ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE PRAHA 2014 Sandra PÁNKOVÁ

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE STUDIJNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE BAKALÁŘSKÁ PRÁCE HODNOCENÍ VYBRANÝCH VYROVNÁVACÍCH ZOBRAZENÍ PRO MAPU SVĚTA Vedoucí práce: Ing. Karel BENDA, CSc. Katedra geomatiky červen 2014 Sandra PÁNKOVÁ

Č É É č í É í Í í í ý é é é ň í á í ář é á í íř é í ář é é á á í ý á í š í ý ář é š á á í Í á í ÚÉ ý ě ý Ú É é ě ď Ě ě á í é é á í ď ě ď ě Í é á í ř é á í á ň ď í ý ří š é ř á č é ě ř í ě ů ě á ě á í á í ď é š í ě ě Í í ůž ář é ř é á ď á č é í ě řá ě ě č ď ď í Šč Ř Č č ě ž ář á ě á ý ý é ý ů ťů ř é ář á í éč íř é á í ď é í ř á ě ý ý ď í ě í á ú ůý í í á á á ě ý ě ž ě ů Č ň č

ABSTRAKT Cílem bakalářské práce je zhodnocení vybraných vyrovnávacích kartografických zobrazení vhodných pro mapu světa. S vedoucím bakalářské práce bylo vybráno zobrazení jednoduché válcové Gallovo a Millerovo, nepravé válcové zobrazení Robinsonovo, Eckertovo III. a Eckertovo V. a modifikované azimutální Winkelovo III. zobrazení. Zhodnocení bylo provedeno pomocí Airyho a komplexního kritéria, která využívají hodnot extrémního délkového zkreslení. K výpočtům zkreslení byl použit program Projection. KLÍČOVÁ SLOVA Matematická kartografie, referenční plocha, kartografické zobrazení, kartografické zkreslení, mapa světa, Projection, kritéria pro hodnocení zobrazení. ABSTRACT Purpose of bachelor s thesis is assessment of selected compensated cartographic projections suitable for world map. With leader of the bachelor s thesis were chosen simple cylindrical Gall Projection and Miller Projection, pseudo cylindrical Robinson Projection, Eckert III and Eckert V Projection and modified azimuthal Winkel III Projection. The assessment was done using Airy and komplex criterion using extreme values of scale error. Software Projection was used to calculate. KEYWORDS Mathematical cartography, reference surface, map projection, kartographic distortion, world map, Projection, criteria for evaluation of projections.

PROHLÁŠENÍ Prohlašuji, že bakalářskou práci na téma Hodnocení vybraných vyrovnávacích zobrazení pro mapu světa jsem vypracovala samostatně. Použitou literaturu a další zdroje uvádím v seznamu zdrojů. V Praze dne................................................. Sandra Pánková

PODĚKOVÁNÍ Především bych ráda poděkovala vedoucímu bakalářské práce panu Ing. Karlu Bendovi, CSc. za připomínky, cenné rady a také za čas, který mi věnoval.

Obsah Úvod 8 1 Kartograf ie 9 1.1 Definice kartografie............................ 9 1.2 Dělení kartografie............................. 9 2 Matematická kartograf ie 12 2.1 Referenční plochy............................. 12 2.2 Souřadnicové soustavy.......................... 13 2.2.1 Souřadnicové soustavy na kouli, elipsoidu............ 13 2.2.2 Souřadnicové soustavy v zobrazovací rovině.......... 15 2.3 Kartografická zobrazení......................... 16 2.4 Kartografické zkreslení.......................... 17 2.4.1 Délkové zkreslení......................... 17 2.4.2 Úhlové zkreslení.......................... 20 2.4.3 Plošné zkreslení.......................... 20 2.5 Klasifikace zobrazení........................... 21 2.5.1 Podle vlastností kartografických zkreslení............ 21 2.5.2 Podle vzhledu zobrazovací plochy................ 22 3 Kritéria pro hodnocení zobrazení 23 3.1 Kritéria extrémní a minimaximální................... 23 3.2 Kritéria variační (součtová, integrální)................. 24 4 Vybraná vyrovnávací zobrazení 26 4.1 Zařazení vybraných zobrazení...................... 26 4.1.1 Jednoduchá zobrazení...................... 26 4.1.2 Nepravá zobrazení........................ 28 4.2 Gallovo zobrazení (Gall Projection)................... 30 4.3 Millerovo zobrazení (Miller Projection)................. 31 4.4 Robinsonovo zobrazení (Robinson Projection)............. 32

