Smíšený součin

Transkript

1 7..14 Smíšený součin Předpokldy: 713 Je dán ronoěžnostěn LMNOPR. R O P N M L Jeho ojem umíme spočítt stereometrikým zorem: V = S. p Ronoěžnostěn je tké určen třemi ektory, : R O P N M L jeho ojem musí jít spočítt i pomoí těhto tří ektorů. Prní krok už íme: S p = (elikost ektoroého součinu se roná oshu ronoěžníku lstnost ektoroého součinu) V =. Musíme určit ýšku (kolmou zdálenost mezi roinmi LMN OPR) pomoí ektoru. 1

2 R T O P N M L Nkreslíme si proúhlý trojúhelník OT. T O Pro úhel α pltí: osα = = osα osdíme: V = = osα. Postřeh: Výsledek připomíná prou strnu zore pro sklární součin u = u osϕ (součin elikostí dou ektorů kosinu nějkého úhlu). Je úhel α úhlem, který sírjí ektory? Přímk T je kolmá n ronoěžník LMN má stejný směr jko ektor úhel α je úhel mezi ektory zth osα je zth pro ýpočet sklárního součinu ektorů z elikosti ektorů osα ( ) =. Jsme hotoí: Ojem ronoěžnostěnu můžeme ypočítt pomoí ektorů, podle V =. zthu: ( ) Mlý zádrhel: Vektory, n nšem orázku toří protočiou ázi proto směřuje ektor do stejného poloprostoru jko ektor. dyy ektory, tořily leotočiou ázi, ektor y směřol do opčného poloprostoru než ektor ýsledek y yl záporný museli yhom z něj udělt solutní hodnotu, yhom získli kldné číslo. Ojem ronoěžnostěnu, který je určen ektory, určíme ze zore V = ( ) (solutní hodnot řeší přípdné prolémy s mínusem). nzýáme smíšený součin ektorů,,. Číslo ( )

3 Př. 1: Rozhodni, kdy se smíšený součin tři nenuloýh ektorů,, roná nule. ě možnosti řešení. ) z lstností sklárního ektoroého součinu Sklární součin se roná nule: jeden z ektorů je roen nule ektor je nuloý ektory jsou ronoěžné, ektory jsou n see kolmé ektor je kolmý n ektor ektor leží roině určené ektory. Smíšený součin je nuloý, práě když ektory,, leží jedné roině (jsou lineárně záislé). ) z ýznmu smíšeného součinu solutní hodnot smíšeného součinu se roná ojemu ronoěžnostěnu. Ojem je nuloý, když ektory,, neurčují ronoěžnostěn pokud ektory,, leží jedné roině. Př. : Ojem ronoěžnostěnu nezáisí n tom, kterou ze stěn zolíme z podstu. teré dlší smíšené součiny můžeme použít pro ýpočet jeho ojemu ( ronjí se součinu )? ( ) Z podstu olíme odélník NRO V = ( ). Z podstu olíme odélník LPO V = ( ). Pro kždé tři ektory,, prostoru pltí: ( ) = ( ) = ( ). odtek: Pomoí předhozí ronosti se dokzuje distriutinost ektoroého součinu jeho soitinost při násoení reálným číslem. Máme smíšený součin lioolnýh ektorů, + x. + x ( [ ]) Proedeme posunutí ektorů podle zore ( ) = ( ) : ( [ + ] ) x = ( x ) [ + ], sklární součin je distriutiní: ( x ) [ + ] = ( x ) + ( x ), proedeme posunutí ektorů podle zore ( ) = ( ) = ( ) : ( x ) + ( x ) = ( ) x + ( ) x, ytkneme x: ( ) x + ( ) x = ( + ) x. Pltí tedy: [ + ] x = + x tedy [ + ] = + - ( ) ( ) ektoroý součin je distriutiní zhledem ke sčítání ektorů. 3

