1. Cvičení: Opakování derivace a integrály

Transkript

1 . Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + ) f () ( + ). f() ln ( ) + f () ( +) ( ) (+)( ) + ( ) + ( ). f(),, f ( + ) lim + f() f() f ( ) lim f() f() lim + lim derivace v bodě neeistuje (limita zprava se nerovná limitě zleva)

2 Integrál Příklad: Vpočtěte následující neurčité integrál (úprav):. ( ) 8 d ( 8 ) ( / ) / d ( 8 ) ( / ) / d }{{} / ( / 8 5/) d 7 7/ + 8 / + C 7 7/ + / + C d (+9) 6 5 d ( ) d C Příklad: Vpočtěte následující neurčité integrál (per partes): Na otevřeném intervalu platí u()v() d u()v() u() v() d. ln d D I ln ln d ln + C +. cos d D I + cos sin + cos cos d sin + cos sin + C sin cos + Příklad: Vpočtěte následující neurčité integrál (substituce):. d t ln ln dt d dt + C + C t t ln. sin +cos d t + cos dt sin d t dt t+c + cos +C

3 Příklad: Vpočtěte následující neurčité integrál (rozklad na parciální zlomk):. ++ d ( + + ) ( + )( + ) A + + B + A( + ) + B( + ) ( + )( + ) A( + ) + B( + ) (A + B) + A + B : 7 A + B : 6 A + B A 8, B ) d ( + + d ( ) d + 8 ln + ln + + C

4 . Cvičení: Funkce více proměnných Definiční obor Příklad: Určete a načrtněte definiční obor následujících funkcí. f(, ) cotg( + ) f(, ) cotg(+) k k + k, k Z D f {[, ] R : k, k Z} k k k k k. f(, ) 5 ln ( + ) f(, ) 5 ln ( + ) + > D f {[, ] R : > }

5 . f(, ) + f(, ) + D f {[, ] R : }. f(, ) + f(, ) + + D f {[, ] R : } Hladin funkcí Příklad: Určete a načrtněte hladin následujících funkcí. f(, ), D f R

6 ( ) + ( ) e c. c c f(, ) c c c c c (. f(, ) ln ) ( ) +( ), D f R {[, ]} ( ) ln c ( ) + ( ). ( ) + ( ) e c ( ) + ( ) ec c c.5 ( ) + ( ) e c

7 . Cvičení: Diferenciální počet funkcí více proměnných Parciální derivace Příklad: Určete všechn. parciální derivace následujících funkcí. f(, ) f (, ) ln, f (, ). f(, ) e f (, ) e, f (, ) e + e. Určete všechn parciální derivace. řádu pro funkci f(, ) e e. f (, ) e e e, f (, ) e e e f (, ) e e e f (, ) e e e + e e e e e e e + e e e f (, ) e e e e + e e e e e e + e e e. Ukažte, že funkce f(, ) vhovuje rovnici f f. f ( ) L f ( ) ( )( ) +6 ( ) ( ) f + ( ) P f ( ) ( ) ( ) L P +6 ( ) ( )

8 Gradient a směrová derivace. Určete směr a velikost největšího růstu funkce f(, ) + v bodě M [, ]. Dále derivaci funkce f v bodě P [, ] ve směru vektoru s (, ). ( grad f(, ), (+) grad f(m) (, ) grad f(m) f(p ) (, s 9 9 ) (+) ) ( 5, 5 ) 5 5. Určit derivaci funkce f(,, z) + + z v bodě M [,, ] ve směru vektoru s (,, ). grad ϕ(,, z) (,, z) grad ϕ(m) (,, ) s f(m) s grad ϕ(m) s s (,, ) (,, ). Určit maimální hodnotu derivace ve směru funkce f(,, z) + + z v bodě M [,, ]. grad ϕ(,, z) ( + z, + z, ) grad ϕ(m) (,, 6) s. Určete derivaci funkce f(, ) v bodě P [, ] podle vektoru s (, ). grad f(, ) (, ) grad f(p ) (, ) f(p ) grad ϕ(m) s (, ) (, ) s (t) t, (t) + t, t R F (t) f((t), (t)) ( t) t F (t) F () f(m) s

9 5. Určete gradient a jeho velikost pro funkci f(, ) + v bodě A [, ], B [, ], nakreslete obrázek. Dále určete, ve kterých bodech rovin je gradient kolmý k ose. grad f(, ) (, ) grad f(a) (, ), grad f(a) grad f(b) (, ), grad f(b) f(, ) + grad f(b) [, a] B A grad f(a) (, ) (, ) Gradient je kolmý k ose v bodech [a, ], a R 6. Určete gradient a jeho velikost pro funkci f(, ) + v bodě A [, ], B [, ], C [, ] a nakreslete obrázek. Dále určete, ve kterých bodech rovin svírá gradient s osou úhel ϕ. grad f(, ) (, ) grad f(a) (, ), grad f(a) grad f(b) (, 8), grad f(b) 68 grad f(c) (, ), grad f(b) f(, ) + B grad f(b) grad f(a) A (, ) (, ) (, ) (, ) cos + 6 ( + 6 ) 8 C grad f(c)

10 Totální diferenciál, tečná nadrovina. Určete totální diferenciál funkce f(, ) z +. df z d z d + ( + ) ( + ) + dz. Určete tečnou nadrovinu funkce f(, ) v bodě T [,,?]. T [,, 7] Rovnice tečné nadrovin τ : z z f (T )( ) + f (T )( ) f (, ) 8, f (T ) 8 f (, ), f (T ) 6 τ : z + 7 8( ) + 6( ) z Derivace implicitní funkce Příklad: Určete derivace implicitně zadané funkce F (, ()).. + ln F (, ) F (, ) (). e +, A [, ] F (, ) e + F (, ) e () e e ()

