Obsah Historický přehled 5 Plynný sta hmoty 8. Jednotky tlaku................ 8.. Použíané jednotky tlaku.......... 9.. Rozlišení oblastí akua podle tlaku...... 9. Staoá ronice................ 9.. Gay Lussacoy zákony........... 9.. Látkoé množstí...............3 Daltonů zákon.............. 3 3 Kinetická teorie plynů 4 3. Rozdělení rychlostí............... 4 3. Kinetická energie soustay............ 6 3.3 Vysětlení tlaku plynu.............. 9 3.4 Částicoý déšt................. 3.5 Střední olná dráha............... 4 3.6 Další použíané eličiny............. 6 3.7 Domácí úkol.................. 7 3.7. Řešení................. 7 4 Objemoé procesy plynu 8 4. Tepelná transpirace (efúze plynu......... 8 4. Difúze plynu................. 30 4.3 Tepelná odiost plynu (přenos tepla........ 33 4.4 Tření plynu.................. 40 4.5 Proudění plynu potrubím............. 44 5 Porchoé procesy 50 5. Vazba částic, adsorpce.............. 50 5. Adsorpční tok částic............... 5 5.3 Henryů zákon, stupeň pokrytí porchu....... 54 5.4 Odplyňoání................. 57 5.5 Příklady................... 59 5.5. Koncentrace molekul............ 59 5.5. Doba ytoření rsty........... 59 5.5.3 Rychlost desorpce............. 60 5.5.4 Doba desorpce.............. 6 6 Vypařoání 6 6. Augustoa ronice............... 6 6. Hmotoý tok................. 64 7 Porchoé jey 66 7. Migrace molekul................ 66 7. Kapilární kondenzace.............. 67 8 Procesy e stěnách akuoých systémů 68 8. Pená látka plynu............... 69 8. Stěna akuoého systému............ 70 9 Metody získáání nízkých tlaků 7 9. Základní princip čerpání............. 7 9. Časoý průběh tlaku.............. 75 9.. Výpočet doby čerpání akuoé komory..... 77 9.3 Desorpce plynu, difúzní tok stěnami a netěsnosti systému 78 9.4 Vodiost potrubí................ 79 0 Transportní ýěy 83 0. Mechanické ýěy............... 83 0.. Pístoá ýěa.............. 83 0.. Rotační olejoé ýěy........... 84 0..3 Vodokružní ýěa............ 9 0. Výěy pracující na základě přenosu impulsu..... 9 0.. Tryskoé ýěy............. 9 0.. Molekulární ýěy............ 00 Sorpční ýěy 0. Výěy yužíající fyzikální adsorpce (kryogenní ýěy 0. Výěy yužíající chemisorpce.......... Vakuoá měření 5. Základní údaje................. 5. Přímé měřicí metody.............. 7.. Kapalinoé manometry........... 7.. Kompresní manometry........... 8..3 Mechanické (deformační manometry..... 0..4 Přesné membránoé manometry........3 Nepřímé měřicí metody..............3. Tepelné akuoměry.............3. Viskózní manometry............ 3
.3.3 Ionizační akuoměry............ 4.3.4 Výbojoý manometr............ 5.3.5 Ionizační akuoměr se žhaou katodou..... 9.3.6 Ionizační akuoměr s klystronoým uspořádáním elektrod................ 30.3.7 Bayard-Alpertoa měrka.......... 3.3.8 Extraktoroý ionizační akuoměr....... 3.4 Měření parciálních tlaků............. 33.4. Hmotnostní spektrometr.......... 33.5 Hledání netěsností............... 37.5. Metody hledání netěsností částech systému.. 38.5. Metody hledání netěsností e akuoých systémech 39
5 6 Kapitola. Historický přehled Historický přehled Historický základ akuoé fyziky leží až 7. století době zniku klasické fyziky době Newtona, Galileiho, Huyghense. Až do tohoto století byli učenci přesědčeni, že acuum prázdno neexistuje a nelze ho ytořit, nebot příroda má strach z prázdnoty (horror acui Aristoteles. Galilei, byl tázán, proč odní pumpy nezednou odu do ýšky ětší než asi deset metrů, uažoal, že místě přetržení odního sloupce lastně acuum zniká. Jeho žák Torricelli proedl podobný pokus se rtutí uzařené trubici. Vytořil se sloupec rtuti ysoký 76 centimetrů a nad ním acuum. To se psal rok 643. až 9. století Jouleů pokus o ekialenci tepla a práce. Kinetická teorie plynů je lastně teoretickým základem akuoé fyziky. Další podnět ke zlepšoání techniky akua daly až 9. století Geissleroy pokusy s průchodem elektrického proudu e zředěných plynech. Sám pan Geissler zkonstruoal ýěu se rtutí, kde odstranil problémy s těsněním pístu e álci. Zde je lastně rtut pístem. Hladina se pohybuje se zedáním a klesáním pomocné nádoby. Torricelli také sůj pokus spráně ysětlil pomocí spolupůsobení tlaku atmosféry. Jako prní tak ukázal, jak lze ytořit prázdný prostor a tím tedy položil základy fyziky akua. Na jeho počest je po něm pojmenoána dodnes často použíaná jednotka tlaku: [T orr] = [mm] sloupce Hg. Několik let po Torricelliho pokusu zkonstruoal Otto on Guerick prní ýěu s dřeěným pístem (magdeburské polokoule po yčerpání je ani několik párů koní od sebe neorhlo. Ještě před koncem 7. století zkonstruoali ýěy pánoé Hooke, Boyl, Papin, ašak stále nebyl odstraněn problém s těsněním (tehdy ale samotné akuum nebylo objektem jejich zájmu, potřeboali ho jenom jako pomocnou podmínku pro sou práci. Vakuum, které tyto ýěy dosahoaly asi 0 [T orr] pak bylo postačující na téměř 00 následujících let. Během této doby (8. století Bernouli položil základy kinetické teorie plynů ýkladem tepla na základě mechaniky (kinetická energie molekul. Přesto šak stále ítězila fluidoá teorie tepla. Potřebný důkaz přinesl Výěu se rtutí dále zdokonalil Töpler roce 86 