4 Př. 3: Jsou dány ody [ 1;0;1 ], [ 3; 1;4 ], [ ;;] [ 1;3;5 ] ronoěžnostěnu GH.. Urči ojem H G Nejdříe určíme ektory,,. = = ; 1;3 Z orázku je idět: ( ), = = ( 1;;1 ), = = ( ;3;4 ) Počítáme smíšený součin V = ( ). = ( 1 6;3 ; 4 + 1) = ( 7;1;5 ) ( ) ( )( ) V = = 7;1; 5 ; 3; 4 = = 37 Ronoěžnostěn má ojem 37. odtek: lší možné postupy ýpočtu. V = ( ) = ( 8 3; 4; 3 + 4) = ( 5; 6;7) ( ) ( )( ) V = = 5; 6; 7 ; 1; 3 = = 37 neo ( ) = ( 9 + 4;8 + 6; 6) = ( 13;14; 4) ( ) ( )( ) V = = 13;14; 4 1; ;1 = = 37 Pedgogiká poznámk: V hodině si rozdělíme postupy tk, y podle kždé ze tří = = počítl lespoň někdo uedenýh možností ( ) ( ) ( ) mohli jsme si sront ýsledky. Pokud máte nějké oprdoé experimentátor, můžete ho neht proházet rholy, neht příkld spočítt proházený pk ysětlit ýsledek. Př. 4: Jsou dány ektory u = ( 1;;3 ), = ( 1;1;1 ) = ( 1;3;1 ) w. Rozhodni, zd ektory u,, w leží jedné roině. Pokud jedné roině neleží, rozhodni, zd toří leotočiou neo protočiou ázi. Spočteme smíšený součin ektorů u,, w z hodnoty ýsledku udeme moi odpoědět n otázky. u = 3;3 1;1 = 1; ; 1 ( ) ( ) ( u ) w ( ) ( ) = 1; ; 1 1;3;1 = = 4 4

5 Smíšený součin ektorů u,, w je kldné číslo ektory u,, w neleží jedné roině (ýsledek není nul), ektory u,, w toří protočiou ázi (ýsledek je kldný). Př. 5: Je dán čtyřstěn, [ ; 1; ], [ 1;4;0 ], [ 1;1;3 ] [ ;5;3]. Urči: ) osh stěny, ) délku ýšky této stěně, ) ojem čtyřstěnu, d) délku ýšky čtyřstěnu kolmé n stěnu. ) osh stěny Využijeme elikost ektoroého součinu ektorů dou strn trojúhelníku, který stěnu toří. = = 0; 3;3 = = 1;1;3 u ( ) ( ) u = ( 9 3;3 0;0 + 3) = ( 1;3;3 ) ( ) u = = 16 = 9 Stěnu toří trojúhelník, má tedy poloiční osh než je elikost ektoroého součinu 9 S =. ) délk ýšky e stěně S Osh trojúhelníku můžeme určit plnimetriky zthem S = =. Výšk je kolmá n strnu. Určíme její délku, osh trojúhelníku známe. ( ) = u = + + = = 9 S = = = 3 3 ) ojem čtyřstěnu Z orázků je idět: w R w u Osh trojúhelníku je poloinou oshu odpoídjíího ronoěžníku R. Ojem čtyřstěnu je šestinou smíšeného součinu ( ) w = = ( 3; 3; ) u Ojem čtyřstěnu je třetinou ojemu odpoídjíího hrnolu (oené pridlo pro ojem jehlnu). u w. 5

6 ( u ) w ( )( ) = 1;3;3 3; 3; = = 1 Ojem čtyřstěnu je 1 6. d) délku ýšky čtyřstěnu kolmé n stěnu 1 3V Ojem čtyřstěnu můžeme tké spočítt stereometriky zthem V = S =. S Ojem čtyřstěnu i osh podsty známe. osdíme: 1 3 3V = = = = =. S p Výšk čtyřstěnu kolmá n stěnu má délku 7 6. Př. 6: Jsou dány ody [ ; ;1], [ 1;1;3 ], [ 3;; ] [ 3;1; ] ronoěžnostěnu GH. 3 p p. Urči ojem H G Nejdříe určíme ektory,,. = = 4; 1;1 Z orázku je idět: ( ) = = ( 1;4;1 ). = - souřdnie odu musíme určit ýpočtem: = + = [ ; 3;] = = ( 1;4; 4) Počítáme smíšený součin V = ( ). = ( 1 4;1+ 4; ) = ( 5;5; 15) ( ) ( )( ) V = = 5;5; 15 1; 4; 4 = = 85 Ronoěžnostěn má ojem 85. Př. 7: Petákoá: strn 103/ičení 56 strn 104/ičení 58 strn 104/ičení 59 ) 6

7 Shrnutí: Pomoí smíšeného součinu můžeme určit ojem ronoěžnostěnu, neo sndno rozhodnout, zd tři ektory leží jedné roině. 7