Aplikace matematiky Václav Dležal O pužití distribucí v terii lineárních dynamických sustav Aplikace matematiky, Vl. 4 (1959), N. 6, 405--440 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/102682 Terms f use: Institute f Mathematics AS CR, 1959 Institute f Mathematics f the Academy f Sciences f the Czech Republic prvides access t digitized dcuments strictly fr persnal use. Each cpy f any part f this dcument must cntain these Terms f use. This paper has been digitized, ptimized fr electrnic delivery and stamped with digital signature within the prject DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library http://dml.cz
SVAZEK 4 (1959) APLIKACE MATEMATIKY ČÍSLO 6 ČLÁNKY O POUŽITÍ DISTRIBUCÍ V TEORII LINEÁRNÍCH SOUSTAV DYNAMICKÝCH VÁCLAV DOLEŽAL (Dšl dne 28. října 1958.) DT: 517,948.34: 531.3 První část článku je věnvána některým základním skutečnstem terie distribucí, zejména vlastnstem distribucí, které mají Laplaceův braz. Druhá část zabývá se systémem integrdiferenciálních rvnic s knstantními keficienty, jehž pravé strany jsu distribuce. (Takvým systémem je ppsána dynamika každé lineární fysikami sustavy se sustředěnými parametry.) Je definván distributivní řešení takvéh systému rvnic při dané pčáteční pdmínce, stanveny pdmínky existence a unicity a vyšetřeny některé jeh další vlastnsti. Je prveden zevrubné fysikami zhdncení dsažených výsledků a udán návd na knstrukci řešení v knkrétních případech. Pužití terie je ilustrván dvěma praktickými příklady. Tat práce navazuje na článek [I], který je věnván vyšetření vlastnstí systémů lineárních integrdiferenciálních rvnic, na které vede frmulace prblémů dynamiky lineárních fysikálních sustav se sustředěnými parametry. Systém, který byl v [1] uvažván, měl tvar r t 2 KvAÍO + /-tó(0 + Vik f B*(T) dr} + q t = f t (t), i = 1, 2,..., r, (1) k = 1 0 kde x ik, (í ik, y ik, q A značí reálné knstanty. Tam byly též definvány pjmy zbecněnéh a klasickéh řešení sustavy (1) v případě, kdy f { (t) byly libvlné lebesguevsky integrvatelné funkce, které nerstu příliš rychle. Mim t byly dvzeny pstačující pdmínky pr existenci a unicitu těcht řešení. Otázky, kterými se hdláme zabývat v tmt článku, bjasníme nejlépe na příkladě. Uvažujme nějaku lineární sustavu, na kteru půsbí nějaké síly fi(t), jejíž chvání je ppsán systémem (1). Stane-li se, že keficienty (1) nesplňují jistu pdmínku (tat byla v [1] značena P2 a je pstačující pdmínku pr existenci jedinéh zbecněnéh řešení), neumíme rzhdnut, jak vypa- 405
dá a zda vůbec existuje v systému funkcí řešení sustavy (1). Následující triviální případ,,systému" í fx(r) át = 1, t > 0, (2) (který ppisuje prud kndensátrem kapacitě 1, na který byl náhle připjen jedntkvé napětí) ukazuje, že neexistuje funkce x(t), která by splňvala (2), ačkli příklad má jistu fysikální realitu. Další tázka, kteru nedvedeme na základě [1] řešit, je tat: Dejme tmu, že třeba je splněna pdmínka P2, avšak vnější síly bsahují nějaké impulsy. Neznáme-li přesně tvar impulsů, ale jen jejich,,plchu", neb chceme-li si řešení zjedndušit, je pak mžn nějakým způsbem tyt impulsy charakter! - svat a přisudit (1) nějaké řešení, které by vystihval fysikální skutečnst? Jak znám, v technické literatuře se bvykle takvé impulsy vyjadřují,,diracvu funkcí", pmcí které se pak na základě matematicky neprávněných pchdů dspěje k jakémusi řešení. Zárveň se ukazuje, že ty představy, které máme impulsu, nelze pmcí Diracvy funkce zachvat, a že tedy nebude asi zbývat nic jinéh; než zavést nějaké becnější bytsti než jsu funkce, které by zat měly lepší vlastnsti. Pznamenejme, že pr fysikální prblém není pdstatné, jakými matematickými bjekty jej ppíšeme, nýbrž t, d jaké míry tyt bjekty vystihují skutečnst. Přirzeně budeme pžadvat, aby v případě, kdy fysikální veličiny je mžn ppsat pmcí funkcí, byl mžn becnější bjekty s těmit funkcemi zttžňvat. Jak uvidíme dále, budu t distribuce, které uvedené pžadavky splní a dvlí dpvědět na bě právě diskutvané tázky dynamiky fysikální sustavy. Pznamenejme zárveň, že tímt způsbem dsáhneme pdstatnéh zbecnění výsledků z [1] a mim t se celá terie systému (1) zjednduší a stane se velmi průzračnu. Dále dspějeme k jistému becnému frmalismu v pužití Laplacevy transfrmace, který je užitečnu pmůcku při řešení knkrétních prblémů. Je přirzené, že k tmut cíli budeme ptřebvat některých výsledků terie distribucí; ježt nechceme tyt znalsti u čtenáře předpkládat a zatěžvat jej sháněním různých vět v příslušné (a někdy svými nárky dsti nepřístupné) literatuře, uvedeme na začátku první části článku elementárním způsbem nejzákladnější fakta tét terie. (K. hlubšímu studiu psluží [2] a [3].) Zat všimneme si zde blíže některých speciálních pjmů, jak laplacevských distribucí, brazu, knvluce apd., nebt je budeme ptřebvat ve druhé části k řešení vlastníh prblému. (Tyt pjmy, zavedené jinu cestu a pr speciálnější případy nalezne čtenář v [4].) Tím čtenář zárveň získá znalsti, kterých bude mci pužít i pr řešení jiných tázek než dynamiky sustav. 400 *
Ve druhé části článku budeme se pak zabývat systémem (I) ze stanviska terie distribucí. Zárveň ukážeme na suvislst tht pjetí s pjmy práce.[1], na fysikální význam výsledků a knečně na některé závěry, vyplývající z terie pr praktické pužití. ČÁST I. Přistupme tedy ke stručnému výkladu základů terie distribucí. Distribuce zavedeme jak jisté lineární a spjité funkcinály. Jak znám, funkcinálem se nazývá předpis, kterým je každé funkci z nějakéh systému K přiřazen právě jedn čísl. Funkcinály budeme značvat latinskými písmeny /, g, h,... Symbl (/, <p) bude značit hdntu funkcinálu / pr argument" rvný cp, tj. čísl, přiřazené funkci cp. Systém funkcí K, na kterém budeme distribuce definvat, nedhť je tvřen všemi reálnými funkcemi <p(t), definvanými na (, ), které mají tyt vlastnsti: 1. <p(t) mají v (, ) všechny derivace; 2. každá funkce <p(t) je rvna nule vně některéh knečnéh intervalu, (který becně závisí na <p(t))., Přitm zavedeme tut terminlgii. Řekneme, že pslupnst cp k (t) e K, Je = 1, 2, 3,... knverguje k nule v prstru K (cž značíme <p k (t) -> 0), existuje-li knečný interval (t v t 2 } tak, že cp k (t) 0 vně (t v t 2 } pr všechna k y přičemž <p k (t) -> 0, y k n \t) -> 0 stejnměrně na (t v ř 2 > pr všechna n. Příkladem takvé funkce z K je <p aj (t) = exp I - -~~ - \ pr t e (a, 0), a < 0, = 0 vně (a, /?). (3) Všimněme si na tmt místě, že platí tt zřejmé tvrzení: Nechť <p x (t), <p 2 (t) e e K, a(t) je libvlná reálná funkce, mající v ( c, ) všechny derivace. Jsu-Ii a x, a 2 reálná čísla, n přirzené čísl a x > 0, pak platí a(t) cp x (t) e K, a x c Px (t) -f a 2 cp 2 (t) e K, qj[ n) (t) e K, \<p x (t)f e K. Je tedy systém K pměrně hdně bhatý". Distribuce zavedeme nyní takt: Řekneme, že funkcinál / je distribuce, jeli / definván na K a splňuje-li tyt pdmínky: 1. pr libvlná reálná čísla a x, a 2 a funkce <Pi(t), ^(O e K je (linearita funkcinálu); (/, a x <p x + a 2 cp 2 ) = a x (f, <p x ) + *a(/» <P») ( 4 ) 2. pr libvlnu pslupnst q, k (t) -> 0 v K knverguje pslupnst čísel (/> <Pk) ~~ y 0 (spjitst funkcinálu). 407-