11 Lokální etrém funkce více proměnných Příklad: Najděte lokální etrém následujících funkcí. f(, ) D f R f(, ) f (, ) f (, ) tacionární bod: P [, ] H(, ) H(P ) [ D (P ), D (P ) 9 < v bodě P nelze rozhodnout. ] f(p ). f(, ) D f R f (, ) + / f (, ) + 5 f(, ) + + 5, tacionární bod: P [, ] H(, ) H(P ) [ D (P ) >, D (P ) > v bodě P nastává lokální minimum f(p ). ] f(p ).5.5 5

12 . f(, ) D f R f (, ) f (, ) + ( + ) : ± : + 5, 5 tacionární bod: P [, ], P [, ], P [, ], P [ 5, ] H(P ) H(, ) [ 5 f(, ) [ + + ] H(P ) f(p ) f(p ) ] f(p ) [ f(p ) ] D (P ) <, D (P ) 6 < v bodě P nenastává lokální etrém. D (P ) <, D (P ) 6 < v bodě P nenastává lokální etrém. [ ] [ ] H(P ) H(P ) D (P ) >, D (P ) > v bodě P nastává lokální minimum, f(p ). D (P ), D (P ) v bodě P nastává lokální maimum, f(p )

13 . f(, ) + 5 f(, ) + 5 D f R f (, ) f (, ) 6 +, Vloučené rovnice nesplňuje. 5 f(p ) f(p ) 5 f(p ) f(p ) ( )( ) ± ± : : : : tacionární bod: P [, ], P [, ], P [, ], P [, ] [ ] 6 6 H(, ) 6 6 H(P ) [ 6 6 ] [ ] 6 H(P ) 6 D (P ) 6 >, D (P ) 8 < v bodě P nenastává lokální etrém. D (P ) 6 <, D (P ) 8 < v bodě P nenastává lokální etrém. [ ] [ ] 6 6 H(P ) H(P 6 ) 6 D (P ) >, D (P ) 8 > v bodě P nastává lokální minimum, f(p ) 8. D (P ) >, D (P ) 8 > v bodě P nastává lokální maimum, f(p ) 8. 7

14 . Cvičení: Integrální počet funkcí více proměnných Dvojný integrál Příklad: Pro integrál f(, ) d d určete oba tp mezí a načrtněte množinu M: M. Množina M je trojúhelník s vrchol A [, ], B [, ], C [, ]. M :, C M Tp I M / B M :, A / Tp II M:, C M / B A /. Množina M je definována rovnostmi,. M :, Tp I M : 8, M M 8

15 Tp II M:, + M 8 Příklad: Zaměňte pořadí integrování a načrtněte integrační oblast.. I I f(, ) d d f(, ) d d I f(, ) d d. I f(, ) d d

16 . I f(, ) d d f(, ) d d 6 6 I 6 f(, ) d d Příklad: počtěte následující dvojné integrál a načrtněte integrační oblasti.. d d, kde M je určena vztah: +, +. M ( ) d d d [ ] [ ] 5 5. d +

17 . d d, kde M je určena vztah: +, +. M + d d ( 8 + ) d [ [ ] d + ] e d d, kde M je určena vztah:,,,. M e d d [ ] e d (e ) d D I [ e e e e ] e.. d d, kde M je určena vztah: +, +,. M d d ( ) + d + [ 8 8 ] 8 / + [ / + ] d d ( ) + d

18 5. M ( + ) d d, kde M je určena vztah:,,,. ( + ) d d + [ + ] d + ( + 5 ) 8 d + [ ] + [ [ + ( + ( + ) d d ] 8 d ) d 8 ] ( + ) d d, kde M je určena vztah:,,,. M ( + ) d d ( + 6 ) [ 5 d ] [ + ] d e d d, kde M je určena vztah:,,,. M D I e e e d d [ ] e ] [e e d [e ] d. 5

19 8. d d, kde M je určena vztah:,,,. M ( 7 d d + ) d [ 8 ] [ d ] M d d, kde M je určena vztah:,,. / / d d / ( ) [ + d [ ] d 8 ] /

20 . M + d d, kde M je určena vztah:,,,. + d d ( ln + ln ) d ( ln ln ) d [ ln + ] d ( ln ln ) d 5 D ln I [ ln ln + ] 8 ln + 8. d d, kde M je určena vztah:,. M d d [ ] d ) ( d [ ] 7

21 . ( + ) d d, kde M je určena vztah:,,,. M ( + ) d d [ ] + d ( ) 6 + d [ ]

22 5. Cvičení: Dvojný integrál - substituce Příklad: Vpočtěte integrál f(, ) d d a načrtněte množinu M: M. arctg d d, kde M je určena nerovnostmi,, +. M r, ϕ. M arctg ( ) r sin ϕ r cos ϕ rdr dϕ [ r ϕ ] dϕ [ ϕ ] 6 ( + ) d d, kde M je určena nerovnostmi, +. r, ϕ + + ( r cos ϕ + r sin ϕ ) rdr dϕ [ r ] dϕ [ϕ] 5

23 . M + d d, kde M je určena nerovnostmi, +. + r, ϕ (r cos ϕ) + (r sin ϕ) rdr dϕ [r] dϕ dϕ ϕ +. M arctg d d, kde M je určena nerovnostmi,, +. + r, D I ϕ cos ϕ sin ϕ 7 ϕ ( r ϕ cos ϕ ) rdr dϕ [ r ϕ cos ϕ ] [ϕ cos ϕ + cos ϕ] 7 ( ) dϕ 7 + ϕ cos ϕ dϕ