a také Sprengel později roce 879. Bylo tak dosaženo tlaku až 0 3 [T orr]. Tlaky menší než [T orr] přinesly elké problémy s jejich měřením, nebot ýška sloupce rtuti pro tyto tlaky je elice malá. Roku 874 zkonstruoal Mc Leod tz. kompresní (Mc Leodů manometr, dodnes použíaný ke kalibraci jiných manometrů. Přelom e ýoji oboru znamenal ynález žároky (Edison, 879. Žároka byla prním masoě yráběným akuoým produktem a tak se získáání akua stalo technickým a průmysloým oborem. Druhá poloina 9. století přinesla také další rozoj kinetické teorie: Krönig, Clausius ýpočet tlaku molekul z kinetické energie molekul, Maxwell, Boltzmann, Loschmi rozdělení rychlostí. Na přelomu 9. a 0. století přichází řada objeů, které byly podmíněny experimenty e akuu (objeení RTG paprsků, elektronů a jejich emise, elektronky, dioda Fleming, 904. Řešily se také prní fyzikální problémy týkající se oboru nízkých tlaků, experimentálně se prokazoala spránost kinetické teorie plynů. Mezníkem e ýoji akuoé techniky byl obje molekulární ýěy roku 9 a hlaně obje difúzní ýěy roce 93. Tato ýěa umožnila
7 8 Kapitola. Plynný sta hmoty pohodlné a rychlé čerpání ětších objemů. Současně byly objeeny další metody čerpání kryosorpční ýěa (Dewar, 904 a též metody nepřímého měření tlaků: tepelný akuoměr (Pirani, 906, iskózní akuoměr (Langmuir a Dushmann, 93 95, ionizační akuoměr (Buckley, 96. V období mezi prní a druhou sětoou álkou dáá impulsy pro rozoj průmysl ýroby akuoých součástek (žároky, elektronky, RTG lampy, ýbojky a také požadaky znikající jaderné fyziky (urychloače a fyziky ýbojů plynech, kde jsou nutné ještě nižší tlaky. V roce 99 byla zdokonalena Burchem difúzní ýěa a později frakční ýěa, která dosahoala tlaků až 0 8 [T orr]. Byl také sestrojen ýbojoý manometr s magnetickým polem. Následoaly ale také pokroky teorii, např. Langmuir studoal procesy na porchu látek e akuu. Dále se též zdokonaloala technologie začaly se použíat noé materiály pro akuoou techniku (wolfram a molybden. Velmi rychlý rozoj pokračoal po druhé sětoé álce: Plynný sta hmoty Ve akuoém systému jsou plyny a páry tz. plynné skupenstí hmoty. Pro toto skupenstí je charakteristické, že molekuly jsou od sebe tak daleko, že jejich zájemné působení je zanedbatelné. Pára se liší od plynu: pára teplota nižší než kritická, při stlačení kapalní, plyn teplota yšší než kritická, pro zkapalnění při kompresi se musí nejpre ochladit. Fázoý diagram je na následujícím obrázku: zdokonalení ionizačního manometru (Bayard, Alpert. Tímto akuoměrem bylo možno měřit tlaky až 0 [T orr], hmotoé spektrometry (Alpert, Buritz, noé metody čerpání (sorpce a kondenzace molekul, ionizace a přenos molekul, noé ýěy (Rootsoa, molekulární. V padesátých letech se spojuje roztříštěný okruh problémů a zniká noý fyzikální obor fyzika nízkých tlaků (akuoá fyzika, která se zabýá studiem procesů objemoých i porchoých, probíhajících uzařeném prostoru, němž jsou plyny a páry o nízkém tlaku (akuoý systém, pokud tyto procesy způsobují změny počtu částic tomto prostoru. V současné době se akuoá fyzika a technika stále rozíjí a je nedílně spojena se špičkoým ýzkumem a ýrobou e šech oblastech průmyslu (kosmický ýzkum, noé materiály a technologie, plazmoé technologie. Základní teoretickou předstaou je ideální plyn s lastnostmi: žádné zájemné působení molekul (E pot = 0, nuloý objem molekul (hmotné body. Reálný plyn se ideálnímu plynu podobá při teplotách značně yšších, než je teplota kritická. Fyzikální sta plynu jako celku (tz. makrosta je popsán staoými eličinami (tlak, objem, teplota,..... Jednotky tlaku Tlak je síla na jednotku plochy : p = F S. Orientace plochy prostoru je liboolná (Pascalů zákon.
.. Staoá ronice 9 0 Kapitola. Plynný sta hmoty.. Použíané jednotky tlaku [P a] = [ Nm ], [mbar] = 0 3 [bar] = 0 [P a], [T orr] = [mm] sloupce Hg. = 33,3 [P a]. =,333 [mbar], [atm] = 760 [T orr]. =,03 [bar]. =,03 [at] (fyzikální atmosféra, [at] = [ kp cm ]. = 0,98 [bar] (technická atmosféra, [P SI]. = 6895 [P a]. = 5,7 [T orr] (pound force per square inch... Rozlišení oblastí akua podle tlaku základní (hrubé akuum (0 0 5 [P a], jemné (primární akuum (0 0 [P a], ysoké akuum (0 5 0 [P a], ultraysoké akuum (0 0 5 [P a].. Staoá ronice Nejdříe definujeme teploty: Celsioa teplota (značíme t [ C], Kelinoa absolutní teplota (značíme T [K], T = 73,5 + t... Gay Lussacoy zákony Důody pro zaedení absolutní teploty: byly objeeny Gay Lussacoy zákony o roztažnosti a rozpínaosti plynu e taru: pro izobarický děj: normální atmosférický tlak V = V 0 ( + βt ; pro izochorický děj: kde: p 0 je tlak při 0 [ C], V 0 je objem při 0 [ C], t je Celsioa teplota. p = p 0 ( + β t ; Bylo změřeno, že koeficient roztažnosti a koeficient rozpínaosti mají stejnou elikost pro šechny plyny: β = β = 3,66099 0 3 = 73,5. Dosadíme-li do ýše uedených ronic, dostaneme: ( V = V 0 + 73,5 t 73,5 + t T = V 0 = V 0. 73,5 T 0 Pak tedy: z čeho plyne: V = V 0 T T 0 ; p = p 0 T T 0 ; p T = konst; V T = konst. Doplníme ještě třetí zákon ideálního plynu (Boylů Mariottů, který platí pro izotermický děj (T = konst: pv = konst. Zobecněním těchto ronic je staoá ronice plynu: pv T = konst.