Přitm pd rvnstí distribucí / = g budeme rzumět, že (/, <p) ~ (g, <p) pr všechny <p(ť) e K. (Upzrněme, že v symblu (/, 93) bude zásadně první písmen značvat funkcinál, druhé funkci zk.) Uveďme si přiklad distribuce! Plžíme-li (g,<p) = /(0) + 2gp(l) /rv(r)dt, q je tímt předpisem zřejmě definvána distribuce. (Lehk zjistíme, že (g, <p) splňuje pdmínky 1. a 2. Ukažme nyní, kterak je mžn lkálně integrvatelnu funkci f(t) vyjádřit jak distribuci. 1 ) Klademe-li 1 (t,9)= S f(r) <p(t) dr, (5) 00 lehk vidíme, že (/, <p) splňuje pdmínky 1., 2. a je tedy distribucí 2 ). Mžn tedy předpisem (5) pjímat každu lkálně integrvatelnu funkci jak distribuci. Každu distribuci, kteru lze vyjádřit pmcí (5), nazveme regulární. Není-li takvé vyjádření mžné, budeme ji nazývat singulární (uvidíme za kamžik, že takvé distribuce existují). Pznamenejme, že vyjádření regulární distribuce integrálem (5) je jednznačné, tj. že různým funkcím f(t), g(t) dpvídají různé distribuce. Vskutku, jsu-li /, g regulární a je-li f g, znamená t, že (/, <p) (g, <p) = 0 pr každu <p(t) e K, tj, že 00 / [/(T) - g(t)l (pit) dt =. 00 Budemedi za <p(t) pstupně klást funkce [<p aj (t)f (pdle (3)), dstaneme, že lim f[f(r) - g(r)]. [<p aj (r)f dr = 0 ; (6) n +00 a 1 avšak [<p x fi(t)] n -> 1 na (a, /3), a t dknce mntónně. Mžn tedy v (6) přehdit f> přadí limitvání a integrace, čímž dstaneme J[f(r) g(r)] át = 0 pr všea chna OÍ < ft. Z th však vyplývá, že/(í) = g(t) skr všude, a jednznačnst je dkázána. x ) Funkci f(t) nazveme lkálně integrvatelnu, existuje-li Lebsgueův integrál t 2 / /(T) dr pr všechna" knečná t x, t 2. Pznamenejme, že jidstatnó je t, že existuje kh necný integrál z abslutní hdnty funkce f(t), nikli t, že jde Lebesgueův integrál. Čtenář, který terii Lebesgueva integrálu nezná, může si všude představvat integrál Riemannův. Lebesgueův integrál užíváme zde prt, že má lepší vlastnsti než Riemannův. ž ) Zde užíváme té licence v značení, že funkci,,f(t) il přiřazujeme funkcinál,,/". v 408
tu", tj. funkcinál (C, <p) = C -00 Distribuci S T, definvanu rvnicí Budeme-li v (5) speciálně klást f(t) =. C, dstaneme distributivní knstan f <p(r) dr. (<5 T, <P) = <p(t), (7) budeme nazývat Diracvu distribucí". Snadn lze dkázat, že S T je singulární distribuce, tj., že ji nelze vyjádřit ve tvaru (5). Pzději seznáme, v jakém vztahu je ó T k inženýrské představě neknečně krátkém impulsu plše 1." Jsu-li /, g distribuce, zavedeme jejich sučet / + g rvnicí (/ + g, <P) = (/, 9) + (fc <P) ( 8 ) Pdbně, je-li a čísl, pak násbkem af budeme rzumět distribuci («/, <p) = (/, wp). (9) Z (8) a (9) je ihned vidět, že definice mají smysl, tj. že funkcinály / -f- g, af splňují pdmínky 1., 2. Mim t je zřejmé, že platí / -f- g g -f- /, (a/?) / = = <x(pf) apd., tj. stejná pravidla jak pr funkce, a že v případě, kdy /, g jsu regulární, dpvídá distributivní sučet (násbek) byčejnému sučtu (násbku). Z th, c jsme dsud distribucích řekli, vyplývá, že nelze becně mluvit hdntě distribuce v daném bdě č 0 ", jak je tmu u byčejných funkcí. Je však už mžn dát přesný smysl výrku, že distribuce / je rvna nule v klí bdu t 0 ". Tím budeme rzumět, že existuje interval (t 0 e, t 0 -f- e) (klí bdu t 0 ) tak, že pr každu funkci <p(t) e K, která je rvna nule vně (t 0 s, t 0 -j- e), je (/, <p) 0. Odtud vyplývá, že tímt je dán smysl rčení distribuce / je rvna nule na tevřené mnžině M", cž značí, že / = 0 v klí každéh bdu t e M. Tak na příklad distribuce 6 T pdle definice (7) je rvna nule v klí každéh bdu t > T neb t < T, tj. ó T = 0 na (, T) u (T, c). Pmcí těcht pjmů můžeme pak definvat rvnst dvu distribucí /, g na nějaké tevřené mnžině M; řekneme, že / = g na M, jeli / g 0 na M. Uveďme si příklad! Je-li / = <5 0 + 3(3 3 e _ť cs 2t, pak zřejmě / je rvna regulární distribuci e -ť cs 2t na mnžině (, 0) U (0, 3) U (3, ). Všimněme si, jaký je praktický význam těcht pjmů! Przraďme napřed, že řešení x t rvnic (1) (cž bude distribuce), bude mžn v převážné většině případů psát ve tvaru x t = u t -f- v u kde v { je regulární distribuce, u t pak distribuce rvná nule na mnžině M tvaru M= U (*«,**«), ( 10 ) i= - h < h+i pr všechna k. T znamená, že x t ~ v t na M. Ústy fysika řečen, 409
dezvu Xi bude mžn na intervalech (t {, t i+l ) v bdech t { pak budu nějaké impulsy. zttžnit s byčejnu funkcí, Přistupme nyní k zaveílení limitníh přechdu pr distribuce. Řekneme, že pslupnst distribucí /, n = 1,2,... knverguje k distribuci / a značíme t symblem / -> /, jestliže pr každu <p(t) e K pslupnst čísel (fn,<p)~»(f,<p)- (12) Analgicky, závisí-li distribuce / A na parametru ),, ptm symbl f x -> / když X -> Á 0 značí, že pr každu qj(t) e K je (/ A, <p) -> (/, 99) když A -> Á 0. Z těcht definic je ihned zřejmé, že knvergentní pslupnst distribucí má právě jednu limitu. Dále z (12) vyplývá, že jsu-ii a v c 2 čísla a f n -> /, g n -> g, pak platí cj n + + ^2g«-> <*if + <* 2 - Stejným způsbem, jak se definuje sučet neknečné řady funkcí, je defi- 00 nván sučet neknečné řady distribucí. Řekneme, že řada ^ fi m & sučet s, n je-ii ^ fi -^ 5 P r n -^ c. i = l Všimněme si nyní th, jaká je suvislst mezi knvergencí distributivní a byčejnu (tj. nějaku knvergencí funkcí). Jsu-Ii f n (ť), f(t) lkálně integrvatelné funkce a pjímáme-li je jak distribuce, pak pdle (12) knvergence / -> / značí, že pr libvlnu <p(t) e K je T 00 00 j7«(t)<ř(t)dt-> ff( t )<p(t)dr. (13) - 00-00 znamená, že bude-ii pslupnst funkcí f n (t) knvergvat k funkci f(t) pdle některéh z dále uvedenéh knvergenčníh principu I. III., pak bude v distributivním smyslu / -> /. I- f n (t) -> f(t) stejnměrně v každém knečném intervalu (t l3 t 2 }. II. f n (t) -> f(t) skr všude, přičemž existuje lkálně integrvatelná funkce h(t) tak, že \f n (t)\ S. h(ť) pr všechna n a i. III. knvergence f n (t) -> f(t) je mntónní, přičemž f(t) je lkálně integrvatelná (srv. [5]). Uveďme si příklad! Uvažujme pslupnst funkcí h n (t) ~ n na (O, n t 0 všude jinde. Zřejmě h n (t) ~> 0 v každém bdě. V distributivním smyslu však je (h n, <p) = 1 n = nf<p(r) dr > <p(0)- (Stačí si ttiž uvědmit, že <p(t) je v bdě t = 0 spjitá 410
