Teorie množin kapitola 2
kapitola 2 část 3 Intervaly Základní poznatky Teorie množin Co po tobě budu dneska chtít? V této podkapitole tě naučím pracovat s intervaly, správně je zapisovat a zakreslovat na číselnou osu. Budeš vědět, jaké typy intervalů existují a jaký je mezi nimi rozdíl. Nakonec ti ukážu, jak udělat průnik a sjednocení dvou intervalů, protože tahle dovednost je opravdu velmi důležitá, tak tuto látku nepodceň. Na co to budeš jednou potřebovat? Odpověď na tuto otázku můžeš nalézt na konci této podkapitoly, kde ti řeknu, v jakých konkrétních případech v životě se s intervaly setkáš, tak dočkej času jako husa klasu. S čím to bude v matematice souviset? Intervaly se používají opravdu téměř všude a jejich znalost je tedy nutná. Setkáš se s nimi například u určování podmínek pro neznámou v Rovnicích a nerovnicích nebo při řešení soustav lineárních nerovnic. Co je to interval? Definice říká, že interval je podmnožina množiny všech reálných čísel, která je z obou stran ohraničena dvěma krajními body (krajní bod může být i nekonečno). Interval je tedy soubor reálných čísel, která jsou větší (nebo rovna) danému číslu (či mínus nekonečnu) a zároveň menší (nebo rovna) jinému číslu (či plus nekonečnu), například větší než 5 a menší nebo rovno 17, v matematičtině jako (5; 17. Nezapomeň především na to, že interval existuje pouze v reálných číslech. Existují dva typy intervalů: a) interval omezený takový interval, který je z obou stran omezený danými hodnotami (nikoliv symbolem nekonečna), např. ( 3; 2. Tyto intervaly se dále rozlišují na interval uzavřený, polouzavřený zprava, polouzavřený zleva a otevřený. Podrobnější informace ti řeknu až za chvíli. b) Interval neomezený Neomezený interval je takový interval, který je omezen přesnou hodnotou nejvýše (maximálně) z jedné strany, např. ( ; 1) či ( ; ). I tento typ intervalu se dále rozděluje, a to na interval neomezený zprava a uzavřený zleva, interval neomezený zprava a otevřený zleva, interval neomezený zleva a uzavřený zprava, interval neomezený zleva a otevřený zprava a interval neomezený z obou stran (ten se používá jen zřídka). Je jich sice hodně, ale není na tom vůbec nic těžkého. Více ti řekne tabulka, kterou nalezneš na straně 92, kde jsou tyto druhy intervalů znázorněny. 88
K čemu je interval dobrý? Pokud potřebuješ vymezit nějaký úsek reálných čísel, pak použiješ interval. Například chceš říct, že otevírací doba obchodu Hustejšop je od devíti (včetně) do osmnácti (včetně) hodin. Intervalem bys takovouto skutečnost zapsal jako 9; 18. Třeba číslo 19 hodin se už v intervalu nenachází, tudíž si nemůžeš nic v tomto obchodu koupit, protože je zavřený. Kdežto číslo 12,5 (tj. půl jedné odpoledne) je v intervalu obsaženo je, takže nakupovat můžeš. Častým problémem jsou závorky, tedy zda tam bude ostrá, tj. nebo, či kulatá, tj. ( nebo ). Ale o tomto ti řeknu více až na straně 95, kde ti to ukážu na příkladech z reálného života. Jak zapsat interval? Interval můžeš zapsat třemi způsoby. S prvním způsobem se setkáš nejčastěji, je to klasický zápis intervalu, kde jsou v závorkách dvě čísla oddělená středníkem (někdy se používá jen desetinná čárka, což může působit nepřehledně a plést se tak s desetinným číslem, takže to v této knize používat nebudeme). První typ zápisu vypadá tak, že má dva krajní body v závorkách. Bod, který je vlevo, musí být menší než ten, co je