Matematická kartografie. Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT. Referenční plochy

Transkript

1 Matematická kartografie Buchar.: Matematická kartografie 10, ČVUT; Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT Referenční plochy referenční elipsoid (sféroid) zploštělý rotační elipsoid Besselův (1841) střední Evropa Krasovského (1940) střední a východní Evropa Hayfordův (1909) Severní a Jižní Amerika WGS 84 a = m b = m (e 2 = 0,0067) referenční koule plocha konstantní křivosti, vztahy pro sestrojení mapy jsou jednodušší, vhodné pro zobrazení menších území, max do průměru 200 km Vhodné pro mapy malých měřítek ( < 1: ) referenční rovina pro území do průměru 20 km 2 1

2 Zeměpisné souřadnice X ( φ, λ ) zeměpisná šířka φ úhel, který svírá normála n v uvažovaném bodě X na zemském povrchu a rovina zemského rovníku. <0, 90 > severní šířka + jižní šířka zeměpisná délka λ - úhel, který svírá rovina poledníku procházejícího daným bodem X na zemském povrchu a rovina nultého poledníku. <0, 180 > východní délka + západní délka Geografická síť - zeměpisné poledníky a rovnoběžky. Severní a jižní pól jsou singulárními body geografické sítě. 3 Kartografické zobrazení bod na sféře bod v mapě y x pravoúhlé souřadnice y Μ polární souřadnice y Μ ρ Vztah mezi pravoúhlými a polárními souřadnicemi x = ρ cosα y = ρ sin α ( φ, λ ) [ x, y] x = f ( φ, λ ) y = g ( φ, λ) x α ( φ, λ ) [ ρ, α] ρ = f ˆ, ( φ λ) ( φ λ) α = gˆ, 4 x 2

3 OM1 = d x = d cos λ y = d sin λ Sférické souřadnice d = R cosφ z = R sinφ z x = R cosφ cos λ y = R cosφ sin λ z = R sin φ; π π λ 0, 2 π ); φ, 2 2 x x λ y φ Μ 1 Μ y 5 Křivka na sféře HLAVNÍ KRUŽNICE Řez sféry rovinou procházející středem sféry. Délka oblouku na hlavní kružnici: AB = R ω B ω z S C[φ,λ 1 2 ] A[φ 1,λ 1 ] B[φ 2,λ 1 ] r0 Délka oblouku na poledníku: Délka oblouku na rovnoběžce: x A AB = R φ φ 1 2 AC = R cosφ1 λ1 λ2 J 6 3

4 Geodetická křivka Geodetická křivka plochy je čára, která nejkratší cestou spojuje dva body. Geodetická křivka referenční kulové plochy ortodroma Ortodroma je hlavní kružnice referenční kulové plochy kružnice, jejíž střed je ve středu kulové plochy. ředpokládejme, že jsou dány body X 1,X 2 zeměpisnými souřadnicemi X 1 (ϕ 1, λ 1 ), X 2 (ϕ 2, λ 2 ) cosω = sinφ sinφ + cosφ cosφ cos λ λ ro délku ortodromy R.ω platí: ( ) B z Clairautova věta: cosφ sin A = cosφ max S ω r0 x A J 7 Loxodroma Loxodroma je křivka na referenční ploše, která protíná poledníky bod stále stejný úhlem azimutem A dλ A = 0 poledník A = 90 rovnoběžka A R dφ R cosφ dλ R cosφdλ dφ tan A = dλ = tan A Rdφ cosφ π φ λ = tan A ln tan + c

5 Loxodroma Loxodroma je křivka na referenční ploše, která protíná poledníky bod stále stejný úhlem azimutem A A = 0 poledník A = 90 rovnoběžka π φ λ = tan A ln tan + c 4 2 x = R cosφ cosλ y = R cosφ sin λ z = R sin φ; π π φ, Loxodroma v mapě 10 5

