ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ, OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE název předmětu EKONOMIKA V ZEMĚMĚŘICTVÍ A KATASTRU číslo úlohy 1. název úlohy NEMOVITOSTÍ Analýza zisku a jeho maximalizace školní ok 7. semest studijní skupina zpacovali datum klasifikace 9/1 G4-61 Jan Dolista, Radka Junová 8.1.9
Analýza zisku a jeho maximalizace Zadání: Ze statistických dat pořízených v oce 9 u fimy GEOKART Paha spol. s. o. se má vyřešit úloha stanovení množství podukce k dosažení maximálního zisku v katším období (1. čtvtletí následujícího oku). Je dána funkce celkových nákladů a dvouozměný statistický soubo (xi, yi), kde xi je množství podukce, např. počet výobků a yi jsou celkové příjmy. Uvažovaná podukce je tvořena katogafickým výobkem téhož duhu a je výsledkem seřízeného technologického pocesu na opakujících se zakázkách za přibližně stejných podmínek. Předpokládá se také, že se v 1. čtvtletí následujícího oku podstatně nezmění vnější cenové vztahy. Funkce celkových nákladů je dána polynomem třetího stupně a je výsledkem odboné expetizy, kteou po fimu GEOKART povedla obchodně-poadenská fima. Při této expetize bylo uvažováno kapacitní omezení výoby a byla pokázána skutečnost, že s množstvím podukce ostou dodatečné náklady na jednotku výoby. Předběžnou analýzou bylo dále zjištěno, že soubo (xi, yi) má dvouozměné nomální ozdělení a že závislost hodnot yi na xi je přibližně lineání. K vyřešení úkolu použijte metod koelační a egesní analýzy následujícím způsobem: o stanovte těsnost závislosti v soubou (xi, yi), o nalezněte egesní přímku, kteá by vyjádřila funkci celkových příjmů, o pomocí nalezené funkce celkových příjmů poveďte její sovnání s funkcí celkových nákladů a stanovte množství podukce potřebné k dosažení maximálního zisku, o na základě povedené analýzy vyslovte ekonomickou intepetaci (tj. stanovení ozsahu výoby na 1. čtvtletí následujícího oku). Vypacování: 1. Koelační tabulka Po vytvoření koelační tabulky bylo třeba seskupit data do tříd po jednotlivé poměnné. Po každou poměnnou byly učeny hodnoty minima, maxima a ozsahu daného soubou. Dle ozsahu byla učena šířka třídy h a přibližný počet tříd k, kteý byl zaokouhlen na celé číslo k. Na základě něj byla učena konečná šířka třídy h. minimum min 1,38 maximum max 1 13,17 Rmax-min 11 1,79 šířka třídy h,8*r 8,8 1, počet tříd kr/h 1,5 1,5 použitý počet tříd k 13, 13, použitá šířka třídy h R/k 8,46,98 x y x počet výobků (tisíce ks) y celkové příjmy (miliony kč) Na základě těchto hodnot byly učeny intevaly po jednotlivé třídy a spočtena četnost dat. Jako třídní znak byl použit střed intevalu po danou třídu.
třídy po x číslo třídy i počátek intevalu konec intevalu četnost třídní znak 1 9,99 18,45 1 14, 18,46 6,9,69 3 6,93 35,39 6 31,16 4 35,4 43,87 3 39,64 5 43,88 5,34 3 48,11 6 5,35 6,81 56,58 7 6,8 69,8 65,5 8 69,9 77,75 5 73,5 9 77,76 86, 3 81,99 1 86,3 94,7 4 9,46 11 94,71 13,17 4 98,94 1 13,18 111,64 1 17,41 13 111,65 1,11 115,88 třídy po y číslo třídy j počátek intevalu konec intevalu četnost třídní znak 1,37 1,35 3,86 1,36,35 1,86 3,36 3,34 4,85 4 3,35 4,34 3 3,84 5 4,35 5,33 3 4,84 6 5,34 6,3 4 5,83 7 6,33 7,3 3 6,83 8 7,33 8,31 3 7,8 9 8,3 9,3 3 8,81 1 9,31 1,3 4 9,81 11 1,31 11,9 1,8 1 11,3 1,9 1 11,79 13 1,3 13,8 3 1,79 Byla sestavena koelační tabulka, kde v jednotlivých buňkách je uvedena četnost hodnot soubou dle příslušné třídy po x a záoveň po y. Koelační tabulka číslo třídy j1 3 4 5 6 7 8 9 1 11 1 13 n j. i1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 6 4 1 1 1 3 5 1 1 1 3 6 1 1 7 8 1 1 1 5 9 1 1 1 3 1 1 1 1 1 4 11 1 1 4 1 1 1 13 n.j 3 4 3 3 4 3 3 3 4 1 3 36
