ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

Transkript

1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Vyšší geodézie 1 4/3 GPS - oskulační elementy dráhy družice školní rok semestr skupina zpracoval datum klasifikace 2010/11 1 NG1-88 Jan Dolista

2 GPS - oskulační elementy dráhy družice Zadání: Na základě skutečných drah družic daných svými přesnými efemeridami v souborech formátu SP3, poskytovaných na serveru služby IGS, sledujte časový průběh oskulačních elementů. Použijte k tomu data pro den = den Vašeho narození + 20 let (resp. totožné datum, pouze rok se zvýsí o 20, je-li tímto dnem neexistující 29.únor, použijte data z 1.dubna). Výpočty provádějte pro družici PRN = 1. Pokud v daném souboru formátu SP3 není družice PRN = 1, použijte nejbližší vyšší PRN (2, 3,... ). Číselné zadání: Průběh oskulačních elementů družice PRN 1 byl sledován pro den , tedy GPS týden 1421 den 6. Vypracování: Veškeré výpočty byly provedeny v programu Octave. Jako geocentrická gravitační konstanta byla použita hodnota GM = 398, m 3 s 2. 1 Poloha družice v průběhu dne K výpočtu oskulačních elementů bylo nutné znát polohu družice v průběhu daného dne a to v inerciálním referenčním systému ICRS, tedy v systému, který nerotuje společně se Zemí. Ze služby IGS lze však získat pouze pozice družic v systému WGS84, který je pevně spojen se Zemí a tedy rotuje. Z tohoto důvodu je nutné polohy družice nejprve transformovat do ICRS. Ze služby IGS byla stažena zdrojová data a to: igs14216.sp3 - soubor obsahující polohu družic v průběhu dne v systému WGS84 igs14216.erp - soubor obsahující parametry rotace Země Číslo vedené v názvu souboru odpovídá číslu GPS týdne (1421) a číslu dne v rámci tohoto týdne (6). Pro převod datumu byl použit GPS kalendář, ze kterého bylo rovněž určeno modifikované juliánské datum dne MDJ Pro transformaci souřadnic byl použit program sp3crs.exe, který je spuštěn s několika paramtery: sp3crs -xp yp ut gp 14 -o igs14216.txt 1 igs14216.sp3 parametry -xp a -yp určují polohu pólu získanou ze souboru.erp parametr -ut určuje rozdíl časů UT1-UTC získaný ze souboru.erp parametr -gp určuje rozdíl času GPS-UTC, ten je složen z rozdílů časů TAI-GPS = 19sec, který je konstantní, a TAI-UTC, který je proměnný, a pro rok 2007 je jeho hodnota 33sec parametr -o udává název výstupního souboru dále je zadáno PRN družice, číslo 1 bez návěští posledním vstupním parametrem je soubor sp3, rovněž bez návěští Jelikož program sp3crs pracuje se starší verzí formátu sp3, je nutné vstupní soubor editovat. Editace spočívá v odmazání posledních čtyř sloupců, udávajících střední chyby, nahrazení písmene G, označujícího družici GPS NAVSTAR mezerou a u PRN družic 1-9 nahradit uvozující nulu opět mezerou.

