Analytická geometrie (3. - 4. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 16. června 2011
Příklad 1 Příklad 1. Algebraicky upravte následující vyjádření vektoru v pomocí vektorů a, b, c: v = 4( a + 3 b 0.5 c) 3( 2 a + 4 b c) 5(2 a b + 0.4 c).
Příklad 1 Příklad 1. Algebraicky upravte následující vyjádření vektoru v pomocí vektorů a, b, c: v = 4( a + 3 b 0.5 c) 3( 2 a + 4 b c) 5(2 a b + 0.4 c). Řešení: v = 4( a + 3 b 0.5 c) 3( 2 a + 4 b c) 5(2 a b + 0.4 c) =
Příklad 1 Příklad 1. Algebraicky upravte následující vyjádření vektoru v pomocí vektorů a, b, c: v = 4( a + 3 b 0.5 c) 3( 2 a + 4 b c) 5(2 a b + 0.4 c). Řešení: v = 4( a + 3 b 0.5 c) 3( 2 a + 4 b c) 5(2 a b + 0.4 c) = = 4 a + 12 b 2 c + 6 a 12 b + 3 c 10 a + 5 b 2 c =
Příklad 1 Příklad 1. Algebraicky upravte následující vyjádření vektoru v pomocí vektorů a, b, c: v = 4( a + 3 b 0.5 c) 3( 2 a + 4 b c) 5(2 a b + 0.4 c). Řešení: v = 4( a + 3 b 0.5 c) 3( 2 a + 4 b c) 5(2 a b + 0.4 c) = = 4 a + 12 b 2 c + 6 a 12 b + 3 c 10 a + 5 b 2 c = = 5 b c
Příklad 2 Příklad 2. Jsou dány vektory b = (1, 2, 5), c = (2, 7, 1), d = (3, 9, 2). Určete souřadnice vektoru a, platí-li: a) a b + 2 c = 3 d, b) 2 a + b = 3 c d.
Příklad 2 Příklad 2. Jsou dány vektory b = (1, 2, 5), c = (2, 7, 1), d = (3, 9, 2). Určete souřadnice vektoru a, platí-li: a) a b + 2 c = 3 d, b) 2 a + b = 3 c d. Řešení: a) a b + 2 c = 3 d
Příklad 2 Příklad 2. Jsou dány vektory b = (1, 2, 5), c = (2, 7, 1), d = (3, 9, 2). Určete souřadnice vektoru a, platí-li: a) a b + 2 c = 3 d, b) 2 a + b = 3 c d. Řešení: a) a b + 2 c = 3 d a = b 2 c + 3 d
Příklad 2 Příklad 2. Jsou dány vektory b = (1, 2, 5), c = (2, 7, 1), d = (3, 9, 2). Určete souřadnice vektoru a, platí-li: a) a b + 2 c = 3 d, b) 2 a + b = 3 c d. Řešení: a) a b + 2 c = 3d a = b 2 c + 3d a = (1, 2, 5) 2 (2, 7, 1) + 3 (3, 9, 2)
Příklad 2 Příklad 2. Jsou dány vektory b = (1, 2, 5), c = (2, 7, 1), d = (3, 9, 2). Určete souřadnice vektoru a, platí-li: a) a b + 2 c = 3 d, b) 2 a + b = 3 c d. Řešení: a) a b + 2 c = 3d a = b 2 c + 3d a = (1, 2, 5) 2 (2, 7, 1) + 3 (3, 9, 2) a = (6, 15, 1)
Příklad 2 Řešení: b = (1, 2, 5), c = (2, 7, 1), d = (3, 9, 2) b) 2 a + b = 3 c d
Příklad 2 Řešení: b = (1, 2, 5), c = (2, 7, 1), d = (3, 9, 2) b) 2 a + b = 3 c d 2 a = b + 3 c d
Příklad 2 Řešení: b = (1, 2, 5), c = (2, 7, 1), d = (3, 9, 2) b) 2 a + b = 3 c d 2 a = b + 3 c d a = 1 2 ( b + 3 c d)
Příklad 2 Řešení: b = (1, 2, 5), c = (2, 7, 1), d = (3, 9, 2) b) 2 a + b = 3 c d 2 a = b + 3 c d a = 1 2 ( b + 3 c d) a = (1, 5, 3)
Příklad 3 Příklad 3. Určete neznámou souřadnici vektoru u tak, aby vektor u byl lineární kombinací vektorů v, w: u = (3, u 2, 5), v = (4, 1, 0), w = (3, 2, 1).