. Koelační diagam Na základě koelační tabulky byl sestaven koelační diagam, kde poloha koužku vyjadřuje příslušnost k daným třídám a jeho velikost absolutní četnost. Koelační diagam 14 celkové příjmy (miliony Kč) 1 1 8 6 4 4 6 8 1 1 počet výobků (tisíce ks) 3. Výběový koeficient koelace Po stanovení míy závislosti mezi jednotlivými poměnnými byl vypočten výběový koelační koeficient, přičemž bylo předpokládáno, že závislost je lineání a základní soubo má nomální ozdělení. xy [ ] [ ] [ ] n. xy x. y ( ) ( n. [ xx] [ x] ). n. [ yy] [ y] výběový koeficient koelace xy,736664 4. Testování hypotézy o koeficientu koelace základního soubou Dále bylo povedeno testování koelačního koeficientu. a. Testování zda ρ Jako pvní byl poveden test, zda hodnota koelačního koeficientu je ovna nule. V takovém případě by byly poměnné x,y lineáně nezávislé. Test byl poveden jako oboustanný na hladině významnosti 5%. o Nulová a altenativní hypotéza: H : ρ H1 : ρ o Testovací kiteium (má Studentovo ozdělení s n- stupňů volnosti, kde n 36): n 6.3518 1 xy
o Kitický inteval: W, tinv, n tinv 1, n, Pozn.: tinv je invezní funkcí k funkci Studentova ozdělení, jejíž hodnoty byly učeny v pogamu Octave. W,.3.3, o Výsledek testu: W H zamítáme, přijímáme H1 Na základě testu bylo pokázáno, že poměnné x,y nelze považovat za lineáně nezávislé. b. Testování zda ρ < V takovém případě by byla sledovaná lineání závislost klesající. Test byl poveden jako jednostanný na hladině významnosti 5%. o Nulová a altenativní hypotéza: H : ρ H1 : ρ < o Testovací kiteium (má Studentovo ozdělení s n- stupňů volnosti, kde n 36): n 6.3518 1 xy o Kitický inteval: W, tinv, n W, 1.699 ( ) o Výsledek testu: W H nezamítáme Na základě testu bylo pokázáno, že sledovaná lineání závislost není klesající. c. Testování zda ρ > V takovém případě by byla sledovaná lineání závislost ostoucí. Test byl poveden jako jednostanný na hladině významnosti 5%. o Nulová a altenativní hypotéza: H : ρ H1 : ρ > o Testovací kiteium (má Studentovo ozdělení s n- stupňů volnosti, kde n 36): n 6.3518 1 xy o Kitický inteval: W tinv 1, n, W ( ), 1.699 o Výsledek testu: W H zamítáme, přijímáme H1 Na základě testu bylo pokázáno, že sledovaná lineání závislost je ostoucí.
5. Intevalový odhad koeficientu koelace Jelikož doposud používaný koeficient koelace byl pouze bodovým odhadem, byl na základě soubou dat stanoven intevalový odhad tohoto koeficientu, tedy inteval, ve kteém koelační koeficient s danou pavděpodobností leží. Výpočet byl poveden na hladině významnosti 5%. Pavděpodobnost, že koelační koeficient leží v daném intevalu je tedy 95%. 1 1+ xy 1 z ln σ ( z) 1 ( z u n 3 ( z ) z u ( z ) 1 /. σ ; + 1 /. σ ) xy kde u 1-/ je kvantil nomálního ozdělení, jehož hodnota po 5% je 1,96. S použitím výše uvedených vztahů byly vypočteny následující hodnoty: poměnná z,94314469 paamet σ(z),17477656 konfidenční inteval po µ(z) (,6 ; 1,843 ) µ ( z) 1 1+ ρ e 1 Invezí vztahu µ ( z ) ln ρ a dosazením kajních hodnot konfidenčního µ ( z) 1 ρ e + 1 intevalu po µ(z) byl vypočten konfidenční inteval po ρ. konfidenční inteval po ρ (,5384 ;,8576 ) 6. Bodové odhady koeficientů egese Lineání závislost mezi poměnnými x,y lze vyjádřit ovnicí egesní přímky y A + B x. Směnici přímky B a posun A lze ze soubou hodnot učit metodou nejmenších čtveců. Díky vyovnání je egesní přímka položena tak, že čtvece vzdáleností od jednotlivých bodů soubou jsou minimální. K výpočtu koeficientů byly použity následující vztahy: A [ y].