a pužít větu střední hdntě.) Platí tedy (h n, <p) -> (d 0, <p) pr každé <p(t) e K, tj- K-+ó Q. Obraťme nyní pzrnst k důležitému pjmu derivaci distribuce. Uvažme nejdříve případ, kdy nějaká spjitá funkce f(t) má skr všude lkálně integrvatelnu derivaci f'(t). Pr příslušný funkcinál (/', <p) pak platí: CO (/', 9) = / ť(r) cp(r) dt = [/(T) ^ T ) ] ^ - / /(T) ^'(T) dr = (/, - <p'). - c - c Bude tedy přirzené, becně definvat derivaci /' distribuce / rvnicí c (/,?)-(/,-?') (I 4 ) Ze (14) je lehk vidět, že funkcinál (/, <p') je lineární, a vezmeme-ii v úvahu ten fakt, že k pslupnsti <p k (t) -> 0 v K je též <p' k (t) -^OvK (srvnej s definici!), že (/, cp') je též spjitý. Je tedy definice (14) právněná, tj. (/, cp') je distribuce. Z th vyplývá, že platí: Věta 1. KaMá distribuce má derivace všech řádů. Pstupným pužitím rvnice (14) dstaneme becně (/< fc), 9) = (A(- 1)*^) (I 5 ) Všimněme si, že přím z definice derivace vyplývá, že pr libvlná čísla a x, a 2 a distribuce f 1} / 2 platí K/i + «a / a )' = ají + cc/ 2. (16) c Stane-li se, že / = O (distributivní knstanta), máme (C, 9?) = / C<P'(T). c. dt = 0. Dkažme, že t platí i bráceně: jeli /' = 0, pak / = C. Vskutku, nechť /' = 0, tj. (/', <p) = (/, <p') = 0 pr každé <p(t) e K. Tat rvnice značí, že funkcinál (/, ip) je rven nule pr všechny y>{t) e K, které jsu derivací nějaké funkce <p(t) e K. Zvlme pevně nějaku funkci <p x (t) e K, pr kteru je / <p x (r) dr = 1, a buď C = (f, <p x ). Je-li nyní <p(t) e K, mžn ji vyjádřit ve tvaru - 00 c <p(t) = <p x (ť) f <p(r) ár + <p'(t), kde ^(ř) e K. (Zřejmě tut rvnicí definvaná -c t c í funkce ^(í) e K; plžíme-li ttiž <p(t) = f <p(r) Ar ( / <p(r) ár) / ^(T) dt, - c - - c vidíme, že pr dstatečně velká \t\ je <p(t) = 0, takže skutečn <p(t) e K.) Pdle předpkladu linearitě funkcinálu (/, 9) tedy platí (/,?) = ( /v(t)dt).(/, Vl )+(/,í / ) s = C ' /r/'(t)dt, tj./ = O. -00 -«Pstupným pužitím právě dkázanéh tvrzení vyplývá, že je-li /(*) = 0, pak / je plynmem nejvýše k 1-h stupně. (Pzději tét věty pdstatně využijeme.) 411
Uveďme si nyní příklady! Pdle definice (7) je (d T, (p) = cp(t); pmcí (15) tedy platí (d ( T \ y) = (- l)v/c >(T). Uvažujme dále funkci (Heavisideův jedntkvý skk") H T (t) = 1 pr t > T, = 0 pr t < T. 00 Pr její distributivní derivaci H T nalezneme (H' T, (p) = (H T, <p') = f<p'( r ) T. dr = <p(t), takže platí H т = ð т. (17) Obг. 1. Tent výsledek můžeme snadn zbecnit na následující, pr aplikace velmi důležitý případ: necht funkce f(t) je v každém knečném intervalu spjitá vyjma knečný pčet bdů, kde má nespjitsti prvníh druhu (tj. v těcht bdech existují knečné limity zleva i zprava), a necht má všude vyjma tyt bdy derivaci (v bvyklém smyslu), která je lkálně integrvatelnu funkcí. Příklad takvé funkce je uveden na br. 1. Máme stanvit distributivní derivaci /'. Buďte tedy ^ bdy nespjitsti,... t~ 2 <. t^ < t 0 < ř x < t 2 <... a značme skky" Si lim/(í) lim/(ř). Zavedeme-li funkci h(t) předpisem h(t) = t->ti + t-^ti - c = 2 s t H t (t), ptm zřejmě funkce i 00 g(t) = f(t) - h(t) (18) bude všude spjitá, a bude mít skr všude lkálně integrvatelnu derivaci g'(t). T znamená, že distributivní derivace g' bude rvna g'(t). Distributivním derivváním rvnice (18) nalezneme g' = /' h', tj. /' = 9' + I «Д (19) 412
Platí tedy, že /' = g'(t) na mnžině \J (t i} t i+l ). i= -00 Všimněme si na tmt místě, že platí následující zřejmé tvrzení: Je-li distribuce / = C na M, pak /' = O na ill. Na příklad H T = 1 na (T, ) a tudíž H' T = d T = O na (T, ). Věnujme nyní něklik slv tázce sučinu distribucí. Řekněme rvnu, že sučin dvu neregulárních distribucí nelze becně definvat tak, aby měl,,rzumné" vlastnsti, ba dknce t není mžné ani pr sučin funkce a distribuce. T je všem jistá nevýhda. Má-li však funkce všechny derivace, pak je mžn sučin jednduše zavést. Je-li / distribuce, a(t) funkce, mající v ( c, ) derivace všech řádů, pak sučin af je distribuce, pr kteru je (af, <p) = (/, kp) (*) Z (*) je lehk vidět, že funkcinál (/, a<p) je lineární a spjitý. Pr t stačí si puze uvědmit, že je-li <p k (t) -> O v K, že též a(t) <p lc (t) -> O v K. Je tedy definice v přádku. Všimněme si pět, že je-li / regulární, pak distribuce af dpvídá byčejnému sučinu a(t) f(t). Jak příklad stanvme sučin ad T. Pdle (*) a (7) máme (ad T, <p) = (d T, a<p) = = a(t) <p(t), cž pdle (4) můžeme psát (ad T, <p) = a(t). (d T, <p), takže platí ad T = a(t) <5 T, Snadn lze dále dkázat, že platí tt tvrzení: Má-li a(t) všechny derivace a je-li / -> /, pak platí af n -> af. Vskutku, je-li f n -> /, značí t, že (/, <p) > (/, 9?) pr každu <p(t). Avšak pr každu <p(t) e K je též a(t) <p(t) e K a tedy platí též (/, acp) -> (/, a<p), tj. (af n, <p) -> (af, <p), čili af n -> af, c. b. d. c c Odtud vyplývá, že platí a^g { = 2 a í/íi=l i=l Pr derivaci sučinu distribuce a funkce, která má všechny derivace, lze dkázat stejné pravidl, jak pr byčejné funkce, tj. Vskutku, pdle (14), (*) a (4) lze pr (af)' psát: (af)' = a'f + af. (20) ((af)', <p) = (af, - <p') = (/, - acp') = (/, ď<p - (a<p)') = (/, a'<p) + + (/, - W) = («7, 9) + (/'» a( P) = = (a'f, <p) + (af, <p) = (a'f + af, <p), c. b. d. Na příklad (ad T )' = a'ó T + ad' T. Avšak aó T = a(t) d T a stejně ďó T = a'(t) Ó T, cž pmcí (16) dá dsazením ad T = a(t) 6 T - a'(t) d T. Na rzdíl d funkcí platí pr distribuce následující důležitá věta: 413