vpravo. Například interval (1; 5) je zapsaný správně, ale interval (5; 1) je už špatně. Mohou se samozřejmě měnit závorky, takže můžeš napsat čtyři typy intervalů, buď (a; b), a; b), (a; b, nebo a; b. Záleží na tom, zda chceš, aby krajní bod ještě patřil do intervalu. Pokud patří do intervalu, pak dáš ostrou závorku, tj. nebo. Jestli nemá patřit, napíšeš kulatou závorku, tedy ( nebo ). Více ti o závorkách řeknu později u omezených intervalů. (a; b) krajní bod (tzv. dolní mez) krajní bod (tzv. horní mez) Druhý způsob zápisu, kterému se říká charakteristická vlastnost, se používá především u zápisu množin. Funguje tak, že nejdříve napíšeš menší krajní bod a potom znaménko nerovnosti (buď krajní bod patří do intervalu, anebo < nepatří do intervalu). Dále napíšeš neznámou (je na tobě, jak ji pojmenuješ, obvykle to je x) a opět napíšeš znaménko nerovnosti (symbol nebo <, záleží, zda krajní bod patří nebo nepatří do intervalu). Nakonec napíšeš hodnotu většího krajního bodu. Zápis 1 < x < 5 lze přečíst jako: neznámá x je větší než jedna a zároveň menší než pět. x R; a < x < b krajní bod (tzv. dolní mez) neznámá (název je libovolný) krajní bod (tzv. horní mez) Třetím způsobem je grafické znázornění na číselné ose. Tento způsob se hodí především ve chvílích, kdy si potřebuješ představit více intervalů najednou, aby bylo například vidět, jakou část mají společnou. Více o zakreslování ti řeknu pod nadpisem Omezené intervaly trochu detailněji. 89
Přehled omezených intervalů V následující tabulce (kde a, b jsou reálná čísla a platí, že a < b) se nachází přehled omezených intervalů. Pokud ti některý z těchto typů není jasný nebo nevíš, jak správně interval znázornit na ose nebo ho zapsat charakteristickou vlastností, podívej se na následující řádky pod tabulkou, kde ti toto vysvětlím detailněji. V případě, že ti to jasné je, můžeš přelistovat na stranu 92, kde se nachází přehled neomezených intervalů. Název Zápis intervalu Charakteristická vlastnost Znázornění na ose Uzavřený interval a; b a x b, x R Polouzavřený interval zprava (a; b a < x b, x R Polouzavřený interval zleva a; b) a x < b, x R Otevřený interval (a; b) a < x < b, x R Omezené intervaly trochu detailněji Omezené intervaly se dále dělí podle toho, kde jsou uzavřené. a) uzavřený interval Uzavřený interval je takový interval, který je na obou stranách uzavřen určitými hodnotami, které do intervalu patří. To znamená, že na obou stranách intervalu jsou ostré závorky, např. 1; 5. 1; 5 1 x 5, x R krajní bod (tzv. dolní mez) krajní bod (tzv. horní mez) krajní bod (tzv. dolní mez) neznámá (název je libovolný) krajní bod (tzv. horní mez) Interval 1; 5 zapíšeš pomocí charakteristické vlastnosti jako 1 x 5 (čti: číslo x je větší nebo rovno jedné a zároveň menší nebo rovno pěti ). V dalších typech intervalů se soustřeď na měnící se znaménko nerovnosti (tj. < a ) u zápisu charakteristickou vlastností. Tento typ intervalu můžeš zakreslit na číselnou osu. Oba krajní body znázorníš na ose plným kolečkem, protože do intervalu patří, což říká ostrá závorka 1; 5. Pokud by tam body nepatřily, to znamená, že by u krajních bodů byla kulatá závorka, pak by se na číselné ose znázornily prázdnými kolečky, ale o tom až později. b) polouzavřený interval zprava Polouzavřený interval zprava (také polootevřený interval zleva, záleží, jak se na to díváš) je takový interval, který je na pravé straně uzavřený (ostrá závorka označující, že krajní bod do intervalu patří) a na levé straně je otevřený (kulatá závorka říkající, že krajní bod do intervalu nepatří), např. interval ( 1; 2. 90