.. Staoá ronice Kapitola. Plynný sta hmoty.. Látkoé množstí Z mnoha dalších staoých eličin si šimneme té, která (někdy skrytě ystupuje e staoé ronici látkoé množstí ν. Jeho základní jednotkou soustaě SI je [mol], to je takoé množstí látky, že její počet částic je stejný jako e [g] uhlíku 6 C. Tento počet se nazýá Aogadroa konstanta N A a pro její hodnotu platí: N A = (6,0 045 ± 0,000 03 0 3 [ mol ]. Látkoé množstí ν lze tedy zjistit, známe-li počet částic N zkoumané látky (plynu: ν = N N A [mol]. Látkoé množstí se často přeádí na hmotnost pomocí eličiny molární atomoá hmotnost M mol, což je hmotnost jednoho molu dané látky. Z definice jednoho molu je idět, že molární hmotnost uhlíku 6 C je rona [g]. Pro stanoení molární hmotnosti liboolné látky definujeme atomoou hmotnostní jednotku m u, která je rona hmotnosti atomu uhlíku 6 C, tedy: m u = m ( 6 C =,660 565 5 0 7 [kg]. Označíme dále hmotnost jedné částice (atom, molekula,... látky jako m a definujeme eličinu relatiní hmotnost částice A: A = m m u. Je jasné, že relatiní hmotnost atomu uhlíku 6 C je. Vyjádříme pak jeho známou molární hmotnost: po dosazení číselných hodnot: dostááme tak zajímaý ztah: M mol ( 6 C = [g] = N A m = N A A m u ; [g] = N A [g] m u ; Záěrem tedy uedeme ztah pro stanoení látkoého množstí ν ze znalosti hmotnosti látky M nebo z počtu částic (molekul, atomů,... této látky N: ν = N = M. N A M mol Pro plyny platí ještě známý Aogadrů zákon, který říká, že [mol] liboolného plynu (ideálního plynu zaujímá za normálních podmínek 3 ždy stejný objem, tz. molární objem: V 0 =,44 [l]. Potom lze určit tz. Loschmioo číslo, charakterizující počet částic jednotce objemu: n 0 = N A V 0. =,69 0 9 [cm 3 ]. Pak, máme-li látkoé množstí ν molů plynu, zaujmutý objem bude νv 0. Dosadíme do staoé ronice a dostaneme: pv T = konst = p 0νV 0 T 0 a tedy dostááme staoou ronici: kde: =,03 05 ν,44 0 3 73,5 pv = νrt, = νr R = 8,34 4 (6 [ J.mol.K ] je unierzální plynoá konstanta. Z tohoto taru staoé ronice je dobře idět, že množstí plynu (ν je úměrné součinu pv za dané teploty. Potom lze množstí plynu určoat pomocí eličiny pv [P a.l,...]. Dosadíme-li ještě do staoé ronice za látkoé množstí, dostaneme: pv = νrt = N N A RT = NkT ; N A m u = [g]. Nyní yjádříme molární hmotnost liboolné částice (atomu o relatiní hmotnosti A: po ydělení objemem V : p = NkT V = nkt, M mol ( A X = N A m = N A A m u = A [g]. 3 T 0 = 73,5 [K], p 0 =,03 0 5 [P a]
.. Staoá ronice 3 4 Kapitola 3. Kinetická teorie plynů kde: k je Boltzmannoa konstanta (k =,380 66 (44 0 3 [J.K ], n je koncentrace částic. Tedy máme další tar staoé ronice: p = nkt. Z tohoto ztahu je zřejmé, že tlak je úměrný koncentraci. 3 Kinetická teorie plynů Kinetická teorieplynů proádíýklad termodynamickýchlastnostíplynu na základě modelu plynu jako mechanické soustay částic. Plyn je poažoán za soustau hmotných částic (molekul, které se neustále pohybují nejrůznějšími směry a rychlostmi (tz. neuspořádaný pohyb molekul. Tyto částice se srážejí nazájem (pružně, ale i se stěnami akuoého systému (pružně i nepružně. Z důodu elkého počtu molekul (iz Aogadroo číslo není možné počítat a sledoat jejich konkrétní dráhy. Práě tento elký počet ale umožnil použití statistických ýpočtů...3 Daltonů zákon Poslední zákon, který připomeneme je Daltonů zákon pro směs několika plynů, které spolu chemicky nereagují: kde: p = p + p +..., p je celkoý (totální tlak plynu e směsi, p i jsou parciální (částečné tlaky jednotliých složek směsi. Platí, že parciální tlak složky směsi je tlak, který by se daném objemu ytořil tehdy, když by tento objem zaujala pouze tato složka (při stejné teplotě. Pro zduch jsou parciální tlaky uedeny následující tabulce: 3. Rozdělení rychlostí Za předpokladu termodynamické ronoáhy byl odozen pro elikost rychlostí Maxwellů rozděloací zákon: kde: ( m 3 dn = 4πN e m kt d, } πkt {{ } f(... Maxwelloa rozděloací funkce dn je počet molekul, jejichž elikost rychlosti se nachází interalu d (tj. interalu (, + d. Průběh rozděloací funkce f( je na následujícím obrázku: p plyn p parc [P a] parc p [%] N 7,89 0 4 7,8 0 O, 0 4,09 0 Ar 9,44 0 9,33 0 CO,93 0 3,00 0 H,00 0,00 0 Ne,0 0 0,00 0 3 He 5,00 0 5,00 0 4 Kr,00 0,00 0 4 Xe 9,00 0 3 9,00 0 6
