Matematické metody v kartografii

Transkript

1 Mtemtické metody v krtogrfii. Přednášk Referenční elipsoid zákldní vzthy. Poloměry křivosti. Délky poledníkového rovnoběžkového oblouku.

2 1. Zákldní vzthy n rotčním elipoidu Rotční elipsoid dán následujícími prmetry: hlvní poloos vedlejší poloos b Zákldní prmetry elipsoidu: Zploštění elipsoidu i: První excentricit elipsoidu e Druhá excentricit elipsoidu e První geodetická funkce W Druhá geodetická funkce V b i b e b e b W 1 e sin V 1 e cos

3 . Opkování: limit funkce Nechť funkce f je definován n okolí x 0 D f. Pokud existuje limit f ( x0 h) f ( x0 ) lim, h0 h pk se tto nzývá derivcí funkce f v bodě x 0 znčí se f (x 0 ), df(x 0), df (x dx dx 0), nebo dy x dx 0. Nechť f je spojitá v bodě x 0 D f nechť má v bodě x 0 derivci. Pk směrnice k tečny T = (x 0, f(x 0 )) je definován k f dy '( x ) ( x0 ) dx tg( 0 ).

4 3. Opkování: funkce definovná implicitně Nechť funkce f je funkcí dvou proměnných n množině ΩεR nechť (, b)εω je tkový bod, že f f (, b) 0, (, b) 0 y potom existují okolí O(), O(b) bodů, bεr právě jedn funkce proměnné g: O() O(b) tková, že. x O( ) : f ( x, g( x)) 0. Derivce funkce def. implicitně: f x ( x, g( x)) f y ( x, g( x)) g( x) 0, g( x) dy dx f x f y ( x, g( x)). ( x, g( x))

5 4. Prvoúhlé souřdnice bodu v rovině meridiánové elipsy (1/) Hledáme vzth prvoúhlých souřdnice (x,y) v rovině meridiánové elipsy zeměpisných zeměpisnými souřdnicemi (, ). Použití při odvození prostor. geoc, souřdnix [X,Y,Z], poloměrů M,N.. 1, ],, [ ], [ b y b x b y x y x P t

6 5. Prvoúhlé souřdnice bodu v rovině meridiánové elipsy (/) Výpočet směrnice tečny funkce dné implicitně: Po doszení získáme. dy g( x) dx b x, y dy k 90 cotg( ), dx b x cotg, y cotg cos / sin, b x 4 x b sin y 4 y b cos 0 0 Pk x y cos 1 e (1 e 1 e sin )sin sin cos W (1 e W )sin

7 6. Vzth mezi zeměpisnou geocentrickou šířkou Pltí: tg y x Po doszení: tg (1 e ) tg Pro zvolený elipsoid je e konstntou. Největší rozdíl pro =45, to Rádius vektor : 1 e sin (cos (1 e sin ))

8 7. Vzth mezi zeměpisnou geocentrickou šířkou Pltí: Kde x cos y b sin sin y cos b x tg tg b 1 b 1 e Pk: tg 1 e tg Pro body n rovníku =. Největší rozdíl pro =45, to 6.

9 8. Odvození prvoúhlých prostorových souřdnic Souřdnice x,y v rovině meridiánové elipsy: x y cos W (1 e )sin W Prostorové prvoúhlé souřdnice X,Y,Z: X cos x Y sin x X x cos cos cos W Y x sin cos sin W Z y (1 e )sin W

10 9. Hlvní poloměry křivosti Normál v bodě P: lze jí proložit nekonečně mnoho rovin kolmých k povrchu elipsoidu. Normálový řez v bodě P: řez rovinou procházející bodem P kolmý k povrchu elipsoidu. Normálových řezů nekonečně mnoho, jejich křivosti jsou různé. Existují dv normálové řezy s extrémní křivostí: mximální minimální. Oznčovány jko hlvní normálové řezy: meridiánový řez elipsoidu příčný řez elipsoidu. Jim odpovídjí hlvní poloměry křivosti: Meridiánový poloměr křivosti M Příčný poloměr křivosti N Použití: při řešení geodetických úloh n elipsoidu či v mtemtické krtogrfii.

11 10. Ukázk meridiánového příčného řezu elipsoidu

12 11. Délkové elementy v poledníku rovnoběžce Délkový element v poledníku: dp Délkový element v rovnoběžce: dr

13 1. Meridiánový poloměr křivosti M Rovin prochází osou rotce bodem, řezem je meridiánová elips. Meridiánový poloměr křivosti=poloměr křivosti meridiánové elipsy v bodě. M závisí pouze n, pro elipsoidy tbelován. Posuneme se z bodu P do P 1 o ds, x se změní o dx y o dy. ds dx Md sin M Md dx ds sin 1 e (1 e sin ) 3 M 1 dx sin d (1 e W 3 )

14 13. Příčný poloměr křivosti N Rovin obshuje normálu je kolmá k rovině poledníku, řezem je elips. Normály všech bodů ležících n jedné rovnoběžce 0 se protínjí v jednom bodě n mlé poloose elipsoidu. N předstvuje délku normály mezi bodem P jejím průsečíkem s vedlejší poloosou. N=PV Opět závisí pouze n, pro všechny body n rovnoběžce je stejný.

15 14. Odvození příčného poloměru křivosti N Pltí: x x cos N N cos N 1 e sin W

16 15. Střední poloměr křivosti R Definován jko geometrický průměr z meridiánového příčného poloměru křivosti. R MN R závisí pouze n. Hodnoty R jsou tbelovány pro různé elipsoidy. V mtemtické krtogrfii používán pro výpočet poloměru referenční koule z elipsoidu, tzv. náhrdní koule. Pro území ČR =49 30 Krsovského elipsoid: R m = , 67m

17 16. Výpočet délky poledníkového oblouku n elipsoidu (1/) Z bodu P se posuneme do bodu P1 o diferenciální hodnotu vzdálenosti ds. Zeměpisná šířk se změní o hodnotu d. Pltí: ds s 0 Eliptický integrál, Nhrzení řdou z použití binomické věty. Prktický výpočet je velmi Obtížný. Md 1 Md ( 1 e ) d 3/ (1 e sin ) 0

18 17. Výpočet délky poledníkového oblouku n elipsoidu (/) s A Bsin( ) Csin( 4 ) Dsin(6 ) Esin(8 ) A 1 e e e e B e e e e C e e e D e e E e A B C (1 e (1 e (1 e 4 ) A ) B ) C (1 e ) D D 6 (1 e ) E E 8 Pro výpočty s přesností 0.1 mm postčuje určit první čtyři členy řdy.

19 18. Výpočet délky rovnoběžkového oblouku. Poloměr rovnoběžky: r r N cos Délk oblouku s rovnoběžky mezi body o zeměpisných délkách 1,. 1 Pltí: s r N cos ( 1 ) Hodnoty s tbelovány pro

20 19. Délk poledníkového/rovnoběžkového oblouku n kouli N kouli se vzthy zjednoduší, zejmén výpočet délky poledníkového oblouku. Délk poledníkového oblouku Mezi body se zeměpisnými šířkmi u s, u j. s p R ( us u j ) Délk rovnoběžkového oblouku Mezi body o zeměpisných délkách v 1, v ležících n rovnoběžce se zeměpisnou šířkou u. r s r R cos u r( v v v z ) R cos u ( v v v z )