Interval ( 1; 2 zapíšeš pomocí charakteristické vlastnosti takto: 1 < x 2 (čti: číslo x je větší než mínus jedna a zároveň menší nebo rovno dvěma ). Jak můžeš vidět, pokud je u krajního bodu kulatá závorka, dáš znaménko <. Jestliže je v zadání ostrá závorka, napíšeš znaménko. Na číselnou osu se tento interval znázorní tak, že nad hodnotu krajního bodu, u kterého je ostrá závorka, nakreslíš plné kolečko. U krajního bodu, který má u sebe kulatou závorku v zadání intervalu, bude prázdné kolečko. Více ti řekne číselná osa níže. Ostrá závorka v zadání intervalu a plné kolečko na číselné ose značí, že daný bod patří do intervalu. Kdežto kulatá závorka v zadání intervalu a prázdné kolečko na číselné ose říká, že daný bod nepatří do intervalu, více ti řekne číselná osa výše. c) polouzavřený interval zleva Polouzavřený interval zleva (také polootevřený interval zprava) je takový interval, který je na levé straně uzavřený (ostrá závorka) a na pravé straně otevřený (kulatá závorka), např. interval 0; 3). Interval 0; 3) zapíšeš pomocí charakteristické vlastnosti takto: 0 x < 3. (čti: číslo x je větší nebo rovno nule a zároveň menší než tři ). Tam, kde je kulatá závorka, dáš < a kde je ostrá závorka, napíšeš. Tento typ intervalu můžeš samozřejmě zakreslit na číselnou osu. Krajní bod omezující interval zleva do intervalu patří (proto je na číselné ose vyznačen plným kolečkem), kdežto krajní bod, který omezuje interval zprava, do intervalu nepatří (proto je na ose označen prázdným kolečkem). d) otevřený interval Otevřený interval je takový interval, který je na obou stranách otevřený (má pouze kulaté závorky), např. ( 2; 2). Interval ( 2; 2) zapíšeš pomocí charakteristické vlastnosti jako 2 < x < 2 (čti: číslo x je větší než mínus dva a zároveň menší než dva ). Na číselnou osu zakreslíš tento typ intervalu tak, že u obou krajních bodů bude prázdné kolečko, protože do intervalu nepatří, je u nich v zadání intervalu kulatá závorka. Přehled neomezených intervalů Jak jsem ti již říkal na začátku kapitoly, i intervaly neomezené lze dále dělit. V tabulce níže (kde a je reálné číslo) můžeš nalézt přehled těchto neomezených intervalů. Pravidla pro zakreslování, jako například, že kulatá závorka se značí prázdným kolečkem nebo že ostrá závorka je plné kolečko, platí i zde. 91
Název Zápis intervalu Charakteristická vlastnost Znázornění na ose Interval neomezený zprava a uzavřený zleva a; ) x a, x R Interval neomezený zprava a otevřený zleva (a; ) x > a, x R Interval neomezený zleva a uzavřený zprava ( ; a x a, x R Interval neomezený zleva a otevřený zprava ( ; a) x < a, x R Interval neomezený z obou stran ( ; ) < x <, x R Příklad 1 Vyjádři zápis K = {x R; 1 x < 6} výčtem prvků a posléze i intervalem. Postup Máš množinu K, která pro svůj zápis využívá charakteristickou vlastnost, zapsat výčtem prvků a poté i intervalem. Tak vzhůru na to! Množinu K nelze zapsat výčtem prvků. Takovýto zápis nemůžeš napsat výčtem prvků, protože výsledkem jsou všechna reálná čísla (to určuje značka R) mezi čísly jedna a šest (říká zápis 1 x < 6), a to je nekonečně mnoho čísel (může to být například číslo 1,6; 1,789; 2,86; 3,885469 atd.). A proto je potřeba nějaký snazší