P Y T H A G O R O V A V T A V P R O T O R U hodiny V této ýkoé hodin si zksíš nkolik málo úloh n žití Pythgoroy ty tlesech. Doosd znáš dobe oze tto tles kádr, krychle jso to lstn tyboké hrnoly, trojboký hrnol odst je trojúhelník, šestiboký hrnol odsto je šestiúhelník. Postn se bdeš it dlší tles álec, kžel, jehln. I tchto tlesech si k žití Pythgoroy ty kážeš. A ojme ímo n úlohy: Píkld 1: Je dán krychle, jejíž stnoá úhloík má délk 8,5. Uri délk strny krychle. Vyoti obsh stn krychle objem krychle. Nejre si nrtni krychli yzn si ní so jedn stnoo tlesoo úhloík. Nezome n ridl i znázornní tles do roiny - boní hrny tles otoíme o 45 nneseme jejich oloiní elikost iz obr.: AB BC DB BH délk hrny krychle - boní hrny rýsjeme s oloiní elikostí - stnoá úhloík dále n. AC, FC, AH - tlesoá úhloík dále n. AG,EC,DF Nyní se rátíme k nšem úkol. Známe délk liboolné stnoé úhloíky, yzn si krychli liboolný roúhlý trojúhelník, ze kterého soteš délk hrny krychle iz obr.:
V roúhlém trojúhelník ABD ltí: 8,5 7,5 Obsh krychle soteme následon: 6.. 6 6.6 6,15 6 6.6 16 A n zár soteme objem krychle: V. V.. V 6.6.6 6 16 Délk strny krychle je 6, její obsh je 16, její objem 16.
Píkld : Je dán kádr, jehož odst má tr obdélník o rozmrech 4 jehož ýšk je 1. Vyoti délk stnoé tlesoé úhloíky. Nejre si soteme délk stnoé úhloíky: 4 AB AD 5 5 Nyní se oksíme soítt délk tlesoé úhloíky bdeme ji znit. Ot se bdeme snžit njký roúhlý trojúhelník, jehož jedn strn bde rá hledná tlesoá úhloík. Podíej se n následjící obrázek. Vyznil jsem n nm modro bro obdélník BDHF o strnách 1 ýšk kádr 5 délk stnoé úhloíky kádr. V tomto obdélník je ronž zznen hledná tlesoá úhloík BH. Je to lstn úhloík obdélník BDHF. A t již omocí Pythgoroy ty soítt dokážeš. Poks se sám si njít jiný obdélník nm si yzn jino tlesoo úhloík.
BD 5 1 DH 169 1 Délk stnoé úhloíky kádr je 5, délk tlesoé úhloíky kádr je 1. Píkld : Vyoítej obsh trojúhelník ABH kádr ABCDEF. Rozmry kádr máš yzneny n obrázk.
Úloh ydá n rní ohled obtížn, le e sktenosti je elmi jednodchá. Poks se sám ododt n následjící otázky. o odo si k zkontrolj s mo:? Co mžeš íci o stnách ABEF ADEH? Jso nzájem kolmé? Jká je zájemná oloh úseky AB ze stny ABEF úseky AH ze stny ADEH? Jso nzájem kolmé zks si zít ze sého okolí liboolné tleso tr kádr o si? Jký je tedy trojúhelník ABH? Je roúhlý, strn AB je jeho zákldn z, strn AH je jeho ýšk Nejre si soteme ýšk trojúhelník je to lstn stnoá úhloík: 6 AD 8 DH 100 10 Nyní si soteme obsh trojúhelník ABH: z. AB. AH 4.10 0 Píkld 4: Vyotte obod obsh trojúhelník BH yzneného n obrázk nit krychle ABCDEF, íte-li, že délk hrny krychle je 5.