3 Výstupem programu sp3crs je textový soubor který pro dané PRN obsahuje ve 2. sloupci MDJ, ve 3. sloupci sekundu v rámci daného dne a ve sloupci souřadnice XYZ družice v systému ICRS. 2 Výpočet Keplerovských oskulačních elementů Jelikož je dráha družice rušena působením ostatních vesmírných těles, zejména Slunce a Měsíce, nelze její pohyb popsat pomocí jedné keplerovské elipsy. Avšak dráhu družice mezi dvěma po sobě jdoucími známými polohami ze souboru sp3 lze popsat keplerovskou elipsou, která těmito body prochází. 2.1 Přibližné parametry keplerovské elipsy v prvním bodě Pro výpočet je nejprve nutné určit přibližné parametry keplerovské elipsy popisující pohyb družice mezi první a druhou pozicí známou ze souboru sp3. Jelikož v souboru sp3 jsou uvedeny souřadnice družice v daném okamžiku, lze jednoduše vyjádřit vektor polohy v daném okamžiku. ρ(t) = X(t) Y (t) Z(t) Polohy družice ve dvou po sobě jdoucích okamžicích lze tedy určit pomocí polohových vektorů ρ(t 1 ), ρ(t 2 ) Z těchto vektorů lze vyjádřít přibližný vektor rychlosti družice v prvním z bodů ρ(t 1 ) = ρ(t 2 ) ρ(t 1 ) t 2 t 1 Stavové vektory popisující dráhu družice v prvním bodě ρ(t 1 ), ρ(t 1 ) lze převést na kelperovské elementy popisující tuto dráhu a, e, i, Ω, ω, t per. Pro tento převod byla v programu Octave vytvořena funke sv2ke. Vstupem této funkce jsou stavové vektory ρ(t 1 ), ρ(t 1 ) a čas t 1, výstupem pak keplerovské elementy dráhy družice. Pomocný vektor h = ρ ρ Dále je použito značení velikostí vektorů h = h a ρ = ρ Rektascenze výstupního uzlu Ω = atan h(1) h(2) Sklon dráhy Pravá anomálie Excentricita Hlavní poloosa Vektor polohy v rovině dráhy i = atan v = atan e = a = h(1) 2 + h(2) 2 h h(3) ρ GM ρ ρ h 2 ρ GM 1 h ρ ρ ρ GM sin v h 2 GM (1 e 2 ) R T z r = R x T ( i) R z T ( Ω) ρ

4 Argument šířky Argument perigea Excentrická anomálie Střední anomálie Čas průchodu perigeem u = atan r(2) r(1) ω = u v E = 2atan 1 e 1 + e tanv 2 M = E e sin E t per = t M n, kde n = GM a 3 Tento výpočet přibližných parametrů keplerovksé elipsy byl použit pouze pro první dvojici bodů. Pro následující dvojice byly jako přibližné parametry keplerovské elipsy použity konečné parametry vypočtené pro předchozí dvojici bodů. 2.2 Přiblížení keplerovské elipsy oběma bodům Jelikož pro výpočet parametrů keplerovské elipsy byl použit vektor polohy prvního bodu a přibližný vektor rychlosti, neprochází tato elipsa druhým bodem. Z tohoto důvodu je nutné upravit parametry elipsy tak, aby procházela oběma body. Tento výpočet je prováděn iteračně. ( ρ(t1 ) ρ(t 2 ) ) ( ) ρ0 = 0 (t 1 ) ρ 0 (t 2 ) + A dx, kde ρ je vektror polohy určený ze souřadnic v souboru sp3 (po transformaci do ICRS), ρ 0 je vektor polohy určený z přibližných keplerovských elementů, A matice derivací vektoru ρ podle keplerovských elementů a dx jsou opravy přibližných keplerovských elementů. ρ 0 V dalším výpočtu je použito následující značení: ( ) ρ(t1 ) F = ρ(t 2 ) F 0 = ( ρ0 0 ρ 0 ρ 0 (t 1 ) ρ 0 (t 2 ) ) Přibližný vektor polohy Pro výpočet vektoru polohy z přibližných keplerovských elementů ρ 0 byla opět v programu Octave vytvořena funkce ke2sv, jejímž vstupem jsou přibližné keplerovské elementy a čas pro který má být vektor polohy vypočten, výstupem pak vektor polohy a vektor rychlosti. Střední anomálie M = n (t t per ), kde Excentrická anomálie n = GM a 3 E = M + e sin E Excentrická anomálie byla určena iteračně, kdy v první iteraci je hodnota excentrické anomálie volena E 0 = M + e sin M. V dalších iteracích je hodnota anomálie dána vztahem ρ 0

