5.2.9 Vzdálenost bodu od roviny

Transkript

1 5..9 zdálenost bodu od roiny ředpokldy: 508 Opkoání z minulé hodiny (definice zdálenosti bodu od přímky): Je dán přímk p bod. zdáleností bodu od přímky p rozumíme zdálenost bodu od bodu, který je ptou kolmice edené roině p k přímce p z bodu. Máme bod roinu ρ, zdálenost bodu od roiny ρ opět potřebujeme přeést n zdálenost dou bodů. Jký bod máme roině ρ njít? odobně jko u zdálenosti bodu od přímky půjde o kolmý průmět bodu do roiny ρ. ř. 1: Zformuluj definici zdálenosti bodu od roiny nlogickou definici zdálenosti bodu od přímky. Je dán roin ρ bod. zdáleností bodu od roiny ρ rozumíme zdálenost bodu od bodu, který je ptou kolmice edené z bodu k roině ρ. Tkto definoná zdálenost bodu od roiny je nejkrtší zdáleností mezi bodem liboolným bodem roiny ρ. ř. : Je dán pridelný čtyřboký jehln, cm, 5cm. Urči: ) zdálenost bodu od roiny, b) zdálenost bodu od roiny, c) zdálenost bodu od roiny. ) zdálenost bodu od roiny Z obrázku je idět, že kolmým průmětem bodu do roiny je střed podsty zdálenost bodu od roiny je tedy ron 5cm. b) zdálenost bodu od roiny 1

2 římk je kolmá k roině, kolmým průmětem bodu do roiny je tedy bod zdálenost bodu od roiny je ron cm. c) zdálenost bodu od roiny Kolmý průmět bodu (oznčíme si ho ) do roiny bude určitě ležet roině (je kolmá n roinu prochází bodem ). Nkreslíme si trojúhelník. ypočteme délku strny z proúhlého trojúhelníku oplníme do obrázku trojúhelníku.

3 + osdíme: + Možností jk určit úsečku je íce, nejjednodušší ychází ze zorce pro obsh trojúhelník: bb cc. Jednu dojici strn-ýšk toří úsečky (obě známe), druhou úsečky (druhou chceme určit) cm, 71cm ř. : Je dán stndrdní krychle H cm. Urči zdálenost bodu od roiny H. H Hledáme kolmý průmět bodu do roiny H. íme z předchozích příkldů, že přímk je kolmá k roině H hledným průmětem bude její průsečík s roinou H. ředchozí informci pro yřešení příkldu nepotřebujeme, stčí si uědomit, že krychle je souměrná podle roiny kolmice n i kolmý průmět musí ležet této roině (jink by průměty byly d to není možné). Nkreslíme si obdélník. opočteme délku úsečky : oplníme obrázek:

4 yužijeme podobnost trojúhelníků. osdíme: cm,1cm ř. : Zformuluj kritérium pro ronoběžnost přímky s roinou pomocí zdálenosti bodu od roiny. římk p je ronoběžná s roinou ρ, jestliže lze n přímce p njít d různé body ležící témže poloprostoru ohrničeném roinou ρ, které mjí od roiny ρ stejnou zdálenost. ř. 5: Zformuluj kritérium pro ronoběžnost dou roin pomocí zdálenosti bodu od roiny. ě roiny ρ σ jsou ronoběžné, jestliže lze roině σ njít tři různé body, které neleží přímce, le leží e stejném poloprostoru s hrniční roinou ρ které mjí od roiny ρ stejnou zdálenost. ř. 6: Je dán pridelný šestiboký jehln, cm, 6cm. Urči zdálenost bodu od roiny. Nkreslíme si trojúhelník. otřebujeme njít kolmý průmět bodu do roiny problém pt kolmice z bodu leží mimo jehln hledáme jiný bod se stejnou zdáleností, jehož pt leží n hrnici jehlnu. římk je ronoběžná s přímkou je ronoběžná s roinou zdálenost šech bodu této přímky od roiny je stejná jko zdálenost bodu. Kolmice z bodu n roinu leží roině zdálenost bodu od roiny určíme pomocí trojúhelníku.

5 élku úsečky určíme z obrázku podsty: x zdálenost je tké ýškou ronostrnném trojúhelníku se strnou. x. zdálenost je přeponou proúhlého trojúhelníku : x +. oplníme obrázek: yužijeme podobnost trojúhelníků. + osdíme: d 6 cm cm ř. 7: etákoá: strn 9/cičení c) f) strn 9/cičení 5 b) strn 9/cičení 6 c) strn 9/cičení 7 c) hrnutí: zdálenost bodu od roiny určujeme opět pomocí kolmého průmětu. 5