Úvodní slovo pro studenta:

Úvodní slovo pro studenta: Vážená paní kolegyně, vážený pane kolego, vítám Vás v kurzu dalšího vzdělávání, který by měl ukázat, jak lze používat technologie ve výuce matematiky na 2. a 3. stupni. Podíváme se, jak se učí pomocí počítače ve světě, jaké počítačové programy jsou vhodné pro výuku, naučíme se jeden z nich ovládat, tak abyste mohli po skončení kurzu vyzkoušet vlastní výuku se svými svěřenci. K dispozici jsou pro Vás připraveny učební texty a cvičení, ve kterých budete zkoušet v roli žáků u počítače vyřešit úlohy. Budeme ukazovat, jaké faktory mohou ovlivnit Vaši výuku, na základě jakých pedagogických teorií a zkušeností si můžeme dovolit tvrdit, že výuka pomocí počítače je často nejen zábavnější, ekonomičtější, ale že dokáže naučit matematiku. Dozvíte se o zdrojích výukových materiálů na Internetu, které si budete moci stáhnout a upravit k vlastnímu použití. Na závěr kurzu budete mít za úkol připravit výukovou pomůcku pro výuku některého matematického tématu nebo poznatku tak, aby žáci pracovali s počítačem a učili se přitom matematiku. Tyto práce budete na konci kurzu prezentovat ostatním účastníkům. Přejeme Vám hodně radosti při objevování, jak počítače dokáží učiteli pomoci učit matematiku, vést vyučování a motivovat své žáky pro studium matematiky. Držíme Vám palce, aby Vaše počítače sloužily a používaný software nezlobil. Přejeme Vám pěkné zážitky z objevování, ale i překonávání sebe sama v problémových situacích, ke kterým možná dojde. Věříme, že si z kurzu odnesete chuť do další práce, že získaná odbornost se promítne do spokojených tváří Vašich žáků, kteří si učitele používajícího počítač jistě budou cenit. Jiří Vaníček Strana 1

Cíle: Cílem pro účastníka je: získat představu o tom, jakým způsobem se učí matematika pomocí počítače uvědomit si možnosti, ale také rizika výuky s počítačem udělat si přehled o typech počítačových aplikací, které slouží k výuce matematiky dokázat si vybrat vhodný software pro vlastní výuku zvládnout základy práce s jedním z programů interaktivní geometrie pochopit princip dynamické geometrie a vytvořit geometrický obrázek využívající vytvořit učební pomůcku, která zohlední možnosti počítače pro výuku v konkrétní situaci Strana 2

1 Úvod do kurzu V této kapitole si představíme význam technologií pro výuku matematiky. Nainstalujete si software, který budete během kurzu používat, a ve kterém na konci kurzu vytvoříte závěrečnou práci. Tento software si vyberete tak, aby Vás nestál ani korunu a přitom jste jej mohli používat ve své výuce. Cíle: Cílem pro účastníka je: získat představu o tom, jakým způsobem se učí matematika pomocí počítače nainstalovat a vyzkoušet si software pro výuku geometrie 1.1 Obsah kurzu Pokyny ke studiu: K řadě studijních článků jsou přidány obrázky, které najdete ve zvláštním rámu je to vlastnost prostředí, ve kterém je tento kurz vytvořen. Obrázky i s popisky jsou v textu číslovány shodně s čísly na ikonách v levém rámu. Obrázky je občas nutno si lupou zvětšit do skutečné velikosti, aby byla jemná grafika dobře viditelná. Kromě obrázků jsou v textu také originální soubory k prohlížení přímo v prostředí konkrétní počítačové aplikace. Je li aplikace správně nainstalována, stačí klepnout na odkaz a soubor se správně zobrazí. Cíle: Vytvoření úvodního přehledu o kurzu, jeho struktuře a časovém rozložení. Strana 3

Vítejte Vítáme Vás v kurzu, zaměřeném na trénink učitelských dovedností v používání počítače při výuka matematiky. Držím Vám palce, abyste kurz zvládli, ale především aby Vás dokázal natolik získat a naladit, abyste byli po jeho skončení ochotni používat počítač ve výuce a dál se s počítačem na výuku připravovat. Obrázek 1.1 1 obsah kurzu Časový harmonogram kurzu: 4 h úvodní setkání 30 h e learning 4 h vypracování závěrečné práce 4 h závěrečné soustředění Strana 4

1.2 Matematický software a jeho třídění V tomto textu zavedeme pojem matematický software, vysvětlíme jeho aspekty a především uvedeme různé druhy matematického software, tak jak se používají ve světě. Ke každému druhu je připraven obrázek a stručný popis spolu se seznamem typických reprezentantů (produktů), které může škola zakoupit. V tomto kurzu se nebudeme moci seznámit s ovládáním všech těchto druhů mj. proto, že řada z těchto programů není zadarmo. V dalších kapitolách se naučíme ovládat jeden z nich a na něm ukázat didaktické možnosti počítače. Cíle: Zde by si posluchač měl udělat představu o šíři a pestrosti matematického software, aby se orientoval v odborných termínech pojmenovávajících jednotlivé druhy tohoto software. Matematický software (aneb kognitivní technologie) Technologie představují velice široký pojem, a i když máme pod pojmem nové technologie na mysli především aplikace výpočetní techniky, je potřeba rozlišovat informační technologie (Internet a jeho služba web, hromadné zpracování dat, portály, sdílení souborů a řešení, softwarové agenty), komunikační technologie (e mail, online komunikace typu ICQ, Skype nebo chat, elektronické konference, blogy, videokonference, mobilní telefonování a datové přenosy) a kognitivní technologie, což jsou technologie přítomné při poznávání a během poznávacího procesu. Takovými technologiemi se budeme zabývat v tomto kurzu. Kognitivní technologie jsou chápány dvojím způsobem: jednak jako zařízení či prostředky, jednak jako procedury, u nichž se předpokládá usnadnění kognitivních činností. Zde jsou vnímány kognitivní technologie z prvního úhlu pohledu, konkrétněji jako počítačové prostředky přítomné při poznávání. Řekněme, že počítačové kognitivní technologie (nazývané také ne zcela přesně matematický software) jsou podmnožinou technologií informačních a komunikačních (ICT) a tento termín je zaveden jako užitečný, aby odlišil používání ICT při výuce od takovéto typu počítačových aplikací, které přímo Strana 5

přispívají k učení, k poznání. Jestliže např. žáci použijí e mail k odevzdání svého úkolu z matematiky nebo k vyhledání informací o nějakém pojmu, definici či řešení úlohy na Internetu, jde o použití ICT ve výuce, ale nikoliv o použití takové, při němž se žáci zdokonalují v matematických dovednostech, při nichž se bystří jejich matematické uvažování a zlepšuje jejich matematická gramotnost. Počítače jsou obzvláště mocné při učení se matematickému myšlení. Mohou totiž operovat nejen s čísly, ale též se symboly, základními dorozumívacími prostředky lidského myšlení. Třídění matematického software Mezi kognitivní technologie používané ve výuce matematiky jsou zahrnovány následující typy aplikací: 1 Počítačové algebraické systémy (CAS, computer algebra systems), aplikace, které provádějí numerické i symbolické výpočty, např. upravují výrazy a řeší rovnice a matice, kreslí grafy funkcí, číselné výsledky zobrazují přesně (nikoliv aproximovaně v desetinných číslech jako kalkulačky) a zvládají opravdu vysokou matematiku. Jsou představované např. produkty Mathematica, Maple, Derive, Matlab, Maxima. Obrázek 1.2 1 Počítačový algebraický systém Derive Strana 6