24 5. M + d d, kde M je určena nerovnostmi,, +. + r, ϕ + 6. M r cos ϕ (r cos ϕ) + (r sin ϕ) rdr dϕ cos ϕ dϕ [sin ϕ] d d, kde M je určena nerovnostmi, +. + r, ϕ rdr dϕ [ r ] dϕ dϕ

25 7. + d d, kde M je určena nerovnostmi +. M + r r cos ϕ r cos ϕ, cos ϕ ϕ ( ) + cos ϕ r dr dϕ t sin ϕ dt cos ϕ dϕ ( t ) dt t t + C [ r ] cos ϕ 8 ϕ dϕ 8 cos }{{} [ ] sin ϕ sin ϕ ( sin ϕ) cos ϕ 8 dϕ ( ) 9 8. d d, kde M je určena nerovnostmi +, +, M. + r r cos ϕ r cos ϕ, + r r cos ϕ r cos ϕ, cos ϕ r cos ϕ cos ϕ r sin ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ ϕ, ( ) + ( ) + cos ϕ cos ϕ r sin ϕ cos ϕ dr dϕ t cos ϕ dt sin ϕ dr t 5 dt t6 6 + C 6 [ r sin ϕ cos ϕ [ ] 6 cos6 ϕ dϕ ] cos ϕ cos ϕ dϕ 6 sin ϕ cos 5 ϕ dϕ

26 9. + d d, kde M je určena nerovnostmi +, +. M + ( ) + + r, + r r sin ϕ r sin ϕ, sin ϕ sin ϕ ϕ, 6 6, 5 6 sin ϕ sin ϕ ϕ 6, 5 6 r, ϕ 6, 5 6 r sin ϕ, ϕ, 6 r sin ϕ, ϕ 5 6, 5

27 5 6 r dr dϕ + 6 r dr dϕ + r dr dϕ [ r 6 ] dϕ + dϕ [ r ] sin ϕ sin ϕ dϕ ( 8 ) sin ϕ dϕ + ( t cos ϕ dt sin ϕ dr ( t ) dt t + t + C ) 8 8 [ r ] 5 6 sin ϕ sin ϕ dϕ ( 8 ) sin ϕ dϕ 6 6 sin ϕ( cos ϕ) dϕ 8 (cos ϕ cos ϕ) dϕ sin ϕ( cos ϕ) dϕ (cos ϕ cos ϕ) dϕ 6

28 . M d d, kde M je určena rovnostmi,,,. Použijte transformaci: u a v. u, v 6 6 u, v u v u v u v u v Jacobián: J u v u v (u, v) u v, (u, v) u v. u u / v / u/ v / v u / v / u/ v / 9 v + 9 v v v du dv [ ] u dv v v dv [ ] v 7

29 6. Cvičení: Trojný integrál Příklad: Vpočtěte integrál f(,, z) d d dz a načrtněte množinu Ω: Ω. z d d dz, kde Ω {[,, z] R,,, z }. Ω Ω [ ] z dz d d d d 6 Ω [ ] [ z d d ] d d z. Ω + d d dz, kde Ω je určena vztah,, +, z. z+ + z + dz d d Ω [( + ) ln z + ] d d Ω ln ( + ) ln d d ln (( ) + ( ) [ ] ln ( ) 6 ( 7 ln ) 9 ln 6 ) d ] [ + d z Ω

30 . z d d dz, kde Ω je určena vztah, z, z,. Ω Ω 9. Ω z [ dz d d 9 ] 8 d d 9 ( ) d d d dz, kde Ω je určena vztah,, z, z, + + z. z Ω z d d dz z ( z) d dz Ω z ] z [ z (( z) (( z) ( z) dz ) ( z) dz ) z( z) dz ] ( z) ( z) dz [ z z Ω z

31 5. Ω d d dz, kde Ω je určena vztah,, z, + + z. Ω dz d d ( ) d d z [ ] d (( ) ( ) (( ) [ ( ) ] ) ( ) d ) ( ) d ( ) d Ω 6

32 6. Ω. d d dz, kde Ω je určena vztah,, z, + z (+ z+) Ω + [ [ ( dz d d ( + z + ) ( + z + ) ] ( + + ) ) ] + d d d ( + ) ( ) d ( ) 5 6 d d [ ] z Ω

33 7. d d dz, kde Ω je určena vztah,, + z. Ω dz d d Ω + Ω ( + ) d d [z] d d + z t + dt d ( + ) d [ ] ( + ) tdt d }{{} + ( ) d }{{} 8 [ 8 ] + t Ω + 5

34 8. d d dz, kde Ω je určena vztah,, z, + + z. Ω z + dz d d + ( + ) d d Ω [ + [ ( + ) ] ] + d ( + ) d + 6 Ω 6

35 9. Vpočtěte objem tělesa Ω {[,, z] R,,, z + }. z Ω d d dz Ω ( + ) d d + d [ ] dz d d [ + ] d Ω 7

36 Trojný integrál - substituce do válcových souřadnic. Vpočtěte integrál ( + ) d d dz Ω je určena nerovnostmi + z. Ω r cos ϕ r sin ϕ z z J r r, ϕ, z r, z + z r z [ r r r r dz dr dϕ r6 6 ] dϕ r [z] r dr dϕ dϕ 6 (r r 5 ) dr dϕ 8

37 . Vpočtěte integrál + d d dz Ω je určena nerovnostmi + z 6. Ω r cos ϕ r sin ϕ z z J r r, ϕ, z r, 6 r 6 z + z 6 r z 6 r Poloměr společné kružnice: z + z z 6 z z z +z 6 z, z 6 r r r r dz dr dϕ [r r5 5 r ] dϕ 8 5 r [z] 6 r r dr dϕ dϕ 56 5 (6r r r ) dr dϕ 9