[ xx] [ x].[ xy] [ ] [ x] n. xx [ ] [ ] [ ] B n. xy x. y n. xx [ ] [ x] úsek na ose y A 67854,3391 směnice přímky B 86,38484646 Výsledná ovnice egesní přímky má pak tva: ovnice přímky y 67854,339 + 86,385 *x 7. Gaf funkce celkových příjmů a celkových nákladů 3 Funkce celkových nákladů (CN) je dána polynomem třetího stupně: CN a x + b x + c x + d, kde x je počet výobků a koeficienty a,b,c,d jsou uvedeny v následující tabulce: koeficienty polynomické funkce a,187 b -,5 c 119,5 d 648 CN 3,187 x,5 x + 119,5 x + 648 Funkce celkových příjmů (CP) je dána ovnicí egesní přímky: y 67854,339 + 86, 385 x
V tabulce jsou uvedeny hodnoty obou funkcí v koku 5 výobků: počet výobků (ks) celkové náklady (Kč) celkové příjmy (Kč) 648, 67854,34 5 1184837,5 111178,57 1 1697, 1541,8 15 193661,5 19747,4 1796, 45951,7 5 35687,5 837875,5 3 4699, 369799,73 35 5456,5 37173,97 4 598, 4133648, 45 66537,5 456557,43 5 665, 4997496,66 55 7871,5 5494,89 6 785, 5861345,13 65 93987,5 69369,36 7 3791, 675193,59 75 33456,5 7157117,8 8 36544, 75894,6 85 48637,5 8966,9 9 4633, 84589,5 95 5941,5 8884814,75 1 698, 9316738,99 15 7687,5 9748663, 11 8197, 118587,45 115 95386,5 161511,68 1 11136, 1144435,91 15 1733937,5 1147636,15 Gaf funkce celkových příjmů a celkových nákladů 14 1 1 miliony Kč 8 6 4 celkové příjmy celkové náklady 4 6 8 1 1 14 počet výobků (tisíce ks)
8. Nalezení bodu maximálního zisku Maximální zisk nastává v okamžiku, kdy jsou obě křivky vzájemně ovnoběžné, což lze ozeznat i pouhým okem. V našem případě se jedná o inteval přibližně mezi 8-85 ks výobků. Početně lze ovnoběžnost křivek ověřit poovnáním směnic obou křivek v daném bodě. Křivky jsou ovnoběžné pávě tehdy, když se jejich směnice ovnají. Směnice egesní přímky je známá (koeficient B). Směnice křivky CN je dána deivací funkce v daném bodě. Maximální zisk tedy nastane, bude-li v daném bodě 1.deivace funkce CN ovna koeficientu B. 1.deivace,561 *p + -,54 *p + 119,5 86,3848,561 *p + -,54 *p + 33,1 To vede k řešení kvadatické ovnice. Řešení kvadatické ovnice diskiminant,17976 p 1 87,47 p 7137,55 Řešením jsou dva kořeny, z nichž jen jeden je bodem maximálního zisku. Ten lze ozpoznat z gafu, neboť maximální zisk nenastane když budou CN vyšší než CP. Bodem maximálního zisku je tedy kořen p 1, kteému odpovídá výoba a podej 87 ks výobku.
9. Ekonomická intepetace Intevalový odhad koelačního koeficientu pokazuje téměř lineání závislost mezi počtem výobků a celkovými příjmy. Plně lineání závislost by nastala ve chvíli, kdy by tento koeficient byl oven jedné. Lze tedy říci, že s ostoucí výobou budou stoupat i celkové příjmy. Celkové náklady zpočátku téměř kopíují celkové příjmy, zisk by byl tedy téměř nulový. Od učité meze (cca 15ks) celkové náklady ostou výazně pozvolněji než celkové příjmy. Výoba je tedy zisková a s přibývající výobou oste i zisk. Maximálního zisku je možné dosáhnout výobou 87ks výobků. Avšak poté začínají náklady na výobu stmě ůst, zisky se tak kátí a výoba postupně začíná být podělečná (cca od 1ks). Na základě těchto údajů lze dopoučit výobu přibližně 83ks výtisků katogafických děl. Očekávaný zisk při této podukci budu činit přibližně 4miliony Kč, jak je patno z níže uvedeného gafu zisku. Zisk 5 4 zisk (miliony Kč) 3 1-1 - 4 6 8 1 1 14 počet výobků (tisíce ks) V Paze 8.1.9 Jan Dolista Radka Junová