(5) Primitivní funkce

Transkript

1 (5) Primitivní funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 1 / 20

2 Def: Primitivní funkce Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu (a, b). Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na (a, b), jestliže pro každé x (a, b) existuje F (x) a platí F (x) = f (x). Značíme F = f, x (a, b), nebo F(x) = f (x) dx, x (a, b). Pospojujte funkce v levém sloupci s jejich primitivními funkcemi vpravo: x 4. cos x 5. sin x A cos x B sin x C x D 1 E x2 2 D, C, E, B, A Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 2 / 20

3 Def: Primitivní funkce Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu (a, b). Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na (a, b), jestliže pro každé x (a, b) existuje F (x) a platí F (x) = f (x). Najděte primitivní funkci F k funkci f = x sin x. A F = sin x + x cos x B F = sin x x cos x C F = x sin x + cos x B Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 3 / 20

4 Primitivní funkce - poznámky Poznámka 1. Ne každá funkce má primitivní funkci (např. signx). Zdroj: function 2. Primitivní funkce je spojitá. 3. Hledání primitivní funkce se nazývá integrací a primitivní funkce se někdy nazývá neurčitý integrál. Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 4 / 20

5 Který z následujících grafů může reprezentovat primitivní funkci k funkci na obrázku vpravo? D Zdroj: Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 5 / 20

6 Který z následujících grafů může reprezentovat primitivní funkci k funkci na obrázku vpravo? C Zdroj: Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 6 / 20

7 Primitivní funkce - příklad Necht f je primitivní funkce od g a g je primitivní funkce od h. Pak A h je primitivní funkce k f B h je 2. derivace f C h je derivace f B Zdroj: GoodQuestions/GQbysection pdfversion.pdf Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 7 / 20

8 Vlastnosti primitivní funkce Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 8 / 20

9 Rovnost až na konstantu Věta (Rovnost až na konstantu) Necht F a G jsou primitivní funkce k funkci f na (a, b). Pak existuje c R takové, že F(x) = G(x) + c pro každé x (a, b). Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 9 / 20

10 Rovnost až na konstantu Věta (Rovnost až na konstantu) Necht F a G jsou primitivní funkce k funkci f na (a, b). Pak existuje c R takové, že F(x) = G(x) + c pro každé x (a, b). Najděte e x dx: A e x C e x + 3 E 2e x + 2 B e x D e x + e π A, C, D Najděte funkci F, jestliže víte, že F = 3x 2 + 2x dx a zároveň F(0) = 1? F = x 3 + x Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 10 / 20

11 Rovnost až na konstantu Které/á z následující jsou tvrzení pravdivá? A Jestliže f (x) = g (x) (pro všechna x), pak f (x) = g(x) (pro všechna x). B Jestliže f (x) = g(x) (pro všechna x), pak f (x) = g(x) (pro všechna x). Zdroj: GoodQuestions/GQbysection pdfversion.pdf B Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 11 / 20

12 Existence primitivní funkce Věta (Existence primitivní funkce) Necht f je spojitá funkce na otevřeném neprázdném intervalu (a, b). Pak f má na (a, b) primitivní funkci. Které z následujících funkcí mají určitě primitivní funkci? A 1 x, x R B arctan x 2, x R C ln x, x (0, ) E cot x, x (0, π) D x2 x 3 +1, x R B, C, E Poznámka Některé funkce sice mají primitivní funkci, ale nelze ji vyjádřit jako kombinaci elementárních funkcí (nelze ji snadno zapsat). Například: e x 2 dx ln(ln x) dx sin x 2 dx dx sin x x 1 x4 dx Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 12 / 20

13 Věta: Linearita neurčitého integrálu Věta (Linearita neurčitého integrálu) Necht f má na intervalu (a, b) primitivní funkci F, funkce g má na (a, b) primitivní funkci G a α R. Potom 1. funkce αf je primitivní funkcí k αf na (a, b). 2. funkce F + G je primitivní funkcí k f + g na (a, b). 1+2x+3x 2 dx = 1 dx+ 2x dx+ 3x 2 dx = x+x 2 +x 3 +c, x R x 2 dx = 5 1 dx = arctan x + c, x R 1 + x2 Důkaz 1. Víme: F = f. Pak (αf) = αf = αf. 2. Víme: F = f, G = g. Pak (F + G) = F + G = f + g. Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 13 / 20

14 Substituce (e 2x ) = 2e 2x 2e 2x dx = e 2x + c (cos x 2 ) = sin(x 2 ) 2x sin(x 2 ) 2x dx = cos x 2 + c sin(x 2 ) x dx = 1 2 cos x2 + c 2 2 sin(x2 ) x dx = 1 2 sin(x 2 ) 2x dx = 1 cos x dx = arctan (sin x) + c 1 + (sin x) 2 Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 14 / 20

15 Věta: O substituci Věta (O substituci 1) Necht F je primitivní funkce k f na (a, b). Necht ϕ je funkce definovaná na (α, β) s hodnotami v intervalu (a, b), která má v každém bodě x (α, β) vlastní derivaci. Pak f (ϕ(x))ϕ (x) dx = F(ϕ(x)) na (α, β). sin 4 x cos x dx Poznámka Video: 4?gclid=CLCy8pn1r8gCFUHnwgodA0UIpQ Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 15 / 20

16 Věta: Per partes Věta (Integrace per partes) Necht (a, b) je neprázdný otevřený interval a funkce f je spojitá na (a, b). Necht F je primitivní funkce k f na (a, b) a G je primitivní funkce ke g na (a, b). Pak platí g(x)f(x) dx = G(x)F(x) G(x)f (x) dx na (a, b). Poznámka Zapisujeme často jako fg = fg f g nebo u v = uv uv. xe x dx arctan x dx e x cos x dx Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 16 / 20

17 Per partes Které integrály je dobrý nápad řešit metodou per partes? x A xe x2 dx D ln x dx B x cos x dx E sin x ln x 2 dx C 1 ln x dx B, C Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 17 / 20

18 Per partes + substituce - příklady Které integrály byste řešili Per Partes a které Substitucí? A arcsin x dx x B 1 + x 2 dx C (x 2 3) ln x dx 1 D x ln x dx E x 2 cos 2x dx PP: A, C, E S: B, D Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 18 / 20

19 y Která tvrzení jsou pravdivá? 1. kf = k f 2. f + g = f + g 3. f g = f g 4. f g = f g 5. f /g = f / g A, B, C Kde je problém v následujících tvrzeních? 1. 3x x 2. a R dx = x3 + x x 2 x a dx = xa+1 a c + c Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 19 / 20

20 Aplikace s = 1 2 at2 s = s 0 + v 0 t at2 Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 20 / 20