Kuželosečky. ( a 0 i b 0 ) a Na obrázku 1 je zakreslena elipsa o poloosách 3 a 7. Pokud střed elipsy se posunul do bodu S x 0

Transkript

1 Generted b Foit PDF Cretor Foit Softwre For elution onl. Kuželosečk I. Kuželosečk zákldních polohách posunuté to prtie je opkoání látk obkle probírné n střední škole. Kružnice Ronice kružnice se středem počátku souřdnic poloměrem r je r r Pokud střed kružnice je posunut do bodu S ;, pk ronice má tr r Příkld: Zjistěte střed poloměr kružnice o ronici kružnici nkreslete. Postup: Použijeme následující úpr ronice: Sronáme-li poslední ronici se zthem, je zřejmé, že střed kružnice je bod ; 6 poloměr je. Viz obrázek. b Elips Ronice elips se středem počátku souřdnic poloosách resp. b, které leží n souřdných osách resp. je i b b N obrázku je zkreslen elips o poloosách 7. Pokud střed elips se posunul do bodu S ;, pk ronice má tr b Všimněte si nlogie přetoření zthu do zthu do. Příkld: Zjistěte poloos střed elips o ronici 6 elipsu nkreslete. --

2 Generted b Foit PDF Cretor Foit Softwre For elution onl. Řešení: ed střed je bod ; poloos jsou. Viz obrázek. c Hperbol Ronice dou hperbol se stejnými smptotmi, jejichž střed je počátku souřdnic jsou i b b Koeficient, b jsou poloos hperbol. Určují směrnice smptot poloh rcholů. Střed hperbol je totožný s průsečíkem smptot. N obrázku jsou zkreslen hperbol o poloosách. Směrnice smptot jsou. Věte hperbol plné čár leží leém prém segmentu určeného smptotmi, rchol jsou bod ;. Věte hperbol čárkoné čár leží dolním horním segmentu určeného smptotmi, rchol jsou bod ;. Pokud střed hperbol je posunut do bodu S ;, pk ronice mjí tr 6 b Opět nlogie. Příkld: Zjistěte poloos střed hperbol o ronici 6 hperbolu nkreslete. Řešení:

3 Generted b Foit PDF Cretor Foit Softwre For elution onl. 6 Střed je bod ; 6, poloos jsou. Věte jsou pro leo od smptot. Viz obrázek. d Prbol to prbol má rchol počátku souřdnic, její os je totožná se souřdnou osou. Pokud, pk má rchol obrácen směrem dolů nhoru. to prbol má rchol počátku souřdnic, její os je totožná se souřdnou osou. Pokud, pk má rchol obrácen směrem dole dopr. V obou přípdech určuje, jk mnoho je prbol seřená či oteřená. Posun rcholu ted celé prbol ponechááme n úze čtenáře. Jedná se o podobné trnsformce, jk je uedeno u předchozích kuželoseček. e Jiné přípd uto ronici splňuje pouze počátek souřdnic. Ronice není splněn pro žádnou dojici,. 9 po úprě Zde se jedná o dojici přímek. po úprě Přímk ronoběžná s osou. Atd. II. rnsformce souřdnic ektoru z jedné báze do druhé V oddíle III. budeme potřebot trnsformot souřdnice mezi děm bázemi. Je dán ektoroý prostor V. V tomto prostoru zolíme dě různé báze: B { u, } B { u, }. Protože B je báze, lze ektor u jádřit jko lineární kombinci ektorů u : u u u Pk lze liboolný ektor w V jádřit následujícím způsobem: w u u u u, kde jsou souřdnice ektoru w bázi B. Z uedené úpr plne, že záork jsou souřdnice téhož ektoru bázi B. Oznčme tto souřdnice. Pk pltí:, což lze mticoém tru npst jko. Viz obr. pro speciální přípd dou ortonormálních bází. --

4 Generted b Foit PDF Cretor Foit Softwre For elution onl. III. Kuželosečk otočení V dlším ýkldu budeme šetřot ronice tpu polnom. stupně proměnných je roen. Npříkld: 6 Jedná se lstně o implicitně zdnou funkci nás bude zjímt její grf. Čtenář jistě tuší, že grfem může být některá z kuželoseček elips, hperbol, prbol nebo možná i něco jiného. Obecně lze šetřonou ronici npst, kde ij jsou reálná čísl. Pro zth je zřejmě,,,,. Z předchozího ýkldu je zřejmé, že lineární člen způsobují posun středu e. rcholu kuželoseček. Proto se změřme nejpre n kdrtické člen. V jsou oznčen tučně., nebo mticoě. A Npř. pro je A. Všimněte si, že mtice A je smetrická. Bez důkzu ueďme, že nenuloost koeficientu způsobuje otočení grfu implicitní funkce kolem počátku souřdnic. V dlším ýkldu se budeme snžit njít noou soustu os --

5 -- u,, která znikne ze soust u, otočením kolem počátku iz obr, pro kterou po trnsformci ýrzu bude noý koeficient. Nše snžení zpočne u ýpočtu lstních čísel lstních ektorů mtice A, i kdž zpočátku není ůbec idět, n co to je. Vlstní čísl se počítjí z ronice, ted. Diskriminnt této kdrtické ronice je D po úprě D. Poslední neronice je zřejmá. Protože Jink není třeb otáčet., je D. Proto eistují dě různá reálná řešení ronice, což jsou lstní čísl mtice A. Oznčme tto lstní čísl. Vlstní ektor u, které odpoídjí lstním číslům lze zolit jko jednotkoé u =, =. Z teorie lstních čísel íme, že ektor u jsou ortogonální. Proto toří ortonormální bázi prostoru. Jk již z oznčení plne, bude se jednt o noou, otočenou soustu souřdnic. Dle z oddílu II. íme, že pro přepočet souřdnic z jedné báze do druhé pltí ronice 6, kde, jsou souřdnice půodní bázi { u, } půodní soustě souřdnic,, jsou souřdnice bázi { u, } noé soustě souřdnic, u u. Viz obrázek. Podle pridel o počítání trnspononých mtic pltí: 7 Dosďme zth 6 7 do : A Protože u u A A, pk pltí i A. Pk 9 A = Protože ektor u toří ortonormální bázi. Doszením 9 do dostááme. Záěr: Použijeme-li lstní jednotkoé ektor jko noou bázi, zmizí e ýrzu člen se součinem. Řešení příkldu : Spočítjí se lstní čísl lstní ektor obklými postup. Ab znikl jednotkoé ektor, lstní ektor se dělí sou normou elikostí. Vše je shrnuto tbulce: Generted b Foit PDF Cretor Foit Softwre For elution onl.

6 -6- lstní číslo lstní ektor jedn. lstní ektor korekce směru Poznámk : Z prní lstní číslo je dobře zolit to, jehož lstní ektor má obě souřdnice stejného znménk. Poznámk : Korekce směru násobení ektoru se proádí tk, b prní ektor měl obě souřdnice kldné druhý ektor měl prní souřdnici zápornou druhou kldnou. Při dodržení těchto pridel dosáhnete žd otočení souřdnic o úhel mezi /. Ronice pro přepočet souřdnic pk bude mít tr, ted po souřdnicích Pk pro trnsformci kdrtických členů pltí 6 Lineární člen:. Použití po souřdnicích. Záěrečné úpr: ed. Nní je konečně zřejmé, že křik je elips se středem bodě [-/, ] poloosách osách,. Proč noé souřdné os jsou tkoé, jk je uedeno n obrázku, nechááme n úze čtenáře. obrázek Generted b Foit PDF Cretor Foit Softwre For elution onl.