Věta 2. Je-li f n -> /, pale platí f n ->/'. Vskutku, je-li f n -> f, značí t, že (/, 99) -> (/, 9?) každu <p(í) p r e - cp'(t) K, je (/, - <p') ~> (/, - cp'), tj. /: -> /', c. b. d. K, a ježt Tak na příklad pslupnst funkcí f n (t) = - sin nt knverguje k nule stejnměrně na každém knečném intervalu. T znamená, že v distributivním smyslu je / > 0, a tedy pdle věty 2 platí f' n ~ cs nt -> 0, /* = n sin nt -> -> 0 atd., prest, že pslupnsti funkcí f n (t), /*( ) v byčejném smyslu vůbec neknvergují. c 00 Z věty 2 dále plyne, že kdj^ž s = 2tji, P a^ s' ~ 2 &*> TCl^n tedy knveri -1 i = 1 gentní řadu derivvat člen p členu. Uveďme si nyní příklad (jehž bsah je pr aplikace velmi důležitý) na užití věty 2! Uvažme pslupnst funkcí f n (t),n = 1, 2,... která má následující vlastnsti: a) ke každému N > 0 existuje čísl C N > 0 tak, že pr všechna a, b splňu"* 6 jící nervnsti \a\ < N, 6 < N je // (T) dr < C N pr všechna n; a t b) je-li F n (t) =- ff n (r) dj, knverguje F n (t) -> 1 pr t > 0, i^f)) -> 0 pr -1 i < 0. Takvu pslupnst funkcí budeme též nazývat ó-pslupnstí. Pdle b) knverguje F n (t) -> H Q (t) skr všude, pdle a) jsu členy \F n (t)\ hraničené lkálně integrvatelnu funkcí, a tudíž je splněna pdmínka II. pr knvergenci příslušných distribucí. Je tedy F n > H 0. Pněvadž F n (t) = f n (t) skr všude, je F' n f n (v distributivním smyslu), takže derivváním dstáváme ' F'n fn ~> H' Q Ó 0, ] n Lehk zjistíme, že například pslupnst f n (ť) = je ^-pslupnstí, 2 nh takže f n ~> Ó 0 a dtud - -> 6 0 atd. TI (1 -j- n L t l Y JL J- I IV v Všimněme si blíže fysikálníh významu prvedené úvahy! Uvažme nějaký člen f n (t) dsti vyskéh indexu ó-pslupnsti. Z pdmínky b) vyplývá, že f n (t) má tvar impulsu, půsbícíh v klí bdu t = 0. Jeví se tedy pdmínky a), b) precisací té představy, že impuls je blízký Diracvě distribuci". Pznamenejme, že z a), b) je zárveň vidět, že není tak pdstatné, jaký má takvý impuls tvar, nýbrž jen t, jaká je jeh plcha". Pznamenejme zárveň, že právě prvedené úvahy nelze brátit; platí-li ttiž pr nějaku pslupnst funkcí f n (t), n = 1, 2,..., že / > d 0, neplyne z th, že f n (t) je (5-pslupnst. Vskutku, vezmeme-li nějaku <5-pslupnst g n (t) a plžíme-li f n (t) = g n (r) + n r a(t) sin nt, kde a(t) má derivace všech 414
řádů, r Si O, pak zřejmě f n.> d 0 a f n (t) není ó-pslupnstí. Je tedy třída ó- pslupnstí užší než třída všech pslupnstí f n > 6 0. Přistupme nyní k vyšetření vlastnstí důležité třídy distribucí, tzv. distribucí knečnéh řádu. Řekneme, že distribuce / je knečnéh řádu, existuje-ii pr ni celé čísl k ^ 0 a v (, ) spjitá funkce F(t) (kteru nazveme vytvřující funkcí) tak, že je FW = /. Nejmenší takvé čísl k budeme nazývat řádem distribuce. Tak speciálně každá lkálně integrvatelná funkce je distribucí knečnéh řádu. Stejně j tmu u ó T a jejich derivací. Vskutku, značíme-li K T (t) t = jh T (x) dr, je K T (t) spjitá v (, ) a platí K" T = d T. CO Pznamenejme, že existují 00 distribuce, které nejsu knečnéh řádu. Pří- kladem th je q = ]T <5«"\ kde zřejmé čísl k a funkce F(t) n = 0 neexistují. Pr naše účely budu nejdůležitější ty distribuce knečnéh řádu, které budeme nazývat laplacevské. Řekneme, že / j laplacevská, existuje-li pr ni celé čísl k Ss O, funkce F(t) a čísla, C ^ O tak, že 1. F(t) je spjitá na ( c, c), 2. F(t) = O pr l/< O, 3. \F(t)\ ^ LV ť pr t ^ O, 4. FW =- /. Čísl t budeme též nazývat,,růstem" distribuce /. Mim t zavedeme ještě tut terminlgii: Řekneme, že systém distribucí {f /t } je nrmální, existují-li pr něj pevná čísla k 5í O,, C ^ O tak, že pr každu distribuci f jt existuje funkce F^(t) splňující pdmínky 1. 4. Čísl nazveme růstem" systému. Z definice kamžitě vyplývá následující důležité tvrzení: Je-li / laplacevská, pak při pevném k ;> O je vytvřující funkce F(t) určena jednznačně. Důkaz: Nechť tedy pr nějaké k Ss O existuje ještě funkce F(t), splňující pdmínky 1. 4. Ptm EW E<*> = (F #)<*> = O, a tedy pdle výše dkázanéh tvrzeni je F F = P, kde P je plynm nejvýše k 1-h. stupně. Pdle 2. však P je rven nule pr t < O, takže P(t) = O, tj. P(í) ss P(l), c. b. d. Z definice laplacevské distribuce vyplývá dále zejména t, že takvá distribuce / = O na (, 0). Dále je lehk vidět, že každá laplacevsky transfrmvatelná funkce je zárveň laplacevsku distribucí. (Přirzeně, že tut funkci pkládáme rvnu nule pr t < 0.) T znamená zejména, že systém funkcí 8, který jsme zavedli v [1], je částí systému všech laplacevských distribucí." Knečně je zřejmé, že je-li / laplacevská, pak /("> je rvněž laplacevská 415
pr každé celé n > 0. T znamená například, že ó^ pr T 0 je laplacevská. í (Je ttiž 4"> _= K + 2 >, kde T (ř) -= /B T (r) d T ; dtud je též vidět, prč musí být T ^.) Z pdmínky 3. definice dále vyplývá, že pr čísla p, splňující pdmínku Re p > existuje Laplaceův integrál funkce T(0, tj. v kmplexní plrvině Re p > je definván braz J_? {T(0}- Tat klnst umžňuje definvat jednduše braz distribuce /. Je-li / laplacevská distribuce s růstem, pak funkci <_?(/) -= p 7í J_? {77(0} prměnné p, definvanu v plrvině Rep > nazveme brazem /. Z tét definice brazu a z výše dkázané jednznačnsti 7/(0 plyne, že při pevném k je braz určen jednznačně. Ukažme dále, že braz je vůči vlbě k invariantní, tj. že k může být nahrazen větším číslem. Vskutku, je-li / laplacevská a F(t) splňuje pdmínky 1. 4., pak pdle det finice je _?(/) = p k S {F(t)}. Avšak funkce E ( " 1} (0 jf{t)ár zřejmě splní rvněž pdmínky 1. 3., pdmínku 4. pak pr k -f- 1. Ježt však Jž? {E (_1) (0} = = - < {77(0}, je P k+1 & {^_1) (0} = T- fc =^ {T(0} = ^(/), c. b. d. p Z tét úvahy zárveň vyplývá, že pr každu funkci f(t) e S (tj. laplacevsky transfrmvatelnu funkci, srv. [1]) platí <_?(/) =» «Sř {/(O}- (Pdtrhněme, že klademe f(t) = 0 pr í < 0.) Snadn se dkáže následující Veta 3. Nechť /,, g jsu laplacevská; je-li Jť(f) = ^(g), pa f = g. Důkaz: Nechť 77(0, <2(0 J su příslušné vytvřující funkce, k, l dpvídající čísla, pr něž / = F( k ), g G( l ). Budiž k ^ l. V plrvině Re p > max [ l5 1 2 ], kde Ij a 2 je růst distribuce / resp. gr tedy platí p*j2ř {77(0} == p ^ W)}, tj. J_> {<?(.)} = ^ f c ^ {-?(«)}, čili J2ř {<-(«)} = & {P(*-')(ř)}3) Pdle známé věty (srv. [6]) pak platí O(0 = F( k ~ l )(t). (G(t), F(t) jsu spjité!) Derivujeme-li tut rvnici distributivně Lkrát, máme G( l ) = F( k ) tj. g = /, c. b. d. Z definice brazu přím plyne tvrzení: Jsu-li c, (í čísla, /, g laplacevské, pak - W + fig) = cjť(f) + 0&(g). Triviálním důsledkem definice brazu je 416 t T n _, T 2 3 ) Zde i nadále značí F(~ n )(t) _- /d- B _- / dt M _ 2... / F(r t ) dt 1? t»>0.