Příklad 3 Příklad 3. Určete neznámou souřadnici vektoru u tak, aby vektor u byl lineární kombinací vektorů v, w: u = (3, u 2, 5), v = (4, 1, 0), w = (3, 2, 1). Řešení: platí: u = a v + b w, a, b R
Příklad 3 Příklad 3. Určete neznámou souřadnici vektoru u tak, aby vektor u byl lineární kombinací vektorů v, w: u = (3, u 2, 5), v = (4, 1, 0), w = (3, 2, 1). Řešení: platí: u = a v + b w, a, b R (3, u 2, 5) = a (4, 1, 0) + b (3, 2, 1)
Příklad 3 Příklad 3. Určete neznámou souřadnici vektoru u tak, aby vektor u byl lineární kombinací vektorů v, w: u = (3, u 2, 5), v = (4, 1, 0), w = (3, 2, 1). Řešení: platí: u = a v + b w, a, b R (3, u 2, 5) = a (4, 1, 0) + b (3, 2, 1) 3 = 4a + 3b
Příklad 3 Příklad 3. Určete neznámou souřadnici vektoru u tak, aby vektor u byl lineární kombinací vektorů v, w: u = (3, u 2, 5), v = (4, 1, 0), w = (3, 2, 1). Řešení: platí: u = a v + b w, a, b R (3, u 2, 5) = a (4, 1, 0) + b (3, 2, 1) 3 = 4a + 3b u 2 = a + 2b
Příklad 3 Příklad 3. Určete neznámou souřadnici vektoru u tak, aby vektor u byl lineární kombinací vektorů v, w: u = (3, u 2, 5), v = (4, 1, 0), w = (3, 2, 1). Řešení: platí: u = a v + b w, a, b R (3, u 2, 5) = a (4, 1, 0) + b (3, 2, 1) 3 = 4a + 3b u 2 = a + 2b 5 = b
Příklad 3 Příklad 3. Určete neznámou souřadnici vektoru u tak, aby vektor u byl lineární kombinací vektorů v, w: u = (3, u 2, 5), v = (4, 1, 0), w = (3, 2, 1). Řešení: platí: u = a v + b w, a, b R (3, u 2, 5) = a (4, 1, 0) + b (3, 2, 1) 3 = 4a + 3b u 2 = a + 2b 5 = b b = 5, a = 3, u 2 = 13
Příklad 4 Příklad 4. Vypočtěte velikost vektoru v = MN, jestliže M[8, 3, 4], N[ 3, 1, 6].
Příklad 4 Příklad 4. Vypočtěte velikost vektoru v = MN, jestliže M[8, 3, 4], N[ 3, 1, 6]. Řešení: v = MN = N M =
Příklad 4 Příklad 4. Vypočtěte velikost vektoru v = MN, jestliže M[8, 3, 4], N[ 3, 1, 6]. Řešení: v = MN = N M = ( 11, 2, 10)
Příklad 4 Příklad 4. Vypočtěte velikost vektoru v = MN, jestliže M[8, 3, 4], N[ 3, 1, 6]. Řešení: v = MN = N M = ( 11, 2, 10) v =
Příklad 4 Příklad 4. Vypočtěte velikost vektoru v = MN, jestliže M[8, 3, 4], N[ 3, 1, 6]. Řešení: v = MN = N M = ( 11, 2, 10) v = ( 11) 2 + 2 2 + 10 2
Příklad 4 Příklad 4. Vypočtěte velikost vektoru v = MN, jestliže M[8, 3, 4], N[ 3, 1, 6]. Řešení: v = MN = N M = ( 11, 2, 10) v = ( 11) 2 + 2 2 + 10 2 v = 15
Příklad 5 Příklad 5. Jsou dány body A[3, 2, 1], B[1, 3, 0], C[0, 2, 5]. Určete skalární součin vektorů u v, kde u = AB, v = AC.