Nejre bdeme oítt obod trojúhelník BH. K ýotm bdeme žít Pythgoro t: 1. Délk strny B je lstn ron oloin stnoé úhloíky BD:.5 B 50 7,07 50,5. Délk strny H získáme z roúhlého trojúhelník DH rý úhel rchol D: H H H H D,5 5 DH 7,5 6,1. A n zár soteme délk stnoé úhloíky BH z roúhlého trojúhelník DBH: BH BH BH BH BD 50 5 DH 75 8,7 4. A n zár soteme obod trojúhelník BH:
o BH o 8,7 6,1,5 o 18, H B Nyní istoíme k ýot obsh trojúhelník BH. Podíej se ješt jedno n obrázek: Protože trojúhelník BH není roúhlý, msíme njít jiné trojúhelníky, které nám k ýot obsh trojúhelník BH omoho. Podíej se n trojúhelníky HDB HD znázornn mode. Ob jso roúhlé rý úhel rchol D. Níc známe šechny strny tchto trojúhelník mžeme tedy soítt jejich obshy. Hledný obsh žltého trojúhelník BH k získáme jko rozdíl obsh trojúhelník HDB HD oronej si n zár jednotlié obshy. Nejre soteme obsh trojúhelník HDB: DB. DH HDB HDB 50.5 17,68 Poté si soteme obsh trojúhelník DH: D. DH HD HD 50.5 5. 50 4 HDB 17,68 8,84 A n zár soteme obsh trojúhelník BH: BH BH HDB HD 17,68 8,84 8,84
Obod trojúhelník je 18,, jeho obsh je 8,84. Píkld 5: Vyotte objem ridelného šestibokého hrnol o délce hrny odsty 6, íte-li, že jeho ýšk je 0 iz obrázek Urit moc dobe íš, že objem liboolného tles yoteš následjícím zsobem: V., kde je obsh odsty hrnol je jeho ýšk. Protože íme, že se jedná o ridelný šestiúhelník, bde se jeho odst skládt ze šesti ronostrnných trojúhelník o délce strny 6 iz obr..
Urit si dokážeš soítt obsh liboolného ronostrnného trojúhelník iz obr.: Nejre si soteme ýšk ronostrnném trojúhelník: 6 7 5, Poté si soteme obsh ronostrnného trojúhelník AB: z. 6.5, 15,6 Te si již mžeme soítt obsh odsty šestiúhelník ABCDEF: 6. AB 6.15,6 9,6 A nkonec si soteme objem šestibokého hrnol: V. V 9,6.0 187 Objem ridelného šestibokého hrnol je 187.
C V I E N Í Úloh 1: Vyoítej délk stnoé tlesoé úhloíky krychle s hrno délky 8 Úloh : Kádr má rozmry = 1, b = 9, c = 6. Vyoítej délk tlesoé úhloíky kádr. Úloh : Kádr s obdélníkoo odsto o rozmrech 4 má tlesoo úhloík délky 8. Vyoítej ýšk obsh kádr. Úloh 4: Vyoítej délk tlesoé úhloíky kádr, jehož objem je 144, jeho délk je 4 šík. Úloh 5: Vyoítej objem kádr, jehož délk je 4, šík, dm tlesoá úhloík má délk 0,58 m. Úloh 6: Vyotte objem ridelného trojbokého hrnol o délce hrny odsty 5, íte-li, že jeho ýšk je 10. Úloh 7: Vyotte objem ridelného šestibokého hrnol o délce hrny odsty 10, íte-li, že jeho ýšk je 50. Úloh 8: Vyoítej obod obsh trojúhelník yzneného krychli ABCDEF iz. obr.:
Úloh 9: Vyoítej obod obsh trojúhelník yzneného kádr ABCDEF iz obr.: Úloh 10 obtížný: Vyoítej obod obsh trojúhelník yzneného krychli ABCDEF iz. obr.: Píkld 11: Vyoítej obod šestiúhelník KLMNOP, íš-li, že tyto body jso ostn stedy hrn krychle AB, BC, CD,, EH, AE. Délk hrny krychle je 10.
Výsledky ciení náody k nkterým z nich: Úloh 1: tlesoá stnoá 1,9 19 18 64 11, 18 64 64 Úloh : tlesoá stnoá 9 151 6 15 15 5 9 1 Úloh : 95, 4.6,6.6,6.8. 6,6 44 b b stnoá tlesoá Úloh 4: stnoá tlesoá V stnoá 1 1.4 144 5 Úloh 5: 56 4..4. 4 40 4 V stnoá tlesoá stnoá Úloh 6: 108, 10,8.10. 10,8 5.4,. 18,75,5 5 ln V z odsty obsh odsty íkoé ýšk trojúhe Úloh 7: 1990 59,8.50. 59,8 6.4, 6. 4, 10.8,66. ln 8,66 5 10 ln V z odst ík obsh trojúhe odst ík ýšk ronostrnného trojúhe
Úloh 8: 5,65 5,65.4 11,0..4 14,66 4,90 6,9,8 6,9 16 4,90 8 16,8 5,66 o AC EA EC A EA E C AC EA EC EAC EA EAC EC Úloh 9: 45 6.15. 7,16 16,16 9 6 16,16 144 117 10,8 9 6 15 9 1 z o tlesoá AG stnoá AC stnoá BG ABG ABG Úloh 10:
o AH A A A AB AB AB 6 6 7 6 9 9 4 81 9 B AH z. 6. 9 7 ronobžníka 7 7 8,49 9 7 81. 7 5,46 AB H Úloh 11: Nejre si nrtni obrázek: Z roúhlého trojúhelník PAK rý úhel rchol A soteme délk PK: PK 5 5 50 7,07 Obod šestiúhelník k je: o 6. PK 6. 50 4,4