Věta 4. Je-li f laplacevská, (Důkaz je zřejmý.) platí Sf(f) = psf(f). (21) Speciálně nalezneme: Ježt pr T ^ 0 je Sf(Hr) = Sf {Hr(t)} = a d T = Hý, máme Sf(ó T ) = psf(ii T ) = e -3,r a dtud becně Sf(dp) = 2> fc e- pt. Všimněme si na tmt míst případu, kdy / je regulární laplacevská distribuce a v <0, c) má (byčejnu) derivaci, která má braz. (Na první phled se ttiž zdá, že (21) nějak nesuhlasí" s bvyklým pravidlem pr braz derivace funkce.) Ježt / předpkládáme, že je laplacevská, značí t, že f(t) = 0 pr / < 0. Označme pr určitst f(t) = /'(/) pr t > 0, f(t) _ 0 pr t < 0. (V bdě t = 0 přirzeně rzumíme derivaci zprava.) Pr distribuci /' však platí takže (/',?)-=-- / /(t)?'(t) dt = - //(T) <//(T) dt - - [/(T) ^T)]? + - Ó 00 00 _ + / /'(T) ^(T) dt _ /(O)?;(0) + / /'(T) (p(t) dt, Ó -00 /' = /(O) t3 0 + /'. (23) (Tut rvnici mhli jsme statně napsat přím na základě (19).) Pněvadž však Sf(f) = Sf {/(/)}, Sf(f) = Sf (f(t)}, dstáváme dsazením (23) d (21) /(O) + Sf (f(t)} = psf {f(t)}, tj. známé pravidl. Pr další úvahy bude účelná znalst následujícíh lemmatu: Lemma. Buďk celé Čísl, k ^ 0, a(t) funkce, mající v ( c, ) derivace všech řádů. Pak pr každé T > 0, h > 0 existuje <p(t) e K tak, ze platí: 1. y (*)(ř) =_ «(ř) pr ře <0, T>, 2. ^( ft >(ř) c(t)\ < max «(<;) pr t e <T, T + h}, a (T,T+h) 3. 9>( fc )(ř) _ 0 pr t > T + h. Důkaz: Pr k = 0 je věc jasná. Stačí ttiž zvlit funkci $(/) e K tak, že 0 < 0(t) < 1 pr t e (- 1, 0) u (T, T + 70, 0(t) = 1 pr ř e <0, T> a 0(í) = 0 vně ( 1, T + 70, (takvá funkce zřejmě existuje) a plžit <p(t) = <x(t) 0(t). Pr A; > 0 prveďme důkaz indukcí. Nechť tedy pr některé k Sg 0 existuje <p(t) e K tak, že jsu splněny pdmínky 1. 3. a pr t > T + h je <p( ) = 0. Zvlme nějaku funkci 99(0 e K tak, že 9?(í) je rvna nule vně intervalu ( 1, 0) 0 T+h a platí pr ni j <p(x) dr = / <^(T) dt. Plžme nyní -1-00 V(í)_ /<ř(t)dt- /ř(t)dt. (24) 00 00 417
Předně je z (24) zřejmé, že ip(t) = O pr t ^ T + h, a že y>( ) má derivace všech řádů, takže y(l) K. Dále pr l > 0 je y/(!) = q>(t), tj. ip( k+1 )(t) = qá k )(t), čímž je lemma dkázán. Nyní můžeme snadn dkázat následující větu: Věta 5. Nechť distribuce f, f n, n = I, 2,... fcw* nrmální systém s růstem I;?'e-Zi / ~> /, pa/í?; plrvině Re > > přáti =5ř(/ M ) > J?(/). Důkaz: Buďte F n (t), F(t) vytvřující funkce k distribucím f n, f, pr které F& = / B. ^(7l) = / J e ž t /«-> /> J e F n k) CO 00 ->.E< 7 + cž značí, že /" P n (T)?><*>(T) dt -> / E(T) qa k )(r) dt (25) 6 pr každu cp(t) e K. (F n (ť), F(t) jsu rvny nule pr t < O!) Zvlme nyní některé kmplexní čísl p = x + i?y, pr které ÍC > ; značíme-li y(l) nějaku spjitu funkci, T, A > O libvlná čísla, můžeme psát: c P,e Se {F(ť)} - Re Se {F n (t)} -= / (#(T) E" ři (r)) e-»" cs?/t dt =-- = / (E(r) - T n (T)) (T) dt + /(E(T) - E (r)). (e-«* cs yr - y>(r)) d^ + V n T +h + / (T(T).^(T)) (e~»- cs Ž/T y)(r)) dr + /" (#(T) F n (r)) e""" cs «/T dt, T T+/i takže Re JSf {T(ř)} - Re & {F n (t)}\ < < f + \F(r) - F n (r)) (r) ár\ + / (J(T) - E») (e-' cs yr - y>(r) dr + W b + f (\F(r)\ + E (T) ). e-rcsyr-v(t) dt + /( ^(T) + \F % {x)\) *-'-&. Ť T (26) Zvlme nyní libvlně e > 0; pdle předpkladu nrmálnsti systému f,f n existuje O > O tak, že \F(t)\ < GV ť, \F n (t)\ < CV ť pr všechna t > O ] E í x ) a n. Zvlme dále čísl T tak, že T > ln. Snadn se přesvědčíme, že pak pslední člen na pravé straně nervnsti (26) bude menší než. Knečně zvlme h < T tak, že h < ;- exp ( T(2 x)). K číslům T, h existuje pak pdle lemmatu funkce q>(t) e K tak, že platí jeh bdy L, 2., 3., klademe-li tam ex(t) e"** csyt. Plžíme-li ve (26) ip(i) = = q ( - k )(t) > vidíme, že vymizí druhý člen pravé stranj 7 (26); dále pak je 418 T+h / (je(t)j + T B (T) ). e^rcsy/t-(pw( T ) dt </ 2Ce«T+A) e- 1BT dt< <2Oe T < a -^.<. c T+h
Pr vybranu funkci (p(t) e K tedy platí Re Se {F(t)} - Re S {F n (t)}\ < J(F(r) - F n (r)) <^>(T) dr + 4. (27) <} Pdle (25) však existuje index N t > () tak, že pr každé w > N t bude první člen pravé strany (27) menší než -, takže pr všechna n > N L bude Re SC {F(t)} - Re _" {F n (t)}\ < \ Opakujemedi nyní celu livahu pr rzdíl Im Se {F(t)} Im SC {F n (t)}, zjistíme, že existuje N 2 > 0 tak, že pr všechna n > N 2 bude abslutní hdnta tht rzdílu menší než e. T znamená, že pr všechna n > max [N 15 N 2 ] je \Se {F(t)} - Se {F n (t)}\ < e, takže se {F n (t)} -> jg? {#(0}. (28) Z (28) knečně vyplývá, že v plrvině Re p > f je j^^f {-/+.( )} -> p k Se.,{F(t)}, tj.j2?(/ B )->>(/), c. b. d. ^ Z právě dkázané věty 5 vyplývá, že splňují-li částečně sučty knvergentní 00 řady 2 9i jakž i její sučet předpklady věty, platí i = l i = 1 i = 1 Uveďme si příklad. Nechť / = 2 ^'- Zřejmě tat řada je knvergentní, 2 ^i i = 0 i = 0 a / jsu laplacevské a jsu splněny pdmínky věty 5. (Očividně n vytvřující funkcí F(t) k distribuci / je F(t) = ^ *' + (& + 1) t pr í e </c, k + 1>, _ fc = 0, 1,..., takže pr každé t > 0 je E(í) < t(t + 1) < 2e ť.) Pdle (22) je 00 Se(Ó n ) = e _,m, takže pr Re p > O je řada 2 e" 3 '" knvergentní a má sučet n = 0 (1 _ -p)-i. Pdle (29) tedy je e --(;!>«)=T-VÍ 4 = 0 ' Jak další příklad (velmi pučný) prveďme následující úvahu, ze které dbře vynikne charakteristická vlastnst laplacevských distribucí, tj., že jsu rvny nule na ( c, 0). Již dříve jsme dkázali, že v distributivním smyslu platí / = n sin nt -> 0. Aplikujeme-li na tent případ bez rzmyslu větu 5, dstaneme _*(/ ) -> 0, ačkli Se {n sin nt} -= r~- ~ ~+ 1; v čem je p 2 + n 2 chyba? Lehk však vidíme, že větu 5 nelze pužít na pslupnst /. Při <30) 419