2 Prostředí dynamické geometrie (DGE, dynamical geometry environment), aplikace sloužící k rychlému a přesnému rýsování geometrických figur podle zásad konstrukční geometrie. Obsahují nástroje pro pohyb, umožňují manipulaci s hotovou figurou, měří a výsledky výpočtů opět v konstrukcích používají. Lze je dělit na rovinná (Cabri, Sketchpad, Cinderella, Geonext, Geogebra, Euklides), provádějící konstrukce v rovinné nákresně shodné s obrazovkou monitoru, a prostorová prostředí (Cabri 3D, Euler 3D), konstruující ve virtuálním prostoru, promítaném na obrazovku monitoru. Obrázek 1.2 2 Prostředí dynamické geometrie Cabri II 3 Mikrosvěty (microworlds), prostředí podporující výuku algoritmizace a alternativní přístup ke geometrii. Grafika zde vzniká nikoliv aplikací konstrukčních kroků, ale zadáváním posloupnosti příkazů ke kreslení grafickým objektem. Tzv. želví grafika poskytuje alternativní souřadnicový systém z pozice středu světa, blízkou Strana 7

vnímání dětí. Představiteli jsou různé implementace jazyka Logo, např. Imagine nebo Starlogo. Obrázek 1.2 3 mikrosvět Imagine Logo 4 Tabulkové procesory (spreadsheets) jsou kancelářské aplikace k hromadnému zpracování dat; pomocí vzorců přepočítávají data v tabulce a mohou je vizualizovat do grafů. Jsou vyučovány v rámci výuky informačních technologií a s výhodou se využívají při výuce některých matematických disciplín (posloupnosti, statistika, pravděpodobnost, finanční matematika). Je zde ovšem riziko, že učitel nerozezná hranici mezi výukou matematiky a IT a zaměří se na technologický místo matematického obsahu výuky. Představiteli jsou Microsoft Excel a OpenOffice Calc. Strana 8

Obrázek 1.2 4 Tabulkový procesor MS Excel 5 Počítačové laboratoře a stavebnice (computer labs) Prostředí spojující počítač s dalšími externími prvky, zprostředkujícími spojení s reálným světem stavebnicovými díly, čidly, motory a dalšími součástkami, které slouží jako vstupní a výstupní zařízení tohoto prostředí a která přijímají podněty a vykonávají příkazy. V takovýchto robotických prostředích člověk není prostředníkem mezi počítačem a okolím. Typickými činnostmi je provádění skutečných fyzikálních pokusů nebo tvorba fungujících reálných modelů ovládaných počítačem. Tato prostředí jsou v kontextu našeho školského systému vnímána jako hraniční mezi matematikou, informatikou a technickou výchovou. Příkladem je Robolab, LegoDacta nebo ISES. Obrázek 1.2 5 stavebnice Robolab Strana 9

6 Grafické kalkulačky (graph calculators), aplikace provádějící numerické výpočty a zobrazující grafy funkcí s odpovídajícími výpočty (např. průběhu funkcí, derivací...). Jsou realizovány v kalkulátorech stejně jako v programech běžících na počítači (např. Graphmatica). Obrázek 1.2 6 Grafická kalkulačka TI 7 Uzavřená výuková prostředí, výukové programy vytvořené tak, aby řídily činnost žáka a vedly jej od aktivity k aktivitě. Jde o tzv. klasické výukové programy. Často jde o aplikace zaměřené na výuku (výklad, procvičování) konkrétních témat nebo trénování konkrétních kompetencí. Tyto programy do jisté míry zastupují řídící roli učitele ve třídě. Strana 10

Pro svoji malou flexibilitu, úzký záběr obsahu a převažující behavioristický přístup ve stylu řízení výuky nejsou již v současnosti v centru pozornosti, mají však jednu výhodu: mohou výrazně pomoci učiteli začátečníkovi se vstupem na pole počítačem podporované výuky, neboť poskytují zabezpečení běhu výuky a učitel získá sebevědomí pro další, již náročnější řízení výuky s pomocí otevřených výukových prostředí. Do této kategorie spadají i didaktické matematické počítačové hry (strategické a logické hry nebo výukový software s motivací provedenou v podobě hry). Obrázek 1.2 7 Uzavřené výukové prostředí, standardní výukový program 8 Interaktivní tabule (interactive blackboard) není pouze software, ale komplexní pomůcka zahrnující dotykovou desku, připojenou k počítači, umožňující ovládání pohybem prstů po tabuli a nahrazující polohovací zařízení typu myši. Tato tabule je doplněna dataprojektorem, edukačním softwarem a nástroji pro tvorbu takových výukových materiálů. Výhodou je větší interaktivita (žák, který na tabuli ukazuje, je přímou součástí edukační situace), obecnost využití pro všechny vyučovací předměty a intuitivnost ovládání i pro malé děti. Jsou připravovány učebnice matematiky, které převedeny do elektronické podoby umožňují promítání na interaktivních tabulích s animacemi a interaktivitou obrázků. Pro matematické vzdělávání je do systému implementován i software DGE Geonext. Strana 11

Na druhou stranu je třeba říci, že od určitého věku, kdy žák dokáže dobře ovládat počítač pomocí myši, se výhoda přímé interaktivity ztrácí; pokud se místo tabule použije prosté ovládání myší a zachová se projekce, je celý systém mobilnější. Na druhém stupni základní školy je pro běžného žáka přirozené používat myš, žáci ve třídě jsou schopni sledovat kurzor myši na projekčním plátně i bez přítomnosti osoby, která ukazuje. Na interaktivní tabuli je technicky složitější provádět jinak běžné úkony (použití obou rukou k manipulaci s objekty, psaní na klávesnici, použití pravého tlačítka myši) a je nutno být ostražitý na neopatrný dotyk; také atraktivnost pomůcky s věkem žáka klesá. Typickým představitelem je SmartBoard a ActiveBoard. Obrázek 1.2 8 Interaktivní tabule s běžící aplikací Cabri 3D 1.3 Terminologie Občas se v textu vyskytnou nová slova, která by mohla být nesrozumitelná. V našem slovníčku jsou objasněna, je vysvětleno, v jakém významu se používají. Strana 12

Obrázek 1.3 1 Geometrická figura Na obrázku je geometrická figura vzniklá geometrickou konstrukcí Slovníček některých pojmů a zkratek DGE prostředí dynamické geometrie, software, který umožňuje konstruovat geometrické figury na obrazovce počítače (více viz kap. Matematický software a jeho třídění) figura v knize rozlišujeme pojmy obrázek a figura. Počítačová geometrická figura je množina objektů, zobrazovaných na nákresně (geometrických obrazců, čísel, textových polí apod.), obrázek je statický grafický objekt umístěný v textu knihy. Můžeme říci, že obrázek zobrazuje geometrickou figuru, dva různé obrázky mohou znázorňovat tutéž figuru v různých situacích (z různého úhlu pohledu nebo před a po manipulaci). Odlišením termínů obrázek a figura chceme zdůraznit dynamiku figury. Figura může být vnímána jako určitá situace na nákresně, ovšem s tím drobným rozdílem, že situaci lze chápat jako vztahující se k nákresně, zatímco figura je svébytná. Např. v 3D prostředí lze situaci (mající vliv např. na řešení úlohy) změnit pouhou změnou pozorovacího úhlu, zatímco figura se nezměnila. Strana 13

