VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. Ing. Bohumil Koktavý,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P04 MECHANICKÉ KMITÁNÍ STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
2
OBSAH 1 Úvod...5 1.1 Cíle...5 1.2 Požadované znalosti...5 1.3 Doba potřebná ke studiu...5 1.4 Klíčová slova...5 2 Pohyb mechanického oscilátoru...6 2.1 Kmitavý pohyb...6 2.2 Harmonický pohyb mechanického oscilátoru...6 2.3 Tlumený pohyb mechanického oscilátoru...7 2.4 Nucené kmity mechanického oscilátoru...7 2.5 Autotest...7 2.6 Klíč...8 2.7 Korespondenční úkol...9 2.8 Závěr...9 3 Skládání a rozklad kmitů...9 3.1 Skládání kmitů...9 3.2 Rozklad kmitů...10 3.3 Autotest...10 3.4 Klíč...10 3.5 Korespondeční úkol...11 3.6 Závěr...11 4 Studijní prameny...11 4.1 Seznam použité literatury...11 4.2 Seznam doplňkové studijní literatury...11-3 -
1 Úvod 1.1 Cíle Cílem tohoto učebního textu je vybudování spolehlivého základu vědomostí z fyziky v oblasti mechanického vlnění a akustiky. Výklad vychází z učebnice pro gymnázia, je však postaven na exaktnější základ tím, že využívá důsledně aparát vyšší matematiky. Student získá potřebné znalosti k samostatnému postupu při formulaci a řešení technických problémů v praxi. 1.2 Požadované znalosti Předpokládá se základní znalost kmitání a vlnění v rámci učebních osnov na gymnáziu. Dále je třeba aktivně ovládat základy diferenciálního a integrálního počtu. 1.3 Doba potřebná ke studiu Modul je rozdělen do dvou kapitol. Průměrná doba na prostudování první kapitoly je 8 hodin a druhé kapitoly 8 hodin. Celková doba prostudování modulu je 16 hodin. 1.4 Klíčová slova Kmitavý pohyb, mechanický oscilátor, periodický pohyb, harmonický pohyb, kvaziharmonický pohyb, direktivní síla, budicí síla, tlumicí síla, úhlová frekvence vlastních kmitů, součinitel tlumení, podkritický tlumený pohyb, kritický tlumený pohyb, nadkritický tlumený pohyb, logaritmický dekrement tlumení, rezonance výchylky, rezonanční frekvence, skládání kmitů, rozklad kmitů, harmonická složka, Fourierova řada. - 5 -
2 Pohyb mechanického oscilátoru 2.1 Kmitavý pohyb Text je uveden na str. 3 6 učebního textu [3]. Kontrolní otázky Viz otázky 1, 4, 6, 7, 9-12 UT [3]. 2.2 Harmonický pohyb mechanického oscilátoru Text je uveden na str. 7 14 UT [3]. Příklad 2.1 Viz příklad 1 na str. 9-10 UT [3]. Příklad 2.2 Viz příklad 2 na str. 12-13 UT [3]. Úkol 2.1 Řešte příklad 17 na str. 14 UT [3]. Kontrolní otázky Viz otázky 1, 2, 4, 6, 8, 11 na str. 14 UT [3]. 6
2.3 Tlumený pohyb mechanického oscilátoru Text je uveden na str. 15 20 UT [3]. Příklad 2.3 Viz příklad 3 na str. 18-19 UT [3]. Úkol 2.2 Řešte příklad 9 na str. 20 UT [3]. Kontrolní otázky Viz otázky 1, 3, 5, 6 na str. 20 UT [3]. 2.4 Nucené kmity mechanického oscilátoru Text je uveden na str. 20-24 UT [3]. Příklad 2.4 Viz příklad 4 na str. 24-25 UT [3]. Kontrolní otázky Viz otázky 1, 3, 4, 5, 7 na str. 25 UT [3]. 2.5 Autotest 1. Charakterizujte rozdíly mezi kmitavým pohybem tělesa zavěšeného na pružině a kmitavým pohybem fyzikálního kyvadla. 2. Popište charakteristické znaky periodických pohybů a uveďte, jakou podmínku musí každý periodický pohyb splňovat. 3. Kterými funkcemi se vyjadřuje harmonické kmitání? 7
4. Jaký účinek na kmitání mají síly vyvozované odpory v oscilátoru? 5. Definujte rychlost a zrychlení harmonického pohybu. 6. Jak určíme tuhost pružiny? 7. Jakou maximální energii má těleso vykonávající harmonický pohyb? 8. Řešte příklad 15 na str. 14 UT [3]. 9. Sestavte pohybovou rovnici oscilátoru, působí-li na něj tlumicí síla uměrná rychlosti. 10. Uveďte příklady použité kritického tlumení proti nežádoucímu kmitání mechanizmů. 11. Jaké síly působí na oscilátor při nucenému kmitání? Sestavte pohybovou rovnici. 12. Jak se liší rezonanční úhlová frekvence od úhlové frekvence vlastních kmitů oscilátoru? 