VÝPOČET TOPOGRAFICKÝCH OPRAV TÍHOVÝCH DAT PRO URČENÍ PŘESNÉHO REGIONÁLNÍHO MODELU GEOIDU

VÝPOČET TOPOGRAFICKÝCH OPRAV TÍHOVÝCH DAT PRO URČENÍ PŘESNÉHO REGIONÁLNÍHO MODELU GEOIDU COMPUTATION OF THE TOPOGRAPHIC GRAVITY CORRECTIONS FOR THE REGIONAL GEOID DETERMINATION Abstract Martin Kadlec 1 One step in the process of determining a precise regional model of the geoid from terrestrial gravity is downward continuation of measured gravity data. This step can be performed when there are no masses between geoid and topography. This option is usually satisfied by the remove-restore principle, which removes topographical masses or shifts them under or on the geoid. This moving of masses changes the gravity field of the Earth and appropriate reductions to measured gravity data must be established (direct topographical effect, DTE). This work deals with computation of DTE using the second Helmert condensation method. Basic formulas for computation of DTE in spherical aproximation are introduced. The database of gravity data, digital terrain models and rock density maps for the area of central Europe, which was used for computing DTE and which can be used also for solving other similar problems of physical geodesy in that area, are also described in the article. Computing DTE in the area of central Europe with resolution of the data 30 x30 is a time-consuming task. The possiblity of parallelization of such a problem and using of a powerfull academic cluster Metacentrum is noted. Finally results in a form of tables and maps of DTE are shown. An effect of rock density variations is also discussed, but in the area of the Czech Republic is this effect minor. Results might be used in precise regional geoid computations. Key words Terrain corrections (terénní opravy) Second Helmert condensation (druhá Helmertova kondenzační metoda) mass density variations (variace hustot hornin) geoid gravity (tíže) 1 ÚVOD Určení vnějšího tíhového pole Země je jednou ze základních úloh geodézie. Klasickým problémem je určení geometrie hladinové plochy tíhového pole, která nejlépe odpovídá střední hladině oceánu geoidu. Geoid je rovněž referenční plochou pro některé druhy výšek. Znalost geoidu tak umožňuje vzájemnou transformaci mezi fyzikálními výškami vztaženými ke geoidu a geometrickými výškami měřenými po normále k určitému referenčnímu elipsoidu (výšky určené pomocí GPS). Přestože se koncept geoidu jako referenční plochy pro určování výšek v České republice neužívá, zachovává si geoid svůj význam jako jednoznačně fyzikálně definovaná hladinová plocha zemského tíhového pole. Existují dvě základní metody určování geoidu: geometrická metoda využívající tížnicové odchylky určené z rozdílů geodetických a astronomických souřadnic a gravimetrická metoda vycházející z tíhových měření. Dnes je již dostatek kvalitních tíhových dat a proto se častěji využívá gravimetrická metoda. K přesnému určení geoidu však pouze tíhová data naměřená na povrchu Země nestačí je potřeba i přesný popis topografie, na níž byla tíhová data měřena (dnes obvykle ve formě digitálního modelu terénu), a dále znalost rozložení hustot topografických hmot mezi určovaným geoidem a povrchem Země. Určování tvaru geoidu s uvážením existence topografických hmot mezi geoidem a povrchem Země je však teoreticky a zejména prakticky (výpočetně) obtížné. Tíhová data naměřená na povrchu Země je nutné prodloužit na geoid, respektive plochu, která jej při výpočtu aproximuje. To se dá provést za předpokladu, že mezi topografií a geoidem nejsou žádné hmoty. Proto se pro praktické výpočty používá tzv. remove-restore princip, kdy se hmoty mezi geoidem a povrchem Země matematicky odstraní (nebo přesunou do nitra Země či alespoň na geoid). S přesouváním hmot (remove) je nutně spojena změna tíhového pole, která se musí zavést do měřených dat oprava tzv. přímého efektu. Vypočtená plocha (co-geoid) je hladinovou plochou v modelovém případě s přesunutými topografickými hmotami, ne však ve skutečném světě. Proto se musí následně opravit o hodnotu způsobenou rozdílem obou tíhových polí (tedy tíhového pole skutečné Země a Země s odstraněnými či přesunutými topografickými hmotami, tzv. nepřímý efekt). Přesnost takto určeného modelu geoidu pak závisí mj. i na co nejpřesnějším popisu topografických hmot, který je nutný pro správný výpočet přímého i nepřímého efektu. 1 Martin Kadlec, Ing., Západočeská univerzita v Plzni, Fakulta aplikovaných věd, katedra matematiky, oddělení geomatiky, Univerzitní, 306 14 Plzeň, kadlecm@kma.zcu.cz