konstrukce proces vzniku figury; figura je vnímána jako výsledek geometrické konstrukce. Zavedení pojmu figura zabraňuje terminologickým nepřesnostem, kdy by termín konstrukce mohl být užíván pro proces i jeho výsledek (např. na obrázku je hotová geometrická konstrukce čtverce ). ICT informační a komunikační technologie manipulace pohybování s figurou s cílem změnit její polohu a tvar. Manipulace se provádí buď přímo, uchopením a táhnutím některého z objektů myší, nebo nepřímo, např. změnou číselných parametrů figury nebo použitím nástrojů animace. 1.4 Zahrajte si matematickou hru! Matematika může být také pěkná zábava. Zahrajte si některé z těchto her, prohlédněte si výukové programy pro výuku matematiky. Vžijte se do role žáka, představte si, jak by takové aktivity motivovaly do výuky. Přitom ve všech případech jde o rozvoj matematického myšlení! Cíle: ukázat matematické výukové programy a hry zažít pocit hraní (matematické hry) Zadání: Zahrajte si Nabízíme několik aktivit, které lze stejně dobře označit výukové programy nebo hry, s matematických obsahem (u některých je to více zřejmé, u některých méně: někde jde o zvládnutí školního učiva, jinde o použití matematických schopností při tvorbě strategie hry apod.) Strana 14

Matematické omalovánky problém 4 barev Omalujte obrázek co nejmenším počtem barev (na všechny stačí pouhé 4 barvy, někde i méně!) Pozor, nesmíte obarvit dvě sousední plošky stejnou barvou. obr. 1 Hra 4 barvy omalovánky Obrázek 1.4 1 Hra Matematické omalovánky propedetika topologie na ZŠ Hra Ščelk Hra pro dva hráče, kteří se střídají v odebírání čtverečků. Kdo odebere poslední, prohrál. Po kliknutí zmizí všechny čtverečky napravo a nahoru od označeného čtverečku. obr. 2 hra Ščelk Strana 15

Obrázek 1.4 2 Hra Ščelk pro 2 hráče střídavé odebírání políček z plochy Číselné bludiště Hrací kamen "jezdí" po čtvercové síti a cestou ji likviduje. Při jednom tahu vyrazí do směru, který určí hráč kliknutím na sousední políčko, a popojede o počet polí, které je napsáno na kliknutém políčku. Kdo dojede nejdál? obr. 3 Hra Bludiště Obrázek 1.4 3 Hra Číselné bludiště kruh jezdí ve zvoleném směru o počet políček souseda Strana 16

Hlavolam Sovy Úkolem je převést sovy na druhou stranu, sova může přeskočit pouze jednu sovu opačné barvy, ale žádnou sovu své barvy. obr. 4 hlavolam Sovy Obrázek 1.4 4 Hlavolam Sovy Sovy si chtějí navzájem vyměnit místa Výrazy výukový program Hráč má za úkol zapsat výraz, který bude generovat prvních n prvků řady čísel tak, aby vyhovovala zadání. Např. výraz "2*x+1" bude generovat čísla 3 5 7 9 11..). Jak ale zapsat výraz, generující 37 27 17 7 3...? obr. 5 výukový Výrazy Strana 17

Obrázek 1.4 5 Výukový program Výrazy hledání předpisu posloupnosti, tak aby se shodovalo se zadáním Hlavolam Cannibals Varianta známé hry vlk, koza a zelí. Převeďte misionáře s lidožrouty přes řeku, ale nenechte misionáře o samotě s přesilou! obr. 6 hra Cannibals Obrázek 1.4 6 Cannibals hlavolam typu vlk, koza, zelí převezte lidožrouty i misionáře přes řeku Tipy pro řešení: Vyberte si podle obrázků vlevo a krátkého popisu. Sami přijděte na to, jak hrát (někde poslouží nápověda v programu, někde experimentování). Strana 18

2 Změny ve výuce způsobené použitím počítačů Jde o teoretickou kapitolu, která přináší informace o tom, jak se mění výuka pod vlivem používání počítačů, jaké aspekty má používání technologií ve výuce matematiky i ve výchově člověka. Cíle: Často kritizujeme na žácích, že jsou povrchní, že přeskakují z jednoho do druhého, že nečtou a jen si prohlížejí. Prosím Vás, abyste v tomto kurzu nesklouzli právě k povrchnosti. Řada pěkných animací a interaktivních obrázků svádí k přeskakování textu. Ovšem právě tento text poskytuje možnost vhledu do problému; na obrázcích to podstatné často není patrné. 2.1 Aspekty nasazení počítače do výuky matematiky Pdf soubor obsahuje přehled vybraných výhod a nevýhod používání počítače při výuce, stejně jako rizik nebo obav z jejich používání. Je dobré, když učitel předem ví o rizicích, ke kterým může jeho výuka počítačem směřovat, aby si jich všímal a dokázal je odhalit. s Cíle: Uvědomit si, že výuka pomocí počítače není jen mechanické přidání počítače do své výuky bez dalších změn ve stylu výuky, v přípravě, v přístupu apod. Strana 19

2.2 Prohlédněte si obrázky k článku jako pohyblivé konstrukce Zde si spusťte soubor s dynamickou konstrukcí obrázku 3 k předchozímu článku. Zadání: Nejprve si znovu prohlédněte obrázek 3 z článku. Zkuste tipnout, jak se bude levé kolo na obrázku pohybovat. Poté soubor otevřete a ověřte svůj tip, svoji hypotézu. Soubor pro Cabri: obr.3 přední kolo Soubor pro Geogebru: obr3 přední kolo Obrázek 2.2 1 přední kolo Strana 20

Návrh řešení: Takovéto "nápady" jsou schovány ve většině souborů, které budete spouštět v ostatních aktivitách. Prosím nevynechávejte spouštění souborů s konstrukcemi a jejich prohlížení a manipulaci označenými body pomocí myši: jednak si trénujete ovládání programu jednak teprve z dynamického modelu je často patrné, co měl autor textu na mysli. Strana 21

3 Základní seznámení s různými druhy výukového software pro matematiku Zde bychom rádi ukázali "v akci" různé výukové materiály a prostředí, která jsme vyjmenovali v minulé kapitole. To ovšem s sebou nese problém: řada produktů není zdarma a prakticky všechny je třeba zase na počítač nainstalovat. Toho se chceme vyvarovat. Proto uděláme kompromis a většinou ukážeme náhledy takových prostředí a typických aktivit a úloh. 3.1 Algebraické systémy Počítačové algebraické systémy jsou výpočetní programy, které dokáží "vypočítat cokoliv" Jsou to spíše matematické programy, některé z nich vytvářejí prostředí vodná i pro školy. Algebraický program: počítá nejen numerické, ale i symbolické výpočty upravuje výrazy, řeší rovnice a matice dovede derivovat a integrovat kreslí grafy funkcí Algebraické systémy Obrázek 3.1 1 3D grafy v Derive podle vzorce zapsaného ve spodním okně Strana 22

Obrázek 3.1 2 Algebraické okno v Derive Obrázek 3.1 3 3D grafy v Mathematice Strana 23

Obrázek 3.1 4 Grafika v Mathematice ovládání pomocí posuvníků Obrázek 3.1 5 Mathematica graf vložený do výpočtů zvětšete si lupou Strana 24

