Jsou tři druhy výrazů, které jsou fuj a u kterých je třeba jisté ostražitosti. Jsou to:

Transkript

1 Podmínky u výrazů Jsou tři druhy výrazů, které jsou fuj a u kterých je třeba jisté ostražitosti. Jsou to: lomené výrazy výrazy se sudými odmocninami výrazy s logaritmy Lomené výrazy Lomené výrazy jsou výrazy, u nichž se neznámá vyskytuje ve jmenovateli zlomku. Tzn., že y např. výraz, jakkoli je nechutný, není lomeným výrazem! U lomených výrazů musíš 50 dát pozor jen na jednu věc ve jmenovateli zlomku nesmí být nula. Dělit nulou totiž nelze. Nevěříš-li, řekni mamince, ať upeče bábovku, vezmi nůž a rozřež (rozděl) tu pochoutku na 0 dílů. Příklad 1 5 a 1 1 a) b) c) d) a y a b e) a 1 y y a) Čitatel zlomku tě vůbec nezajímá. Tebe zajímá pouze jmenovatel. A ten nesmí být roven nule. Položíš tedy a 0. Tím ti vznikla jakási lineární minirovnice s přeškrtnutým rovnítkem, kterou vyřešíš, a je po všem. Neumíš-li řešit takovéto rovnice, stáhni si soubor Ach ty rovnice ze stejné složky. a 0 a Jedna podmínka. b) Položíš 0. Z dvojčlenu na levé straně rovnice vytkneš před závorku. Dostaneš: ( ) 0 Součin dvou čísel je nenulový právě tehdy, když žádné z těchto čísel není nula. To znamená, že buď 0 anebo 0, tedy. Tady jsou podmínky dvě. c) Položíš y 0. Tady máš nalevo součin dvojky a proměnných a y. Dvojka není nula, to je známá věc, stačí tedy položit 0, y 0. Dvě podmínky. d) Položíš a + b 0. Je na tobě, upřednostníš-li neznámou a či b. Buď jak buď, jednu z těchto proměnných šoupneš (odečteš) na druhou stranu rovnice a je vymalováno. Takže např. a b. Jedna podmínka. e) Žádnou paniku! Každý zlomek vyřešíš zvlášť. Začneš třeba tím prvním. a( y) 0 a 0 a současně y 0, tedy y + y 0 y Celkem tedy tři podmínky.

2 Výrazy se sudými odmocninami Pod sudou odmocninou nesmí být záporné číslo. To plyne z toho, že mínus krát mínus dává plus. Někteří žáci se mylně domnívají, že nejde odmocnit ani číslo 0. To je však omyl, 0 0. Příklad a) 1 b) a c) 4 d) 5 e) z f) a) Pod sudou odmocninou nesmí být záporné číslo. Tuto skutečnost zapíšeš matematicky takto: 1 0. Vznikne tak jednoduchá lineární nerovnice, kterou vyřešíš, a je vystaráno ; Znalost zápisu intervalů je tady NUTNÁ! b) a + 0 a a a ; c) + 0 Bohužel, žáci většinou nepřemýšlejí a vrhnou se do řešení této nerovnice hlava nehlava. Přitom řešení je ihned zřejmé. Stačí si uvědomit, že levá strana nerovnice obsahuje součet nezáporného čísla a čísla a tento součet přeci nemůže být nikdy záporný! Tedy proměnná může nabývat jakýchkoli hodnot, R. d) Toto je neúplná kvadratická nerovnice. Vytkneš před závorku. ( + 5) 0 Součin dvou čísel je nezáporný, nastane-li jedna z těchto situací: 1) plus nebo 0 krát plus nebo 0 ) mínus nebo 0 krát mínus nebo 0 ad 1) 0 a současně ; a současně 5; Tyto podmínky musejí platit současně. Hledáš tedy průnik intervalů 0 ; a 5 ;, což je interval 0 ;. Tedy 0;. ad ) 0 a současně ; 0 a ; 5 Tyto podmínky musejí také platit současně. Hledáš tedy průnik intervalů ; 0 a ; 5, což je pochopitelně interval ; 5. Tedy ; 5. Výsledná podmínka bude vypadat takto: ; 5 0 ;. Pozn. Nerovnici by bylo výhodnější řešit využitím znalosti průběhu kvadratické funkce y = + 5, nicméně toto učivo je řazeno až na konec 1. ročníku, tedy až za kapitolu o výrazech. e) z 0 z z ; Žáci občas při takovém výsledku panikaří a hledají chybu, protože jim vyšla záporná z. Panika ovšem není na místě, pod odmocninou se přeci vyskytuje výraz z a nikoli z.

