Jednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.

Transkript

1 Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.

2 Obsah Jednoduchá zobrazení 1 Jednoduchá zobrazení 2

3 Obsah Jednoduchá zobrazení 1 Jednoduchá zobrazení 2

4 Společné vlastnosti jednoduchých zobrazení: Zobrazovací ref. plocha je rovina - souřadnice X, Y, případně ρ, ɛ Zobrazovaná ref. plocha je elipsoid (ϕ, λ), nebo koule U, V Rozdělení podle zobrazovací plochy: Kuželová Válcová Azimutální

5 Společné vlastnosti jednoduchých zobrazení: Zobrazovací ref. plocha je rovina - souřadnice X, Y, případně ρ, ɛ Zobrazovaná ref. plocha je elipsoid (ϕ, λ), nebo koule U, V Rozdělení podle zobrazovací plochy: Kuželová Válcová Azimutální

6 Společné vlastnosti jednoduchých zobrazení: Zobrazovací ref. plocha je rovina - souřadnice X, Y, případně ρ, ɛ Zobrazovaná ref. plocha je elipsoid (ϕ, λ), nebo koule U, V Rozdělení podle zobrazovací plochy: Kuželová Válcová Azimutální

7

8 Pro jednoduchá zobrazení platí: ρ = f (U) ɛ = n V resp. X = n V, Y = g(u) poledníky jsou svazek přímek, nebo osnova rovnoběžných přímek rovnoběžky jsou soustředné kružnice, nebo osnova rovnoběžných přímek texty/index.html

9 Obsah Jednoduchá zobrazení 1 Jednoduchá zobrazení 2

10 Společné vlastnosti: Základní poledník - poledník od něhož počítáme při zobrazení zeměpisné délky Základní rovnoběžka - prochází většinou středem zobrazovaného území

11 X V V' A B C P S r 0 r S' Y X P' r' C' r' 0 obr. zákl. pol. A' = 0 Y

12 Zobrazovací rovnice: ρ = ρ 0 + F (U 0 U) (1) ɛ = n V (2)

13 Ze zobr. rovnic vyjádříme m p a m r : m p = dρ R dϕ A zkreslení: Plošné: Max. úhlové: m r = ρdɛ R cos ϕdλ = nρ R cos ϕ m 2 A = m2 p cos 2 A + m 2 r sin 2 A P = m p m r sin ω 2 = m r m p m r + m p

14 Ze zobr. rovnic vyjádříme m p a m r : m p = dρ R dϕ A zkreslení: Plošné: Max. úhlové: m r = ρdɛ R cos ϕdλ = nρ R cos ϕ m 2 A = m2 p cos 2 A + m 2 r sin 2 A P = m p m r sin ω 2 = m r m p m r + m p

15 Ze zobr. rovnic vyjádříme m p a m r : m p = dρ R dϕ A zkreslení: Plošné: Max. úhlové: m r = ρdɛ R cos ϕdλ = nρ R cos ϕ m 2 A = m2 p cos 2 A + m 2 r sin 2 A P = m p m r sin ω 2 = m r m p m r + m p

16 Ze zobr. rovnic vyjádříme m p a m r : m p = dρ R dϕ A zkreslení: Plošné: Max. úhlové: m r = ρdɛ R cos ϕdλ = nρ R cos ϕ m 2 A = m2 p cos 2 A + m 2 r sin 2 A P = m p m r sin ω 2 = m r m p m r + m p

17 Podmíka: Integrace v mezích: ρ dρ M dϕ = 1 ρ o dρ = ϕ ϕ 0 M dϕ Získáme ρ = ρ 0 s ϕ ϕ 0, kde s ϕ ϕ 0 je délka poledníkového oblouku.

18 Podmíka: Integrace v mezích: ρ dρ M dϕ = 1 ρ o dρ = ϕ ϕ 0 M dϕ Získáme ρ = ρ 0 s ϕ ϕ 0, kde s ϕ ϕ 0 je délka poledníkového oblouku.