zápis, tedy způsob zápisu pomocí intervalu. K = 1; 6) U zápisu intervalu je velmi důležité vědět, jaké závorky použiješ, zda ostré, anebo kulaté. Záleží na tom, jestli se v zadání nerovnice nachází znaménka <, >, nebo. U prvních dvou znamének dáš kulatou závorku, která značí, že daný krajní bod již do intervalu nepatří. Zbylá dvě znaménka mají ostrou závorku udávající, že dané číslo do intervalu patří. Zápis intervalem napíšeš u této množiny jako 1; 6). V zadání u jedničky je symbol, takže dáš ostrou závorku a u čísla šest bude kulatá závorka, protože je u něho symbol <. Tomuto omezenému intervalu se odborně říká polouzavřený zleva. Tý jo, průnik intervalů! Jestliže potřebuješ provést průnik dvou nebo i více intervalů, pak je nejlepší možnost si všechny intervaly zakreslit na jednu číselnou osu. Z podkapitoly Množiny víš, že výsledkem průniku je množina (interval) obsahující všechny prvky, které mají obě množiny (intervaly) společné. To znamená, že pokud chceš průnik dvou intervalů, tak výsledkem bude interval s čísly, které patří do obou intervalů zároveň. 92
Příklad 2 Urči průnik intervalů A = ( 2; 2 a B = 0; 4). Postup Uděláš tedy průnik dvou intervalů A a B a získáš tak nový interval, který bude obsahovat čísla, která jsou jak v intervalu A, tak zároveň i v intervalu B. A = ( 2; 2 a B = 0; 4) Nejdříve na jednu číselnou osu zakreslíš oba intervaly. Začneš krajními body. Pokud je u krajního bodu kulatá závorka, pak bude na číselné ose prázdné kolečko. Když je u krajního bodu ostrá závorka, nakreslíš plné kolečko. Krajní body z jednoho intervalu spojíš čárou. A B Následně vyšrafuješ průnik těchto dvou intervalů, tedy to, co mají společné (= všechna čísla, která jsou obsažena v obou intervalech zároveň). Na ose vidíš zobrazený průnik jako modro-zeleně vyšrafovanou část. Je to ta část, kde jsou oba intervaly zobrazené pod sebou. V tomto případě do průniku patří všechna čísla od nuly (včetně) do dvou (včetně). Včetně proto, že do zadaných intervalů body patří (v zadání intervalů se u nich nachází ostrá závorka). K = A B = ( 2; 2 0; 4) = 0; 2 V jazyce matematiky se pro průnik používá symbol. Výsledkem tedy je interval od nuly (včetně) do dvou (včetně). Příklad 3 Urči průnik intervalů A B C, jestliže A = 1; 1, B = (0; 2 a C = (2; 4. Postup Tento příklad vyřešíš podobným způsobem jako příklad 2. Výsledkem průniku je nový interval, který bude obsahovat prvky, které jsou ve všech třech intervalech zároveň. Nejdříve si na číselnou osu nakreslíš krajní body intervalů. Plné kolečko bude mít ten bod, který má u sebe ostrou závorku. Prázdné kolečko zastupuje bod, který je u kulaté závorky. Nakonec body z jednotlivých intervalů spojíš. Průnikem je pak to, co mají všechny tři intervaly společné (na ose to bude ta část, kde jsou všechny tři čáry pod sebou). Jak je z osy výše jasné, nemají společného vůbec nic (jsou pod sebou maximálně dvě čáry ). 93