6 Ortodroma v mapě 11 Kartografická zkreslení Délkové zkreslení m = délka v mapě : délka na ref. ploše Většinou se udává jen ve dvou základních směrech: poledníkovém a rovnoběžkovém vliv délkového zkreslení m-1 [cm/km] lošné zkreslení =obsah obrazu v mapě : obsah území na ref. ploše zjednodušení: součin délkových zkreslení ve směru poledníkovém a rovníkovém Úhlové zkreslení = velikost úhlu v mapě velikost úhlu na ref. ploše Ekvideformáty (izokoly) křivky konstantního zkreslení v určitém směru. Důležité pro vyhodnocení geometrické přesnosti map. Větší hustota ekvideformát upozorňuje na rychlejší změnu zkreslení. 12 6

7 Tissotova indikatrix elipsa zkreslení obraz kružnice na ref. ploše 13 Rozdělení zobrazení z hlediska zkreslení Ekvidistantní (délkojevné) nezkreslují se délky v určitých směrech mapy vojenské, seismické, automapy a dopravní mapy Ekvivalentní (plochojevné) mr mp = 1 nezkreslují se obsahy ploch mapy geologické, demografické, politické, klimatické, pedologické Konformní (úhlojevné) - nezkreslují se úhly mapy klimatické, meteorologické, pro námořní a leteckou navigaci LOŠNÉ ZKRESLENÍ ÚHLOVÉ ZKRESLENÍ 14 7

8 Ortogonální a konformní zobrazení 1. Ortogonální kartografické zobrazení je takové zobrazení, kdy jsou průměty poledníků a rovnoběžek v mapě k sobě kolmé. 2. Zobrazení je konformní právě tehdy, je-li délkové zkreslení nezávislé na směru. 3. Ortogonální zobrazení je konformní právě tehdy, je-li délkové zkreslení na poledníku stejné jako délkové zkreslení na poledníku. 4. Tissotova indikatrix ortogonálního zobrazení má osy na poledníku a rovnoběžce. 5. Tissotova indikatrix konformního zobrazení je v každém bodě kružnicí. 15 KARTOGRAFICKÉ ROJEKCE základem je promítání (středové nebo pravoúhlé) na zobrazovací plochu Normální (polární) osa zobrazovací plochy je shodná se zemskou osou říčná (transversální) osa zobrazovací plochy leží v rovině rovníku Šikmá (obecná) osa zobrazovací plochy prochází středem referenční plochy S O J S O S 16 8

9 AZIMUTÁLNÍ ROJEKCE zobrazení na tečnou rovinu plochy Normální (polární) normála roviny je shodná se zemskou osou říčná (transversální) - normála roviny leží v rovině rovníku Šikmá (obecná) - normála roviny prochází středem referenční plochy S S S 17 VÁLCOVÁ ROJEKCE zobrazení na válcovou plochu Normální (polární) - osa válce je shodná se zemskou osou říčná (transversální) - osa válce leží v rovině rovníku Šikmá (obecná) - osa válce prochází středem referenční plochy 18 9

10 KUŽELOVÁ ROJEKCE zobrazení na kuželovou plochu Normální (polární) - osa kužele je shodná se zemskou osou říčná (transversální) - osa kužele leží v rovině rovníku Šikmá (obecná) - osa kužele prochází středem referenční plochy 19 Ortografická projekce ravoúhlé promítání sféry na rovinu procházející středem O sféry. růmětem sféry je kruh o poloměru rovnému poloměru sféry. 1) Normální ortografická projekce Rovnoběžky se zobrazí do kružnic, které jsou shodné se svými vzory, poledníky se zobrazí do úseček. S r φ r φ p 0 S = J λ p λ M(λ,φ) Zobrazovací rovnice ρ = R cosφ α = λ [ φ, λ] [ Rcos φ, α] 20 10