3.. Rozdělení rychlostí 5 6 Kapitola 3. Kinetická teorie plynů Fyzikální smysl rozděloací funkce: f = dn dφ má obecně ýznam hustoty bodů e fázoém prostoru, tj. jejich počet jednotce objemu fázoého prostoru. V našem případě: f( = dn d je hustota bodů (obrazů staů molekul na ose elikosti rychlosti, tj. jejich počet jednotkoém interalu osy. Platí: f(0 = 0; lim f( = 0; křika má maximum místě (ýpočet ze ztahu df d = 0: kt p = m, nazaném nejpraděpodobnější rychlost. Ve statistice nás ošem zajímají střední hodnoty a proto definujeme střední rychlost: = 8kT f( d = N πm. Je to podstatě aritmetický průměr: = + + 3 +... N (nahradíme sumu integrálem = N 0 0 dn = N = i N = N 0 i f( d. Dále se definuje střední hodnota kadrátu rychlosti, nazaná střední kadratická rychlost: = N 0 f( d = 3kT m. Její odmocnina se nazýá efektiní rychlost: ef = = 3kT m. Mezi těmito rychlostmi platí následující ztahy: a tedy: = 0,90 ef ; p = 0,85 ef ; p < < ef. Maximum ( rozděloací funkce je dosti ostré a lze ukázat, že interalu, 3 leží rychlosti asi 3 4 šech molekul. Tedy při hrubých odhadech je možné si předstait, že šechny molekuly mají stejnou rychlost ronou. Konkrétní hodnoty rychlostí p, ef, pro dusík, odík, argon a xenon při teplotě 0[ C] jsou uedeny následující tabulce. Výpočet byl proeden pomocí zorce: kt T p = m = R RT =. m N A M mol p [ms ] [ms ] ef [ms ] N 403 454 493 H 507 700 846 Ar 337 380 43 Xe 86 0 8 3. Kinetická energie soustay Znalost středních rychlostí nám pak umožňuje ypočítat kinetickou energii soustay. Jestliže uažujeme molekulu o hmotnosti m a rychlosti, potom její kinetická energie je: ε k = m
3.. Kinetická energie soustay 7 8 Kapitola 3. Kinetická teorie plynů a celkoá kinetická energie šech molekul je : E k = i ε ki = =0 ε k dn = 0 m f( d = = m f( d N N = m N; po dosazení za střední kadratickou rychlost: 0 E k = m3kt m N = 3 kt N a po dosazení za celkoý počet molekul: E k = 3 kt νn A = 3 RT ν. Je tedy idět, že stejná látkoá množstí ( [mol] různých plynů mají stejné celkoé kinetické energie ( 3 RT. Pro případ ideálního plynu je tato energie rona celkoé energii plynu, tj. nitřní energii plynu: Vysětlení: pouze jednoatomoá molekula se podobá hmotnému bodu, jehož pohyb je popsán třemi souřadnicemi a jehož kinetická energie má tři části: m = m ( x + y + z = m x + m y + m z = = 3 kt = kt + kt + kt. Platí ekipartiční teorém na každou souřadnici pohybu (stupeň olnosti připadne energie: kt, které tepelné kapacitě odpoídá příspěek: R. Tento teorém lze dobře použít na složitější molekuly, např. na douatomoou molekulu (iz obr.: U = E k = 3 RT ν. Z termodynamiky známe ztah pro přírůstek nitřní energie: du = νc dt. Pak pro molární tepelnou kapacitu C dostaneme: C = du ν dt = ( d 3 ν dt RT ν = 3 R a tato hodnota je konstantní: 3 8,34. =,47 [J.K.mol ]. To ale souhlasí pouze pro jednoatomoé plyny (He, Ne, Ar,..., Hg,.... U douatomoých plynů (H, N, O,... je C okolo 0 [J.K.mol ] a s teplotou roste až na 9 [J.K.mol ]. Víceatomoé plyny se odchylují ještě íce. translace těžiště 3 souřadnice, rotace kolem osy jdoucí těžištěm souřadnice, kmitání ose x souřadnice ( m x + kx. Celkem tedy má douatomoá molekula 7 stupňů olnosti a podle ekipartičního teorému bude tepelná kapacita plynu tořeného těmito molekulami: 7 R. = 9.