Tato práce se věnuje určení přímého topografického efektu. Použitá metoda přesunu topografických hmot je tzv. druhá Helmertova kondenzační metoda [5], při níž jsou veškeré topografické hmoty virtuálně přesunuty na nekonečně tenkou vrstvu na geoidu. Práce rovněž popisuje databázi tíhových, výškových a hustotních dat, která byla pro účely podobných výpočtů z oblasti fyzikální geodézie sestavena pro území střední Evropy. Jedná se o nejucelenější databázi podobného charakteru, která je autorovi (pro danou oblast) známa. HELMERTOVA DRUHÁ KONDENZAČNÍ METODA Princip této metody je jednoduchý, jedná se o matematickou metodu, která sice postrádá skutečný fyzikální význam, ale přesto se pro výpočet geoidu běžně používá. Spočívá v přesunutí veškerých topografických hmot mezi povrchem Země a geoidem na nekonečně tenkou vrstvu o jisté hmotnosti na samotném geoidu. Odstraněním topografických hmot však změníme tíhové pole. Je tak nutné vypočítat opravu (přímý efekt) tíhových dat, kterými jsou v případě určování gravimetrického geoidu z pozemních tíhových dat velikosti tíhového vektoru g = grad W Samotný přímý efekt se tedy skládá ze dvou částí: od složky, kterou generovaly odstraněné hmoty (A t ) odečteme složku, kterou generuje hmotná vrstva na geoidu (A ct ) da t = A t - A ct. Při přímém výpočtu členu A t integrací přes topografické hmoty nám však vyjde singularita ve výpočetním bodu na povrchu Země. Tato singularita se odstraňuje jednoduchým matematickým trikem: Efekt topografie se rozdělí na efekt kulové vrstvy (při sférické aproximaci, viz níže) nebo desky (při lineární aproximaci) A ts procházející výpočetním bodem, jež lze vyjádřit analyticky, a na tzv. terénní opravu A tr A t = A ts + A tr. Podobně se postupuje u členu, který vyjadřuje vliv na velikost tíhového vektoru vyvolaný kondenzační vrstvou A ct = A cts + A ctr. Vhodnou volbou hustoty kondenzační kulové vrstvy podle podmínky A cts = A ts se zjednoduší výpočet přímého efektu pouze na členy (tzv. terénní opravu) da t = A ts + A tr - A cts - A ctr = A tr - A ctr Problémem při odvození hodnot A tr, A ctr je zejména určení spodní hranice odstraňovaných topografických hmot, jejichž gravitační efekt má být počítán. Zatímco horní hranice těchto hmot je jednoznačně určena, je jí topografie, dolní hranici tvoří geoid, což je složitá plocha, kterou navíc teprve určujeme. Geoid jako spodní hraniční plocha se proto při výpočtu nahrazuje buďto rovinou (planární aproximace) nebo kulovou plochou (sférická aproximace). Podobně se postupuje i u kondenzační vrstvy, která by v ideálním případě měla ležet také na geoidu. Samotný popis geometrie topografických ploch nám pro výpočet nestačí. Dalším problémem jsou hustoty uvnitř topografických hmot, které se nedají přímo měřit. Ve většině výpočtů se používá konstantní hustota pro celou topografii (ρ 0 = 670 kg/m 3 ). Zde budou uvedeny vztahy platící pro proměnnou hustotu v závislosti na zeměpisné šířce a délce, která se však nemění s výškou. To odpovídá dostupným modelům rozložení hustot. Odvození výpočtu hodnot A tr,a ctr za výše uvedených předpokladů (ve sférické aproximaci, s hustotou, která se němění s výškou) podává [1] tr A ( R + H, Ω) = G kde K je integrační jádro definované K( r, ψ, ξ ) = Ω ( Ω' ) K( R + H, ψ, ξ ) R+ H ( Ω') ξ = R+ H ( Ω) dω' ρ, [( ξ + 3r ) cosψ + rξ (1 6cos ψ )] + r(3cos ψ 1) lnξ r cosψ + N kde C je integrační konstanta a N(r,ψ,ξ) Newtonovo integrační jádro 1 ( r, ψ, ξ ) + C ψ ξ = ξ ξ ψ 1/ N ( r,, ) ( r + r cos ). N( r, ψ, ξ ) + Ve všech výrazech je R poloměr náhradní koule, Ω dvojice sférických úhlových souřadnic výpočetního bodu, Ω odpovídající dvojice sférických souřadnic integračního elementu, H(Ω), H(Ω ) výška výpočetního bodu, resp. výška bodu