4.5 Eckertovo III. zobrazení (Eckert III Projection)............ 33 4.6 Eckertovo V. zobrazení (Eckert V Projection)............. 34 4.7 Winkelovo III. zobrazení (Winkel Tripel Projection).......... 35 5 Hodnocení vybraných zobrazení 37 5.1 Hodnocení zobrazení podle kritérií.................... 37 5.1.1 Extrémní hodnoty délkových zkreslení............. 37 5.1.2 Výpočet lokálních kritérií.................... 40 5.1.3 Výpočet globálních kritérií.................... 40 5.2 Hodnocení zobrazení po vizuální stránce................ 41 6 Použitý program 44 6.1 PROJ - příkazy.............................. 44 6.2 PROJ - ukázkový vstup/výstup..................... 45 Závěr 47 Použité zdroje 49 Seznam příloh 53 A Extrémní hodnoty délkových zkreslení 54 B Lokální kritéria - Airyho a komplexní 61 C PROJ - předdef inovaná zobrazení 68

ÚVOD Úvod Bakalářská práce se především zabývá kartografickými zobrazeními, která jsou vhodná pro tvorbu map světa. Mapa světa je důležitý kartografický produkt, je využívána v mnoha oborech a přináší jejím uživatelům důležité informace. Na jedné straně je reálný svět a na druhé jeho zmenšený, zjednodušený a zkreslený obraz, mapa. Aby bylo možné získat tento obraz, je nutné využít matematicky definovaných vztahů, tzv. kartografických zobrazení (dále jen zobrazení). Zobrazení se tedy používá při přechodu z referenční plochy, kterou je nahrazován zobrazovaný skutečný zemský povrch, do roviny mapy. Hlavním cílem této práce je zhodnotit vybraná zobrazení vhodná pro mapu světa na jednom listě pomocí kritérií, která využívají hodnot extrémního délkového zkreslení v diskrétních bodech. S vedoucím bakalářské práce byla pro zhodnocení vybrána zobrazení jednoduché válcové Gallovo a Millerovo, nepravé válcové Robinsonovo, Eckertovo III. a Eckertovo V. a modifikované azimutální Winkelovo III. (tzv. Winkel Tripel). Všechna jsou zařazena do skupiny vyrovnávacích zobrazení. Bakalářská práce je rozdělena do několika kapitol. Nejprve se věnuje obecně kartografii, dále navazuje tematikou matematické kartografie, kde je mimo jiné uvedeno rozdělení zobrazení do skupin. Dále jsou popsány možnosti, podle kterých lze provést hodnocení a uvádí se poznatky o vybraných zobrazeních. Hodnoty extrémních délkových zkreslení jsou určeny v diskrétních bodech rovnoměrně rozložených na zvolené referenční ploše za podpory programu Projection. Jako referenční plocha je vybrána referenční koule, která postačuje pro aproximaci zemského povrchu při tvorbě map světa. Zjištěné hodnoty zkreslení jsou základem pro výpočet vybraných kritérií pro hodnocení zobrazení, pro výpočet Airyho a komplexního lokálního kritéria, z nichž jsou dále určeny globální kritéria. Výpočty a výsledky jsou uvedeny v páté kapitole. 8

1. KARTOGRAFIE 1 Kartografie Slovo kartografie pochází z řečtiny. Jak plyne z definic, hlavním cílem kartografie je tvorba kartografických děl. Mezi tato díla nepatří jen mapy, ale i plány, mapové soubory, mapová díla, atlasy a glóbusy. V současné době to jsou polohově přesné, skvěle technicky a esteticky provedené produkty. Kartografie se zařazuje mezi vědy o Zemi a vesmíru a souvisí s celou řadou vědních oborů. 1.1 Definice kartografie Definic kartografie je k nalezení několik. Některé z nich jsou uvedeny v následujícím textu. Definice OSN. Kartografie je věda o sestavování map všech druhů a zahrnuje veškeré operace od počátečního vyměřování až po vydání hotové produkce. Def inice Mezinárodní kartograf ické asociace (ICA). Kartografie je umění, věda a technologie vytváření map, včetně jejich studia jako vědeckých dokumentů a uměleckých prací. [1, str.5] Národní def inice, podle české technické normy. Kartografie je vědní a technický obor zabývající se zobrazením Země, kosmu, kosmických těles a jejich částí, objektů a jevů na nich a jejich vztahů ve formě kartografického díla a dále soubor činností při zpracování a využívání kartografických děl. [2, str.24] 1.2 Dělení kartografie Kartografie je poměrně složitý vědní obor, proto je nutné ho rozčlenit. Hledisek, podle kterých lze členění provést, může být mnoho. Mezi nejužívanější členění patří členění klasické a podle přívlastků. 9