3.3. Vysětlení tlaku plynu 9 0 Kapitola 3. Kinetická teorie plynů 3.3 Vysětlení tlaku plynu Podle kinetické teorie plynu molekuly kromě zájemných srážek dopadají také na stěny a pružně se od nich odrážejí. Co se při takoém dopadu molekuly děje je zřejmé z obrázku: a podle 3. Newtonoa zákona (akce a reakce také molekula působila na stěnu silou: F. Tato síla je kolmá na stěnu a zniká tak tlak plynu. Nyní ypočítáme konkrétně, kolik molekul za nějaký čas dopadne na zolenou plošku stěny ds. Aby nějaká molekula mohla na tuto stěnu ůbec dopadnout, musí ektor její rychlosti směřoat ke stěně ( x > 0 označíme počet takoýchto molekul (které mají určitou souřadnici x, kde x > 0 celém objemu plynu jako dn. Pak zřejmě: dn = dn( x = f( x d x, kde: f( x je nějaká (Maxwelloská rozděloací funkce podle x, zatím ji nebudeme specifikoat. Půodní rychlost (před dopadem se po dopadu změní na. Nastane tedy změna rychlosti: =. Je zřejmé, že: pro elikost ektoru tedy platí: = ( x, y ; = ( x, y ; Ale šechny tyto molekuly za čas jistě na stěnu nedopadnou, nebot některé jsou od stěny daleko. Tedy dopadnou pouze ty molekuly, jejichž zdálenost od plošky ds není ětší než x (to je elikost dráhy ronoměrného pohybu rychlostí x za čas a to jsou šechny molekuly objemu: x ds. Situace je zřejmá z obrázku: = x. Změně rychlosti molekuly musí odpoídat změna hybnosti: p = m ; elikost ektoru změny hybnosti pak je: p = m = m x. To podle. Newtonoa zákona ale znamená, že na molekulu působila síla (od stěny: F = p t Jelikož celém objemu plynu je těchto molekul dn( x, pak jednotkoém objemu je jich dn(x V a tomto objemu je potom počet molekul: dn( x x ds. V
3.3. Vysětlení tlaku plynu Kapitola 3. Kinetická teorie plynů Každá z těchto molekul tedy během doby dopadne na ds a po odrazu od ní má změnu hybnosti m x. Pak celkoá změna hybnosti šech těchto molekul je: dp = dn( x x m x ds = m dn( x x ds ; V V časoá změna této hybnosti pak je síla, lastně část celkoé síly, od této skupiny molekul: df = dp ; když tuto sílu ydělíme elikostí plochy ds, dostaneme tlak, lastně část celkoého tlaku od této skupiny molekul: dp = df ds = dp ds = dn( x m x V a celkoý tlak je pak součtem (integrálem přes šechny možné rychlosti x, ( x > 0: p = x=0dp = m V po dosazení za dn( x dostaneme: p = m V 0 0 x dn( x; xf( x d x. Uážíme-li, že rozděloací funkce je sudá a tedy platí: f( x = f( x, dostaneme po ynásobení jedničkou ( N N : p = m V xf( N x d x N = m V xn. Střední hodnotu kadrátu souřadnice lze bez ýpočtu ododit lehce použitím ztahu: = x + y + z ; uděláme formálně střední hodnotu: Žádná souřadnice ale nemůže být preferoána a tedy šechny tři ýrazy musí být stejné: x = y = z ; platí tedy: Po dosazení do ztahu pro tlak: neboli: p = m V x = 3. 3 N = m 3 V N = E k 3 V, pv = 3 E k. Součin pv je tedy mírou nejen množstí látky, ale také nitřní energie. Dále můžeme dosadit za kinetickou energii ýraz dříe odozený pro ideální plyn: E k = N 3 kt ; potom: p = 3 V N 3 kt = nkt a tím dostááme staoou ronici ideálního plynu. 3.4 Částicoý déšt Veličina částicoý déšt charakterizuje počet nárazů molekul na stěnu (za jednotku času na jednotku plochy. Principiálně by bylo možné použít stejný postup, jako při ýpočtu tlaku, tj. bylo by: Z = ds 0 dn V x ds. Toto dále šak nelze přeést na známou střední hodnotu (lichá funkce. Proto hned od počátku uažujeme o skupině molekul dn, které mají šechny stejnou elikost rychlosti, (dn = f( d. Dále se použijí sférické souřadnice podle obrázku: = x + y + z = 3 x = 3 y = 3 z.
3.4. Částicoý déšt 3 4 Kapitola 3. Kinetická teorie plynů Sečteme šechny tyto molekuly pro šechny možné elikosti a šechny možné směry rychlosti (odpoídající dopadům molekul z jednoho poloprostoru na hraniční plochu druhého poloprostoru: = 4πV Z = π π dn dω ds cos ϑ ds =0 ϑ=0 ϕ=0 V 4π = N N 0 f( d π 0 sin ϑ cos ϑ dϑ Výsledný zorec pro částicoý déšt tedy je: Z = 4 n. π 0 dϕ = 4 N V = 4 n. 3.5 Střední olná dráha Na ds dopadnou za čas šechny molekuly ze šikmého álce o objemu: cos ϑ ds. Tato eličina charakterizuje délku dráhy, kterou molekula uletí mezi děma srážkami. U neuspořádaného pohybu molekul jsou samozřejmě délky drah mezi děma po sobě jdoucími srážkami různé a proto se počítá střední hodnota těchto drah. Vztah pro střední dráhu lze ododit z jednoduchého modelu, který ukazuje následující obrázek: Směr ektoru rychlosti je určen děma úhly (ϑ,ϕ a tedy tyto úhly musíme zadat. Tím lastně zadáme prostoroý úhel: dω = ds r r dϑ r sin ϑ dϕ = r = sin ϑ dϑ dϕ. Všechny molekuly ošem létají do šech možných úhlů tedy do celého prostoroého úhlu 4π. Do zadaného úhlu dω pak směřuje pouze úměrná část z celkoého počtu molekul, daná poměrem: dω 4π. Předpokládáme, že šechny molekuly jsou klidu a pouze jedna se pohybuje rychlostí o elikosti. Tato molekula, jako koule o poloměru r, uletí za jednotku času dráhu elikosti a narazí přitom do šech molekul, které jsou od její dráhy zdálené maximálně o R = r, tedy do molekul objemu: πr ; tento počet je: nπr.