38 Trojný integrál - substituce do sférických souřadnic. Vpočtěte integrál z d d dz Ω je určena nerovnostmi z 9,,. Ω z r cos ϕ cos ϑ r sin ϕ cos ϑ z r sin ϑ J r cos ϑ r, ϕ, ϑ, 8 r sin ϑ r cos ϑ dr dϕ dϑ sin ϑ cos ϑ dϕ dϑ [ sin ϑ ] 8 6 [ r sin ϑ cos ϑ sin ϑ cos ϑ dϑ ] dϕ dϑ t sin ϑ dt cos ϑ dϑ t dt t + C

39 . Vpočtěte integrál z,, z. Ω d d dz Ω je určena nerovnostmi + +z + + r cos ϕ cos ϑ r sin ϕ cos ϑ z r sin ϑ J r cos ϑ r, ϕ, ϑ, z [ r r r cos ϑ dr dϕ dϑ ( r ) cos ϑ dr dϕ dϑ r ] ( 9 + r + 6 ln r cos ϑ dϕ dϑ + 6 ln ) cos ϑ dϕ dϑ ( ln ) ( 9 cos ϑ dϑ + 6 ln ) [sin ϑ] ( ln )

40 7. Cvičení: Vektorová analýza Příklad:. Je dána křivka C: r(t) (, ) t t, t (, ). Načrtněte křivku C. Určete tečný vektor v bodě t a načrtněte. Dále určete bod, ve kterém je tečna rovnoběžná s přímkou. Eliminace parametru t: t, > parabola. r (t) ( ), t t r ( ) (, ) r (t) ( t, t ) t R Přímka má směrový vektor: s (, ), tj. všechn rovnoběžné vektor jsou libovolné násobk: s k (k, k), k R. r ( ) r ( ) t k t k t t ( t r(), ) ( r () ), r () r (). Parametrizujte křivku, která je průnikem kulové ploch ( ) + ( ) + (z 8) a rovin z. ( ) + ( ) + ( 8) ( ) + ( ) 6 r(t) ( + cos t, + sin t, ), t,.

41 . Určete rovnice tečen k elipse o rovnici jejichž směrnice je. Hledám přímk: tg(α) + q + q + 9( + q) 6 + 8q + 9q 6 Diskriminant je roven (průsečík tečn a křivk je jeden): q + 87 q ± Příklad: Určete a načrtněte vektorové čár vektorového pole a(, ).. a(, ) (, ). d(t) dt d dt d(t) dt d dt ln t + C ln t + C e t+c e C e t e t+c e C e t (t) K e t (t) K e t r(t) (K e t, K e t ), t R Obecná rovnice (eliminujeme parametr t): t ln K K e ln K K K k

42 . a(, ) (, ). d(t) d(t) d(t) d(t) ln ln + C ln + ln C ln ln(c ) K Parametrizace:. a(, ) (, ). r(t) (t, Kt), t R d(t) dt d dt d dt d(t) dt d dt + Charakteristická rovnice: λ + λ, ±i Fundamentální sstém: F {cos t, sin t} (t) C cos t + C sin t (t) d(t) C sin t + C cos t dt Obecná rovnice: + C cos t + C C cos t sin t + C sin t + C sin t C C cos t sin t +

43 C cos t C (cos t + sin t) + C (cos t + sin t). a(, ) (, ). + C d d d, d + C + C C Parametrizace: r(t) (C sin t, C cos t), t, 5. a(, ) (, ). d(t) dt d(t) dt d dt d (t + C ) dt (t) t + C (t) (t + C ) + C ( ) (t + C ) r(t) + C, t + C

44 6. a(, ) (, ). d(t) dt d dt d(t) dt d dt ln t + C ln t + C (t) K e t (t) K e t r(t) ( K e t, K e t) Obecná rovnice: e t K K K K 7. a(,, z) (,, z). d(t) dt d(t) dt d(t) dt d(t) dt dz(t) z dt dz(t) dt z ln t + C ln t + C ln z t + C (t) K e t (t) K e t (t) K e t r(t) (K e t, K e t, K e t ) z z 5

45 Příklad: Určete, zda je vektorové pole a vírové nevírové, zřídlové nezřídlové.. a (, ) div a a + 5 i j k rot a a zřídlové, nevírové pole z (,, ). a (, ) div a a + i j k rot a a zřídlové, nevírové pole z (,, ) 6

46 . a ( +, ) div a a rot a a (,, 6 ) i j k z + zřídlové, vírové pole. a (,, e z ). rot a zřídlové, vírové pole div a + + e z i j k z e z (zez, ze z, ) Příklad: Pro vektorové pole a určete, zda je pole potenciálové a najděte potenciál ϕ.. a (e +, e + ) Pole je definováno na R - souvislá oblast. i j k rot a a (, ) a (, ) z (,, a a ) a e + a e + a a rot a 7

47 Pole je potenciálové. ϕ + e ϕ e + d ϕ + e ϕ e + d e + + C t + dt d e t dt e t + K e+ + C. a (e sin, e cos ) ϕ(, ) e + + C Pole je definováno na R - souvislá oblast. a e cos a e cos Pole je potenciálové. a a rot a ϕ e sin ϕ e sin d e sin + C ϕ e cos ϕ e cos d e sin + C ϕ(, ) e sin + C 8