1. KARTOGRAFIE Klasické členění. V klasickém členění se jedná o vymezení téměř samostatných částí. Provést se může například takto: Všeobecná kartografie, tzv. nauka o mapách. Zahrnuje především studium map, výklad mapové symboliky, způsoby třídění map, historii kartografie. Matematická kartografie. Zajímá se o kartografické zobrazování referenční plochy Země do referenční plochy mapy, vysvětluje a vymezuje vlastnosti jednotlivých druhů zobrazení. Kartografická tvorba. Jedná se o vlastní kartografickou činnost, tedy o sestavování mapy, výběr obsahových prvků mapy, návrh grafického zobrazení a generalizaci mapy. Kartografická polygrafie a reprografie. Náplní jsou technické úkoly tvorby map. Kartometrie a morfometrie. Jedná se o měření na mapách a určování charakteristik terénu z map. Kartografické metody výzkumu. Zahrnují vědeckou analýzu a syntézu kartografických informací v mapách, řeší problémy matematického a logického zpracování s ohledem na potřeby kartografie a uživatelů. Kartografická informatika. Týká se nahrazení mapy (jako grafického obrazu) matematicko logickým modelem. Členění podle přívlastků. V tomto členění se využívá vazby kartografie na ostatní obory, obsahu kartografických děl, postupů vzniku map. Dělení lze provést několika způsoby. Vybrané dělení je uvedeno v následujícím textu. 10

1. KARTOGRAFIE Teoretická a praktická kartografie. Základní rozdělení, kde teoretická kartografie se zabývá hlavně obecnými teoretickými a metodologickými otázkami a praktická neboli užitná se zabývá výrobními technologiemi. Geodetická a geografická kartografie. Často užívaný přístup dělení, při kterém je geodetická kartografie vázána na tvorbu základních státních mapových děl a geografická se váže na tvorbu odvozených obecně zeměpisných map malých měřítek. Klasická a digitální kartografie. Jedná se o dělení z hlediska vzniku mapy. Klasická kartografie zahrnuje mapy analogové, proti tomu stojí digitální, která zahrnuje kartografické výstupy pomocí počítače. Topografická a tematická kartografie. Rozdělení podle obsahu mapy. Topografická kartografie pojednává o výrobě a užívání topografických map a tematická užívá mapy s dvěma základními složkami, topografickým podkladem a tematickým obsahem. Při dělení podle obsahu mapy, lze využít i přístup obecnější, dělení na velkoměřítkové, topografické, tematické, námořní, městské, atlasové mapy a mapy obyvatelstva. Zdroje pro tuto kapitolu jsou [1], [2], [3] a [4]. 11

2. MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE 2 Matematická kartografie Terminologický slovník zeměměřictví a katastru nemovitostí uvádí definici matematické kartografie: Matematická kartografie je část kartografie, jejíž hlavní úlohou je převod údajů z referenční plochy do roviny pomocí kartografických zobrazení. [5] Nejvíce se využívá převodu údajů z referenční plochy nahrazující Zemi do roviny mapy. Země je fyzikální těleso udržované ve svém tvaru silou tíže, která je výslednicí přitažlivé a odstředivé síly. 2.1 Referenční plochy Zemský povrch je nepravidelný, proto se celý nebo jeho části aproximují matematicky definovatelnými plochami. Jsou li vhodné pro kartografické práce, jsou nazývány referenční plochy. Nejmenším zjednodušením Země je nahrazení tzv. geoidem, který představuje střední hladinu moří. Avšak pro úlohy matematické kartografie má geoid příliš složitý tvar, není tedy užíván jako referenční plocha. Využívá se ploch referenční elipsoid, referenční koule a referenční rovina, o výběru plochy rozhoduje velikost zobrazovaného území a požadovaná přesnost. Referenční elipsoid. V matematické kartografii je uvažována jako základní plocha rotační elipsoid, který nahrazuje geoid. Rotační elipsoid vzniká otáčením elipsy kolem vedlejší osy. Jeho tvar a velikost je určena dvěma veličinami, jedná se o různé kombinace: a - hlavní (velká) poloosa elipsoidu, b vedlejší (malá) poloosa elipsoidu, e excentricita (numerická výstřednost) elipsoidu, i zploštění elipsoidu, které je případně označováno f. Referenční koule. Pokud zmenšená přesnost vyhovuje daným účelům, lze provést zjednodušení referenčního elipsoidu na referenční kouli. Kulová plocha má konstantní křivost a je dána jednoduššími vztahy. Velikost koule určuje pouze jeden parametr, 12

2. MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE poloměr - R. Referenční kouli je možné využít pro účely geodetické a mapovací, nejedná li se o rozsáhlé zobrazované území (přibližně pro vymezenou kruhovou část zemského povrchu asi o poloměru do 200 km). Povrch uvažované části elipsoidu se zobrazí na kouli a ta je následně zobrazována do roviny. Jedná se o dvojitá zobrazení. Referenční koule je použita i pro méně náročné úkoly, kde celý zemský elipsoid je nahrazen koulí, především pro tvorbu map velmi malých měřítek (například map světa). Při tomto úkonu jsou hodnoty zeměpisných souřadnic platných pro elipsoid užity beze změn i pro kouli. Referenční rovina. Při zobrazení malé části zemského povrchu (kruhová část o průměru do 20 km) je používána referenční rovina. Jedná se o nejjednodušší referenční plochu. 2.2 Souřadnicové soustavy Souřadnicové soustavy umožňují jednoznačně určit polohu bodu na referenční ploše a v jejím kartografickém obraze, v rovině mapy. 2.2.1 Souřadnicové soustavy na kouli, elipsoidu Zde je používáno zeměpisných, kartografických, případně prostorových pravoúhlých souřadnic. Zeměpisné souřadnice. Nejčastěji využívané udání polohy na referenční kouli či elipsoidu je pomocí zeměpisných souřadnic, patří sem zeměpisná šířka a zeměpisná délka (obr. 2.1). Zeměpisná šířka je úhel, který svírá normála n v uvažovaném bodě P na referenční ploše a rovina zemského rovníku. Zeměpisná délka je úhel, který svírá rovina určená zemskou osou SJ a uvažovaným bodem P s obdobnou rovinou procházející zvoleným základním bodem. [6, str.8] Zeměpisná šířka je v rozsahu 0 až 90 a měří se od rovníku k pólům. Severní zeměpisná šířka se nachází na severní polokouli (s.š. nebo kladné znaménko), oproti tomu na jižní je jižní zeměpisná šířka (j.š. nebo záporné znaménko). Pro 13

2. MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE značení je užíváno φ pro elipsoid a U pro kouli. Zeměpisná délka je měřena od základní roviny k východu i k západu až k rovině protilehlé, je v rozsahu 0 až 180. Označuje se jako východní (v.d. či kladné znaménko) a západní zeměpisná délka (z.d. či záporné znaménko). Na elipsoidu se označuje λ a V na kouli (např. V = 90 z.d. nebo V = 90 ). Základní rovinou je rovina procházející astronomickou observatoří v Greenwich. λ = 0 dλ λ S ds p dλ P ds r n M dφ φ dλ β 0 β ψ N φ J Zdroj: [6, str.8] Obr. 2.1: Zeměpisné souřadnice Kartograf ické souřadnice. Často není volena osa referenční plochy totožně se zemskou osou. Je to z důvodu lepšího přimknutí dané oblasti k zobrazovací ploše. Proto se na výchozí ploše (zde pro kulovou plochu) definuje nový souřadnicový systém, kartografický. Kartografické souřadnice, D - kartografická délka a Š - kartografická 14

2. MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE šířka, jsou definovány obdobně jako zeměpisné, ale jsou vztaženy k pólu kartografickému - K (obr. 2.2). S V 90 U K 90 U P 90 Š D K a Š D h J Zdroj: [6, str.12] Obr. 2.2: Kartografické souřadnice 2.2.2 Souřadnicové soustavy v zobrazovací rovině V zobrazovací rovině se nejčastěji užívá pravoúhlých souřadnic a poté i polárních souřadnic. Jedná se o rovinné souřadnice. Pravoúhlé souřadnice Pravoúhlé souřadnice se označují X a Y. Tato soustava souřadnic je definovaná pomocí polohy počátku - O a směrem souřadnicových os - x, y. Polární souřadnice Polární souřadnice jsou značeny ρ a ε. V polární rovinné souřadnicové soustavě je uvažován počátek soustavy souřadnic - V, průvodič daného bodu od počátku 15

2. MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE - ρ a úhel průvodiče - ε (polární úhel). Vztahy mezi polárními a pravoúhlými souřadnicemi jsou definovány (obr. 2.3) ρ = X 2 + Y 2, ε = arctg ( Y X ), X = ρ cos ε, Y = ρ sin ε. y V 0 ε X ρ Y M x Obr. 2.3: Souřadnicový systém v rovině 2.3 Kartografická zobrazení Vzájemné přiřazení polohy bodů na dvou různých referenčních plochách je nazýváno kartografické zobrazení. Pokud je možné vztah provést geometrickou cestou označuje se jako kartografická projekce. Zobrazovací rovnice definují zobrazovací (převodní) vztahy mezi souřadnicovými systémy na obou referenčních plochách. Vztahy mohou být definovány analyticky nebo geometricky. Obvykle první soustavou jsou zeměpisné souřadnice na referenčním elipsoidu φ, λ, popř. souřadnice na referenční kouli U, V, a druhou pravoúhlé rovinné souřadnice X, Y. Rovnice kartografického zobrazení při užití referenčního elipsoidu mají obecný tvar X = f(φ, λ), Y = g(φ, λ), nebo φ = F (X, Y ), λ = G(X, Y ). Popřípadě při užití referenční koule mají zobrazovací rovnice tvar X = f(u, V ), Y = g(u, V ), nebo U = F (X, Y ), V = G(X, Y ). (2.1) V uvedených rovnicích se užívá funkcí f, g, F a G, které jsou v určitých místech spojité, na sobě nezávislé, diferencovatelné atd. Z tohoto vyplývá, že jednomu bodu na první referenční ploše odpovídá jediný bod na druhé referenční, zobrazovací ploše. Existují však výjimky, kde tato vlastnost nemusí být splněna, jedná se 16

2. MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE o tzv. singulární body, póly. Jejich zobrazovací rovnice mají tvar X = f(±90, V ), Y = g(±90, V ), což jsou rovnice křivky, která určuje obraz pólu v rovině. Pokud je požadováno, aby byl pól zobrazen jako bod, nesmí být rovinné pravoúhlé souřadnice závislé na zeměpisné délce. 2.4 Kartografické zkreslení Zobrazovaná plocha (referenční plocha, originál) i plocha zobrazovací (kopie) mají rozdílnou křivost, tudíž při kartografickém zobrazení dochází ke kartografickému zkreslení (dále jen zkreslení). Zkreslení se projevuje změnou délek, úhlů a ploch v kopii oproti originálu. 2.4.1 Délkové zkreslení Délkové zkreslení - m se definuje jako poměr nekonečně malé délky v obraze a originále, uvažují se skutečné délky (nikoliv délky zmenšené do měřítka mapy, obrazu). Často se užívá hodnoty m 1, což značí vliv délkového zkreslení v jednotkách cm/km či dm/km. Vzorec (2.11) pro délkové zkreslení ukazuje skutečnost, že délkové zkreslení je závislé na poloze bodu a na směru délkového elementu, který se udává jeho azimutem na originále. V odborné literatuře [6] bylo nalezeno odvození tohoto vzorce, které předpokládá zobrazení z referenčního elipsoidu (originál) do roviny (obraz). Ve zde uvedeném odvození bude ale předpokládáno zobrazení z referenční koule do roviny, které je dáno obecnými rovnicemi (2.1). Tento předpoklad je aplikován, neboť v páté kapitole při zhodnocení zobrazení bude využito extrémních délkových zkreslení při zobrazení referenční koule do roviny. Obr. 2.4 znázorňuje, že bodu P d o souřadnicích U +du, V +dv, který je diferenciálně blízky bodu P, odpovídá obraz v rovině P d o souřadnicích X + dx, Y + dy. Pro vyvození délkového zkreslení se vychází z již zmíněné definice m A = ds ds = nekonečně malá délka v obraze nekonečně malá délka v originále. 17

2. MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE P S dv A P d D ds +X ds P d dx P dy J O +Y originál obraz Obr. 2.4: Délkové zkreslení - délkový element na referenční kouli a v rovině Nekonečně malá délka se nahradí tzv. elementy (diferenciály). Využijí se elementy poledníkového oblouku - ds p a rovnoběžkového - ds r. Pro referenční kouli jsou v této podobě ds p = R du, ds r = R cos U dv. Pro kvadrát délkového zkreslení platí Poté podle (2.1) je m 2 A = ds2 ds 2 = dx 2 + dy 2 R 2 du 2 + R 2 cos 2 U dv 2. (2.2) dx = f f du + U V dv, g g dy = du + U V dv. Označíme li jednotlivé parciální derivace f U = f u, f V = f v, g U = g u, g V = g v. Poté lze psát dx = f u du + f v dv, dy = g u du + g v dv. Po úpravě na kvadrát je získáno dx 2 = f 2 u du 2 + 2 f u du f v dv + f 2 v dv 2. (2.3) dy 2 = g 2 u du 2 + 2 g u du g v dv + g 2 v dv 2. (2.4) Dosazením rovnic (2.3) a (2.4) do (2.2) a upravením je získána rovnice m 2 A = (f 2 u + g 2 u) du 2 + (f 2 v + g 2 v) dv 2 + 2 (f u f v + g u g v ) du dv R 2 du 2 + R 2 cos 2 U dv 2. (2.5) 18

2. MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE Rovnice (2.5) se vydělí členem du 2 m 2 A = (f u 2 + gu) 2 + (fv 2 + gv) ( ) 2 2 dv du + 2 (fu f v + g u g v ) dv du R 2 + R 2 cos 2 U ( ) 2 dv du. (2.6) Podle obr. 2.4 lze vyjádřit tangens azimutu (směru) jako Z čehož je určeno tg A = ds r ds p = dv du R cos U dv R du = tg A cos U = = cos U dv du. sin A cos A cos U. (2.7) Dosazením rovnice (2.7) do (2.6) a vynásobením členem cos 2 A je m 2 A = (f 2 u + g 2 u) R 2 cos 2 A + (f v 2 + gv) 2 R 2 cos 2 U sin2 A + 2 (f u f v + g u g v ) sin A cos A. (2.8) R 2 cos U Délkové zkreslení v poledníkovém elementu - m p je získáno, pokud do rovnice (2.8) dosadíme hodnotu A = 0, je li dosazeno A = 90 je získáno délkové zkreslení v rovnoběžkovém elementu - m r. f 2 u + gu 2 m p =, m r = R Položí li se p = 2 (f u f v + g u g v ) R 2 cos U f 2 v + g 2 v R cos U. (2.9). (2.10) Výsledná rovnice pro kvadrát délkové zkreslení se získá po dosazení rovnic (2.9) a (2.10) do (2.8) m 2 A = m 2 p cos 2 A + m 2 r sin 2 A + p sin A cos A. (2.11) Elipsa zkreslení, též Tissotova indikatrix, je velice důležitý prvek v matematické kartografii, poskytuje informace o průběhu délkového zkreslení v daném bodě. Tato elipsa je obrazem nekonečně malé kružnice opsané danému bodu. Podle rovnice (2.11) platí, že pokud je měněn azimut, je měněna i hodnota délkového zkreslení. Pomocí matematického určení extrému funkce lze určit hodnotu azimutu - A ε, při kterém dochází k extrémní hodnotě délkového zkreslení v daném bodě. Při vyřešení jsou pokaždé získány dva azimuty - A ε1, A ε2, které jsou navzájem kolmé. V těchto směrech jsou hodnoty délkového zkreslení extrémní (tj. maximální a minimální), nazýváme je hlavní paprsky - a, b. Hlavní paprsky jsou jak v originále, tak v obraze na sebe kolmé a v obraze udávají osy elipsy zkreslení. 19

2. MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE 2.4.2 Úhlové zkreslení Úhlové zkreslení - ω se definuje jako rozdíl velikosti úhlu či směrníku, v obraze - ω a originále - ω, tedy ω = ω ω. (2.12) Toto zkreslení je také možné určit pomocí zkreslení azimutu. Zkreslení azimutu je rozdíl azimutu - A v obraze a odpovídajícího azimutu - A v originále A = A A. (2.13) Úhlové zkreslení pomocí (2.12) a (2.13) lze vyjádřit ω = A 1 A 2 = (A 1 A 1 ) (A 2 A 2 ) = (A 1 A 2) (A 1 A 2 ). 2.4.3 Plošné zkreslení Poměr dvou sobě odpovídajících nekonečně malých obrazců v obraze a originále je definicí plošného zkreslení - P. Toto zkreslení je možné vyvodit pomocí délkových elementů v poledníku - ds p a v rovnoběžce - ds r a jejich obrazů - ds p, - ds r. Při zobrazení z referenční koule je úhel, který svírá rovnoběžka a poledník pravým úhlem. Avšak tento úhel v obraze pravý být nemusí, značí se θ (obr. 2.5). Vzorec pro plošné zkreslení je Platí P = 1 2 ds r ds p sin θ 1 ds = m r m p sin θ. (2.14) 2 r ds p sin θ = f u g v f v g u (f 2 u + g 2 u) (f 2 v + g 2 v). (2.15) Pokud je do (2.14) dosazeno za délkové zkreslení v rovnoběžce a délkové zkreslení v poledníku z (2.9) a za sin θ z rovnice (2.15) je získán výsledný tvar rovnice pro plošné zkreslení P = f u g v f v g u R 2 cos U. 20

2. MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE p P 1 +X p P 1 r P 2 ds r 90 ds p P r P 2 ds r θ ds p P +Y elipsoid rovina Obr. 2.5: Plošné zkreslení 2.5 Klasifikace zobrazení Existuje mnoho kartografických zobrazení, pro přehlednost je snaha je roztřiďovat do skupin, ve kterých jsou zobrazení se shodnými vlastnostmi. Klasifikace (třídění) je náročným úkolem a je možné jej provádět více způsoby. Zde je uvedeno třídění podle vlastností kartografických zkreslení a podle vzhledu zobrazovací plochy. 2.5.1 Podle vlastností kartografických zkreslení Rozhodující pro tuto klasifikaci je, zda se v zobrazení nezkreslují některé prvky, tedy délky, plochy či úhly. Konformní (stejnoúhlá, úhlojevná). Konformní zobrazení jsou taková, u nichž nedochází ke zkreslení úhlů. Ekvidistantní (stejnodélná, délkojevná). V zobrazeních ekvidistantních nedochází ke zkreslení délek určitých soustav čar. Ekvivalentní (stejnoplochá, plochojevná). U zobrazení ekvivalentních není zaznamenáno zkreslení ploch. Tyto zobrazení mají však větší zkreslení v úhlech. 21

2. MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE Kompenzační (vyrovnávací). Zobrazení vyrovnávací jsou podle hodnot udávající zkreslení přibližně uprostřed mezi ekvivalentními a konformními. Dochází zde u úhlového a plošného zkreslení ke snížení hodnot zkreslení na střední míru. V některých případech vyhovují pro toto zařazení určitá ekvidistantní zobrazení. 2.5.2 Podle vzhledu zobrazovací plochy Zde je přistoupeno k třídění podle užité zobrazovací plochy, pomocí které je možné představit si vznik obrazu referenční plochy. Zobrazení na kulovou plochu. Jedná se o zobrazení elipsoidu na kouli. Jednoduchá zobrazení. Zobrazení na rozvinutelné plochy. Dále je možné jednoduchá zobrazení dělit na kuželová, válcová a azimutální. Nepravá zobrazení. Nepravá zobrazení jsou rozdělovány obdobně jako jednoduchá, tj. na nepravá kuželová, nepravá azimutální a nepravá válcová zobrazení. Mnohokuželová zobrazení (polykónická). Ve skupině mnohokuželových zobrazení jsou takové, kde se zobrazuje na nekonečný počet plášťů kuželů. Na každý z plášťů se zobrazí jen jeho dotyková křivka s referenční plochou. Zobrazení po vymezených částech (mnohostěnová, polyedrická). Ve většině případů se nejedná o nový způsob zobrazení, ale o násobné opakování již existujícího způsobu pro části, na které je referenční plocha rozdělena. Obecná zobrazení. Do obecných zobrazení jsou zařazena taková, která nevyhovují svými vlastnostmi k žádným z výše uvedených skupin klasifikace. Zdroje pro tuto kapitolu jsou [3], [4], [5], [6] a [7]. 22

3. KRITÉRIA PRO HODNOCENÍ ZOBRAZENÍ 3 Kritéria pro hodnocení zobrazení Při posuzování kartografických zobrazení je nejjednodušším způsobem pouhé vizuální zkoumání. Je li požadováno podrobnější zhodnocení, je zapotřebí již posuzovat hodnoty a průběh různých zkreslení. Zkreslení je možné hodnotit podle několika možností. Podle tabulek hodnot zkreslení. Zpravidla se vyhotovují v určitém intervalu zeměpisné sítě. Podle zákresu ekvideformát. Ekvideformáty jsou křivky spojující místa stejných hodnot kartografického zkreslení délkového, plošného či úhlového. Podle zákresu elips zkreslení. Elipsy zkreslení jsou vyhotovovány ve vybraných bodech zeměpisné sítě. Podle kritérií. Tato kritéria umožňují provést hodnocení zobrazení na základě kartografických zkreslení. Nejužívanějšími jsou kritéria ze skupiny kritérií extrémních a minimaximálních a ze skupiny kritérií variačních. 3.1 Kritéria extrémní a minimaximální V kritériích extrémních a minimaximálních je uvažováno extrémní zkreslení, popřípadě interval, kde se hodnoty pohybují mezi minimální a maximální hodnotou. V extrémních kritériích se hodnotí zobrazení kupříkladu podle maximální hodnoty u délkového, plošného či úhlového zkreslení. V kritériích minimaximálních se pro hodnocení užívá například podílu maximální a minimální hodnoty délkového zkreslení, jindy rozdíl jejich logaritmických hodnot. Jiná možnost je založena na stanovení mezních hodnot příslušného zkreslení a následném určení velikosti ploch, u kterých nepřesahuje zkreslení stanovenou mezní hodnotu. 23