Protože algebraické systémy jsou drahé a všechny "zadarmo" verze jsou buď velmi slabé, nebo velice obtížně uživatelsky ovladatelné, soustředíme se na ukázky, ze kterých by bylo možno pochopit, o jakou práci se jedná. Obecně platí, že takovéto programy nachází uplatnění na vysokých školách. Prohlédněte si 1. Videa, ukazující možnosti algebraických programů, konkrétně Mathematica Jde o videa z YouTube. http://www.youtube.com/watch?v=pie9wcrq0ps&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=dqfi1d5peaa&feature=related Je potřeba vědět, že se jedná o výběrové motivační ukázky, že kvalitní práce s těmito programy není jen pěkné klikání myší, ale také řada znalostí a matematického umu. 2. Pro ukázku, jak vypadá práce s takovým programem, si prohlédněte dokument, který ukazuje výpis výpočetní stránky z programu Derive. Pro zájemce Jednodušší program Derive, který postačuje i pro střední školy a nemá složité ovládání, je možno v demoverzi vyzkoušet: nainstalovat a zkusit vyřešit některé úlohy: řešení rovnic úpravy výrazů řešení matic vytváření 2D a 3D grafů (zvláště tato oblast je atraktivní svojí vizuální složkou). Demoverze Derive http://www.derive.cz/html/index.htm Seznam výukových materiálů pro používání Derive http://www.pf.jcu.cz/p mat/texty/cas.htm Strana 25

3.2 Tabulkové procesory Tabulkové procesory jsou běžné nástroje hromadného zpracování dat. Mezi tabulkové procesory počítáme např. programy OpenOffice Calc nebo Microsoft Excel dokáží počítat podle vzorců a vytvářet grafy slouží jako experimentální prostředí pro výuku: procentuálního počtu, statistiky, počtu pravděpodobnosti a dalších partiích matematiky. Obrázek 3.2 1 Grafy simulující hod hrací kostkou Strana 26

Tabulkové procesory Programy, sloužící především k hromadnému zpracování dat, jsou někdy vhodné i pro výuku matematiky. Učitel si ale musí uvědomit, že cílem výuky není zvládnout tento program a jeho nástroje. Připravili jsme pro Vás výběr několika netypických inspirativních úloh, které učí matematiku. Na každém listu, které se přepínají na záložkách pod tabulkou, najdete jednu úlohu. Na titulním listu najdete vysvětlení a návod k ovládání. Máte li MS Excel: Ukázky práce Excel Máte li OpenOffice: Ukázky práce OpenOffice Nemáte li ani jeden, stáhněte si a zdarma nainstalujte OpenOffice z této adresy: http://www.openoffice.org Obrázky Na obrázcích vidíte některé z těchto aktivit v souborech, které si otevřete. Výhoda souboru proti obrázkům je v interaktivitě: můžete některá čísla přepsat a podívat se, jak se změnil graf, čísla, řešení. můžete pouze nechat přepočítat všechny buňky tabulky (klávesou F9) má význam při použití generátoru náhodných čísel. Strana 27

Obrázek 3.2 2 Výpočet Pí podle Leibnizova vzorce postupnými iteracemi součtu číselné řady Obrázek 3.2 3 Tabulka násobilky s vyčerněnými násobky čísla v žluté buňce použito podmíněné formátování zde násobků 12 Strana 28

Obrázek 3.2 4 Netradiční metoda výpočtu tradiční úlohy generování číselných řad a hledání výsledku v pravém sloupci Obrázek 3.2 5 Pomůcka učitele pro přípravu na výuku automatické generování zadání úloh s pěknými výsledky Strana 29

3.3 Mikrosvěty Program Logo dává intenzívní prostředí pro trénink geometrické představivosti, poskytuje alternativní soustavu souřadnou "z pozice želvy jako středu světa", blízké vnímání dětí. Typickým reprezentantem je Imagine, bohaté prostředí pro výuku algoritmizace. Řadí se ke skupině programů zvaných Mikrosvěty Obsahuje želví grafiku, která umožňuje rozvoj chápání geometrie. Ovládáním želvičky pomocí příkazů lze vytvářet geometrické obrazce. Používáním parametrů v příkazech umožňuje vybudovat pojem proměnné ve výrazu. Podporuje tvůrčí aktivitu dítěte. Princip práce v Logo Metodika výuky geometrie, algoritmizace, představivosti a řešení problémů pomocí kreslení v tzv. želví geometrii je ve světě dostatečně ověřena a svojí pěknou grafikou poskytuje vhodnou motivaci. Opírá se o více než 40 let zkušeností, postavených na prostředí a jazyku Logo a podporovaných konstruktivistickou teorií učení (Piaget, Papert). Žák za pomocí velmi malého počtu základních příkazů a pomocí základních znalostí z geometrie vytváří počítačovou grafiku. Ovládání želvího "robota" Při práci v Logo na základní úrovni uživatel pomocí příkazů ovládá grafický kreslící objekt, takzvanou želvu. Příkazy dopředu, vlevo, vpravo, opakuj, smaž, když a dalšími ovládá tohoto virtuálního robota, který podle příkazů leze po obrazovce a kreslí za sebou čáru, obtiskává obrázky nebo sám může převzít podobu jiného obrázku, který tak běhá po obrazovce. Prohlédněte si obrázky. Strana 30

Želví grafika Na rozdíl od standardní kartézské souřadnicové soustavy s pevnými osami x a y, které jsou na sebe kolmé, je želví grafika umístěna do tzv. želví soustavy, která více odpovídá vnímání menších dětí. Ty chápou svět více sebestředně, vidí samy sebe ve středu světa mohou se tedy s želvou identifikovat a její pohyb řídit ze svého pohledu. Želví souřadnicová soustava je v podstatě relativní polární soustava se středem v místě, kde se právě želva nachází, a s hlavním směrem ve směru momentálního natočení želvy. Příkazy pro změnu pozice v takové soustavě jsou příkazy dopředu (posunutí želvy o daný počet pixelů) a vlevo (otočení želvy o daný počet stupňů). Tato soustava se osvědčila při výuce začátečníků v orientaci na grafické ploše. Mohou totiž kreslit obrázky z pohledu procesu jejich vytváření, nikoliv z pohledu výsledného tvaru. Další výhodou této soustavy je, že je relativní. Např. nakreslit obrázek pootočeného čtverce je v této soustavě snadnější (nejprve otočíme želvu, pak nakreslíme čtverec stejnými příkazy jako čtverec původní), zatímco v soustavě kartézské by to znamenalo složité výpočty často nad možnostmi studentů střední školy. Příklady příkazů: opakuj 4 [dopředu 100 vpravo 90] strany 100 (pixelů obrazovky) opakuj 4 [dopředu 60 vpravo 90] opakuj 3 [dopředu 100 vpravo 120] trojúhelník nakreslí čtverec o délce nakreslí menší čtverec nakreslí rovnostranný dopředu 100 vlevo 90 dopředu 20 vpravo 180 dopředu 40 nakreslí velké písmeno T puntík 30 vpravo 90 dopředu 90 puntík 30 vpravo 180 dopředu 45 vlevo 90 dopředu 6 vpravo 180 želva nakreslí činku a zvedá ji Tyto a další příkazy si můžete vyzkoušet v tréninkovém prostředí, které si spustíte zde: Želví trénink Strana 31