odpovídající integračnímu elementu, ρ(ω ) hustota topografických hmot odpovídající integračnímu elementu, ψ sférická vzdálenost výpočetního bodu a integračního elementu. Dále platí A ctr kde J je integrační jádro ( R + H, Ω) = GR Ω J ( r, ψ, R) [ H ( Ω') H ( Ω) ] ρ ( Ω') J ( R + H, ψ, ξ ) dω', ( R cosψ r) N ( r, ψ, R) 3 =. Integrace by měla správně probíhat pro každý výpočetní bod přes všechnu topografii, největší význam má ovšem terénní oprava v bezprostřední blízkosti výpočetního bodu, z praktických důvodů se proto výpočet omezuje pouze na jisté okolí výpočetního bodu (např. do sférické vzdálenosti 1 od výpočetního bodu). Známe-li integrální vyjádření pro A tr,a ctr, je již jednoduché přejít k výpočetním vztahům (nahrazení integrálu sumami). Získáme vztahy (opět [1]) A ctr tr A ( R + H, Ω) = G j i= 1 j R+ H ( Ω') ρ ( Ω' ) K( R + H, ψ, ξ ) dω' a i= 1 ξ = R+ H ( Ω) [ H ( Ω') H ( Ω) ] ( R + H, Ω) = GR ( Ω' ) J ( R + H, ψ, ξ ) dω' kde j je počet pixelů, na které jsme při diskretizaci integrační oblast rozdělili. ρ, 3 DATABÁZE TÍHOVÝCH, VÝŠKOVÝCH A HUSTOTNÍCH DAT Klíčovým poblémem pro určení přímého topografického efektu je dostatek a kvalita dat nutných pro výpočet. Pro řešení této, ale i jiných úloh fyzikální geodézie, byla sestavena databáze tíhových, výškových a hustotních dat pro střední Evropu. Tato databáze vychází z databáze VÚGTK []. Databáze VÚGTK obsahuje tíhová data na území střední a západní Evropy a střední výšky, které jsou odvozeny buďto z přesných národních výškových dat (pokud byly k dispozici) nebo z globálního modelu GTOPO30 [3]. Všechna data mají rozlišení 30 x30. 3.1 POPIS DATABÁZE Výše popsanou databázi jsme rozšířili zejm. o D model rozložní hustot topografie a další digitální modely terénu. Výsledná databáze tedy obsahuje výšková data z různých zdrojů tíhová data hustoty hornin Databáze pokrývá území o rozsahu 4 58 severní šířky a 6 8 východní délky. Rozlišení dat je 30 x30. Data jsou uložena v databázi GIS GRASS v. 6 jako rastrová data v rozsahu a rozlišení uvedeném výše. To umožňuje snadnou manipulaci s daty. Pro účely výpočtů v jiných programech existuje také kopie databáze v textovém formátu ARC/Info ASCII grid. 3. POPIS JEDNOTLIVÝCH RASTRŮ Názvy odpovídají názvům map uložených v GIS Grass. Stejné názvy rastrů má i kopie databáze v textovém formatu. Tab. 1 Popis rastrů uložených v databázi rastr obsah rozměr poslední změna grav g redukované o 980 000 mgal 9.5.006 grav_types kód původu g 9.5.006 h_gop výška zdroj GOP opravená m (reálné) 9.5.006 h_gop_orig výška zdroj GOP původní m (reálné) 9.5.006