3.5. Střední olná dráha 5 6 Kapitola 3. Kinetická teorie plynů Je to lastně počet srážek, ke kterým dojde na zdálenosti. Tedy průměrná zdálenost mezi děma srážkami je: kde l = σ je průřez molekuly (σ = πr 4 nπr = nπr = n4σ. Předpoklad o nehybnosti ostatních molekul jistě není spráný je nutné ještě uažoat zájemnou rychlost mezi ybranou molekulou a ostatními molekulami relatiní rychlost: Relatiní rychlost je rozdíl obou rychlostí (ybrané molekuly a některé sousední molekuly: rel = ; podle obrázku yjádříme elikosti rychlostí: rel = + cos α a uděláme formálně střední hodnoty: pak tedy: z toho plyne: rel = }{{} + cos α; }{{} } {{ } 0 rel = ; rel =. Po zpětném dosazení do zorce pro střední olnou dráhu potom dostaneme upraený ztah: l = n 4 σ. Dále má li záislost σ na rychlosti molekul (tj. na teplotě. Jde lastně o účinný průřez reakce (4σ, který záisí obecně na různých eličinách a také na energiích částic. Je známý Sutherlandů ztah: kde σ je σ pro T, σ = σ ( + T d T, T d je teplota zdojení (pro T = T d je σ = σ. Pak ýsledný ztah pro střední olnou dráhu je: l = n 4 σ ( + T d T. Dosadíme-li ještě za koncentraci n ze staoé ronice p = nkt, dostaneme: kt lp = 4 ( σ + T d. T Je tedy idět, že součin lp je konstantní pro daný plyn a pro danou teplotu. Speciálně: N,0 [ C]: R = 3, 0 0 [m] (R 0 = 3,78 0 0 [m] T d = 98 [K]... 07 [K] (pro 90... 000 [K] lp = 4,4 0 5 [m mt orr] = 5,9 0 5 [m mbar] O,0 [ C]: Udáá se pro zduch (0 [ C]: R 0 C = 3,6 0 0 [m] lp = 4,9 0 5 [m mt orr] lp. = 5 0 5 [m mt orr] = 6,65 0 5 [m mbar] 3.6 Další použíané eličiny Někdy se použíá eličina nazaná počet srážek (jedné částice za jednotku času: z = N t = n 4 σ = l.
3.7. Domácí úkol 7 8 Kapitola 4. Objemoé procesy plynu Další často použíanou eličinou je počet srážek (šech částic jednotce objemu za jednotku času, též nazýanou objemoá hustota srážek. Víme, že jednotce objemu je n molekul a každá z nich absoluje z srážek za jednotku času, celkem tedy nz srážek. Tímto jsme ale každou srážku započítali dakrát, a tedy musíme dělit děma: 3.7 Domácí úkol Z = nz = n l. Vypočítejte a poronejte šechny definoané eličiny pro jeden ýznačný tlak (např. rozhraní ysokého akua a ultraakua a pak přehledně pro íce tlaků celém oboru akua. Uažujte akuoou komoru taru krychle o hraně [m]. Stanote také koncentraci molekul n ze staoé ronice plynu p = nkt, při teplotě 0 [ C]. Dále ještě spočítejte střední zdálenost molekul a, přičemž použijte předstay, že molekuly jsou praidelně rozmístěny bodech kubické mřížky. Jedné molekule tak přísluší jedna elementární krychle o hraně a, tedy objem a 3. Z definice hustoty pak tedy plyne: 3.7. Řešení a = 3 n. Z následujících ronic dosazením odpoídajících hodnot postupně yřešíme hledané eličiny. Pokuste se úlohu yřešit sami, at si nemusíte kazit aše oči. p = nkt n = p kt a = 3 n lp = konst. l = konst. p z = 8kT Na 8RT kde = = l πmn a πm Z = n = l nz a Z = 4 n p p n a l z Z Z [P a] [mbar] [mm 3 ] [mm] [m] [s ] [s mm 3 ] [s mm ] 0 0 3,5 0,74 665 0 3 7 0 7 8,8 0 7,9 0 5 0 5 0 7,5 0 6 7,4 0 3 665 0,7 8,8 0 5,9 0 0 0 3,5 0 0 3,4 0 4 6,65 0 7 0 3 8,8 0 3,9 0 5 0 0 0,5 0 3 3,4 0 5 6,65 0 5 7 0 6 8,8 0 9,9 0 8 0 5 0 3,5 0 6 3,4 0 6 6,65 0 8 7 0 9 8,8 0 5,9 0 4 Objemoé procesy plynu Mezi objemoé procesy plynu patří difúze, tření plynu, tepelná odiost, efúze, proudění plynu. Uedeme nejpre méně známý je, při kterém ynikne důležitost střední olné dráhy molekul, speciálně její elikosti zhledem k rozměrům systému. 4. Tepelná transpirace (efúze plynu Ze zkušenosti íme: když propojíme dě nádoby, tlaky se ždy (po určité době yronají, i když by například nádoby měly různé teploty, ale to platí pouze za yšších tlaků. Kritérium je: kde l je střední olná dráha, d je lineární rozměr systému. l d, V případě opačném, za elmi nízkých tlaků, kdy bude platit opačná neronost l d, pak pozorujeme elmi zajímaý je neyronání tlaku.
4.. Tepelná transpirace (efúze plynu 9 30 Kapitola 4. Objemoé procesy plynu Na obrázku idíme: dě uzařené nádoby (objemy, jsou spojené otorem plochy S. Molekuly plynu se za molekulární podmínky l d zájemně prakticky nesrážejí, srážky jsou pouze se stěnami. Předpokládejme nejpre, že obou nádobách je na počátku stejná teplota i koncentrace plynu: pak z leé nádoby dopadá na plochu S (a niká do praé nádoby za času proud molekul: J = SZ = S 4 n = S 4 n 8kT πm = konst n T a samozřejmě z praé strany dopadá na plochu S proud stejný: Tedy: J = SZ = konst n T = J = konst n T. J = n T = n T = J. Jestliže nyní zahřejeme například leou nádobu na teplotu yšší než je teplota praé nádoby T > T, pak bude J > J a zlea dopraa přechází íce molekul než směrem opačným, praé nádobě se zětšuje jejich koncentrace až na nějakou hodnotu n > n, při které se proudy molekul opět yronají: J = J. Bude tedy platit: n T = n T n n = T T. (4. V praé a leé nádobě budou tedy různé koncentrace, tedy i tlaky plynu (podle staoé ronice: p = n kt, Dosadíme do ronice (4.: ( p kt p = n kt. ( kt = p T T. A dostááme ztah pro tlaky obou nádobách: p T =. p T To je prakticky důležité pro měření tlaku tomto oboru ( l d. Například: Máme akuoou pec o teplotě T = 000 [K] a chceme změřit tlak unitř (p =?. Tlakoměr dáme mimo pec do malé komůrky, kde je teplota T = 93 [K], a ten bude měřit jiný tlak p, než je peci: T 000 p = p = p T 93 =,6 p. 4. Difúze plynu Na rozdíl od předchozí efúze plynu se projeuje při yšších tlacích, tedy když molekuly konají elké množstí srážek a střední olná dráha je malá ( l d. Necht do určitého místa (x = 0 jednoho plynu zaedeme nějaké množstí druhého plynu, tj. počáteční koncentrace n 0 tohoto druhého plynu je nenuloá pouze místě x = 0. S postupem času, jako důsledek neuspořádaného pohybu molekul, pronikají molekuly druhého plynu dál a dál od počátečního místa x = 0, koncentrace druhého plynu je nenuloá i mimo počátek a neustále roste (ale počátku je samozřejmě stále nejětší a tento proces nazýáme difúzí druhého plynu plynu prním. Po určité (delší době se koncentrace šude yroná a difúze zkončí.