Příkazy můžete zkopírovat do tréninkového prostředí a vyzkoušet, jak fungují (viz obr. 6). Obrázek 3.3 1 Želví grafika podle příkazů v dolním řádku želva vykreslí obrázek Obrázek 3.3 2 Želví grafika obrázek je složen ze zvětšujících se čtverců Strana 32

Obrázek 3.3 3 základní úloha nakreslit domek se všemi stranami stejně dlouhými Obrázek 3.3 4 Prostředí Imagine Logo české prostřdí, vhodné k výuce geometrie i programování Strana 33

Obrázek 3.3 5 Obrázky k kružnic kružnice: opakuj 360 [dopředu 3 vpravo 1] Obrázek 3.3 6 Želví trénink, prostředí pro tento úkol do žlutého pole se píší příkazy pro želvu, vpravo se vykreslují Strana 34

4 Základy práce s geometrickými počítačovými programy V této kapitole se naučíte základní práci v dynamickém geometrickém prostředí, tedy buď v Cabri, nebo v Geogebře (podle Vaší volby). Abyste mohli porozumět dalším kapitolám (např. o odlišnosti práce s počítačem od geometrie tužky a papíru, o dynamice v geometrii nebo didaktickým kapitolám o formách práce, potřebujete umět v prostředí pracovat. Nyní se naučíte rýsovat jednoduché figury, vesměs takové, jejichž postup již znáte. Cíle: Orientovat se v prostředí počítačové aplikace. Zvládnout základní konstrukce. Porozumět filozofii práce v aplikaci dynamické geometrie. 4.1 Základy rýsování v Cabri Zde je úvodní stručný kurz rýsování v Cabri. Po něm bude následovat sada rýsovacích cvičení. Cíle: Naučit se ovládat prostředí programu a rýsovat jednoduché figury. Tento článek obsahuje opravdu jen strohé základy, protože hlavním cílem testu není řemeslné ovládnutí programu. Podrobný popis najdete v kurzu ovládání programu Cabri na webu: http://www.pf.jcu.cz/cabri/kurz/index.html Zde následuje pouze stručný výklad, který může sloužit jako vysvětlivky pro Vaše vlastní rýsování v následujících cvičeních. Strana 35

Prostředí Cabri Interaktivní geometrický náčrtník má v horní části lištu s geometrickými nástroji. Podržením stisknuté myši nad ikonou se rozbalí nabídka dalších rýsovacích nástrojů. (obr. 1) Obrázek 4.1 1 Rozbalená nabídka rýsovacích nástrojů úplně vlevo je nástroj Ukazovátko, umožňující tahání za objekty Všimněte si, že konstrukční nástroje (Kolmice, Střed úsečky, Rovnoběžka...) najdete pohromadě, pod jednou ikonou. Stejně tak zobrazení (osová souměrnost, posunutí, otočení) najdete pohromadě. Formátovací nástroje (barva objektů, jejich velikost, viditelnost apod.) najdete pod poslední ikonou vpravo. Strana 36

Nový objekt Většinou se pracuje tak, že se vybere rýsovací nástroj a pak klepne myší do plochy (jednou nebo několikrát, podle typu nástroje). Dobrou pomůckou je zapnutí kontextové nápovědy, která jednou větou poradí, jak zacházet s vybraným rýsovacím nástrojem. Nápověda se zapíná z nabídky Nápověda nebo klávesou F1. Vytvořeným objektem můžete pohybovat po nákresně při zapnutém nástroji Ukazovátko (úplně vlevo). Začátečníkům dělá problém přepínání do režimu Ukazovátka režimu hýbání s objekty. Často chtějí pohnout s objektem, ale protože mají zapnutý jiný nástroj, místo toho např. vytvoří nový bod apod. (obr. 2) Obrázek 4.1 2 Znázorněné uchopení a táhnutí objektu rozfázovaný pohyb přímky, tažené myší po nákresně Strana 37

Závislost objektů Některé objekty jsou závislé na předchozích. Stále zachovávají svůj vztah k tzv. objektu, kterým jsou určeny (např. kolmý, leží na objektu, rovnoběžný, je středem úsečky apod.), a také přestávají existovat, když přestane existovat objekt, na němž jsou závislé. Např. vytvoříme li přímku b jako kolmici na jinou přímku a, bude tato přímka b stále kolmá na přímku a i po manipulaci. Když ovšem smažeme přímku a, smaže se automaticky i přímka b, protože je přímkou a definovaná. Přiblíží li se myš k objektu, objeví se u ní hlášení (např. tato přímka, obr. 3). Hlášení usnadňuje orientaci na nákresně při rýsování nových objektů: pomáhá určit, zda opravdu ukazujeme na objekt, který potřebujeme označit) Mazání objektů Objekt na nákresně můžete označit (klepnutím myší nebo zatržením oblasti). Označené objekty se mohou smazat klávesou Delete. (obr. 3) Obrázek 4.1 3 Označení objektu (čárkovaná úsečka) např. k smazání v blízkosti objektů se u myši objevuje pomocné hlášení Strana 38

Skrytí objektů Objekty na nákresně lze zneviditelnit, skrýt. Režim Zobrazit/Skrýt najdete vpravo na liště nástrojů. Přepnete li do tohoto režimu, neviditelné objekty jsou vytečkovány. Klepnutím na objekt jej nastavíte jako neviditelný, klepnutím na "neviditelný" tečkovaný objekt jej opět zviditelníte. Režim Zobrazit/Skrýt ukončíte např. volbou nástroje Ukazovátko. (obr. 4) Obrázek 4.1 4 Režim Zobrazit/Skrýt tečkovaná kružnice a počáteční bod vektoru budou skryty Rozdíl mezi smazaným a skrytým objektem je následující: Smazaný objekt přestal existovat, zrušily se všechny vazby nezi tímto objektem a dalšími objekty. Skrytý objekt však stále udržuje vazby s ostatními, objekty na něm závislé stále existují. Strana 39

Např. představme si, že máme sestrojenu kružnici trojúhelníku opsanou, zkonstruovanou pomocí dvou os stran. Jestliže smažeme jednu osu strany, zanikne i kružnice. Když osu strany skryjeme, osa vidět nebude, ale kružnice se bude chovat správně. Ukládání figury Stejně jako jiné programy, Cabri umožňuje uložit práci do souboru. Nový obrázek je vhodné začít příkazem Soubor/Nový obrázek. Posouvání nákresny a zoom Nákresna se posouvá tažením za úchopové body po stranách nákresny. V Cabti není možné přibližovat a oddalovat nákresnu. Lze ovšem zvětšovat a zmenšovat objekty vhodnou manipulací. Cvičení Nyní budou následovat cvičení, v nichž budete v Cabri rýsovat jednoduché konstrukce. Vždy se můžete vrátit k tomuto textu pro osvěžení paměti. 4.2 Základy rýsování v Geogebře Zde je úvodní stručný kurz rýsování v Geogebře. Po něm bude následovat sada rýsovacích cvičení. Cíle: Naučit se ovládat prostředí programu a rýsovat jednoduché figury. Podrobnou nápovědu pro program Geogebra najdete na webu: http://www.geogebra.org/help/docucz/ Zde následuje pouze stručný výklad, který může sloužit jako vysvětlivky pro Vaše vlastní rýsování v následujících cvičeních. Strana 40