5 E i = M + e sin E i 1. Výpočet je opakován, dokud rozdíl ve dvou po sobě jdoucích iteracích není menší než Pravá anomálie ( 1 + e v = 2atan tg E ) 1 e 2 Průvodič Vektor polohy v rovině dráhy Vektor rychlosti v rovině dráhy r r r = r = a(1 e cos E) r = r GM a(1 e 2 ) cos u sin u 0 sin v e + cos v 0 Rotace vektorů z roviny dráhy do rovníkového systému ρ = R r ρ ρ ρ = R r r r, kde R je matice rotace R = R z ( Ω) R x ( i) R z ( ω) Matice parciálních derivací Rovněž byla vytvořena funkce maticea pro výpočet matice parciálních derivací A. Vstupem funkce jsou přibližné keplerovské elementy a časový okamžik, ve kterém mají být derivace určeny. Výstupem je matice A. Vektor polohy v rovině dráhy V rámci funkce je neprve vypočten vektor polohy v rovině dráhy, postup výpočtu je shodný jako v předchozí funkci. Derivace podle sklonu dráhy Jelikož sklon dráhy není zahrnut ve vektoru polohy v rovině dráhy, postačí derivovat pouze příslušnou matici rotace. kde ρ i = R z ( Ω) dr x ( i) R z ( ω) r, dr x ( i) = sin ( i) cos ( i) 0 cos ( i) sin ( i) Derivace podle rektascenze výstupního uzlu Obdobně rektascenze výstupního uzlu není zahrnuta ve vektoru polohy v rovině dráhy a postačí tedy derivovat pouze příslušnou matici rotace. kde ρ Ω = dr z ( Ω) R x ( i) R z ( ω) r, dr z ( Ω) = sin ( Ω) cos ( Ω) 0 cos ( Ω) sin ( Ω)

6 Derivace podle argumentu perigea Konečně ani argument perigea není zahrnut ve vektrou polohy v rovině dráhy a postačí tedy derivovat pouze příslušnou matici rotace. kde ρ ω = R z ( Ω) R x ( i) dr z ( ω) r, dr z ( ω) = sin ( ω) cos ( ω) 0 cos ( ω) sin ( ω) Derivace podle hlavní poloosy Oproti tomu hlavní poloosa není zahrnuta v rotacích z roviny dráhy do rovníkového systému. Postačí tedy derivovat vektor polohy v rovině dráhy a následně derivaci rotovat do rovníkového systému. r a = cos E e + 3 a 2 r M sin E ( ) 1 e 2 sin E 3 a 2 r M cos E 0 ρ a = R z ( Ω) R x ( i) R z ( ω) r a Derivace podle excentricity Obdobně lze derivovat i vektor v rovině dráhy podle excentricity a následně provést rotaci r e = a ( 1 + a r sin2 E ) a 2 sin E r (cos E e) 1 e2 0 ρ e = R z ( Ω) R x ( i) R z ( ω) r e Derivace podle času průchodu perigeem Konečně i derivaci podle času průchodu perigeem lze provést v rovině dráhy a následně rotovat. r = t per na2 r na 2 r sin E 1 e 2 cos E 0 Výsledná matice derivací A = ρ = R z ( Ω) R x ( i) R z ( ω) t per ρ(t 1 ) a ρ(t 2 ) a ρ(t 1 ) e ρ(t 2 ) e ρ(t 1 ) i ρ(t 2 ) i ρ(t 1 ) Ω ρ(t 2 ) Ω ρ(t 1 ) ω ρ(t 2 ) ω r t per ρ(t 1 ) t per ρ(t 2 ) t per Iterační řešení Úprava keplerovských elementů tak, aby elipsa procházela oběma body, byla řešena iteračně. Tedy z přibližných parametrů keplerovké elipsy byla pomocí funkcí určena matice derivací a vektor přibližné polohy. Opravy keplerovských elementů jsou pak vypočteny dx = A 1 (F F 0 ) Přičtením oprav k přibližným keplerovským elementům byly vypočteny zpřesněné keplerovské elementy, které byly v další iteraci opět použity jako přibližné.