4.. Difúze plynu 3 3 Kapitola 4. Objemoé procesy plynu Molekuly letí z místa poslední nějaké srážky, které je zdálené o délku střední olné dráhy l, tedy z místa (x 0 l a (x 0 + l. V těchto místech je koncentrace difundujícího plynu n(x 0 l a n(x 0 + l. Z leé strany tedy dopadá na plochu S za času proud molekul: J = 4 n(x 0 l S a z praé strany dopadá na plochu S: Je tedy základní charakteristikou probíhající difúze nějakého plynu ( jiném plynu, že jeho koncentrace je funkcí místa: n = n( r = n(x,y,z. Pro jednoduchost se zaměříme pouze na jednorozměrný příklad, e kterém platí: n = n(x. Nyní budeme zkoumat situaci obecném místě x 0 na ploše S, která je kolmá na souřadnicoou osu x. J dif = J J = 4 J = 4 n(x 0 + l S < J. Celkoý difúzní proud molekul přes plochu S směřující zlea dopraa:. ( n(x0 l n(x 0 + l ( l S l ( = Po dosazení za ( n(x 0 l n(x 0 + l = dn a za ( l J dif = l ( dn S = D dx ( dn dx S, dx dostááme: kde D = l je koeficient difúze. Dostááme. Ficků zákon: J dif = D ( dn S. dx Na obrázku je yznačena koncentrace nějakého difundujícího plynu jako klesající funkce n(x. Tedy na plochu S jistě dopadá zlea ětší počet molekul než z praé strany (za času, iz ztah pro částicoý déšt Z = 4 n. V místě x 0 plochy S se tyto molekuly asi zájemně srážejí. Nyní nás bude zajímat, odkud lastně letí tyto molekuly, které dopadají na S zlea a zpraa. Po ydělení plochou S dostaneme ztah pro hustotu difúzního proudu: ( dn j dif = D. dx A pro třírozměrný případ difúze bychom dostali: j dif = D grad n. Uedený ýpočet difúzního proudu byl proeden na základě rstoého modelu plynu:
4.3. Tepelná odiost plynu (přenos tepla 33 34 Kapitola 4. Objemoé procesy plynu tomto zjednodušeném modelu předpokládáme, že se molekuly zájemně srážejí pouze určitých místech (rstách, které jsou zdálené o střední olnou dráhu (..., x 0 l, x 0, x 0 + l,..., mezi těmito rstami se pohybují zcela beze srážek střední rychlostí, a pohybují se ronoběžně s osou x, jde tedy lastně o obroské zjednodušení, přičemž je zajímaé, že přesný ýpočet ede pouze k jediné korekci: e ztahu pro D je 3 místo. Spráný ýraz pro difúzní koeficient je proto: D = 3 l. Dosad me známé ztahy (při stálé teplotě: ( D = 3 n4 ( σ + T d T 8kT πm. = konst m Nejlépe tedy difundují nejlehčí plyny (H, He, proto se užíá He k hledání netěsností. 4.3 Tepelná odiost plynu (přenos tepla Tento je nastane případě, že části akuoého systému mají různé teploty. od teplejší plochy P a ochlazují se od chladnější plochy P a teplota plynu tedy zřejmě stoupá od teploty T k teplotě T a je funkcí souřadnice z: T = T (z. Sledujeme plochu S kolmou na osu z místě z 0 a použijeme rstoý model plynu: molekuly, které na S dopadají shora, proletěly dráhu l a pocházejí tedy z místa (z 0 + l, tomto místě má plyn teplotu T (z 0 + l a molekuly tedy mají energii: 3 kt (z 0 + l, tedy shora na plochu S dopadne za času počet částic: 4n S a každá z nich má energii: 3 kt (z 0 + l, potom energie, kterou tyto molekuly nesou, má hodnotu: 4 n S 3 kt (z 0 + l. Analogicky molekuly dopadající na S zdola nesou menší energii: 4 n S 3 kt (z 0 l. Celkem tedy přes plochu S teče shora dolů tok energie, tj. tepelný tok: Q = 4 n S 3 k [ T (z 0 + l T (z 0 l ] ( l. l Označíme: kde ( dt = [ T (z 0 + l T (z 0 l ] (, l index znamená nitřní; a dále: λ = 4 n 3 k l, Zkoumejme dě ronoběžné plochy P a P o teplotách T a T, e zdálenosti d a T < T. Molekuly plynu mezi těmito plochami se ohříají kde λ je koeficient tepelné odiosti (nitřní.