48 . a (,, z) Pole je definováno na R - souvislá oblast. i j k rot a z z (,, ) Pole je potenciálové. ϕ ϕ ϕ z z ϕ + C ϕ + C ϕ z + C. a ( + z, + z, z + ) ϕ(,, z) + + z + C Pole je definováno na R - souvislá oblast. i j k rot a z + z + z z + (,, z z) Pole je potenciálové. ϕ + z ϕ + z + C ϕ ϕ + z ϕ z z + + z + C ϕ z + z + C ϕ(,, z) + + z + z + C 9

49 5. a (,, z) Pole je definováno na R - souvislá oblast. i j k rot a z z (,, ) Pole je potenciálové. ϕ ϕ ϕ z z ϕ + C ϕ + C ϕ z + C ϕ(,, z) + z + C Příklad: Ukažte, že funkce f(, ) je harmonická, tj. splňuje rovnici f.. f(, ) 6 + f f f + f + f f + f +

50 8. Cvičení: Křivkové integrál. druhu Příklad: Vpočtěte dané křivkové integrál. druhu.. K ds, kde křivka K je úsečka AB, A [, ], B [, ]. s B A (, ) r(t) (t, + t); t, r (t) (, ); r (t) B A K ds t + t dt 5 t + dt 5 [ln t + ] 5 ln. K ds, kde křivka K je úsečka AB, A [, ], B [, ]. s B A (, ) r(t) ( + t, + t); t, r (t) (, ); r (t) B A K ds + t + t dt 5 t dt [ln 5 t ] ln 5. K ( + ) ds, kde křivka K je úsečka AB, A [, ], B [, ]. s B A (, ) r(t) ( t, t); t, r (t) (, ); r (t) B A ( + ) ds (( t) + t ) dt ( t + t ) dt [ t t + ] t K

51 . K ( + ) ds, kde křivka K je lomená čára spojující bod A [, ], B [, ], C[, ]. k : s B A (, ) r(t) (t, ); t, r (t) (, ); r (t) C k k : s C B (, ) r(t) (, t); t, r (t) (, ); r (t) A k B ( + ) ds ( + ) ds + ( + ) ds t dt + ( + t ) dt K [ t + ] t 5 k k 5. K ( + ) ds, kde křivka K je obvod trojúhelníku ABC, A [, ], B [, ], C [, ]. k : s B A (, ) r(t) (t, ); t, r (t) (, ); r (t) C k : s C B (, ) r(t) ( t, + t); t, r (t) (, ); r (t) 8 k k k : s C A (, ) r(t) (, + t); t, r (t) (, ); r (t) A B k ( + ) ds ( + ) ds + ( + ) ds + ( + ) ds K k k k (t + ) dt + ( t + + t) 8 dt + ( + t) dt [ t + t ] + 8 [t] + [ t + t ] 8 + 8

52 6. K 7. K K 8. K ds, kde křivka K {[, ] R :, ln }. r(t) (t, ln t); t, ( r (t), ) t r (t) + t t + t t + t ln K ds [ (t + ) t t + ] t dt (5 5 ). t t + dt z t + dz t dt z dz z + C ds, kde křivka K je část parabol,,. ( ) t r(t), t ; t, r (t) (t, ) r (t) t + ds t + t dt t [ (t + ) 5 (t + ) ] t t + dt z t + dz t dt (z ) z dz (z z ) dz 8 8 z z + C ds, kde křivka K je čtvrtina kružnice + v I. kvadrantu. r(t) ( cos t, sin t); t, r (t) ( sin t, cos t) r (t) sin t + cos t ds sin t dt [ cos t]. K

53 9. K ds, kde křivka K je čtvrtina kružnice + 9 v I. kvadrantu. r(t) ( cos t, sin t); t, r (t) ( sin t, cos t) r (t) 9 sin t + 9 cos t ds cos t dt 9 [sin t] 9. K. ds, kde křivka K je oblouk kružnice + a s počátečním bodem [a, ] a K koncovým bodem [, a], kde a >. r(t) (a cos t, a sin t); t, a r (t) ( a sin t, a cos t) r (t) a sin t + a cos t a a K ds [ cos a t a cos t a sin t a dt ] a. a cos t sin t dt dz sin t dt a z dz a z + C z cos t. K ( + ) ds, kde křivka K je popsána rovnicí +. ( ) + r(t) ( + cos t, sin t); t, r (t) ( sin t, cos t) r (t) sin t + cos t ( + ) ds ( ) ( + cos t) + sin t dt ( + cos t) dt [(t + sin t)]. K

54 . K ( + ) ds, kde křivka K je popsána parametrickými rovnicemi (t) a(cos t + t sin t), (t) a(sin t t cos t), t,, a >. r(t) (a(cos t + t sin t), a(sin t t cos t)) ; t, r (t) (a( sin t + sin t + t cos t), a(cos t cos t + t sin t)) (at cos t, at sin t) r (t) a t cos t + a t sin t at ( + ) ds ( a (cos t + t sin t) + a (sin t t cos t) ) at dt K a [ t (t + t ) dt a + t ] a ( + ).. Vpočtěte délku asteroid K : + a, a >. r(t) (a cos t, a sin t); t, r (t) ( a cos t sin t, a sin t cos t ) r (t) a cos t sin t 9a (cos t sin t + sin t cos t) a a K ds 6a[sin t] 6a. a cos t sin t dt z sin t dz cos t dt z dz z + C 5