A B C = Pro zápis průniku se používá symbol a pokud není průnik žádný, tak se používá symbol, který značí prázdnou množinu (pokud nevíš, co to je, podívej se na stranu 69). Sjednocení intervalů Z podkapitoly Množiny určitě víš, že výsledkem sjednocení množin je nová množina (interval) obsahující všechna čísla, která jsou alespoň (minimálně) v jedné množině. U dvou intervalů bude sjednocením nový interval, který bude obsahovat všechna čísla, která jsou alespoň v jednom ze dvou intervalů. Příklad 4 Urči sjednocení intervalů A = ( 2; 2 a B = 0; 4). Postup Uděláš tedy sjednocení dvou intervalů A a B a získáš tak nový interval, který bude obsahovat čísla, která jsou alespoň v intervalu A nebo v B. A = ( 2; 2 a B = 0; 4) Nejdříve na osu zakreslíš oba dva intervaly, respektive jejich krajní body ve tvaru plných (ostrá závorka) nebo prázdných (kulatá závorka) koleček a příslušná kolečka spojíš. A B Následně pak označíš (např. vyšrafuješ) část, která spadá alespoň (minimálně) do jednoho z intervalů. V tomto případě to jsou všechna čísla od mínus dvou (bez) do čtyř (bez). Bez je to proto, že v zadání intervalů se u čísla 2 a 4 nachází kulatá závorka značící, že daný bod do intervalu nepatří. K = A B = ( 2; 2 0; 4) = ( 2; 4) V matematické symbolice se pro zápis sjednocení používá symbol. Výsledkem tohoto příkladu je interval od mínus dvou (bez) do čtyř (bez). 94
Příklad 5 Urči sjednocení intervalů A = 1; 1, B = (0; 2 a C = (3; 5. Postup Postup bude velmi podobný jako u příkladu 4. Výsledkem sjednocení bude nový interval, který bude obsahovat čísla, která budou minimálně v jednom intervalu ze tří. Na číselnou osu nakreslíš intervaly, resp. jejich krajní body. Bod u kulaté závorky má prázdné kolečko a bod u ostré závorky je zobrazen jako plné kolečko. Nakonec spojíš nakreslené body z jednotlivých intervalů. A B C Sjednocením jsou všechna čísla, která jsou alespoň v jednom intervalu, tedy všude, kudy vede na číselné ose čára. Sjednocení na obrázku výše značí vyšrafovaná oblast. A B C = 1; 1 (0; 2 (3; 5 Výsledek můžeš napsat buď tak, že napíšeš všechny intervaly, které máš sjednotit, a dáš mezi ně symbol sjednocení, tedy. Matematicky správnější je ale to, aby se vyloučily stejné hodnoty, které jsou v jednotlivých intervalech. Například číslo 1 je obsaženo jak v první intervalu, tak i ve druhém, a to není úplně dobré. A B C = 1; 1 (0; 2 (3; 5 = 1; 2 (3; 5 Správný výsledek je tedy tento. Jednoduše na něj přijdeš tak, že se podíváš na číselnou osu a přímo z ní opíšeš to, co vidíš. Nejdříve napíšeš bod 1, protože tím začíná první interval. Pak pojedeš na ose směrem doprava. Narazíš na bod 0, který má u sebe prázdné kolečko. Ale v intervalu A je bod 0 obsažen (prochází jím čára ). Tedy bod nula je součástí a nijak ho nezapíšeš. Dalším bodem je číslo 1, které patří dokonce do obou intervalů (jak do A, tak do B), tudíž si tohoto bodu také nevšímáš. Nakonec se zde nachází bod 2, který se nachází na konci intervalu, a proto je potřeba si ho napsat. Ukončuje interval. Bude u něho ostrá závorka, jelikož má u sebe plné kolečko. Tudíž máš první interval, a to 1; 2. Poslední interval jsou jen dva body, kde není co upravovat, takže ho jen opíšeš a máš celkový výsledek. K čemu jsou intervaly dobré v životě? Ačkoliv si to možná neuvědomuješ, tak intervaly používáš každý den. Už jen tvůj denní režim je jeden interval. V šest ráno vstaneš a ve dvacet dva hodin jdeš spát. To by se intervalem dalo zapsat jako (6; 22), přičemž kulaté závorky by mohly být i ostré, jelikož nevíš, zda přesně v šest vstaneš či přesně ve dvacet dva hodin usneš. Tím se dostáváme k problému... V reálném životě ti je jedno, jestli přesně v šest vstaneš (když vstaneš v 6:01, tak se nic nestane, kromě toho, že by ti ujel autobus), jenže v matematice musí být přesně dáno, kdy člověk vstane. Znamená to tedy, že kulaté a ostré závorky jsou velmi důležité. Podívej se na další příklady, které potkají snad každého smrtelníka. 95