3 f) 0 Tady POZOR! Při odmocňování výrazu je třeba ponechat neznámou v absolutní hodnotě. Platí totiž věta: a a pro všechna a R. Tuto nerovnost splňují všechna reálná čísla, která mají vzdálenost od nuly na číselné ose větší nebo rovnu. Tedy ; ;. Výrazy s logaritmy Jedná se o učivo. ročníku. Logaritmovat můžeme jen kladná čísla. To plyne ze samotné definice logaritmu. Toť vše. Příklad log a) log 5 b) log c) d) 1 log 5 a) Píšeš > 0 a dále postupuješ stejně jako u sudých odmocnin jen s tím rozdílem, že výsledný interval bude otevřený. > 0 > ; b) > 0 Ve druhém ročníku už je žákům problematika kvadratických funkcí známa. Levou stranu nerovnice můžeš chápat jako kvadratickou funkci y =. Grafem této funkce je parabola tvaru údolí, která protíná souřadnicovou osu ve dvou bodech: = 0 a = 1. V rychlosti si načrtneš obrázek. y

4 Nerovnice > 0 ti v podstatě říká, že hledáš taková reálná čísla, pro která jsou hodnoty funkce y = větší než 0. Z obrázku je patrné, že jsou to všechna ; 0 1;. Jinými slovy pro všechna ; 0 1; leží graf kvadratické funkce y = velice laicky řečeno nad osou. c) > 0 > Jedná se opět o geometrickou interpretaci absolutní hodnoty (učivo 1. ročníku). Hledáš všechna reálná čísla, jejichž vzdálenost od nuly na číselné ose je větší než všechna ; ;.. To splňují d) (1 )( + ) > 0 Chraň tě bůh to roznásobit!! Máš dvě možnosti, jak postupovat. Buďto zdlouhavý postup jako u příkladu d), nebo elegantní postup jako u příkladu b). Jistě zvolíš variantu b). Grafem funkce na levé straně nerovnice je parabola tvaru kopečku, neboť po čistě hypotetickém roznásobení obou závorek by měl kvadratický člen hodnotu. Parabola protne osu ve dvou bodech: = 1 a =. Následuje obrázek. y Hledáš všechna reálná, pro která se parabola vynoří nad osu. ;1. To jsou jistě všechna Prošli jsme společně všechny tři typy výrazů, u kterých doporučuji jistou bdělost a ostražitost. Jakmile se někde objeví (nejčastěji při řešení rovnic), není od věci určit ihned podmínky, za jakých mají smysl. Často se však v úlohách vyskytují různé kombinace těchto fuj výrazů.

5 Příklad 4 (již nikoli jen pro ufony) 1 a) b) log 5 a) Zde se vyskytuje kombinace dvou typů fuj výrazů. Máš tu nakvartýrovaný jednak lomený výraz a jednak sudou odmocninu. Obojí se však dá zvládnout jedním vrzem ) plus nebo 0 děleno plus (protože dělit nulou nelze) Ten symbol stříšky uprostřed značí: a současně. 5 ; 5 ; 5; ) mínus nebo 0 děleno mínus ; ; 5 Výsledek: 5;. Na ukázku přikládám obrázek s grafem funkce y = vidět, že tato funkce je definovaná opravdu jen na intervalu 5;. y. Je na něm 5 b) Tady máš lomený výraz v kombinaci s logaritmem. Žádné strachy, nic na tom není. Celý výraz pod logaritmem položíš větší než 0. 1 > 0 Nahoře v čitateli je díky druhé mocnině vždy nezáporné číslo a jen v jednom případě se tento čitatel rovná nule. A sice pro = 1. Čitatel se však rovnat nule nesmí, to bys totiž logaritmoval nulu a to nejde. Takže první podmínka je jasná: 1.

6 Ve jmenovateli lomeného výrazu nesmí být normálně akorát nula, ale díky tomu logaritmu a faktu, že v čitateli zlomku je vždy číslo kladné, nesmí být ve jmenovateli zlomku ani číslo záporné. Jinými slovy varianta mínus děleno mínus u tohoto zlomku nepřipadá v úvahu. Tuto skutečnost zapíšeš takto: 0;. > 0 > 0 Zbývá dát obě podmínky dohromady. 0;1 1;. Výsledek: Pozn. Sám se v programu MatMat I přesvědč o správnosti tohoto výsledku vykreslením grafu funkce 1 y = log. Program je ke stažení ve složce Bonusy.