55 . K z ds, kde křivka K je první závit šroubovice (t) cos t, (t) sin t, z(t) t. + z r(t) (cos t, sin t, t); t, r (t) ( sin t, cos t, ) r (t) sin t + cos t + K z + ds t cos t + sin t dt [ t ] K ( + z) ds, kde křivka K je. závit kuželové šroubovice (t) t cos t, (t) t sin t, z(t) t. z r(t) (t cos t, t sin t, t) ; t, r (t) (cos t t sin t, sin t + t cos t, ) r (t) (cos t t sin t) + (sin t + t cos t) + + t ( + z) ds ( t cos t + t sin t t) + t dt K t + t dt + t z t dt dz z dz z + C [ ( + t ) ] (( + ) ). 6

56 6. K ( + ) ds, kde K je průniková křivka ploch + + z a, a >, v prvním oktantu. Parametrizace kružnice K(σ,, r) o poloměru r a, se středem [,, ], ležící v rovině σ o rovnici n(x ): r(t) (s +r cos t u +r sin t v, s +r cos t u + r sin t v, s + r cos t u + r sin t v), kde u, v jsou bázové vektor lokální kartézské souřadné soustav rovin σ. Lze brát u A, kde A je bod na kružnici A K(σ,, r) a v u n n σ : z + + z a ) ( a u, a,, v (,, a) ( a r(t) cos t, a cos t, a sin t ), t, r (t) r (t) ( a sin t, a sin t, a cos t a ) sin t + a sin t + a cos t a ( + ) ds ( a cos t + a cos t ) a dt a [sin t] a K 7

57 9. Cvičení: Křivkové integrál. druhu Příklad: Vpočtěte dané křivkové integrál. druhu (práce, po uzavřené křivce - cirkulace).. (+) d ( ) d, kde křivka K je kladně orientovaná kružnice + a, + K a >. a r(t) (a cos t, a sin t) t, r (t) ( a sin t, a cos t) souhlasná orientace a K ( + ) d ( ) d + ( cos t sin t sin t cos t + sin t cos t)dt (a cos t + a sin t) ( a sin t) (a cos t a sin t) (a cos t) a dt dt

58 . K f dr, kde f ( +, ) a křivka K je část parabol s počátečním bodem [, ] a koncovým bodem [, ]. KB r(t) (t, t ) t, r (t) (, t) nesouhlasná orientace P B K ( ( + ) d + d ( t + ) + t ( t) ) [ t dt + t t 7 6 ]. K f dr, kde f (, ) a křivka K je část parabol s počátečním bodem [, ] a koncovým bodem [, ]. r(t) (t, t ) t, r (t) (, t) nesouhlasná orientace

59 K d + d ( ( t ) + t ( t) ) [ t dt + t t ]. K f dr, kde f (, ) a křivka K je kladně orientovaná hranice čtverce ABCD, kde A [, ], B [, ], C [, ], D [, ]. AB : r(t) (t, ) t, r (t) (, ) nesouhlasná orientace BC : r(t) (, t) t, B A r (t) (, ) nesouhlasná orientace CD : r(t) (t, ) t, r (t) (, ) souhlasná orientace DA : r(t) (, t) t, r (t) (, ) souhlasná orientace C M K D a) ( ) d + d ((t ) + t ) dt (( t) + ( ) ) dt+ K + ((t + ) + t ) dt + (( t) + () ) dt [ t + t + t + t + t + t ]

60 b) Greenova věta ( ) d + d ( + ) d d d d ABCD 8 K M 5. K f dr, kde f (, ) a křivka K je kladně orientovaná hranice trojúhelníku ohraničeného osami, a křivkou + 5. AB : r(t) ( t, 5t) t, 5 B r (t) (, 5) souhlasná orientace BC : r(t) (, 5t) t, K r (t) (, 5) nesouhlasná orientace CA : r(t) (t, ) t, r (t) (, ) souhlasná orientace M C A a) K d [ 5( t) dt 5 ( t) ] 5 b) Greenova věta d d d 5 5 d d (5 5 ) d K M [ ] 5 5

61 6. K f dr, kde f (, ) a křivka K je kladně orientovaná hranice obrazce ohraničeného křivkami a. K : r(t) (t, t ) t, r (t) (, t) souhlasná orientace K : r(t) (t, t) t, r (t) (t, ) nesouhlasná orientace K : M K : a) K d + d (t + t ) dt [ t (t + t ) dt t5 5 ] b) Greenova věta K d + d M [ ] 5 5 d d d d ( ) d 5

62 7. K f dr, kde f (, ) a křivka K je kladně orientovaná křivka +. K : r(t) (cos t, sin t) t, r (t) ( sin t, cos t) souhlasná orientace M a) K d + d ( sin t + cos t) dt cos t dt [ ] sin t b) Greenova věta d + d ( ) d d K M c) Potenciálové pole rot f i j k z (,, ) Pole je potenciálové práce po uzavřené křivce je. 6

63 Příklad: Vpočtěte dané křivkové intergrál. druhu. Ukažte, že křivkový integrál druhého druhu vektorového pole f ( z + z, z z, z + ) nezávisí na integrační cestě v oblasti R a vpočtěte práci, kterou pole vkoná z bodu A [,, ] do bodu B [,, ]. R jednoduše souvislá oblast rot f i j k z z + z z z z + (6z (6z ), z + ( z + ), z z ) pole je potenciálové KI. druhu nezávisí na integrační cestě. Potenciál: ϕ z + z ϕ z + z + C ϕ z z ϕ z z + C ϕ z z + ϕ z + z z + C ϕ(,, z) z +z z+c z d + z d + dz ϕ(b) ϕ(a) 6 K 7

64 . Ukažte, že křivkový integrál druhého druhu vektorového pole f ( z, z, z ) nezávisí na integrační cestě v oblasti R a vpočtěte práci, kterou pole vkoná z bodu A [,, ] do bodu B [,, ]. R jednoduše souvislá oblast rot f i j k z z z z ( +, +, z + z) pole je potenciálové KI. druhu nezávisí na integrační cestě. Potenciál: ϕ z ϕ z + C ϕ z ϕ z + C ϕ z z ϕ z z + C ϕ(,, z) + + z z +C K ( z) d + ( z) d + (z ) dz ϕ(b) ϕ(a) 8