Otevírací doba je od 9:00 do 18:00. Znamená to, že můžeš přijít v tomto časovém intervalu. Matematicky zapsáno: 9; 18, (9; 18), 9; 18) nebo (9; 18, záleží, jestli obchod zavřou a otevřou přesně. Děti do 15 let mají vstup zdarma. Opět závisí na tom, jestli pořadatelé mysleli, zda i děti, kterým je přesně 15 let, mají vstup zdarma, tedy matematicky zapsáno: (0; 15 nebo (0; 15). Také je i možnost, že pokud je někomu 15 let a 5 měsíců, tak mu je právně stále 15 let, tudíž i na něho by se sleva mohla vztahovat. Pak by se to matematicky zapsalo následovně: (0; 16). Nosnost plošiny je 1 000 kg. Unese plošina ještě 1 000 kg, nebo jen maximálně 999,99 kg. Matematicky to musí být přesně určeno, tedy buď 0; 1000, anebo 0; 1000). V reálném životě je například nosnost výtahu o mnoho vyšší, než je udáváno, protože je třeba počítat s různými fyzikálními faktory, a proto v běžném životě platí varianta 0; 1000, takže se neboj, že by tě výtah neunesl. Zákaz vjezdu vozidel, jejichž výška přesahuje 3,5 m. U tohoto příkladu už nezáleží na domluvě lidí, zde není počítáno s velkou rezervou (na ceduli je napsáno 3,5 m, tak skutečná výška mostu je jen o malinko vyšší, maximálně v řádech centimetrů), tudíž by zde byl použit interval s ostrými závorkami, tedy 0; 3,5. Vždy záleží, jak se lidé dohodnou, ale minimálně v matematice to musí být jasně dané, a proto jsou závorky u intervalů velmi důležité, tak na to prosím dávej pozor. Neboj, už tě brzy nechám být! Interval je soubor reálných čísel, která jsou větší (nebo rovna) danému číslu (či mínus nekonečnu) a zároveň menší (nebo rovna) jinému číslu (či nekonečnu). Typy intervalů: Interval omezený je z obou stran omezený danými hodnotami, např. ( 3; 2. Interval neomezený je omezený maximálně z jedné strany, např. (2; ) nebo ( ; ). Zakreslování na číselnou osu: Plné kolečko na číselné ose či ostrá závorka v zadání intervalu značí, že krajní bod je součástí daného intervalu. Prázdné kolečko na číselné ose nebo kulatá závorka v zadání intervalu značí, že krajní bod nepatří do daného intervalu. Sjednocením intervalů vznikne nový interval, který obsahuje čísla, která jsou minimálně v jednom z nich. Průnikem intervalů je nový interval, který obsahuje čísla, která mají všechny intervaly společné. 96
Procvičení 48 Co nejjednodušším způsobem zapiš množiny: a) (2; 6) 4; ) b) (2; 6) 4; ) 49 Znázorni na číselné ose a urči průnik a sjednocení intervalů: a) (2; 7) a (5; 9) b) ( 8 11 ; 7 ) a 4; 7 2 c) ( ; 5) a ( 7; 0 d) ( 5; 2) a 1; 3) 50 Na číselné ose znázorni a jako interval zapiš tyto množiny: a) A = {x R; 7 < x 2} b) B = {x R; 5 x < 12,5} c) C = {x R; x > 0} d) D = {x R; x 1} 51 Jsou dány intervaly A = 3; 2, B = ( ; 2), C = (0; 10. Zapiš následující množiny pomocí intervalu: a) A B C b) A B C c) (B C) A d) (A B) C 52 Při cestě z Hradce do Pardubic se jede přes tři mosty. První má nosnost 15 t, druhý má nosnost 25 t a třetí 30 t. Zapiš intervalem (v tunách), jak těžká auta mohou po této trase jezdit. Výsledky Postup řešení najdeš na www.pocitame.si 48 a) 4; 6) b) (2; ) 49 a) (2; 7) (5; 9) = (2; 7) (5; 9) = b) ( 8 11 ; 7 ) 4; 7 2 = ( 8 11 ; 7 ) 4; 7 2 = 97
c) ( ; 5) ( 7; 0 = ( ; 5) ( 7; 0 = d) ( 5; 2) 1; 3) = ( 5; 2) 1; 3) = 50 a) A = ( 7; 2 b) B = 5; 8,5) c) C = (0; ) d) D = ( ; 1 51 a) ( ; 10 b) (0; 2) c) 3; 2 d) 3; 10 52 (0; 15 98