důkazu vztahu / -> O znamenal ttiž symbl f n regulární distribuci n sin nt na celém (, ), a tudíž / nebyla laplacevská. Naprti tmu, zavedeme-li pr určitst značení f n (t) = n sin ni pr t 25 0, = 0 pr t < 0, ptm F n (t) t sin nt pr t ^> 0, = 0 pr l < 0 jsu vytvřujícími funkcemi pr / splňujícími pdmínky 1. 4. (dknce je F" n (t) = / n (í) všude v (,)) a tedy / jsu laplacevská. Dále je F n (t) -> K 0 (0 stejnměrně na každém knečném intervalu (K 0 (ť) = ř pr t Ss 0, K (0 = P r l < 0) a tedy i v distributivním smyslu platí F n -> K 0. Derivváním plyne dtud F n f n -> K" 0 = = (H 0 )' -= (3 0. Pdle věty 5 tedy platí Se(f n ) = JS? {w sinraí} - > J2f(a 0 ) -= i. Z tht příkladu vyplývá, že pčítáme-li někde s brazem =šf {f(t)} nějaké funkce f(t), pak s hlediska distribucí t značí, že předpkládáme f(t) = 0 pr t < 0. Přistupme nyní k zavedení pr naše účely velmi důležitéh pjmu knvluce distribucí. Buďte /, g laplacevské 4 ) distribuce, F(t), G(t) příslušné vytvřující funkce, splňující pdmínky 1. 4. a necb/6 / = F( k \ g O(? ); knvlucí / * g nazveme distribuci, pr kteru platí f*g = (JF(t~~x)G(x)dxf +l).s) (31) Z definice (31) pmcí substituce t x = u ihned vyplývá, že / * g = 9 * / (32) Dkažme nyní, že knvluce nezávisí na vlbě čísel k, l. Tt tvrzení bude dkázán, dkážeme-li, že platí (jf(t - x) G(x) dxf +l) = (f(j r F(c) da) G(x) drf +l+1). (33) 0 0 0 Pdle Fubinivy věty však platí t t-x J( J F() da) G(x) dx = JfF(a) G(x) da dx, (34) 4 ) Z dalšíh bude zřejmé, že pr definici knvluce není pdstatný bd 3. definice laplacevské distribuce, a že by mhl být vypuštěn. Ježt však nás bude zajímat braz knvluce, pr jehž existenci bd 3. pdstatný je, definvali jsme knvluci jen pr laplacevské distribuce. 5 ) Upzrněme, aby nevznikl myl, že knvluce funkcí uvnitř kulaté závrky je definvána pr všechna t (nikli jen pr t > 0), je však rvna nule pr t < 0, nebť tam F(t) = G(t) = 0. Z th vyplývá, že / * g = 0 na ( c, 0). 420
kde Q je trjúhelník rviny r, a s vrchly [0, 0]; [t, 0]; [0, ť]. Zavedeme-li s)í \ \ transfrmaci r = u, a = v u, le -7r+ r = 1 a integrál na pravé straně (34) 8(M, V) Í přejde v integrál JjF(v u) G(u) du dv, kde brem Q je trjúhelník rviny a u, v s vrchly [0, 0]; [t, i]; [0, t], Převedeme-li tent integrál pět na dvjný, dstaneme knečně /( / F(a) da) G(r) dr = f(jf(v - u) G(u) du) dv. (35) 0 0 0 0 Derivujeme-li tut rvnici k + l + 1-kráte, dstaneme (33). Jak znám, pr knvluci tří funkcí f(t), g(t), h(t) platí (srv. [6]) f(t) * (g(t) * * h(t)) = (f(t) * g(t)) * h(t). Z th vyplývá, že pr tři laplacevské distribuce /, g, h platí f*(g*h) = (f*g)*h. (36) Vskutku, zřejmě lze najít přirzené k a vytvřující funkce F(t), G(t), H(t) tak, že / FW, g = GW, h = H», takže f*( g *h) = j?w * \Q( t ) * H(t)]W = [F(t) * (G(t) * H(t))]( ) = = [(F(t) * G(t)) * H(t)J 3k ) = [F(t) * O(l)]( 2fc > * H( fc ) = (f*g)*h,c. b. d. f Zcela stejně se dkáže, že pr laplacevské distribuce platí Dále platí následující f*(g+h) = f*g+f*h. (37) Věta 6. Jsu4i funkce f(t), g(t) lkálně integrvaielné, z nichž jedna je v každém knečném intervalu <0, Ty hraničená a f(t) = g(t) = 0 pr t < 0, pak platí f(t) * g(t) = / * g. (38) Důkaz: Splňují-li f(t), g(t) předpklady věty, pak f(t) * g(t) existuje pr všechna t. (Viz [6] neb [1] pmcná věta".) Vytvřujícími funkcemi pr /, g zřejmě jsu /( _1 >(ř), g<-~v(t). Utvřme H(t) = /("^(í) * f/^hl). Pněvadž /( _1 )(í) má derivaci skr všude rvnu f(t), platí ([6], [1]), že H(t) má skr všude derivaci a je H'(t) = f(t) * g^^t) + /í -1 >(0) g(~v(t) = f(t) * g(~ x )(t). Stejným způsbem vyplyne, že skr všude H"(t) = f(t) * g(t), tj. / * g = f(t) * g(t), c. b. d. Uveďme si nyní příklady na knvluce! Buď / laplacevská distribuce; máme určit / * d 0. Nechť. F(t) je příslušná vytvřující funkce k /, E( fc > = /. Vytvřující funkcí k d 0 je K 0 (t) = t pr t 2> 0, K 0 (l;) = 0 pr t < 0, přičemž K" 0 = d 0. t Pdle definice tedy je / * S 0 = (f(t - r) F(r) dr)( fc+2 >. Integrací p částech však je J(t - r) F(r) dr = [(t - r).f<-->(t)];:{ + ff(~v(r) dr = E<~ 2 >(l), ó ť 421
takže / * Ó 0 = (#(- 2 >(ř)) (7c+2) -= T<*>. Platí tedy f * d 0 = f. (39) Stanvme dále <5Ó * d' 0. Zde je (5 0 = K" 0, takže Í; * ó' 0 = (/(í - r) T dr)<-> = ( l 3 p = (Lf 0 (/)) {3) = j Pmcí knvluce mhli bychm též definvat,,určitý integrál d 0 d t z distribuce /" jak distribuci H 0 * /; kdyby pak / byla regulární, byl by pdle t věty 6 tent pjem ttžný s //(r) dr. Pr naše účely však t nemá valné ceny a prt nebudeme pdrbnsti rzebírat. Lehk se nyní dkáže následující Věta 7. Jsu-li f, g laplacevské, pak (f*9)'=f*9. (40) Důkaz: Buďte F(t), G(t) vytvřující funkce, EW = /, GW = g. Ježt E( fc+1 > = f > J e pdle definice knvluce i f * g = ([F(t T) G(T) dr)( fc+z+1 > = (/ * g)', c. b. d. ó Na základě (40) vyplývá z (39) vzrec Důležitá bude následující / * á 0 M) = f n) (41) Věta 8. Nechť distribuce f, g, f n, g n, n 1,2,... tvři nrmální systém; je-li fn ~+ f, 9n~> 9, Pak platí Přitm f * g, f n * 9n tvří rvnez nrmální systém. fn*9n^f*9- (42) Důkaz: Buďte F(t), G(t), F n (t), G n (t) vytvřující funkce a/ = F^, g = O( fc >, f n - F, g n = Gp. Ježt / -> /, je / F n (r) cp^(r) dr -» / E(r) <^(r) dr pr každu <p(t) e K, (43) - 00 OO Pr libvlnu spjitu funkci ^(ř) a čísla X, h > 0 platí jt(-i)(a) - *<-->(*) -=- ff(r) dr - /T n (r) dr = = f(f(r) - F n (r)) (1 - ^(r)) dr + / (F(T) - F n (r)) fa) d* - 422
takže \F(~-)(X) - T^A)) < \J(F(r) ~ F n (r)) (1 ~ n (r)) ár\ + + / (F(r) - F n (r)) rj(r) ár\ + / *( ^(T) + \F n (r)\)-. \ V (r)\ ár. (44) x Zvlme X > 0 a e > 0. Zvlme dále h < X tak, že h < e^2af. (Čísla O, existují, pdle předpkladu T(l), \G(i)\, \F n (t)\, \G n (t)\ < 6V«.) Pdle lemmatu existuje pak pr X, h (klademe tam T = A; a(l) ^~ 1) funkce <p(t) K tak, že qá k )(t) = 1 v <0, X), \<p( k )(t) 1 < I v <A, A + A> a ^<*>(f) = 0 pr t > A + h. Plžíme-li ve (44) ^(t) = (p( k )(t), zmizí první člen pravé strany a pr třetí máme Je tedy A+ft / ( ^(T) + \F n (r)\). \qt 7e) (r)\ d T < 2Ceě<*+». 2A < ť. 00 E<~i>(A) - Eb 1^)! < / (77(T) - E n (T)) 9>«(T) dr + *e. (45) 00 Pdle (43) pak existuje iv tak, že pr každé n > N bude první člen pravé g strany (45) menší než, takže platí F n ~ X) (t) -> F { ~ x) (t) pr každé í. Zcela stejně vyplyne, že G n ~ l) (t) ~> G { ~' x) (t) pr každé i. T znamená, že pr každé t a r je Ef 1^ - T) O^X) (T) ->.F<-->(í - T) (^"(T). Všimneme-li si, zeje \F { ~ X) (t)\, lo^1'^)] < y e+ vidíme, že členy pslupnsti F n ~ X) (t T) G { ~ X) (r) jsu na intervalu r e (0, t) hraničeny knstantu C2 -a e24í? takže platí i ť V«(0 = /^."(í ~ T) O'" 1 '^) dr -> JF(- X) (t - r) 0<-->(T) dt. Pněvadž však členy if n (t) jsu pr všechna t hraničeny lkálně integrva- C 2 telnu funkcí - - e 21^, platí též v distributivním smyslu O Tn _1) (0 * G { nx) (t) -> T(-D(ř) * O(- ] )(l). (46) Uvědmíme-li si knečně, že F(~ x )(t), G(~ x )(t),..., jsu rvněž vytvřujícími funkcemi pr /, g, f n, g n, plyne 2Jc + 2-násbným derivváním (40), že / * 9n ~~ (JňT^it) * G n ~ X) (t))^) -> (^(--)(ř) * O(-i)(t))(^+2 ) = / * </, cž jsme mli dkázat. Ježt platí \F { ~ x) (t) *O(-D(Í) < ^-e 2^! a ^-"(í) * 0í, _1> (í) < S" -e 2^1 ' w = 1, 2,..., tvří / * g, f n * gr n nrmální systém a věta je dkázána. 423