11 Délkové zkreslení normální ortografické projekce Zobrazovací rovnice délka obrazu v mapě Délkové zkreslení = ρ = R cosφ skutečná délka na ref. ploše α = λ Zkreslení ve směru rovnoběžek m r = 1 Zkreslení ve směru poledníků m p ( + ) R cosφ R cos φ φ = lim = sinφ φ 0 R φ R φ φ φ ρ ř: Určete vliv zkreslení ve směru poledníků v raze (50 s.š, 14 v.d) φ 5π Vliv zkreslení = m p 1 = sin 1 = 0, ) říčná ortografická projekce S růmětna prochází osou o = S J. Rovnoběžky se promítají do tětiv kružnice, kolmých na průmět osy oledníky se promítají na elipsy s hlavní osou S J S p λ r φ M(λ,φ) r φ λ J 22 11

12 3) Obecná ortografická projekce růmětna prochází středem sféry, je v obecné poloze. Rovnoběžky se promítají do stejnolehlých elips oledníky se promítají na elipsy, průmět osy S J průměr elipsy, v rovině rovníku určíme průměr k němu sdružený J S 23 Středové kartografické projekce Gnómonická střed promítání je ve středu sféry S S Stereografická střed promítání je bodem sféry Hipparchos z Nicee, př. n. l Scénograická střed promítání je vnější bod sféry S 26 12

13 Stereografická projekce Středové promítání, kdy střed S promítání je bodem sféry. růmětna je rovnoběžná s tečnou rovinou sféry v bodě S. Stereografická projekce je konformní zobrazení. Stereografický průmět kružnic, které procházejí středem promítání S, jsou přímky. Stereografický průmět kružnic, které neprocházejí středem S jsou kružnice. S 2 = S S 1 k V V 1 V 2 k 2 k 1 27 Normální stereografická projekce Střed S promítání je severní, nebo jižní pól. růmětna je rovina rovníku. růměty poledníků jsou jsou poloměry rovníku růměty rovnoběžek jsou soustředné kružnice. S= S O ϕ p 0 Y p λ [Y] [r ϕ ] M [S] r ϕ M[ϕ,λ] J λ ϕ 28 13

14 Normální stereografická projekce zobrazovací rovnice Zobrazovací rovnice zapíšeme v polárních souřadnicích růmětem rovnoběžek jsou soustředné kružnice ρ=konst. růmětem poledníků jsou úsečky α=λ. π + φ + 2 ω = π 2 π φ ω = 4 2 ρ tanω = R mr := Zobrazovací rovnice π φ ρ = R cot α = λ Délkové zkreslení m r = m p 1 m p = cot + = φ 4 π 1 2 φ cot π φ 1 cot + 4 π 1 2 φ cos( φ ) S= S O J ω ρ φ r φ M 29 říčná stereografická projekce S Střed S promítání je bod rovníku, průmětna prochází nultým poledníkem. oledníky se zobrazí do svazku kružnic. oledník je určen body s, J a průsečíkem s rovníkem R. růměty rovnoběžek jsou kružnice. S λ t λ t 0 S S p λ r ϕ r 0 S λ ϕ p 0 J p 0 J 30 14

15 S Gnómonická projekce romítání ze středu sféry na tečnou rovinu. Všechny hlavní kružnice se zobrazí na přímky. 1. Normální gnómonická projekce poledníky se zobrazí do svazku přímek, rovník se zobrazí na nevlastní přímku průmětny, ostatní rovnoběžky se zobrazí do soustředných kružnic Zobrazovací rovnice φ [r φ ] [S] π ρ = R tan φ 2 α = λ r φ λ J p 0 p λ π tan φ 2 1 mr = = cosφ sinφ 2 1 mp = 1+ cot ( φ) = 2 sin φ 33 S Gnómonická projekce S 2. říčná gnómonická projekce poledníky se zobrazí do svazku rovnoběžných přímek, rovník se zobrazí na přímku k nim kolmou, ostatní rovnoběžky se zobrazí do hyperbol. 3. Obecná gnómonická projekce - průměty poledníků tvoří svazek přímek, rovnoběžky se promítají do elips, paraboly a hyperbol 34 15