19 Podmíka: Integrace v mezích: ρ dρ M dϕ = 1 ρ o dρ = ϕ ϕ 0 M dϕ Získáme ρ = ρ 0 s ϕ ϕ 0, kde s ϕ ϕ 0 je délka poledníkového oblouku.

20 Výsledné zobrazovací rovnice (pro kouli): ρ = ρ 0 + R(U 0 U) ɛ = n V Konstanty: n, ρ 0, U 0

21 Výsledné zobrazovací rovnice (pro kouli): ρ = ρ 0 + R(U 0 U) ɛ = n V Konstanty: n, ρ 0, U 0

22 Zkreslení: sin ω 2 m p = 1 m r = n ρ N cos ϕ = P = m r 1 m r + 1

23 Volba konstant - zvolená rovnoběžka má zkreslení minimální a rovno jedné. ( ) mr /U 0 = 0 U Po úpravě: Dále musí platit: Po dosazení: ρ 0 = R cot U 0 n ρ 0 R cos U 0 = 1 n = sin U 0

24 Figure : Kuželové zobr. - ekvidistantní v pol., 1 nezkresl. rovnob.,- Ptolemaiovo zobrazení (r. 150 n.l.), ϕ 0 = 30

25 Figure : Kuželové zobr. - ekvidistantní v pol., 1 nezkresl. rovnob., a pól jako bod

26 Volba konstant - dvě nezkreslené rovnoběžky...

27 Figure : Kuželové zobr. - ekvidistantní v pol., 2 nezkresl. rovnob.,

28 Figure : Kuželové zobr. - ekvidistantní v pol., 2 nezkresl. rovnob. L Isleovo zobrazení

29 (např. Atlas NG strana 82): dρ R du nρ R cos U = 1 Po separaci proměnných: Po integraci: Pak pro ρdρ = R2 n ρ 2 = 2R2 n ρ 0 = 2R2 n cos UdU sin U + k sin U 0 + k

30 (např. Atlas NG strana 82): dρ R du nρ R cos U = 1 Po separaci proměnných: Po integraci: Pak pro ρdρ = R2 n ρ 2 = 2R2 n ρ 0 = 2R2 n cos UdU sin U + k sin U 0 + k

31 (např. Atlas NG strana 82): dρ R du nρ R cos U = 1 Po separaci proměnných: Po integraci: Pak pro ρdρ = R2 n ρ 2 = 2R2 n ρ 0 = 2R2 n cos UdU sin U + k sin U 0 + k

32 Po odečtení: Konstanty n, ρ 0. ρ 2 = ρ R2 n (sin U 0 sin U) ɛ = nv

33 Volba konstant - Nezkreslená rovnoběžka U 0 : ρ 0 = R cot U 0 n = sin U 0

34 Figure : Kuželové zobr. - ekvivalent., 1 nezkresl. rovnob.

35 Figure : Kuželové zobr. - ekvivalent., 1 nezkresl. rovnob., Pól jako bod

36 Další možnost volby - Dvě nezkreslené rovnoběžky U 1 a U 2.

37 Figure : Kuželové zobr. - ekvivalent., 2 nezkresl. rovnob.

38 zobrazení

39 Po integraci: dρ M dϕ = nρ R cos ϕ ( tan (ϕ0 / ) n ) ρ = ρ 0 tan (ϕ/ ) ɛ = n λ ( ) (1 e sin ϕ0 )(1 + e sin ϕ) n e/2 (1 + e sin ϕ 0 )(1 e sin ϕ)

40 Určení konstant: Zvolená rovnoběžka má minimální zkreslení a zárovoň rovno jedné Minimalizace zkreslení dvou krajních rovnoběžek

41 Figure : Kuželové zobr. - konformní., 1 nezkresl. rovnob.

42 Figure : Kuželové zobr. - konformní., 2 nezkresl. rovnob.

43 Zdroje: Grafarend E., Krumm F.: Map Projections, Springer, Germany, 2006 Buchar P.: Mtematická kartografie 10, Skriptum ČVUT, 2002 Hložek M.: Sférická trigonometrie, Dimplomová práce ZČU, 2005