Prostředí GeoGebra Interaktivní geometrický náčrtník má v horní části lištu s geometrickými nástroji. Okno vlevo s popisem objektů je možno vypnout (nabídka Zobrazit/Algebraické okno), stejně tak je možno vypnout příkazový řádek dole (nabídka Zobrazit/Vstupní pole). Pokud necháte okno algeobraické okno zobrazené, automaticky se vytváří popis všech nových objektů, při vypnutém okně se popis nevytváří. Klepnutím na malý trojúhelníček na ikoně nástroje (trojúhelníček zčervená) se rozbalí nabídka dalších rýsovacích nástrojů. (obr. 1) Obrázek 4.2 1 Rozbalená nabídka rýsovacích nástrojů v Geogebře Vlevo je algebraické okno, vlevo nahoře je nástroj Ukazovátko. Všimněte si, že konstrukční nástroje (Kolmice, Střed úsečky, Rovnoběžka...) najdete pohromadě, pod jednou ikonou. Stejně tak zobrazení (osová souměrnost, posunutí, otočení) najdete pohromadě. Strana 41

Formátovací nástroje (barva objektů, jejich velikost, viditelnost apod.) najdete v kontextovém menu (klepnout pravým tlačítkem na objekt, položka Vlastnosti). Nový objekt Většinou se pracuje tak, že se vybere rýsovací nástroj a pak klepne myší do plochy (jednou nebo několikrát, podle typu nástroje). Dobrou pomůckou je nápověda, která v části 3.2 poradí, jak zacházet s vybraným rýsovacím nástrojem. Nápověda se zapíná z nabídky Nápověda nebo klávesou F1. Vytvořeným objektem můžete pohybovat po nákresně při zapnutém nástroji Ukazovátko (úplně vlevo). Začátečníkům dělá problém přepínání do režimu Ukazovátka režimu hýbání s objekty. Často chtějí pohnout s objektem, ale protože mají zapnutý jiný nástroj, místo toho např. vytvoří nový bod apod. (obr. 2) Obrázek 4.2 2 Znázorněné uchopení a táhnutí objektu rozfázovaný pohyb přímky, tažené myší za bod B po nákresně Strana 42

Závislost objektů Některé objekty jsou závislé na předchozích. Stále zachovávají svůj vztah k tzv. objektu, kterým jsou určeny (např. kolmý, leží na objektu, rovnoběžný, je středem úsečky apod.), a také přestávají existovat, když přestane existovat objekt, na němž jsou závislé. Např. vytvoříme li přímku b jako kolmici na jinou přímku a, bude tato přímka b stále kolmá na přímku a i po manipulaci. Když ovšem smažeme přímku a, smaže se automaticky i přímka b, protože je přímkou a definovaná. Přiblíží li se myš k objektu, objekt vytvoří stín (obr. 3). Vystínování usnadňuje orientaci na nákresně při rýsování nových objektů: pomáhá určit, zda opravdu ukazujeme na objekt, který potřebujeme označit. Mazání objektů Objekt na nákresně můžete označit (klepnutím myší nebo zatržením oblasti). Označené objekty se mohou smazat klávesou Delete. (obr. 3) Obrázek 4.2 3 Označení více objektů zatržením obdélníkem (bod B, úsečka) v blízkosti kurzoru myši se objekt vystínuje Strana 43

Skrytí objektů Objekty na nákresně lze zneviditelnit, skrýt. Režim Ukázat/Skrýt objekt najdete vpravo na liště nástrojů. Přepnete li do tohoto režimu, neviditelné objekty jsou vystínován. Klepnutím na objekt jej nastavíte jako neviditelný, klepnutím na "neviditelný" vystínovaný objekt jej opět zviditelníte. Režim Ukázat/Skrýt objekt ukončíte např. volbou nástroje Ukazovátko. (obr. 4) Obrázek 4.2 4 Režim Ukázat/Skrýt objekt vystínovaný bod B a úsečka budou skryty Rozdíl mezi smazaným a skrytým objektem je následující: Smazaný objekt přestal existovat, zrušily se všechny vazby mezi tímto objektem a dalšími objekty. Skrytý objekt však stále udržuje vazby s ostatními, objekty na něm závislé stále existují. Např. představme si, že máme sestrojenu kružnici trojúhelníku opsanou, zkonstruovanou pomocí dvou os stran. Jestliže smažeme jednu osu strany, zanikne i kružnice. Když osu strany skryjeme, osa vidět nebude, ale kružnice se bude chovat správně. Strana 44

Ukládání figury Stejně jako jiné programy, Geogebra umožňuje uložit práci do souboru. Nový obrázek je vhodné začít příkazem Soubor/Nový. Posouvání nákresny a zoom Nákresna se posouvá nástrojem Posunout nákresnu (pravý sloupec nástrojů). Zoom lze realizovat nástroji Zvětšit a Zmenšit (tamtéž). Cvičení Nyní budou následovat cvičení, v nichž budete v Geogebře rýsovat jednoduché konstrukce. Vždy se můžete vrátit k tomuto textu pro osvěžení paměti. 4.3 Rýsujeme V tomto a dalších cvičením rýsujte ve svém programu (Cabri nebo Geogebra) podle postupu, který je popsán v zadání. Cíle: Prakticky vyzkoušet poznatky z minulého článku. Porozumět filozofii práce při rýsování v počítači. Zadání: V tomto a dalších cvičením rýsujte ve svém programu (Cabri nebo Geogebra) podle postupu, který je popsán v zadání. Otevřete si prostředí programu a začněte na čistý list. Konstrukce podle postupu 1. Sestrojte dvě kružnice. 2. Posuňte jednu z kružnic tak, aby se protínaly. 3. Sestrojte průsečíky kružnic a těmito průsečíky veďte přímku. Strana 45

4. Sestrojte volný bod někde na nákresně a tímto bodem veďte kolmici na přímku. Manipulace s figurou Uchopte jednu z kružnic a pohybujte s ní. Zjistíte, že : a) jestliže se kružnice neprotínají, přestávají existovat průsečíky, přímka i kolmice. b) jakmile se kružnice protnou, přímky se opět objeví. c) (pohybujte jednou kružnicí tak, aby kroužila kolem druhé a přitom ji protínala) jestliže se spojnice průsečíků vlivem manipulace naklání, kolmice zůstává stále kolmá a stále prochází volným bodem. Skrytí objektu 1. Skryjte přímku sponici průsečíků (vyberte odpovídající nástroj). 2. Vyberte nástroj Ukazovátko, uchopte jednu z kružnic a tahejte s ní. Zjistíte, že: a) ačkoliv přímka není vidět, kolmice se pohybuje, takže vztahy mezi objekty zůstaly zachovány. 3. Zobrazte skrytou přímku v režimu skrytí objektů na ni klepněte myší. Smazání objektu Označte myší jeden z průsečíků a klávesou Delete jej smažte. Zjistíte, že: a) smazal se tento průsečík b) smazaly se i objekty na něm závislé (obě přímky). c) volný bod zůstal zachován, protože není na průsečíku závislý. Strana 46

Tipy pro řešení: Pro Geogebru: nástroj Kružnice daná středem a poloměrem nabízí okno, do něhož napíšete velikost poloměru. Návrh řešení: Manipulace s figurou Na rozfázovaném obrázku je patrné táhnutí kružnice kolem druhé. Je vidět, že přímky jsou stále na sebe kolmé. Obrázek 4.3 1 Táhnutí za jednu z kružnic kolem druhé je vidět, že přímky jsou stále na sebe kolmé Strana 47