65 . Cvičení: Plošné integrál. druhu Příklad: Vpočtěte dané plošné integrál. druhu.. Vpočtěte z d, kde je část rovin + + z v prvním oktantu ( >, >, z > ). z g(, ) z g (, ), g (, ) n (g ) + (g ) + n n z d. [ ( ( ) d d ) ( ) d 6 ] D d I ( ) 6 ( ) ( ) 5 ( ) d d ( ) (( ) ( ) [ + ) ( ) d ] ( )5

66 . Vpočtěte ( + + z) d, kde je část rovin + + z v prvním oktantu ( >, >, z > ). z g(, ) z g (, ), g (, ) n (g ) + (g ) + ( + + z ) d ( + + ) d d ( ) d d [ ] d ( ) + d [ ]

67 . Vpočtěte d, kde je + + z R. z r(u, v) (R cos u cos v, R sin u cos v, R sin v), u,, v,, t u ( R sin u cos v, R cos u cos v, ) t v ( R cos u sin v, R sin u sin v, R cos v) n t u t v i j k R sin u cos v R cos u cos v R cos u sin v R sin u sin v R cos v (R cos u cos v, R sin u cos v, R sin u sin v cos v + R cos u sin v cos v) (R cos u cos v, R sin u cos v, R sin v cos v) n R cos u cos v + R sin u cos v + R sin v cos v R cos v + R sin v cos v R cos v R cos v R cos v d R cos v du dv R cos v du dv R cos v dv Ω R [sin v] R

68 . Vpočtěte d, kde je válcová plocha +, z. + +z z r(u, v) ( cos u, sin u, v) u, v,, r u ( sin u, cos u, ) r v (,, ) n r u r v n i j k sin u cos u cos u cos v + sin u ( cos u, sin u, ) + + z d + ( v Ω cos u + sin du dv du dv u + v + v [ ) dv arctg v ] arctg

69 5. Vpočtěte ( + ) d, kde {[,, z] R : z z }. z r(u, v) (u cos v, u sin v, u ) u,, v,, t u (cos v, sin v, u) t v ( u sin v, u cos v, ) n t u t v i j k cos v sin v u u sin v u cos v n u + u u u + (u cos v, u sin v, u) ( + ) d u u u + du dv u u u + du dv 8 t Ω t u + t u dt 8u du t dt ( t 5 t + C 5 ) dv ( 5 8 [ ] 8 (u + ) 5 6 (u + ) ) 5 5 / 8 dv ( ) 5 / 5

70 6. Vpočtěte d, kde { [,, z] R : z } + z. r(u, v) (u cos v, u sin v, u) u,, v,, t u (cos v, sin v, ) t v ( u sin v, u cos v, ) z n t u t v n u + u u i j k cos v sin v u sin v u cos v (u cos v, u sin v, u) d Ω u du dv u du dv [ u ] dv dv. 6

71 7. Vpočtěte + + d, kde {[,, z] R : z + z }. r(u, v) (u cos v, u sin v, u ) u,, v,, t u (cos v, sin v, u) t v ( u sin v, u cos v, ) z n t u t v n u + u u u + i j k cos v sin v u u sin v u cos v (u cos v, u sin v, u) + + d + u cos v + u sin v u u + du dv u( + u ) du dv Ω [ u + u ] dv ( + ) dv + 7

72 8. Vpočtěte arctg d, kde {[,, z] R : z + z }. r(u, v) (u cos v, u sin v, u ) u,, v,, t u (cos v, sin v, u) t v ( u sin v, u cos v, ) z n t u t v n u + u u u + i j k cos v sin v u u sin v u cos v (u cos v, u sin v, u) arctg d Ω t + u dt u du t dt t + C arctg ( ) u sin v u u u cos v + du dv [ u + u ] dv ( + ) vu( + u ) du dv dv + 8

73 9. Vpočtěte d, kde je z z 9,. z r(u, v) ( cos u cos v, sin u cos v, sin v), u,, v,, t u ( sin u cos v, cos u cos v, ) t v ( cos u sin v, sin u sin v, cos v) n t u t v i j k sin u cos v cos u cos v cos u sin v sin u sin v cos v (9 cos u cos v, 9 sin u cos v, 9 sin u sin v cos v + 9 cos u sin v cos v) (9 cos u cos v, 9 sin u cos v, 9 sin v cos v) n cos u cos v + sin u cos v + sin v cos v cos v + sin v cos v cos v 9 cos v z + 9 d t + Ω du dv t sin t dt cos t dt dv arctg t + C 9 cos v 9 sin du dv v + 9 [arctg (sin v)] ( + ). cos v sin v + dv 9

74 . Cvičení: Plošné integrál. druhu Příklad: Vpočtěte dané plošné integrál. druhu.. Vpočtěte f d, kde f (,, z) a je část rovin + + z v prvním oktantu ( >, >, z > ) orientované směrem k počátku. r(u, v) (u, v, u v) Ω {[u, v] Ω; u, v, u }, t u (,, ) t v (,, ) i j k n t u t v (,, ) nesouhlasná orientace f d u Ω (u, v, u v) (,, ) du dv dv du ( u) du [ u u ] n z Ω Ω (u + v + u v) du dv

