3. Vlny. 3.1 Úvod. 3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru

Transkript

1 3. Vlny 3. Úod Vlnění můžeme pozoroat například na odní hladině, hodíme-li do ody kámen. Mechanické lnění je děj, při kterém se kmitání šíří látkoým prostředím. To znamená, že například zuk, který je mechanickým lněním, se může šířit pouze prostředím, jehož částice si mohou předáat energii kmitů mezi sebou. Jedná se o dojnásobně periodický děj, který má jak časoou, tak prostoroou periodicitu. Jak známo, elektromagnetické lny látkoé prostředí pro sůj přenos nepotřebují a šíří se naopak e akuu nejlépe. V této kapitole se šak budeme zabýat pouze mechanickým lněním a elektromagnetickým lnám se bude ěnoat samostatná 5. kapitola. 3. Ronice postupné lny bodoé řadě a prostoru Nejjednodušší případ mechanického lnění zniká přenosem energie přímé řadě složené z jednotliých hmotných bodů, které reprezentují soustau spřažených oscilátorů. V tomto případě se lnění šíří pouze po přímce (bodoé řadě) a procesu se neúčastní ostatní body prostoru. Zákony pro šíření ln bodoé řadě jsou poněkud jednodušší než zákony lnění prostoroého. Rozebereme tedy nejdříe ronici postupné lny bodoé řadě, které rozdělujeme na lnění postupné příčné transerzální (kolmo ke směru šíření lny - rozkmitané lano) a lnění postupné podélné longitudální (e směru šíření lny - zuk). Vlnění postupné příčné Vlnění se pružném prostředí šíří rychlostí, která záisí na lastnostech prostředí. jestliže zdroj lnění kmitá s frekencí f=/t, pak lnění za dobu T dospěje do zdálenosti λ, kterou nazýáme lnoá délka a platí ztah: λ = T =. (3.) f Uažujme, že zdroj Z lnění kmitá harmonicky podle následující ronice (iz. kapitola Kmity): y = Asin( ωt), (3.) kde y je okamžitá ýchylka, A je amplituda, ω je úhloá frekence a t je čas. Vlnění se šíří přímé bodoé řadě kladném směru osy x. Do bodu X (iz obr. 3..) e zdálenosti x od zdroje Z lnění dospěje za dobu τ = x/ (kde je rychlost lnění). Což znamená, že kmitání bodu X bude mít stejnou okamžitou ýchylku jako zdroj Z o dobu τ později. Okamžitá ýchylka bodě X je potom určena ztahem: x y = Asinω ( t τ ) = Asinω t. (3.3) Dosadíme-li za ω=π/t a použijeme-li ýraz pro lnoou délku 3., dostaneme ronici

2 postupné lny pro řadu bodů: t x y = Asin π. (3.4) T λ Často býá ztah 3.4 zapisoán s pomocí tz. lnoého čísla k=π/λ: y = Asin( ω t kx). (3.5) Ze ztahu 3.4 a 3.5 je mimo jiné také dobře idět, že body, které leží e směru šíření ln, kmitají s fázoým zpožděním oproti bodu počátku souřadnic x ϕ = π = kx. (3.6) λ Obrázek 3..: Postupná lna řady bodů. Vlnění je tedy periodický děj, který má periodu časoou yjádřenou eličinami ω, T a periodou prostoroou yjádřenou reprezentoanou eličinami k a λ. Příčné postupné lnění je charakterizoáno také ještě směrem kmitání. Směr kmitání je dán směrem, e kterém se body řady ychylují z ronoážné polohy. Obecně může kmitání bodů řady probíhat e šech možných směrech (iz obr. 3..a). Vlnění, kdy šechny body řady kmitají jednom směru, nebo-li jedné roině, nazýáme lineárně polarizoané lnění (iz obr. 3..b). Obrázek 3..: Pohled, kdy se lny šíří směrem k nám (a) nepolarizoané lnění (a) polarizoané lnění.

3 Vlnění postupné podélné V případě podélného lnění kmitají šechny body řady e směru šíření ln. Souřadnice x šech bodů řady již není stálá, ale mění se tak, že každém okamžiku se k ní přičítá okamžité ýchylka kmitaého pohybu. Délka lny je zde charakterizoána jedním zředěním a jedním zhuštěním. Okamžitá ýchylka je matematicky popsána stejně jako případě příčného lnění, tedy ztahy Je nutné si šak uědomit, že přenášení rozruchu při podélném lnění je podmíněno tlakoými silami. Tyto síly se mohou yskytoat látkách šech skupenstí. Přenášení kmitů při příčném lnění je zprostředkoáno tečnými (smykoými) silami, které mohou existoat jen látkách pených. Jinak řečeno, pených látkách se mohou šířit oba druhy lnění, zatímco tekutinách (kapaliny a plyny) se může šířit pouze lnění podélné. Rychlost lnění záisí na druhu azby. Čím je azba těsnější, tím je lnění rychlejší. Je nutné si ještě uědomit, že jsme zatím psali pouze o rychlosti lny (ronice 3.), tedy =fλ, Rychlost lny šak není rychlostí s jakou kmitá liboolný bod řadě, ať už se jedná o příčné či podélné lnění (tedy bod kmitá buď kolmo na směr šíření lny, nebo e směru šíření lny). Tato rychlost je stejná jako ronici.5, tedy maximální hodnota max =ωa. Šíření roinné lny Nyní určíme tar ronice ystihující šíření lnění (roinné lny) prostoru. Roinná lna se může kartézské soustaě souřadnic (x, y, z) šířit obecném směru. Trochu si situaci zjednodušíme, když řekneme, že roinná lnoplocha je kolmá k roině xy a její směr šíření je dán lnou, která sírá s osou x úhel α.(iz obr. 3..3). obr bude:-) Určitý bod P Zeměplochy je dán polohoým ektorem: r = ix. (3.7) Směr šíření lnoplochy můžeme charakterizoat jednotkoým ektorem rychlosti 0. Vlnoplochu bodě P lze tedy popsat ronicí y = Asinω( t τ ), (3.8) kde τ je potřebná doba k tomu, aby se lnoplocha rozšířila z jedné polohy do druhé, přičemž urazila dráhu s yjádřitelnou skalárním součinem ektorů r a 0 : Čas τ je pak dán jako 0 s = r = r cosα. (3.9) 0 s r r cosα τ = = =. Dosadíme-li ztah 3.0 do ronice 3.8 dostááme ýraz (3.0) ω sin 0 y = A ω t r. (3.)