4.4 Kružnice opsaná Další cvičení seznamující s prací v prostředí. Cíle: Rozlišení překrývajících se objektů Zadání: Sestrojte kružnici trojúhelníku opsanou Použijte standardní postup: 1. sestrojte libovolný trojúhelník 2. poté tři jeho osy stran 3. průsečík těchto os je středem kružnice 4. kružnici se středem v průsečíku a procházející jedním vrcholem. Obrázek 4.4 1 Kružnice trojúhelníku opsaná Strana 48

5. Táhnutím vyzkoušejte, zda je kružnice opsaná pořád. 6. Táhněte jeden vrchol trojúhelníka tak, aby prošel mezi zbývajícími dvěma. Poloměr kružnice přejde "přes nekonečno" (žáci jedné třídy tímto způsobem "zkoumali", co je "za nekonečnem"). Problém průsečíku více objektů Při konstrukci jste patrně narazili na problém, že počítač neuměl označit průsečík všech tří os. Počítač pracoval správně, nemůže totiž vybrat průsečík současně tří objektů. Jak víme, průsečík je množinově průnik, a ten je definován jako průnik DVOU množin. Z geometrického pohledu, počítač "neví", že tři osy, které se protínají v jednom bodě, se tak budou protínat vždy, i po manipulaci. Je nutno označit jen dvě ze tří os. Jak to řeší Cabri Cabri se "zeptá", které dva z objektů máme na mysli. Je pak třeba v nabídce označit jednu z os a na druhou klepnout vzápětí. Obrázek 4.4 2 Průsečík více objektů v Cabri Objeví se hlášení a pak se vybírá z nabídky objektů Strana 49

Jak to řeší Geogebra Geogebra nás nechá vybrat jednu z os a na tu bod umístí (tedy nepůjde o průsečík). Průsečík z více překrývajících se objektů sestrojíme nástrojem Průsečíky dvou objektů (pod nástrojem Bod) Obrázek 4.4 3 Průsečík více objektů v Geogebře Objeví se nabídka objektů, vytvoří se bod na vybraném objektu Tipy pro řešení: Osy Nejprve sestrojte pouze DVĚ osy místo všech tří. Ke konstrukci stačí a vyhnete se potížím naznačeným v zadání. Trojúhelník v Geogebře Použijte nástroj Mnohoúhelník. Ten ukončíte klepnutím na první sestrojený vrchol. Strana 50

Návrh řešení: Cabri: kružnice opsaná Geogebra: GGebra kruž. opsaná 4.5 Osová souměrnost Na lehké úloze si vyzkoušejte vytvářet obrazy v osové souměrnosti. Cíle: zvládnout používání nástroje Osová souměrnost Zadání: Housenka Rýsujte podle postupu 1. Sestrojte čtyřúhelník (nástrojem Mnohoúhelník, poslední vrchol klepněte do prvního). 2. Sestrojte obraz mnohoúhelníka podle některé jeho strany (nástroj Osová souměrnost, klepněte na mnohoúhelník, pak na jeho stranu). 3. Opakujte několikrát, vytvářejte další obrazy tak, abyste dostali řadu čtyřúhelníků. 4. Pohybujte vrcholy vzoru a pozorujte. Nastavte nějaký zajímavý tvar a uložte. Strana 51

Obrázek 4.5 1 Housenka několikanásobná osová souměrnost Tipy pro řešení: V Cabri se mnohoúhelník označuje klepnutím na jeho stranu. V Geogebře pak dovnitř útvaru. Návrh řešení: Soubor s řešením pro Cabri: housenka Geogebra: GGebra housenka 4.6 Posunutí Až sestrojíte vzor i obraz, vyzkoušejte pohybovat jak krajními body vektoru, tak celým vektorem posunutí. Možná uvidíte rozdíl mezi vektorem a jeho umístěním. Zadání: Až sestrojíte vzor i obraz v této úloze, vyzkoušejte pohybovat jak krajními body vektoru, tak celým vektorem posunutí. Možná uvidíte rozdíl mezi vektorem a jeho umístěním. Strana 52

Parta krokodýlů Rýsujte podle postupu: 1. Sestrojte mnohoúhelník tvaru krokodýla (ježka, myši, jiného zvířete). 2. Mimo tento útvar sestrojte vektor (nástroj Vektor). 3. Sestrojte obraz mnohoúhelníka v posunutí o vektor; nástroj Posunutí (C) nebo Posun ve směru vektoru (GG), označte mnohoúhelník a pak vektor). 4. Sestrojte obraz obrazu podle stejného vektoru. 5. Opakujte vytváření dalších obrazů podle stejného vektoru. Vyzkoušejte svůj dynamický model: 1. Měňte tvar mnohoúhelníku vzoru. Ostatní krokodýli by se měli také měnit. 2. Hýbejte krajními body vektoru. 3. Uchopte vektor a přemístěte jej. Proč se teď nic nepohybuje Obrázek 4.6 1 Řetězené posunutí jeden vzor a více obrazů posunutých podle stejného vektoru Návrh řešení: Cabri: dikobrazi Strana 53

Geogebra: GGebra krokodýli Vysvětlení Figura obsahuje dva vzájemně nezávislé objekty: vektor a mnohoúhelník. Dále obsahuje obrazy mnohoúhelníka v posunutí o tento vektor. Figura slouží k předvedení rozdílu mezi vektorem a jeho umístěním: Při uchopení vektoru myší mimo jeho krajní body a táhnutí se obraz mnohoúhelníka nepohybuje, zatímco při táhnutí za krajní bod vektoru se obraz přemísťuje. V prvním případě se mění pouze umístění vektoru, nikoliv vektor jako takový (posunutí je dáno vektorem a jestliže se poloha obrazu nemění, nemůže se měnit posunutí a tudíž ani vektor posunutí). Uchopením za krajní bod vektoru se již poloha obrazu mění, mění se tedy i vektor. 4.7 Další cvičení Chcete li dále trénovat, nabízíme několik námětů na nesložité úlohy (dobrovolné). Zadání: Další cvičení 1. Sestrojte kružnici trojúhelníku vepsanou 2. Je dána úsečka. Sestrojte čtverec, jehož jednou stranou (úhlopříčkou) je daná úsečka. 3. Je dána kružnice a bod. Sestrojte tečny z tohoto bodu ke kružnici. 4. Je dána úsečka. Sestrojte rovnostranný trojúhelník, jehož jednou stranou (výškou) je daná úsečka. Strana 54

5 Pokročilejší rýsování v počítači V této kapitole si vyzkoušíte trochu pokročilejší nástroje, které umožní rýsovat obrázky přesné velikosti, používat čísla v geometrické konstrukci. Počítač umí změřit vzdálenost a nanést ji na jiné místo konstrukce. To se využívá nejen k nanášení délky, ale i pro otočení a vytváření úhlů. Protože v každém z námi používaných prostředí jde o poměrně odlišný přístup, tato kapitola má dvě varianty jednu pro Cabri a druhou pro Geogebru. Cíle: zvládnout využívání čísel v konstrukci rýsovat objekty přesné velikosti (dané číslem) 5.1 Používání čísel v konstrukci Cabri V Cabri je možno změřit délky, úhly, obsahy a použít je v další konstrukci. Použití čísel v konstrukci v Cabri V Cabri je možno změřit délky, úhly, obsahy a použít je v další konstrukci. Je také možno na nákresně vytvořit objekt Číslo, který lze dodatečně editovat a použít v další konstrukci např. jako parametr. Podrobněji o číslech v konstrukci viz http://www.pf.jcu.cz/cabri/kurz/index.html Získání čísel 1. Změřením (nástroje Vzdálenost a délka, Obsah, Velikost úhlu). Délka strany se měří jako vzdálenost mezi dvěma body. Velikost úhlu se měří označením tří bodů, ležících postupně na rameni, vrcholu a druhém rameni (stejně, jako se úhel popisuje, např. AVB) Strana 55

