Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Transkript

1 @ Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské souřadné soustavě znázorněna přímkou. Jak takovou přímku nakreslit? Jak snadno a rychle nakreslit přímku do kartézské soustavy souřadnic? Ukažme si to na příkladech. 1) Máme-li zadány dva body, není nad čím přemýšlet. Do soustavy souřadnic vyznačíme zadané body a spojíme je přímkou. 2) Je-li zadána rovnice přímky a koeficient u x je nulový (x v rovnici není), jde o rovnoběžku s osou x, který protíná osu y v bodě, jehož y-ovou souřadnici přímo vypočítáme z rovnice. Například: p : 2y - 3 = 0 => y = 3/2 [0,3/2] 3) Je-li zadána rovnice přímky a koeficient u y je nulový (y v rovnici není), jde o rovnoběžku s osou y, který protíná osu x v bodě, jehož x-ovou souřadnici přímo vypočítáme z rovnice. Například: q : x + 2 = 0 => x = -2 [-2,0] 4) Ve všech ostatních případech se snažíme nalézt dva různé body. Podle tvaru rovnice dosadíme nějaké šikovné číslo za x a k němu vypočítáme y (můžeme dosadit i za y a vypočítat x). Které číslo je šikovné? Obvykle nula nebo jednička (určitě ne zlomky) a

2 můžeme vypočíst druhou souřadnici většinou zpaměti. Jakmile budeme mít určeny dva body, stačí je zakreslit do soustavy souřadnic a spojit. Například: hledáme dva body co nejjednodušším způsobem: r : 2x + 3y + 6 = 0 dosadíme za x a y nulu x = 0 => 3y + 6 = 0 => [0,-2] y = 0 => 2x + 6 = 0 => [-3,0] s : 3x - y + 1 = 0 dosadíme za x nulu a jedničku x = 0 => - y + 1 = 0 => [0,1] x = 1 => 3 - y + 1 = 0 => [1,4] dosazovat za y nulu je možné, ale na první pohled by to vedlo ke zlomkům, což obvykle neprotěžujeme t : x - 7y + 3 = 0 dosadíme za y nulu a jedničku y = 0 => x + 3 = 0 => [-3,0] y = 1 => x = 0 => [4,1] Úkol: Zakreslete následující přímky do kartézské soustavy souřadnic. k: 2x - y - 4 = 0 l: x + y - 1 = 0 m: 2x - 3y + 3 = 0 n: 4x + y - 9 = 0 p: 3x + 4y + 2 = 0 q: x + 2y + 5 = 0 r: 7x - 2y + 14 = 0 s: x + 3 = 0

3 o: y - 3 = 0 t: x - 2y - 7 = 0 pokračování - výsledky

4 @023 V rovnici rovnoběžky s osou x přece chybí x, přesněji koeficient u x je roven nule. znovu prostudujte

5 @026 pokračování

6 @035 Úvaha: Řešte lineární nerovnici 3x pokračování

7 @037 Příklad: Řešte v C (celá čísla) soustavu nerovnic 3x x + 6 > 0 Poznámka: Řešit soustavu (ne)rovnic znamená najít řešení, které vyhovuje všem (ne)rovnicím zároveň. Řešení: Nejprve vyřešíme soustavu nerovnic v R Řešením soustavy nerovnic v R je tedy interval (-3; 2>. Řešením téže soustavy nerovnic v C je pak průnik (-3; 2> C = {-2; -1; 0; 1; 2}. Úkol: Řešte v C soustavu nerovnic -10 < -5 - x 2x + 6 > x + 3 x 0,5x 2x - 7 < 0 prázdná množina Ø tříprvková množina {-2; -1; 0} nekonečná množina (-3; 0>

8 @022a pokračování

9 @024 V rovnici rovnoběžky s osou y přece chybí y, přesněji koeficient u y je roven nule. znovu prostudujte

10 @027 grafické řešení Nyní se vrátíme ke grafickému řešení lineárních rovnic. Obecná rovnice přímky je ax + by + c = 0. Dosadíme-li za b = -1, pak můžeme udělat tuto úpravu. ax - y + c = 0 ax + c = y Úvaha: Řešte lineární rovnici 3x - 6 = 0. Všem je jasné, že řešením je x = 2. Nám však jde o to nalézt řešení grafickou cestou. Tak si přidejme na pravou stranu místo 0 druhou proměnnou y. 3x - 6 = y nezapomeneme však, že pro řešení rovnice musí platit též y = 0 Obě tyto rovnice představují v soustavě souřadnic přímky. A tedy grafickým řešením rovnice 3x - 6 = 0 je průsečík těchto dvou přímek. Přímka y = 0, chybí x, tak je to rovnoběžka s osou x, prochází bodem [0,0] a tak je to přímo osa x. Lze tedy říci, že grafickým řešením lineární rovnice ax + c = 0 je průsečík přímky ax + c = y s osou x. pokračování

11 @036 Úkol: Řešte v R graficky následující rovnice a nerovnice a) 2x - 3 = 0 b) x c) -x + 5 < 0 d) 5x - 2 = 0 pokračování - výsledky

12 @040 Bohužel Není to špatné, ale není to řešení odpovídající zadání. znovu prostudujte

13 @022 Definice: Obecná rovnice přímky je ax + by + c = 0, kde a 0 nebo b 0, a,b,c R. Úkol: Co lze říci o přímce, která má rovnici ax + by = 0 bez absolutního členu a přitom oba koeficienty jsou různé od nuly? je rovnoběžná s osou x je rovnoběžná s osou y prochází počátkem souřadnic

14 @025 Správně. Přímka s rovnicí ax + by = 0 prochází počátkem souřadnic tj. bodem [0,0], o čemž se snadno přesvědčíme dosazením L = a.0 + b.0 = = 0 = P levá strana se rovná nule, pravá také Úvaha: Polorovina je dána hraniční přímkou, která do ní patří, a jedním bodem, který nenáleží hraniční přímce. Protože rovnici přímky vyhovují všechny body přímky a nevyhovují všechny ostatní body roviny, musí být výroková forma poloroviny dána nerovnicí. Příklad: Zakreslete polorovinu danou nerovnicí 2x - 3y Řešení: Musíme si najít dva body hraniční přímky 2x - 3y + 1 = 0 volíme x=1, dosadíme a vypočítáme 2-3y + 1 = 0 => [1, 1] volíme y=0, dosadíme a vypočítáme 2x + 1 = 0 => [-1/2, 0] A ještě potřebujeme nějaký bod, který neleží na hraniční přímce. K tomu je nejšikovnější téměř vždy použít počátek, tj [0, 0] Dosazením do zadané nerovnice dostaneme 1 0 což je pravdivý výrok, a tedy počátek určuje jako třetí bod zadanou polorovinu. Úkol: Zakreslete tuto polorovinu do soustavy souřadnic. pokračování - výsledek

15 @034 pokračování

16 @036a pokračování

17 @039 Bohužel, něco jste asi přehlédli. postup: 1. vyřešit každou jednotlivou nerovnost v R zvlášť 2. udělat průnik všech čtyř dílčích jednotlivých řešení 3. výsledné řešení v R ad 2 podrobit průniku s C znovu prostudujte

18 @041 Správně. KONEC LEKCE