3. KRITÉRIA PRO HODNOCENÍ ZOBRAZENÍ 3.2 Kritéria variační (součtová, integrální) V těchto kritériích je podstatným znakem zobrazení hodnota zkreslení, která se získá metodou integrace (někdy jen přibližným výpočtem) zkreslení v celé zobrazované oblasti. Do skupiny patří celá řada kritérií, některé jsou dále uvedeny. Lokální kritéria. Tato kritéria se určují pro jednotlivé body geografické sítě. Airyho kritérium. Kritérium Airyho uvažuje v určitém bodě o souřadnicích - U, V střední kvadratické zkreslení délek - h 2. Výpočet využívá extrémních hodnot délkového zkreslení - a, b. Vzorec má tvar h 2 (U, V ) = 1 2 [ (a 1) 2 + (b 1) 2]. (3.1) Kavrajského kritérium. Toto kritérium vzniklo upravením Airyho kritéria, vzorec pro něj je h 2 (U, V ) = 1 2 (ln2 a + ln 2 b). Komplexní kritérium. Zde je uvažován vliv délkového a úhlového zkreslení. Výpočet kritéria pro daný bod podle (3.2) využívá také extrémních hodnot délkového zkreslení a, b h 2 (U, V ) = 1 ( ) a 2 ( a 1 + b 1 ) + b 1. (3.2) Globální kritéria. Pro spolehlivější posouzení zobrazení je nutné určit globální kritéria. Globální kritéria využívají hodnot lokálních kritérií v uzlových bodech zeměpisné sítě, existuje vážená a nevážená varianta. Globální vážené kritérium, tedy charakteristická hodnota zobrazení z hlediska zkreslení pro celou zobrazovanou plochu (pro referenční plochu kulovou), je udáno integrálem (3.3), je li splněna podmínka, že hodnoty zkreslení stanovené v uzlových bodech zeměpisné sítě jsou váženy plochou příslušného sférického lichoběžníka. 24

3. KRITÉRIA PRO HODNOCENÍ ZOBRAZENÍ I = h 2 cos U du dv. (3.3) Složitý vztah (3.3) je nahrazován přibližným. Váhy - p i jsou pro i tý uzlový bod z celkového počtu - n dány p i = cos U i.globální vážené kritérium je poté dáno pomocí váženého průměru I = ni=1 p i h 2 i ni=1 p i. (3.4) Vážená varianta eliminuje extrémní hodnoty lokálních kritérií v pólových oblastech, oproti tomu nevážená varianta je ovlivněna hodnotami bodů v blízkosti pólů. Nevážená varianta v přibližném vztahu je dána aritmetickým průměrem I = 1 n n i=1 h2 i. (3.5) Globální kritéria (3.4) a (3.5), která využívají lokálních kritérií Airyho a komplexního, jsou užity v páté kapitole této bakalářské práce při hodnocení vybraných vyrovnávacích zobrazení pro mapu světa. Zdroje pro tuto kapitolu jsou [3] a [6]. 25

4. VYBRANÁ VYROVNÁVACÍ ZOBRAZENÍ 4 Vybraná vyrovnávací zobrazení Pro zhodnocení zobrazení byla vybrána zobrazení Gallovo, Millerovo, Robinsonovo, Eckertovo III., Eckertovo V. a Winkelovo III. zobrazení. U všech vybraných zobrazení je obraz geografické sítě symetrický vzhledem k rovníku (tj. rovnoběžka o zeměpisné šířce 0 ) a k základnímu poledníku (tj. poledník o zeměpisné délce 0 ), póly se zobrazují jako úsečky. 4.1 Zařazení vybraných zobrazení Vybraná zobrazení jsou podle vlastností kartografických zkreslení ze skupiny vyrovnávacích zobrazení. Podle vzhledu zobrazovací plochy jsou ze skupin jednoduchých a nepravých zobrazení. 4.1.1 Jednoduchá zobrazení (a) 180 140 100 60 20 20 60 100 140 180 160 120 80 40 0 40 80 120 160 (b) (c) 180 160 140 120 100 100 80 60 40 20 60 80 0 20 40 160 140 120 100 80 60 40 20 180 160 140 40 0 20 120 80 60 100 180 160 140 120 Zdroj: [8, str.26] Obr. 4.1: Jednoduché zobrazení a) válcové, b) kuželové, c) azimutální Do této třídy patří jednoduchá zobrazení válcová, kuželová a azimutální. Při jednoduchém azimutálním zobrazení se zobrazuje přímo na rovinu, u jednoduchého 26