c 2 b 2 a Důkazy Pythagorovy věty Předpoklady:

Transkript

1 .8.0 Důkzy Pythgorovy věty Předpokldy: Pedgogická poznámk: V řešení kždého příkldu jsou uvedeny rdy, které dávám postupně žákům, bych jim pomohl. Pedgogická poznámk: Diskuse o následujícím příkldu je nutná. Žáci čsto vůbec nechápou o co v důkzech jde co v nich mjí njít (nvíc většině z nich je poměrně vzdálená předstv, že by se měli nějkým způsobem přesvědčit, zd jsou informce, které jim někdo předává prvdivé). Př. 1: Nkresli obrázek prvoúhlého trojúhelníku doplň ho o grfické znázornění Pythgorovy věty. Co musíš dokázt, bys dokázl Pythgorovu větu? Obsh čtverce nd přeponou prvoúhlého trojúhelníku je roven součtu obshů čtverců nd oběm odvěsnmi. Musíme nkreslit obrázek (obrázky), ve kterém (kterých): bude prvoúhlý trojúhelník, budou čtverce nd jeho odvěsnmi přeponou, bude zřejmé, že součet obshů čtverců nd odvěsnmi, je stejný jko obsh čtverce nd přeponou. c b c b Pedgogická poznámk: U obou následujících příkldů je zcel zásdní, by žáci dobře překreslili obrázek. 1

2 Př. : N obrázku je nkreslen důkz Pythgorovy věty. Překresli ho do sešitu dopiš k němu vysvětlivky. Je tento důkz úplný? Rdy: N obrázku je devět trojúhelníků. Jké mjí speciální vlstnosti? Jký je vzth mezi trojúhelníky n obrázku? Z čeho jsou složeny jednotlivé čtverce? Obrázek se skládá z devíti shodných prvoúhlých rovnormenných trojúhelníků. Čtverce nd odvěsnmi prostředního bílého trojúhelníku se skládjí ze dvou trojúhelníků těchto trojúhelníků můžeme složit čtverec nd přeponou trojúhelníku. Obsh čtverce nd přeponou prvoúhlého trojúhelníku (čtyři trojúhelníky) je roven součtu obshů čtverců nd oběm odvěsnmi (čtyři trojúhelníky). Uvedený důkz není úplný, pltí jen pro rovnormenné trojúhelníky (kdyby bílý trojúhelník nebyl rovnormenný, nebyly by čtverce nd odvěsnmi shodné nešlo by z nich sestvit čtverec nd přeponou). Pedgogická poznámk: Čstou chybou je šptně nkreslený obrázek. Obvykle žáci kreslí prostřední trojúhelník (v řešení bílý) jko tupoúhlý, pk jsou čtverce nd přeponmi smozřejmě příliš mlé. Př. 3: N obrázku je nkreslen důkz Pythgory věty pomocí dvou shodných různě rozdělených čtverců. Překresli ho do sešitu dopiš k němu vysvětlivky. Je tento

3 důkz úplný? b b Rdy: Co pltí pro všechny trojúhelníky? Kolik menších nerozdělených čtverců obrázek obshuje? Jk jsou sestveny ob velké rozdělené čtverce? Všechny prvoúhlé trojúhelníky jsou shodné. b b c c b b c Vnitřní čtverce v levém čtverci odpovídjí čtvercům nd odvěsnmi libovolného z trojúhelníků, vnitřní čtverec v prvém čtverci odpovídá čtverci n přeponou libovolného z trojúhelníků. Obsh obou velkých čtverců je shodný, obsh všech trojúhelníků je tké shodný proto se obsh červeného čtverce shoduje se součtem obshů modrého zeleného čtverce Pythgorov vět pltí. Tento důkz je úplný. Trojúhelníky jsou prvoúhlé, le nejsou rovnormenné. Čtverec v prvém obrázku můžeme otáčet tím měnit tvr prvoúhlého trojúhelníku ( smozřejmě tím měnit i levý obrázek). Pedgogická poznámk: První problém vzniká při překreslování obrázků, kde žáci nepřekreslí u prvého obrázku úseky, b stejně dlouhé nezískjí tk shodné trojúhelníky. Při smotném důkzu pk nečiní žáků nlezení rovnosti obshů + b = c zdlek tkové problémy jko uvědomění si toho, že čtverce předstvují čtverce nd odvěsnmi nd přeponou (tedy, že jde o čtverce vystupující v Pythgorově větě). 3

4 N druhou strnu se mi při hodině zdálo, že mnozí do tohoto okmžiku tápjící žáci konečně pochopili, o co jde u dlších důkzů postupovli podsttně jistěji. Př. 4: N obrázku je kus dlžby. Njdi v ní důkz Pythgorovy věty. V obrázku můžeme vytáhnout první z důkzů pro rovnormenný prvoúhlý trojúhelník. Př. 5: Vezmi si jednu skládčku dokž s její pomocí Pythgorovu větu. Rdy: Skládej čtverce. Bílý trojúhelník se n skládání čtverců nepoužívá. Hledej, které strny kousků psují n strny bílého trojúhelníku. Polož skládčku n podložku. Z kousků skládčky můžeme složit buď dv čtverce nd odvěsnmi bílého trojúhelníku nebo jeden čtverec nd jeho přeponou Obsh čtverce nd přeponou prvoúhlého trojúhelníku je roven součtu obshů čtverců nd oběm odvěsnmi (Pythgorov vět pltí). 4

5 Pedgogická poznámk: Skládčku tisknu n polokrtón, podložku n normální ppír (obojí je v souboru skládčk). Př. 6: Nrýsuj n volný ppír čtverec ABCD o strně lespoň 8 cm. Spoj vrchol B s libovolným vnitřním bodem X strny CD. Nrýsuj přímku p, která je kolmá n úsečku BX prochází bodem C. Průsečík této přímky s úsečkou BX oznč P. Nrýsuj přímku q, která je kolmá n úsečku BX prochází bodem A. Průsečík této přímky s úsečkou BX znč R. Tímto se čtverec ABCD rozdělil n trojúhelníky ABR, BCP pětiúhelník ARPCD. Rozstřihni čtverec n tyto tři útvry. Jejich vhodným přeskládáním získáš důkz Pythgorovy věty. Rdy: Jké jsou ob trojúhelníky, které jsi vystřihl? Jkou roli hrje čtverec, který jsi rozstříhl? Jk dlouhá musí být strn čtverců, které ještě potřebuješ sestvit? D X C P p R q A B 5

6 Rozdělením čtverce jsme získli dv shodné prvoúhlé trojúhelníky pětiúhelník. Strn rozstříhného čtverce má stejnou délku jko přepony obou shodných trojúhelníků všechny tří dílky dohromdy mjí obsh c. c A c Pokud chceme důkz dokončit, musíme dílky přeskládt tk, by tvořily dv čtverce (jeden o strně druhý o strně b). 6

7 b b S dílků jsme postvili dv čtverce o obszích b. Protože jsou postveny ze stejných dílků (nepřekrývjících se), mjí dohromdy stejný obsh jko původní čtverec o obshu c Pythgorov vět pltí. Pedgogická poznámk: Rád bych poděkovl Michlu Čučkovi, jehož diplomová práce byl skvělým zdrojem různých důkzů. Shrnutí: Při důkzech Pythgorovy věty hledáme k prvúhlému trojúhelníky čtverce, o kterých i bez Pythgorovy věty víme, že součet obshů dvou z nich se rovná obshu třetího. 7