h_srtm30 výška SRTM30 m 9.5.006 rock_den hustota hornin kg/m3 9.5.006 vysky výška kombinace zdrojů m 9.5.006 vysky_types kód zdroje vysky.asc 9.5.006 3.3 VÝŠKOVÁ DATA Rastry h_gop, h_gop_orig Výšky v centimetrech získané společně s tíhovými daty z modelu VÚGTK. Tyto výšky pochází z různých zdrojů viz []. Pro ČR, Slovensko a Rakousko jsou to výšky z různých národních databází. Zbylé výšky jsou převzaty z modelu GTOPO30 [3]. Testy bylo zjištěno, že všechny výšky pocházející z modelu GTOPO30 jsou posunuté o 1 pixel na východ. Proto jsou výšky uloženy ve dvou verzích h_gop_orig obsahuje původní výšky (ty je nutné respektovat při práci s tíhovými daty která jsou k nim vztažena!) a h_gop obsahuje výšky získané posunutím výšek z GTOPO30 o 1 pixel na západ. Ostatní výšky byly zachovány. Rastr h_srtm30 Výšky z modelu SRTM [4]. Jedná se o nadmořské výšky nad globálním modelem geoidu EGM96. Výšky vychází z modelu SRTM, ale jsou částečně kombinované s modelem GTOPO (zejména v místech kde v SRTM hodnoty chybí). Podrobneji viz dokumentace projektu SRTM [4]. Rastr vysky Obr. 1 Topografie ve výpočetní oblasti [m] V SRTM stále zůstaly některé hrubé chyby. GTOPO30 je zase celkově méně přesný. Nejpřesnější jsou zřejmě data z národních databází. Výsledné výšky tak vznikly kombinací všech dat. Nejprve jsou použita data z národních databází. Následně data SRTM. Tam, kde rozdíl mezi modely SRTM a GOP30 překračuje 75 m (trojnásobek střední chyby souboru rozdílů mezi modely SRTM a GOP30), jsou použita data GTOPO30. Rastr vysky_types Rastr obsahuje kód původu výšky pro tento kombinovaný rastr: 1 GTOPO30 3 výšky z Rakouska (národní model) 6 výšky ze Slovenska (národní model)

8 výšky z ČR (národní model) 10 SRTM Pro výpočet topokorekcí bude patrně vhodné používat výšky uložené v rastru vysky, pro práci s tíhovými daty výšky v rastru h_gop_orig. Hustoty hornin Obr. Model D hustot [kg m -3 ] Mapy hustoty hornin se zatím podařilo získat jen pro území ČR, SR a Maďarska. Hodnoty v územích, které kde mapy rozložení hustot chybí, jsou doplněny na obvyklou střední hustotu hornin 670 kg/m 3. Výsledný rastr rock_den obsahuje hodnotu hustoty hornin pro danou zeměpisnou šířku a délku (tedy se zjednodušujícím předpokladem že se hustoty vertikálně nemění) o rozměru kg/m 3. Tíhová data Jsou uvedena v mgal a redukovaná o hodnotu 980000, viz []. Výsledný rastr má název grav. Použitý gravimetrický systém je ISGN71 nebo S-Gr95 (na území ČR a SR je identický s ISGN71 na úrovni 0,1 mgal []). Rastr grav_types obsahuje kód původu tíhových dat opět viz []. 4 VÝPOČTY Pro výpočet byl použit programovací jazyk Matlab. GIS GRASS, ve kterém je uložená databáze, umožňuje přímý převod libovolného rastru do nativního formátu užívaného Matlabem pro uložení matic. Import rastrů do programu tak byl velice jednoduchý. Výpočet topografických efektů je časově velice náročná úloha. Území má rozměr (ve stupních) 16 * =35 čtverečných stupňů. Vzhledem k rozlišení dat 30 *30 tak získáváme celkový počet 384*10*10=5.068.800 buněk. Pro každou z nich musíme spočítat opravu z vlivu okolního terénu A tr a příslušné kondenzované vrstvy A ctr. Topografické okolí každého bodu je však naprosto jedinečné, proto úlohu nelze příliš zjednodušit předpočítáním nějakých opakujících se hodnot. V každém z přibližně pěti milionů výpočetních bodů musíme spočítat hodnotu obou diskretizovaných integrálů podle kap.. Integrační oblastí jsme zvolili oblast do sférické vzdálenosti 1 od výpočetního bodu. Do ní padne přibližně π*10*10/cos(50 ) 70.000 buněk (v závislosti na zeměpisné šířce). Každé z integračních jader tedy musíme počítat přibližně 350.000.000.000x. Navíc byla úloha spouštěna opakovaně pro různé vstupní hodnoty. Výpočet oprav pro každý výpočetní bod však nijak nezávisí na výpočtu ostatních bodů, proto se dá úloha velmi snadno paralelizovat a využít možnosti tzv. clusterového počítání. Výpočet byl proto rozdělen na 16 dílčích nezávislých částí. V každém dílčím výpočtu se určovaly opravy pro oblast ve tvaru pásu o rozměrech 1 *. Výpočet probíhal na clusterech projektu Metacentrum. Výpočet jednoho pásu trval řádově několik hodin. Nakonec se získané hodnoty (bez překrytů) jednoduše spojily v GIS GRASS do společného výsledného rastru.