75 . Vpočtěte f d, kde f (,, z) a je plášť rotačního paraboloidu z + orientovaného dovnitř. z r(u, v) (u cos v, u sin v, u ) u,, v,, t u (cos v, sin v, u) t v ( u sin v, u cos v, ) n n n t u t v i j k cos v sin v u u sin v u cos v ( u cos v, u sin v, u) souhlasná orientace f d (u cos v, u sin v, u ) ( u cos v, u sin v, u) du dv Ω u cos v u sin v + u du dv Ω

76 . Vpočtěte f d, kde f (,, z) a je plášť rotačního paraboloidu z + orientovaného dovnitř. z r(u, v) (u, v, u + v ) Ω { [u, v] R ; u + v }, t u (,, u) t v (,, v) n n Ω n t u t v i j k u v ( u, v, ) souhlasná orientace f d (u, v, u + v ) ( u, v, ) du dv ( u v + u + v ) du dv Ω Ω (u + v ) du dv polární s.: u r cos ϕ v r sin ϕ r, ϕ, J r Ω r dϕ dr [ r r dr ]

77 . Vpočtěte ven. f d, kde f (,, ) a je + +z, z > orientovaná n z r(u, v) (cos u cos v, sin u cos v, sin v), u,, v,, t u ( sin u cos v, cos u cos v, ) t v ( cos u sin v, sin u sin v, cos v) n t u t v i j k sin u cos v cos u cos v cos u sin v sin u sin v cos v (cos u cos v, sin u cos v, sin u sin v cos v + cos u sin v cos v) (cos u cos v, sin u cos v, sin v cos v) souhlasná orientace n f d Ω (sin u cos v, cos u cos v, ) (cos u cos v, sin u cos v, sin v cos v) du dv (cos u sin u cos v cos u sin u cos v + sin v cos v) du dv sin v cos v du dv Ω sin v cos v dv t sin v dt cos v dv t dt t + C [ sin t ]

78 5. Vpočtěte orientované ven. f d, kde f (,, z ) a je část jednotkové sfér pro z > r(u, v) (u, v, u v ), Ω { [u, v] R, u + v }, ( ) u t u,, u v ( ) v t v,, u v i j k ( ) u n t u t v u u v v u v, v u v, u v souhlasná orientace n z n f d ( (u, v, u v u ) u v, ) v u v, du dv Ω Ω ( ) u u v + v u v + u v du dv ( ) r + r r r dϕ dr polární s.: u r cos ϕ v r sin ϕ r, ϕ, J r ( r r + r ) r dr 5

79 t r dt r ( dr ) dt t / t/ + t + C ( ) t t + t [ r ( r ) / + ( r ) ] ( + ) 6 6. Vpočtěte tok vektorového pole f (,, ) plochou {[,, z] R,,,, z, } orientované v kladném směru os. n (,, ) f n d (,, ) (,, ) d z d dz. n 6

80 . Cvičení: Integrální vět Příklad: Vpočtěte pomocí Gaussov vět.. Vpočtěte tok vektorového pole f (,, z ) vně orientovaným povrchem válce +, z 5. z clindrické souřadnice: div f z n 5 r cos ϕ r, r sin ϕ ϕ, z z z, 5 J r n f d div f d d dz 5 z d d dz z r dr dϕ dz 5 V z [ r ] 5 dϕ dz V z dϕ dz 8 5 [ z z dz 8 ] 5

81 . Vpočtěte tok vektorového pole f (, ( ), z) vně orientovaným povrchem kužele z +, z. div f Polární souřadnice: z r cos ϕ r, r sin ϕ ϕ, J r 5 f d V V div f d d dz ( ) + d d 5 V 5 d d dz 5 V ( r)r dr dϕ 5 + dz d d ] [r r dϕ

82 . Vpočtěte tok vektorového pole f (, z, ) vně orientovaným povrchem čtřstěnu:,, z, + + z a, a >. z a div f n a n a f d div f d d dz a a a dz d d a a (a ) d d a ( V (a )[] a [ (a ) ] a a 6 [ ] a ) d a ((a ) (a ) ) d a (a ) d. Vpočtěte tok vektorového pole f (, z, ) vně orientovaným povrchem čtřstěnu:,,, + + z a, a >. z a div f f d n a n a

83 Příklad: Vpočtěte pomocí tokesov vět.. Vpočtěte práci, kterou vkoná vektorového pole f (,, z) po obvodu čtverce ABCD, kde A [,, ], B [,, ], C [,, ], D [,, ], jehož orientace je dána pořadím bodů ABCD. rot f i j k z n (,, ) z (,, ) souhlasná orientace B K z n A C D f dr rot f d (,, ) (,, ) d d d 9. K

84 . Vpočtěte práci, kterou vkoná vektorového pole f ( z, z, ) po kružnici + z, orientovanou směrem z bodu [,, ] do bodu [,, ]. z rot f i j k z (,, ) z z n (,, ) souhlasná orientace K n f dr rot f d (,, ) (,, ) d d... K r(u, v) (u cos v,, u sin v) u, v, i j k n cos v sin v u sin v u cos v (, u sin v u cos v, ) (, u, ) n u Ω u du dv u dv du [ u u du ] 8 5

85 . Vpočtěte práci, kterou vkoná vektorového pole f (, z, ) po obvodu trojúhelníka ABC, kde A [,, ], B [,, ], C [,, ], orientace je dána pořadím bodů ABC. rot f i j k z ( z,, ) z r(u, v) (u, v, u v) Ω { [u, v] R : u,, v, u } i j k n (,, ) nesouhlasná orientace n z Ω f dr rot f d ( ( u v), u, v) (,, ) d K (6 u v + u + v) d 6 du dv 6 u dv du 6 ( u) du 6 [u u ] ( ) 7 Ω 6