).Pozn.:Pro n = 1je α 1 = α 0 = x 1. Díkyasociativitěoperace zjevněplatí val(α k ) = val(α k+1 )prokaždé k,kde 1 k < n 1, takže val(α 1 ) = val(α 2 ) = = val(α n 1 ). Prodokázánítoho,ženauzávorkovánívýrazu αnezáleží,stačídokázat,že val(α) = val(α 1 ) = val(α n 1 ).Tosedálehcedokázatindukcípodle size(α).pokud size(α) = 1,tvrzenízjevně platí,protože α = x 1,cožjejedinémožnéuzávorkování.Předpokládejmetedy,že size(α) > 1, takže α = (β γ),pronějakéuzávorkovanévýrazy βaγtakové,že size(β) < size(α)a size(γ) < size(α). Podleindukčníhopředpokladuje val(β) = val(β k 1 ),kde k = size(β)aβ k 1 = (( ((x 1 x 2 ) x 3 ) ) x k ),aval(γ) = val(γ 1 ),kde γ 1 = (x k+1 (x k+2 ( (x n 1 x n ) ))),takže val(α) = val((β γ)) = val(β) val(γ) = val(β k 1 ) val(γ 1 ) = val((β k 1 γ 1 )) = val(α k ). Protože val(α) = val(α k )aval(α k ) = val(α 1 ) = val(α n 1 ),dostáváme val(α) = val(α 1 ) = val(α n 1 ),čímžjedůkazhotov.