5 VÝSLEDKY 5.1 VÝPOČET S PROMĚNLIVOU HUSTOTOU Obr. 3 Přímý efekt da t model s proměnnou hustotou [mgal] Tab. Přímý efekt da t model s proměnnou hustotou [mgal] střední Evropa Česká republika A tr A ctr da t A tr A ctr da t minimum -0.085-94.8-117.176-0.085-14.906-30.591 maximum 113.36 1.935 156.76 1.66 4.856 1.175 střední hodnota 1.1533 0.61006 0.515303 0.443073 0.365088 0.0779856 směrodatná odchylka 3.38487 7.44565 7.0774 0.71679.97906.5973

5. VÝPOČET S KONSTANTNÍ STŘEDNÍ HUSTOTOU Obr. 4 Přímý efekt da t model s konstantní hustotou [mgal] Tab. 3 Přímý efekt da t model s konstantní hustotou [mgal] střední Evropa Česká republika A tr A ctr da t A tr A ctr da t minimum -0.091-94.8-117.176-0.091-14.983-30.807 maximum 113.36 1.935 156.76 1.849 43.48 1.34 střední hodnota 1.18 0.614314 0.513683 0.467539 0.4111 0.056343 směrodatná odchylka 3.38547 7.45064 7.03114 0.738443 3.07617.67703

5.3 VLIV VARIACE HUSTOT TOPOGRAFICKÝCH HMOT Obr. 5 Rozdíl přímého efektu spočítaho s uvážením konstantní hustoty/proměnných hustot [mgal] Tab. 4 Rozdíl přímého efektu spočítaho s uvážením konstantní hustoty/proměnných hustot [mgal] střední Evropa Česká republika A tr A ctr da t A tr A ctr da t minimum -0.0999999 -.066-5.73-0.096-1.37 -.831 maximum.168 7.44.61 0.895 3.76.001 střední hodnota 0.006674 0.004874-0.00160 0.044708 0.046130-0.0166 směrodatná odchylka 0.006584 0.06788 0.054916 0.0379465 0.17934 0.15811 6 ZÁVĚR Cílem této práce bylo spočítat tzv. přímý topografický efekt, tedy opravy velikostí tíhových vektorů, což je jeden z kroků při výpočtu lokálního modelu geoidu. Výpočet byl proveden jak tradičním způsobem užitím střední hustoty hornin, tak postupem, který rozdílné hustoty zohledňuje, i když zdaleka ne ideálně. Problémem zůstává nedostatek a kvalita modelů rozložení hustot v topografii. Ukazuje se však, že vliv těchto hustotních variací se projevuje pouze v hornatých územích, což je v souladu se závěry jiných autorů. Na území České republiky dosahuje velikost maximálního rozdílu mezi tíhovými opravami spočítanými užitím konstantní hustoty a proměnné hustoty necelé 3 mgal.

Literatura [1] Novák, P. Evaluation of Gravity Data for the Stokes-Helmert Solution to the Geodetic Boundry-Value Problem. New Brunswick. 000. [] Kostelecký, Jakub. Interní sdělení ke generování modelu středních výšek a tíhových zrychlení GOP30X30.GAH. Ondřejov. 004. [3] GTOPO30 Documentation. [online]..8.006 [cit 7.1.006]. Dostupné z WWW: <http://edc.usgs.gov/products/elevation/gtopo30/readme.html> [4] SRTM30. NASA. [online]. 14..006 [cit 7.1.006]. Dostupné z FTP: <e0srp01u.ecs.nasa.gov/srtm/version/srtm30/ srtm30_documentation.pdf> [5] Heck, B. (1993). A revision of Helmert s second method of condensation in the geoid and quasigeoid determination. Potsdam. 199. Recenzoval Doc. Ing. Pavel Novák, Ph.D., Západočeská univerzita, Fakulta aplikovaných věd, katedra matematiky, oddělení geomatiky, Univerzitní, 306 14 Plzeň, panovak@kma.zcu.cz