7 Podmínkou pro ukončení iterace byl rozdíl mezi skutečnými vektory polohy (ze souboru sp3) a přibližnými vektory polohy, který musel být menší než 10 6 F F 0 < 10 6 Poté byly keplerovské elementy považovány za konečné, keplerovská elipsa prochází s dostatečnou přesností oběma body. Tyto konečné keplerovské elementy byly v dalším výpočtu považovány za přibližné keplerovské elementy pro další dvojici bodů. Tímto způsobem byly určeny oskulační elementy pro družici v průběhu celého dne. Na závěr byl průběh oskulačních elementů vynesen do grafů.

8 3 Grafy průběhu oskulačních elementů družice PRN1 v průběhu dne

9

10

11 4 Číselné výsledky t[sec] a[m] e i[rad] Ω[rad] ω[rad] t per [sec] ,386 0, , , , , ,761 0, , , , , ,309 0, , , , , ,955 0, , , , , ,183 0, , , , , ,194 0, , , , , ,286 0, , , , , ,547 0, , , , , ,463 0, , , , , ,062 0, , , , , ,049 0, , , , , ,591 0, , , , , ,396 0, , , , , ,420 0, , , , , ,617 0, , , , , ,569 0, , , , , ,005 0, , , , , ,851 0, , , , , ,271 0, , , , , ,824 0, , , , , ,934 0, , , , , ,835 0, , , , , ,208 0, , , , , ,718 0, , , , , ,695 0, , , , , ,586 0, , , , , ,467 0, , , , , ,630 0, , , , , ,061 0, , , , , ,681 0, , , , , ,301 0, , , , , ,087 0, , , , , ,528 0, , , , , ,886 0, , , , , ,453 0, , , , , ,035 0, , , , , ,933 0, , , , , ,678 0, , , , , ,129 0, , , , , ,345 0, , , , , ,328 0, , , , , ,808 0, , , , , ,176 0, , , , , ,277 0, , , , , ,513 0, , , , , ,255 0, , , , , ,973 0, , , , , ,097 0, , , , , ,806 0, , , , , ,920 0, , , , , ,359 0, , , , , ,049 0, , , , , ,507 0, , , , , ,044 0, , , , , ,110 0, , , , ,429

12 ,344 0, , , , , ,768 0, , , , , ,418 0, , , , , ,126 0, , , , , ,542 0, , , , , ,159 0, , , , , ,015 0, , , , , ,264 0, , , , , ,895 0, , , , , ,993 0, , , , , ,747 0, , , , , ,351 0, , , , , ,160 0, , , , , ,834 0, , , , , ,537 0, , , , , ,409 0, , , , , ,261 0, , , , , ,203 0, , , , , ,429 0, , , , , ,525 0, , , , , ,506 0, , , , , ,086 0, , , , , ,257 0, , , , , ,054 0, , , , , ,191 0, , , , , ,098 0, , , , , ,251 0, , , , , ,426 0, , , , , ,225 0, , , , , ,953 0, , , , , ,262 0, , , , , ,296 0, , , , , ,323 0, , , , , ,578 0, , , , , ,810 0, , , , , ,276 0, , , , , ,210 0, , , , , ,364 0, , , , , ,001 0, , , , ,255 Závěr: Na základě souřadnic družice, získaných ze souboru sp3 poskytovaného službou IGS byly vypočteny oskulační elementy dráhy v průběhu dne K výpočtu byl rovněž použit soubor erp obsahující parametry rotace Země. Oskulační elementy byly počítány iteračně a to tak, že dvěmi po sobě následujícími polohami družice byla proložena keplerovská elipsa a určeny její keplerovské elementy. Při proložení elipsy body bylo postupováno opět iteračně a to tak, že přibližné parametry keplerovské elipsy byly upravovány dokud oběma body neprocházela s dostatečnou přesností. Na závěr byl průběh oskulačních elementů v rámci dne vynesen do grafů. Výpočty byly provedeny v programu Octave. Zdrojový kód k výpočtům není přílohou technické zprávy (v případě potřeby bude zaslán). V Kralupech nad Vltavou Jan Dolista (so-cool@ehm.cz)