Naknec dkažme následující jednduchu větu: Veta 9. Budte f, g laplacevské distribuce s růsty x, 2. Pak v plrvině Re p > max [._, a ] platí &(f * <7) = &(f) --%) ( 47 ) Důkaz: Jsu-li F(t), G(t) vytvřující funkce F( k ) =- f, G^ = g, je / * g = (T(ř) * G(t)Y k+l ). (48) Pdle známé věty knvluci funkcí (srv. [6]) existuje pr Re p > max.. [ 15 a ] braz & {F(ť) * t7(ř)} a je rven & {F(t)} & {G(t)}. Pdle věty 4 máme pr (48}: -Sf(/ * í7) = P k+l & (F(t) * G(t)} = p»j2p {* (*)} p*jř {G(í)} = J2?(/) -Sř(jr), c. b. d. Příklad: Máme ustanvit d^ * <5í >; T v T 2 *> 0. Pdle (47) je &0$l * *$?) = P n e~ ptl.p m e~ vt * == ^(d^vrý; pdle vety 3 (unicity riginálu) tedy platí <5< > * ^ = d ^ l ; T 1} T 2^0. (49) ČÁST II. Přistupme nyní k řešení vlastní prblematiky, kteru jsme nastínili v úvdu článku. Pr přehlednst zavedeme vektrvu symbliku. Symbl [a ik ] bude značit čtverečnu matici r-téh řádu, sestavenu z prvků a ik, symbl [cj] ř-dimensinální vektr z prvků c ť. Jsu-li prvky matice M a vektru v distribuce, je jistě zřejmý význam symblů M', v', S (v), M * v, M * d' 0 apd. 6 ). Zavedeme-li matice A = [c ik ], B = [/3 ik ], C = [y ik ] a vektry q == [q { ], = [ C Í]J #(0 = [^(Olj /(O ~ [/»(0]> niůžeme systém rvnic (1) zapsat v jednduchém tvaru t Ax(t) + Bx'(t) + Cfx(r) dr + q = /(ř). (50) Dále zaveďme ještě tt značení: F bude systém všech (/"-dimensinálních) vektrů x(t) = [^(ř)]* kde íc ť (í) e S, i = 1, 2,..., r. (Srv. [1]), D systém všech vektrů / = [j/jj, kde y ť jsu laplacevské distribuce. Budeme-li definvat všechny x(t) e F jak a?(ř) = 0 pr t < 0, pak bude F c D. Pněvadž nám zde nepůjde kmpatibilitu" pčátečních pdmínek (tat 6 ) Je-li M = [m ik ], v = [Vj], pak pr prvky q i vektru M * v je q. = 2 m ťfc * v k. Pdbně fc = i pr prvky h ik matice M * ó' Q je /& ť?c = m ifc * d' Q = m' ir 424
tázka byla řešena v [1]), budeme předpkládat, že vektr q je již zahrnut v f(t) a prt budeme uvažvat namíst (50) jedndušší rvnici t Ax(t) + Bx'(t) + Cfx(r) dt = f(t). (51) V [1] byly zavedeny pjmy zbecněnéh a klasickéh řešení (51), když f(t) e F takt: Řekneme, že x(t) e F je zbecněným řešením (51) při pčáteční pdmínce c, jestliže x(t) splňuje rvnici t í T t Afx(x) dt + Bx(t) + Cffx(a) d dx = ff(r) dx + BcH 0 (t), (52) 0 0 0 ó přičemž rvnst bereme ve smyslu skr všude". Jeli nadt x(t) spjitý v <0, ), splňuje pdmínku x(0) = c, má spjitu derivaci v (0, ) a v (0, ) vyhvuje identicky (51), nazývá se x(t) klasické řešení. j Pznámka: V [1] zavedli jsme pjmy řešení puze na intervalu <0, ). Prtže však hdláme vyšetřit suvislst mezi zbecněným a dále zavedeným distributivním řešením, je nutné smysl těcht pjmů rzšířit na celý interval (, ). Prt jsme při zavedení systému F ddefinvali jeh prvky jak nuly pr t < 0, a prt se v (52) bjevil" sučinitel H 0 (t) u vektru Bc. Je však zřejmé, že zde pakvaná definice zbecněnéh a klasickéh řešení (nyní už na (, )!) je pr t > 0 ekvivalentní definicím z [1]. Přisuďme nyní smysl rvnici (51), když její pravá strana je vektr distribucí. Buďte A, B, C reálné matice, c reálný vektr, / e D. Řekneme, že x je řešením (51) při pčáteční pdmínce c, jestliže 1. xe D, 2. je splněna rvnice Ax' + Bx" ^Cx = f'+ Bcd' 0. (53) Pznamenejme, že splnění pdmínky 1. nepžadujeme z th důvdu, aby prvky x měly knečný růst, nýbrž prt, aby byl pjem řešení při dané pčáteční pdmínce určen jednznačně. (Nehrzí-li nedrzumění, budeme říkat prstě řešení" namíst přesnějšíh distributivní řešení".) Jinými slvy, pdmínka 1. dvluje mezi všemi řešeními (53) vybrat t, které je rvn nule na (, 0). Tak například, každé řešení rvnice x" = Ó ( 3) x mžn psát ve tvaru x = d[ + /, kde / = c x + c 2 t na (, ), avšak jenm řešení x 0 = d[ je rvné nule na (, 0). Zaveďme ještě tt značení: Buď Z(p) = A + pb + O; řekneme, že matice A, B, C splňují pdmínku PÍ, je-li det Z(p) =f= 0. Pak můžeme vyslvit důležitu větu: 425
Věta 10. Nechť A, B, C splňují PÍ, / e D. Pak existuje jediné distributivní řešení x rvnice (51) a platí pr ne kde x = R*(f + Bcd 0 ), (54) < (R) = Z-\p).. (55) Důkaz: Předně je zřejmé, že matice Z~ l (p) (která v důsledku platnsti P\ existuje), má za prvky brazy laplacevských distribucí. Vskutku, prvky ^~ X {V) J su racinálními funkcemi p, takže pr dstatečně velké k bude matice p~ k Z- 1 (p) mít za prvky brazy v (-- c, c) spjitých funkcí 0 ik (t), pr které C+t) = 0 pr t < 0. Buď R matice distribucí, pr kteru platí (55). Pdle věty 3 je E určena jednznačně. Snadn zjistíme, že R vyhvuje rvnici Je ttiž AR' + BR" + CR = IS 0 (I je jedntkvá matice). (56) J2ř(_4iž' + BR" + CR) = (pa + p*b + C) S?(R) = pz(p) Z~*(p) = pí _= = Z-Sf(di), takže pdle věty 3 (56) platí. Sestrjme nyní vektr distribucí x pdle rvnice (54), a utvřme vektr u = Ax' + Bx" + Gx; pdle věty 7 pak platí u = AR' * (/ + ÍJCÍ3 0 ) + BR" * (/ + Bcd 0 ) + CR * (/ + Bcd 0 ) = = (AR' + BR" + CR) * (/ + Bcd 0 ) - (Id 0 ) * (/ + Bcd 0 ) =/' + Hc^ pdle rvnice (41). Je tedy sestrjený vektr x řešením (53). K důkazu jednznačnsti předpkládejme, že existuje ještě x e D vyhvující (53). Pak všem je takže A(x x)' + B(x x)" + C(x x) = 0, Se(A(x x)' + B(x x)" + C(x x)) = p_5(p) *(a; - í) = 0, z čehž plyne ^(x x) = 0, a tedy pdle věty 3 x = _. Věta je dkázána. Srvnáme-li právě dkázanu větu s větu 2 z [1], vidíme, že pstačující pdmínky pr existenci distributivníh řešení (51) jsu mnhem slabší, než pdmínky pr existenci zbecněnéh řešení. Pznamenejme, že pdmínka Pl je v praktických případech splněna vždycky, tj. (51) má prakticky vždy řešení. Všimněme si nyní blíže th, kterak suvisí distributivní řešení (51) s řešením zbecněným. Platí následující Věta 11. Buď f(t) e F. Pak platí: a) má-li (51) zbecněné řešení x(t), je x(t) zárveň distributivním řešením (51) (rzumí se při stejné pčáteční pdmínce); b) má-li (51) distributivní řešení x, které je regulární (x = x(t)), ptm x(t) je zbecněným, řešením (51). 426