2. Vytvořením číselného objektu na nákresně (nástroj Čísla) Tento objekt se edituje klepnutím myší a pak klávesnicí nebo klepáním na šipky za číslem. Vyzkoušejte: Narýsujte trojúhelník. Změřte jeho délky stran, velikosti úhlů, obsah. Nanášení čísel do konstrukce Ukážeme si dva způsoby. Nástroj Nanést délku Nanese délku danou číslem na polopřímku, na kružnici apod. Přitom se myší ozunačí objekt, na který se má délka naníst, a číslo, které leží na nákresně. Používá se k vytvoření objektů přesných rozměrů. Vyzkoušejte: Sestrojte rovnoběžník o délce sousedních stran 4,5 cm a 3,5 cm. Nástroj Otočení Sestrojí obraz objektu otočeného o daný úhel kolem daného středu otočení. Používá se k sestrojení úhlu přesné velikosti (otočením polopřímky kolem jejího krajního bodu). Vyzkoušejte: Sestrojte úhel velikosti 78. Strana 56

Nástroj Kružítko Slouží k témuž účelu jako kružítko skutečné: "nabere" nějakou vzdálenost, "zabodne" do nějakého bodu a vykreslí kružnici. Neboli: jde o rýsování kružnice, jejíž poloměr je někde na nákresně a není dán číslem. Kružítko usnadňuje rýsování tím, že nemusíme měřit a pak vynášet toto číslo na nákresnu. Použijete ho všude tam, kde byste použili normální kružítko. 5.2 Používání čísel v konstrukci Geogebra Použití čísel v konstrukci v Geogebře V Geogebře je možno změřit délky, úhly, obsahy a použít je v další konstrukci. Je také možno na nákresně vytvořit objekt Posuvník, který lze dodatečně editovat a použít v další konstrukci např. jako parametr. Podrobněji o číslech v konstrukci viz nápověda ke Geogebře, pod záložkou Index hledejte Posuvník http://www.geogebra.org/help/docucz/ Získání čísel 1. Změřením (nástroje Vzdálenost, Obsah, Úhel). Délka strany se měří označením úsečky nebo označením dvou bodů. Velikost úhlu se měří označením přímek, svírajících úhel, nebo označením mnohoúhelníka 2. Vytvořením číselného objektu na nákresně (nástroj Posuvník) Tento objekt se edituje pravým klepnutím myší a nastavením mezních hodnot. Vyzkoušejte: Narýsujte trojúhelník. Změřte jeho délky stran, velikosti úhlů, obsah. Strana 57

Nanášení čísel do konstrukce (obr. 1) Některé nástroje (Kružnice daná středem a poloměrem, Úsečka dané délky z bodu) předpokládají vložení čísla, číselného parametru. Objeví se okno (obr. 1), do něhož lze zapsat konkrétní číslo nebo písmeno, které odpovídá názvu některého objektu na nákresně (strany trojúhelníka a, úsečky f, úhlu atd.) Není tedy nutno změřit daný parametr. Obrázek 5.2 1 Použití posuvníku v konstrukci vytvořená kružnice mění poloměr podle hodnoty na posuvníku Vytvoření úhlu určité velikosti Nástroj Úhel dané velikosti 1. posuvníkem, nanést hodnotu z posuvníku do okna (napsat název posuvníku) nebo 2. přenést některý úhel z již hotové figury (viz obr. 2, 3) Strana 58

Obrázek 5.2 2 Přenesení úhlu 1. obrázek přenáší se úhel u vrcholu B na úsečku DE Obrázek 5.2 3 Přenesení úhlu 2. obrázek vlastně se bod E otočil kolem bodu D o úhel beta Strana 59

Nástroj Kružítko Slouží k témuž účelu jako kružítko skutečné: "nabere" nějakou vzdálenost, "zabodne" do nějakého bodu a vykreslí kružnici. Neboli: jde o rýsování kružnice, jejíž poloměr je někde na nákresně a není dán číslem. Kružítko usnadňuje rýsování tím, že nemusíme měřit a pak vynášet toto číslo na nákresnu. Použijete ho všude tam, kde byste použili normální kružítko. Strana 60

6 Problém dynamiky v geometrických programech 6.1 Odlišnosti 'počítačové geometrie' od geometrie tradiční Po úvodním "řemeslném" seznámení s počítačovým rýsováním je třeba získat teoretický nadhled. V tomto článku jsou vysvětleny rozdíly mezi oběma způsoby práce, které začátečníkům mohou činit potíže. Cíle: Posluchač si uvědomí rozdíl mezi geometrií tužky a papíru a mezi dynamickou geometrií. Umožní mu to lépe porozumět a ovládat geometrický software. Odlišnosti počítačové geometrie od tradiční Implementace geometrie do počítače a vytváření interaktivního geometrického software přineslo změny v chápání řady matematických pojmů, v jejich interpretaci, a také některá omezení či naopak nové možnosti, dané jiným pojetím geometrických figur oproti tradičnímu. Lze říci, že dynamická geometrická figura má některé vlastnosti obsažených objektů, které jsou v čase proměnlivé, na něž jsme si však v tradiční geometrii zvykli nahlížet pouze přes jejich stálost v čase. Např. kružnice (rozumějme objekt definovaný jako kružnice) může měnit poloměr, polohu středu, může přestat existovat, nemůže se ale změnit v elipsu. Naopak elipsa se v kružnici změnit může (bude to však stále elipsa, v danou chvíli tvarem odpovídající kružnici). Kolmice může měnit svoji polohu, ale vždy musí zůstat kolmá k objektu, na jehož základě je definovaná. Strana 61

Cabri: kružnice elipsa Geogebra: GGebra kružn. elipsa Asi cítíte z předchozího odstavce, že to není tak zcela zřejmé. Pojďme se na některé zvláštnosti podívat. Geometrické objekty Prostředí dynamické geometrie pracuje s pojmem geometrický objekt, pod nímž chápe geometrické obrazce (bod, mnohoúhelník, vektor, polopřímka) a tělesa, dále množiny bodů či množiny dalších objektů, souřadnicové osy, mřížové body. Geometrické objekty nejsou počítačem vnímány implicitně; jakákoliv množina bodů na obrazovce či jakákoliv část roviny není automaticky objektem. Průnik dvou překrývajících se kruhů není objektem a na rozdíl od těchto kruhů tento průnik nepůjde např. vybarvit (jako je to možné v bitmapových grafických editorech). Podobně nelze změřit obsah čtverce sestrojeného z úseček, dokud nebude vrcholy čtverce proložen objekt typu mnohoúhelníka, u něhož obsah změřit lze. Jiný příklad: v programu Cabri lze vybarvit kruh nebo mnohoúhelník, ale nelze vybarvit vnitřek elipsy. Po počátečním podezření na chybu programu či nedůslednost autorů programu uživatel pochopí, že elipsa jako kuželosečka daná pěti body může během manipulace snadno přejít v hyperbolu a pokračující manipulací opět v elipsu, v níž se stal původně chápaný vnitřek elipsy jejím vnějškem (obr. 1). Takových překvapení skýtá dynamická geometrie celou řadu. Strana 62