16 Normální azimutální kartografická zobrazení Zobrazení ekvidistantní v polednících R π ρ = φ m p = 1 2 α = λ lochojevné zobrazení (Lambertovo) π φ 2 ρ = 2Rsin 2 α = λ m m = 1 r p Konformní zobrazení - stereografické m r = m p π ϕ ρ = R tan 4 2 α = λ 35 Zobrazení délek na poledn zkreslení v azimutálních projekcích y x ρ gnómonická π ρ = R tan ϕ 2 stereografická π ϕ ρ = R tan 4 2 π ekvidistantní v polednících ρ = R ϕ 2 π ϕ plochojevná ρ = 2R sin 4 2 π ρ = R cosϕ = R sin ϕ ortografická 2 délka oblouku na poledníku R π = ϕ

17 Loxodroma 1. ve stereografické projekci 2. v ortografické projekci 37 Válcové projekce 38 17

18 Centrální válcová projekce sféru zobrazíme na válcovou plochu a tu pak rozvineme do roviny Normální tečná válcová projekce - válcová plocha se dotýká sféry podél rovníku. Zobrazovací rovnice x = R λ y = R tanφ y 1 mp = [ tanφ] = 2 cos φ 2π R 1 mr = = 2π R cosφ cosφ S x J 39 Válcová normální zobrazení Všechna normální válcová zobrazení jsou ortogonální. Všechna zkreslení jsou funkcí zeměpisné šířky ekvideformáty jsou průměty rovnoběžek. 1 ro ekvidistantní rovník délkové zkreslení roste s přibývající šířkou. m r = cosφ 1) Zobrazení ekvidistantní v polednících (Marinovo) y S x = R λ y = R φ J x 1 mr =, mp = 1, cosφ 40 18

19 2) Mercatorovo zobrazení=konformní válcové zobrazení Loxodroma se promítá jako přímka x = R φ 1 y = R ln + tanφ cosφ 1 mp = mr = cosφ 3) lochojevné válcové zobrazení y x = R φ y = R sinφ S m = cosφ p 1 mr = cosφ x 41 Navigační mapa pro námořní dopravu - Mercatorovo zobrazení 42 19

20 Ortografická projekce Stereografická projekce Ekvidistantní v polednících lochojevné- Lambertovo ρ = R cosφ α = λ m = 1 m = sinφ 1 π φ cot + ρ = R cot + α = λ 4 π 1 2 φ 4 2 mr := cos( φ ) ρ R π = φ α = λ 2 π φ ρ 2R sin = α = λ 4 2 r π 2φ mr = mp = 1 2cosφ p m r = m π φ 1 π φ mr = 2cos + cos φ mp = sin p Gnómonická projekce π ρ R tan = φ α = λ mr = mp = 2 sinφ sin φ Centrální válcová projekce x = R λ y = R tanφ 1 1 mp = m 2 r = cos φ cosφ Mercatorovo konformní zobrazení 1 x = R φ y = R ln + tanφ cosφ 1 mp = mr = cosφ lochojevné zobrazení x = R φ y = R sinφ 1 mp = cosφ mr = cosφ 43 S Kuželová zobrazení O J 44 20

21 S Kuželová zobrazení O J S ϕ d rφ 0 0 rφ d ω R tanϕ = d R d = tanϕ r = R cosϕ ϕ J ϕ Obvod rovnoběžky r φ je shodný s délkou jejího obrazu. d ω = 2π R cosϕ cosϕ R ω = 2 π R cos ϕ sinϕ ω = 2π sinϕ 45 Kuželové normální zobrazení Normální kuželové zobrazení je ortogonální projekce - poledníky se zobrazí do svazku přímek, obrazy rovnoběžek jsou soustředné kružnice. Ekvideformáty obrazy rovnoběžek. 1. Ekvidistantní v polednících 2. Ekvivalentní 3. Konformní 46 21

22 olyedrická zobrazení 1. Zobrazení sféry na krychli nebo mnohostěn 2. Zobrazení sféroidických lichoběžníků 3. Zobrazení rovnoběžkových pásů 4. Zobrazení poledníkových pásů 47 22