Důkaz: tvrzení a) je triviální; je-li x(t) zbecněné řešení, platí (52) skr všude; derivujeme-li ji distributivně dvakrát, dstaneme (53). Abychm dkázali tvrzení b), všimněme si, že pr libvlnu laplaceovsku distribuci h platí h' * H 0 = h. T plyne snadn z věty 7 a rvnice (41) takt: h' * H 0 -= = (h * H 0 )' -=h* ó 0 h. Pdbně, je-li. h regulární, h h,(^), pak h * H 0 -= í = /A(r) dr. (O tm jsme se statně zmínili výše.) Jestliže nyní (51) má regulární distributivní řešení x, je splněna rvnice (53), tj. Ax' + Bx" + Cx /' JBC<5Ó = 0. Násbíme-li" ji H 0, mánie t (Ax/ + Bx" + Cx - f - Hcc5 0 ) * II 0 = Ax + Ba;' + C fx(a) áa - / - Bcó 0 =. 0. ó Opětvným násbením plyne ť í T ř A/a;(T) dr + Bx(t) + O f/x(cr) der //(T) dt - Bc// 0 (f) = 0. (57) 0 0 0 0 Na levé straně (57) stjí regulární distribuce; pslední distributivní rvnst značí, že funkce na levě straně je rvna nule skr všude, tj. že x(t) je pdle (52) zbecněným řešením (51), c. b. d. Z právě dkázané věty vyplývá, že zbecněné řešení je speciálním případem řešení distributivníh. Pr fysikální zhdncení výsledků bude ptřebná následující Věta 12. Nechť f n e D, n = 0, 1, 2,... tvři nrmální systém 7 ) a matice A, B, C splňuji pdmínku PÍ. Znací-li x n řešení rvnice t Ax n + Bx' n + C jx n dt = / (58) při pčáteční pdmínce c, a je-li f n -> /, n = 1, 2,..., pak platí x n > x 0 a x n, n =, 0, 1,... tvří nrmální systém. Důkaz: Vyjdeme z věty 10; pdle (55) je matice distribucí R d n nezávislá. Pdle (54) pak platí x n = B*(f n +Bcd a ), n = 0,1,2,... Ježt f n -> / 0, též f n + Bcd 0 -> f 0 + Bcd 0, a tedy pdle věty 8 platí x n = R * (fn + Bcd 0 ) ^R*(f -I Bcd 0 ) = x 0 ; pněvadž f n tvří nrmální systém, je pdle věty 8 zřejmě též R * (/ n + Bcd 0 ) nrmálním systémem, čímž je věta dkázána. 7 ) Význam rčení f n e D, n = 0, 1, 2,...tvří nrmální systém" je jistě zřejmý; značí t, že všechny prvky všech vektrů f n tvříprmáíní systém distribucí. 427
Věnujme nyní něklik slv tmu, kterak závisí struktura distributivníh řešení rvnice (51) na její pravé straně. Při vyšetřvání dynamiky lineárních sustav se přivedené síly bvykle skládají z nějakých impulsů a ppudů, grafy jejichž časvých závislstí jsu tvřeny bluky grafů velmi rzumných" funkci. Abychm tut představu precisvali, zavedeme následující pjmy: Nechť čísla t t,i = 0, 1, 2,... splňují pdmínky 0 = t 0 < t x < t 2 <...; t { ->. Označme (T) pslupnst t {> i = 0,1,2,... Řekneme, že distribuce / je (T)-standardní, je-li c n f = I(V'i + 9i), v>< = 2>.-* ( 59 ) i-,0 k = 0 (n je nějaké pevné čísl d i nezávislé) a jsu-li splněny tyt pdmínky: 1. g u i = 0, 1, 2,... jsu regulární, přičemž g t (t) má pr t > t t derivace všech řádů a je g(t) = 0 pr t < t { ; r 2. distribuce /, f r 2ÍVi + 9i)> í* =- 0, 1, 2, 3,... tvří nrmální systém. i=0 Analgicky budeme říkat, že vektr distribucí h e D je (T)-standardní. CO Z definice přím plyne, že / = ^ 9i na JI = y (t i} t i+1 ), tj. že na mnžině 2 = 0 í' = 0 M je (T)-standardní distribuce zttžnitelná s funkcí. Příkladem takvé distribuce je / = 6' 0 + 2(Jar 0 (í) - H&)) cs 2^ + 5(-ff,(í) - H s (t)) e~*+ 2d z + K f (í), kde zřejmě _ = (0, 1) U (-, f) U (i 2) U (2, 3) U (3, ), neb h = ó 0 + H 0 (í) + fdi + (- 1)* 2ff l (í), kde M={j(i,i + 1). i=l i-0 Dále je z definice zřejmé, že (T)-standardní distribuce můžeme lehk graficky znázrnit". Pužitá licence znázrnění je dbře patrná z br. 2, kde je graf distribuce /" pdle (60). Učiňme na tmt místě bšírnější, avšak důležitu pznámku. Byl by mylem, kdyby čtenář nabyl djmu, že každá laplacevská distribuce má tvar (59). Systém distribucí je ttiž mnhem bhatší. Osvětleme si věc na příkladě. Uvažme funkci f(t) =. At 1 ' 1 pr t > 0 = 0 pr K 0, 0 < 2 < 1. c (60). (60a) v } Zřejmě f(t) je lkálně integrvatelná, a je tedy regulární distribucí. Derivace f'(t) existuje všude vyjma bdu t = 0, f'(t) = X(l 1) t A ~ 2, avšak f'(t) již není v klí nuly lkálně integrvatelná. (Srv. pzn. 1 )). 428
Pr distributivní derivaci /' platí pdle definice c (f',<p)=(f,-<p')^-fw-i<p'(t)dt 0 Lehk zjistíme, že platí 661) (f',<p) = fw-l)t*-*(cp(t)-cp(0))dt (62 1 I Л v Ґ 1- ť \ I &, t? 3 4 Obr. 2. Předně je ttiž zřejmé, že integrál (62) knverguje. Pr každé h > 0 můžeme psát h c />->(*) - 9>(0)) dí = ft*~*(cp(t) - ^(0)) dí +ft*-*(cp(t) - 9,(0)) dí - Ó 0 i. 7i. =ft*-*{<p(t) - <P(O)) dt + y^j (<p(t) - ^())]^ - jzrijt*-y(t) <w. Avšak pr první integrál na pravé straně pslední rvnice je I = ft x 2 (cp(t) 0,(0)) dř = f t^cp'(rjt) dt, O <rj < l (ri závisí na ř), takže i -> O pr h -> 0. 0 /i A_1, Zárveň hdnta závrky je rvna (99!^) <p(0)) -5 7<p'(v^) ~ > A 1 A 1 -> O pr h -> 0. Tím je (62) dkázána. Z rvnice (62) je ihned vidět, že pr ty funkce <p(t) e K, pr které 99(0) = O, je funkcinál (/', 99) ttžný s funkcinálem ca f f'(ť) cp(ť) dt. T znamená, že na (O, 00) je /' = A(A 1) t^2. (Nechť si čtenář ó dbře rzmyslí, v jakém smyslu nutn pslední rvnici chápat!) Snadn dále nahlédneme, že /' nelze vyjádřit ve tvaru /' = 2 ^ + g, n n=. 1 kde g je regulární; kdyby tmu tak byl, platil by (/' ]> affl g) * H 0 = i = 0 429
= O, tj. / - «0 H 0 - gk" 1 ) - 2 M ( _1) = O, kde gi- 1 ) = fg(r) ár. Z th by i... i plynul OÍ X c 2... = a n = 0 (/, H 0, g('~^ jsu regulární), a tedy Xt } X - a 0 í7 (_1) (l) 0 skr všude pr l > 0. Ježt však členy t x ~ x, gr(-->(č) jsu spjité v (0, ), platila by rvnst všude; avšak tj (_1 )(l) -> 0, t x ~ x ~> pr /.> 0 +, cž je spr. Naprti tmu na každém intervalu (h, c), /i > 0 je /' rvna regulární distribuci; stačí ttiž klást g h = X(X -~ 1) l ; ~ 2 pr í ^ h = 0 pr l < /?, a je/' = g h na (h, c). Všimněme si ještě rvnice (62)! Jak jsme viděli, funkce f'(ť) = X(X 1) l A_2 TO není lkálně integrvatelná, a tudíž funkcinál / X(X 1) t K ~ 2 <p(t) át nemá pr některé (p(t) e K smyslu. Naprti tmu funkcinál (/', 93) pdle (62) má smysl pr každu <p(t) e K. Z th je vidět, že pmcí (62) je mžn funkci t l ~ 2 zařadit d systému distribucí, přičemž na (0, 00) dchází k rvnsti. Obecně lze pak dkázat, že každá funkce g(t), která má v bdě l 0 neintegrvatelnu singularitu th typu, že pr nějaké n j> 0 je (t l 0 ) w g(t) integrvatelná, připuští tzv. regularisaci příslušnéh funkcinálu, tj. (g, (p) mžn vyjádřit pdbným vzrcem, jak (62). Rzdíl je ptm puze v tm, že míst členu <p(0) stjí ve vzrci n Členů Taylrva rzvje funkce <p(t) v bdě l 0. (Srv. [3].) Tat klnst značí speciálně, že všechny funkce t x ~ k ; 0 < A*< 1; k = 1, 2,... patří ve výše uvedeném smyslu d systému distribucí. Upzrněme na tmt místě ještě na jeden fakt: funkcím s výše uvedenu neintegrvatelnu singularitu (přesněji, příslušným distribucím) mžn přiřadit Laplaceův braz, přestže dpvídající Laplaceův integrál neexistuje. Tak například pr funkci f(t) pdle (60a) je / ( ~ x) (č) = t* vytvřující funkcí, pr kteru platí ie {t 1 } = j + -- (viz [6]). Pdle věty brazu derivace distribuce máme dtud ^(Xt^1 ) = p-*y(x + 1), čili ^(l^1 ) = p~ Á Y(X), a dále Obecně bdržíme ie(l A ~ 2 ) -= p í ~ x Y(X - 1). (63) ^(t/- n ) = p n ~? - 1 Y(X n + 1) ; n = 1, 2, 3,..., 0 < l < 1. (64) Pr celčíselné hdnty expnentu lze pak pmcí principu regularisace dvdit vztah J?(t~ n ) = ~-~^y V n ~\G + ln p) ; n= 1, 2, 3,..., (65) kde C = 0,57721... (Eulerva knstanta). 430