4 Je zřejmé, že ω/ je π/λ a že směr šíření lnoplochy můžeme podobně jako 3.5 yjádřit lnoým ektorem A konečně lze napsat ronici pro lnoplochu π 0 k =. (3.) λ y = Asin( ω t kr). (3.3) 3.3 Vlnoá ronice Dosud jsme uažoali pouze lnění sinusoého průběhu, které jsme popsali ronicemi Obecně šak může bod řady konat naprosto obecné kmity, například může opisoat Lissajoussoy obrazce. Počáteční rozruch může tedy mít jakýkoli průběh a ostatní body řady pak prostřednictí azby konají kmity stejného průběhu s určitým zpožděním a zniklé lnění lze popsat obecnou ronicí (, ) x y x t = f t ±. (3.4) Znaménko ± znamená, že lnění se může šířit jak kladném směru, tak i záporném směru osy x. Vztah 3.4 lze poažoat za řešení obecné diferenciální ronice, nebo-li lnoé ronice, kterou si zde uedeme bez odození: y y =. x t Ronice 3.5 je lastně pohyboou ronicí pro lnění pro šíření lny bodoé řadě. (3.5) 3.4 Huygensů princip Christiaan Huygens (69-695), který byl téměř současníkem Issaca Newtona (643-77), ysloil hypotézu, která je dodnes klasické mechanice platná a experimentálně dokazatelná pro šechny druhy lnění. Huygensů princip (iz obr. 3.4.) zní: Vlnění se šíří prostorem tak,že šechny body, do nichž lnění dospěje, lze poažoat za bodoé zdroje elementárního lnění, které se kolem každého bodu rozšíří na elementární lnoplochy. Noá ýsledná lnoplocha je pak obálkou šech elementárních lnoploch e směru šíření lnění. obr bude:-)

5 3.5 Odraz a lom lnění Pomocí Huygensoa principu teď ododíme zákon odraz a zákon lomu při dopadu roinné lny na rozhraní dou prostředí. Odraz lnění Předpokládejme, že na rozhraní dou prostředí dopadá roinná lnoplocha, jejíž směr je určen úhlem dopadu α a lnění se šíří rychlostí (iz obr. 3.5.). obr bude:-) Zákon odrazu zní: Úhel dopadu α měřený od kolmice dopadu se roná úhlu odrazu α. Tedy α = α. (3.6) Lom lnění Nyní předpokládejme opět roinnou lnoplochu šířící se e směru paprsků rychlostí na rozhraní dou prostředí (iz obr. 3.5.). obr bude:-) Nyní platí známý ztah nazýaný Snellů zákon lomu: Poměr sinu úhlu dopadu k sinu úhlu lomu je roen poměru fázoých rychlostí lnění obou prostředích. Tedy sinα = sinα. (3.7) Je-li rychlost šíření lny prním prostředí ětší než rychlost druhém prostředí, tedy >, pak α <α a jde o lom lnění ke kolmici. Je-li rychlost šíření lny prním prostředí menší než rychlost druhém prostředí, tedy <, pak α >α a jde o lom lnění od kolmice. V případě lomu od kolmice může nastat mezní případ, kdy úhel lomu α =π/, pak jeho sinus je roen jedné a pro úhel dopadu pak platí

6 sinα =. (3.8) < Úhel α pak nazýáme mezním úhlem α m a je to nejětší úhel dopadu, pro který kromě odrazu nastáá také lom. Pro úhly ětší než α m nastáá úplný odraz (totální reflexe). 3.6 Skládání ln Podobně jako u kmitů i zde platí princip superpozice: Výchylky dou překrýajících se ln se algebraicky sčítají a ytářejí jednu ýslednou lnu a současně se překrýající lny při sém postupu neoliňují. Studiu superpozice ln se ěnoal francouzský matematik Jean Baptiste Fourier ( ), který také ukázal, že liboolnou složenou lnu lze yjádřit e taru součtu ětšího počtu sinusoých ln, pokud se hodně zolí jejich frekence, amplitudy a fázoé konstanty. Jinak řečeno každou jakkoli složitou lnu lze reprodukoat složením dostatečného počtu sinusoých ln (iz obr 3.6.). obr bude:-) Tyto součty se nazýají Fourieroy řady. Obecný předpis Fourieroy řady nalezneme každé učebnici matematiky. Ueďme si alespoň jeden předpis pro skládání goniometrických funkcí: n= y ( t) = A0 + An sin( nωt + ϕn ), (3.9) kde n je celé kladné číslo. Rozpis této řady popisuje ýraz 3.0 y t) = A + A sin( ω t + ϕ ) + A sin(ωt + ϕ ) + A sin(3ωt + ϕ ) A sin(nωt + ) (3.0) ( n ϕ