2.6 Klíč 1. V prvním případě je direktivní síla vyvozována pružnou vazbou, ve druhém případě složkou tíhové síly. 2. Závislost výchylky u(t) na čase se po uplynutí periody T opakuje, platí u(t + T) = u(t). 3. Funkcemi sin ωt, cos ωt. 4. Způsobují útlum výchylky a změnu frekvence kmitání. du dv 5. v =, a =, u = u ( t) je okamžitá výchylka. dt dt 6. Tuhost 7. 1 2 m ω. u k =, u je výchylka způsobená silou F. F 2 2 u m 8. Řešení je uvedeno u příkladu 15 na str. 14 UT [3]. 2 d u Rm du k 9. + + u = 0. 2 dt m dt m 10. Tlumení otočného systému ručkových měřících přístrojů, tlumení kmitavého pohybu karosérie automobilu. 11. Direktivní síla, tlumicí síla, budicí síla F b (t); 2 d u 2 dt Rm du k + + u = Fb ( t). m dt m 8
12. ω = ω 0 2δ 2 2 r. 2.7 Korespondenční úkol 1. Vypracujte písemně odpovědi na otázky 1, 4, 6, 9 na str. 6-7; 5, 7, 10, 13, 14 na str. 14; 3 6 na str. 20; 1, 3, 4, 5, 7 na str. 25 UT [3] 2. Řešte příklady 16 na str. 14; 10, 11 na str. 20; 8 na str. 25 UT [3]. 2.8 Závěr Kmitavý pohyb hmotného bodu (tělesa) je charakterizován okamžitou výchylkou hmotného bodu (těžiště tělesa) z rovnovážné polohy. První a druhá časová derivace výchylky udává rychlost a zrychlení hmotného bodu (tělesa). Obecně působí na kmitající hmotný bod nebo těleso (mechanický oscilátor) síla direktivní, tlumicí a budicí. Podle kombinace působících sil dělíme kmitové pohyby na harmonické, tlumené a vynucené. Při vynuceném kmitání může nastat stav rezonance výchylky, kdy pro malé tlumení soustavy může dojít k porušení vazeb. 3 Skládání a rozklad kmitů 3.1 Skládání kmitů Text je uveden na str. 25 32 UT [3]. Příklad 3.1 Viz příklad 5 na str. 30-31 UT [3]. Úkol 3.1 Řešte příklad 7 na str. 33 UT [3]. 9
Kontrolní otázky Viz otázky 2, 4, 5 na str. 32-33 UT [3]. 3.2 Rozklad kmitů Text je uveden na str. 33 35 UT [3]. Kontrolní otázky Viz otázky 1, 3, 5 na str. 35 UT [3]. 3.3 Autotest 1. Jaké kmity vznikají při skládání stejnosměrných kmitů stejných frekvencí? 2. Mohou být výsledné kmity při skládání stejnosměrných harmonických kmitů různých frekvencí harmonické? Za jaké podmínky budou periodické? 3. Řešte příklad 6 na str. 33 UT [3]. 4. Je možné vybudit do rezonance mechanický oscilátor s rezonanční frekvencí 8Hz periodickou neharmonickou budicí silou, jejíž první harmonická má frekvenci 2Hz? 5. Uveďte rozdíl mezi spektrem periodického a neperiodického kmitání. 3.4 Klíč 1. Vznikají harmonické kmity stejné frekvence. 2. Nemohou, periodické budou pouze v případě, že poměr period obou kmitání bude v poměru celých čísel. 3. Řešení je uvedeno u příkladu 6 na str. 33 UT [3]. 4. Ano, čtvrtou harmonickou s frekvencí 8Hz. 10
5. Spektrum periodického kmitání je diskrétní, neperiodického spojité. 3.5 Korespondeční úkol 1. Vypracujte písemně odpovědi na otázky 2, 4, 5 na str. 32-33; 1, 3, 5 na str. 35 UT [3]. 2. Řešte příklady 6, 7, 8, 9 na str. 33 UT [3]. 3.6 Závěr Koná-li hmotný bod (těleso) současně několik kmitavých pohybů, je jeho výsledná výchylka dána vektorovým součtem dílčích výchylek. Při skládání lineárních kmitů stejného směru harmonického průběhu je při rovnosti úhlových frekvencí výsledné kmitání harmonické se stejnou frekvencí, při různých úhlových frekvencích neharmonické. Při skládání harmonických kmitů navzájem kolmých je trajektorií při rovnosti kruhových frekvencí elipsa, kružnice nebo úsečka, při nerovnosti úhlových frekvencí Lissajousův obrazec. Rozklad periodických kmitů můžeme provést na jednotlivé harmonické složky pomocí Fourierových řad, u neperiodických funkcí pomocí Fourierova integrálu. 4 Studijní prameny 4.1 Seznam použité literatury [1] Koktavý, B.: Mechanické kmitání a vlnění, PC-DIR, Brno, 1995, UT [3] 4.2 Seznam doplňkové studijní literatury [3] Halliday, D., Resnick, R., Walker, J.: Fyzika, VUTIUM Brno a PROMETHEUS Praha, 2000 [4] Horák, Z.: Fyzika, SNTL Praha, 1976 11
12