4.3. Tepelná odiost plynu (přenos tepla 35 36 Kapitola 4. Objemoé procesy plynu Potom dostááme: Poznámka: ( dt Q = λ S. Můžeme také yjádřit hustotu tepelného toku (na plochy: ( dt j Q = λ a prostoru půjde opět o ektor: j Q = λ grad T. Tento tepelný tok musí být zřejmě stejný každém místě z pro stejné plochy S, což plyne ze zachoání energie: Z toho ošem plyne: Q = konst. ( dt = konst. Tedy teplota je lineární funkcí souřadnice z. Stejný tok energie teče ale také na spodní plochu P (z horní plochy P, konkrétně: na P dopadají molekuly z místa poslední srážky, tj. z rsty z = l, molekuly mají teplotu T ( l a z plochy P ošem letí nahoru také nějaké molekuly, zřejmě odražené. Uažme: kdyby tyto molekuly byly normálně pružně odražené, měly by stejnou rychlost jako molekuly dopadající, tj. stejnou teplotu T ( l žádné předané teplo! Odraz molekul od plochy P tedy musí být nepružný, molekuly při něm předají ploše P přebytečnou energii, tím se ochladí z teploty T ( l na teplotu T. Pak energie předaná na plochu P je: 4 n S 3 k ( T ( l T. Ale proces ochlazoání molekul jistě nelze řídit, některé molekuly se odrazí pružně, jiné se ochladí jen částečně. Necht N celk je celkoý počet molekul dopadlých na plochu. Pak označme N ak počet molekul, které se při nepružném odrazu ochladily na teplotu plochy (akomodoaly se, přizpůsobily se a zbytek molekul (N celk N ak se odrazil pružně. Pak definujeme eličinu koeficient akomodace (praděpodobnost akomodace energie jako poměrné zastoupení akomodoaných molekul: α E = N ak N celk. Velikost tohoto koeficientu záisí na druhu plynu a plochy. Obecně: například: N na čisté Pt... α E = 0,77; O na čisté Pt... α E = 0,79; H na čisté Pt... α E = 0,9. 0 < α E <, Tedy pouze tato část molekul předá soji energii ploše P, tj. tepelný tok na P bude: Q P = α E 4 n S 3 k ( T ( l T. Analogicky z plochy P oéká energie (α E by mohl být jiný: Q P = α E 4 n S 3 k ( T T (d l. Poronejme tyto tepelné toky s tokem Q : Dosadíme: Zkrátíme a dostááme: Q P = Q. α E 4 n S 3 k ( T ( l T = 4 n S 3 ( dt k l. T ( l T = l ( dt. (4. α E
4.3. Tepelná odiost plynu (přenos tepla 37 38 Kapitola 4. Objemoé procesy plynu Stejným způsobem dostaneme z ronosti Q P = Q : T T (d l = l ( dt α E (4.3 a ještě jednu ronici získáme z lineární záislosti teploty T na souřadnici z, která určitě platí mezích T ( l až T (d l: ( dt = T (d l T ( l. (4.4 d l Máme tak 3 ronice o třech neznámých: ( dt, T ( l a T (d l. Vyřešit za domácí cičení: ( dt T T = ( ; d + l α E T ( l = T + l T T ( ; α E d + l α E T (d l = T l T T (. α E d + l α E Dále sestait ronici přímky: T = T (z. Podle obrázku na straně 33: přímka ( začíná na ose z bodě z = z a končí bodě z = d + z = d + αe α E l, teplotní skok místě ploch: ( T s = αe α E l ( dt. Pro spád teploty unitř plynu dostaneme: ( dt T T = ( = d + l α E ( T T = d ( d d + l α E = ( T T d G E, kde zlomek ( T T d je nější gradient teploty, G E = d d+ l( je tz. kluzný faktor. α E Dosad me do ztahu pro tepelný tok: kde = 4 n S 3 ( dt k l Q = Q = Q P = Q P = ( dt = λ S = λ SG E ( T T d λ = λ G E je koeficient tepelné odiosti (ýsledný, nější. Celkem tedy: pro teplo přenášené z plochy P na plochu P platí ronice: ( T T Q = λs. d Poznámka: Přesný ýpočet dá hodnotu 0,83 místo 3 4 e ýrazu pro λ. Rozlišme nyní da mezní případy:. ysoké tlaky, kde l ( ( d, aby platilo l α E d. Pak zřejmě: d G E = (. d + l α E ( ( Pokud zanedbáme l α E, potom platí: A koeficient tepelné odiosti: G E =. λ = λ G E = λ = 4 n 3 k l.,
4.3. Tepelná odiost plynu (přenos tepla 39 40 Kapitola 4. Objemoé procesy plynu Dosadíme za n: λ = 4 p kt 3 k l = 3 4 T p l, kde součin p l (iz dříe nezáisí na tlaku a roněž tepelný tok Q nezáisí tedy na tlaku (jen na teplotě a druhu plynu.. nízké tlaky, kde l ( ( d, aby platilo l α E d. Pak bude: λ = λ G E = 4 n 3 k l Pokud zanedbáme d, dostááme: λ = 4 p kt 3 k d 3 ( = αe 8 T α E a tepelný tok: ( T T Q = λ S d d (. d + l α E ( αe α E = 3 8 ( T αe d p S α E d p ( T T Q nezáisí na zdálenosti ploch (to je pochopitelné, nebot za nízkého tlaku se molekuly prakticky nesrážejí, yletují z jedné plochy a dopadají na druhou plochu Q je přímo úměrné tlaku! Aplikace: tepelné akuometry (Piraniho, tepelná izolace (potřebujeme dosáhnout co nejnižší tlak a zároeň použít co nejtěžší plyn, protože M. d 4.4 Tření plynu Je analogické jeu edení tepla, ale místo energie se přenáší impuls (hybnost. Zkoumejme opět dě ronoběžné plochy: P... pohybuje se rychlostí (= 0 e směru osy x, P... pohybuje se rychlostí ( 0 e směru osy x. Molekuly plynu mezi plochami získáají e srážkách s plochou P přídanou (driftoou, unášiou rychlost e směru osy x, (a hybnost m, a e zájemných srážkách si ji pak dále předáají, se mění od = 0 do záislosti na z: = (z. Stejný model plynu jako u edení tepla: plyn je rozdělen do rstiček zdálených o střední olnou dráhu l, mezi nimi se pohybují molekuly beze srážek. Graficky: Počítají se opět toky molekul nějakou plochou S obdobném místě z 0 : molekuly dopadající zhora pocházejí z místa (z 0 + l a mají přídanou hybnost m(z 0 + l, molekuly dopadající zdola mají hybnost m(z 0 l.