Příklad 5 Příklad 5. Jsou dány body A[3, 2, 1], B[1, 3, 0], C[0, 2, 5]. Určete skalární součin vektorů u v, kde u = AB, v = AC. Řešení: u = AB = B A =
Příklad 5 Příklad 5. Jsou dány body A[3, 2, 1], B[1, 3, 0], C[0, 2, 5]. Určete skalární součin vektorů u v, kde u = AB, v = AC. Řešení: u = AB = B A = ( 2, 5, 1)
Příklad 5 Příklad 5. Jsou dány body A[3, 2, 1], B[1, 3, 0], C[0, 2, 5]. Určete skalární součin vektorů u v, kde u = AB, v = AC. Řešení: u = AB = B A = ( 2, 5, 1) v = AC = C A =
Příklad 5 Příklad 5. Jsou dány body A[3, 2, 1], B[1, 3, 0], C[0, 2, 5]. Určete skalární součin vektorů u v, kde u = AB, v = AC. Řešení: u = AB = B A = ( 2, 5, 1) v = AC = C A = ( 3, 0, 4)
Příklad 5 Příklad 5. Jsou dány body A[3, 2, 1], B[1, 3, 0], C[0, 2, 5]. Určete skalární součin vektorů u v, kde u = AB, v = AC. Řešení: u = AB = B A = ( 2, 5, 1) v = AC = C A = ( 3, 0, 4) u v =
Příklad 5 Příklad 5. Jsou dány body A[3, 2, 1], B[1, 3, 0], C[0, 2, 5]. Určete skalární součin vektorů u v, kde u = AB, v = AC. Řešení: u = AB = B A = ( 2, 5, 1) v = AC = C A = ( 3, 0, 4) u v = ( 2) ( 3) + ( 5) 0 + ( 1) 4
Příklad 5 Příklad 5. Jsou dány body A[3, 2, 1], B[1, 3, 0], C[0, 2, 5]. Určete skalární součin vektorů u v, kde u = AB, v = AC. Řešení: u = AB = B A = ( 2, 5, 1) v = AC = C A = ( 3, 0, 4) u v = ( 2) ( 3) + ( 5) 0 + ( 1) 4 u v = 2
Příklad 6 Příklad 6. Jsou dány vektory a = (2, 3, 1), b = (1, 2, 3), c = (2, 1, 1). Určete souřadnice vektoru x, platí-li x a x b x c = 6.
Příklad 6 Příklad 6. Jsou dány vektory a = (2, 3, 1), b = (1, 2, 3), c = (2, 1, 1). Určete souřadnice vektoru x, platí-li x a x b x c = 6. Řešení: označme hledaný vektor x = (x 1, x 2, x 3 )
Příklad 6 Příklad 6. Jsou dány vektory a = (2, 3, 1), b = (1, 2, 3), c = (2, 1, 1). Určete souřadnice vektoru x, platí-li x a x b x c = 6. Řešení: označme hledaný vektor x = (x 1, x 2, x 3 ) x a
Příklad 6 Příklad 6. Jsou dány vektory a = (2, 3, 1), b = (1, 2, 3), c = (2, 1, 1). Určete souřadnice vektoru x, platí-li x a x b x c = 6. Řešení: označme hledaný vektor x = (x 1, x 2, x 3 ) x a x a = 0
Příklad 6 Příklad 6. Jsou dány vektory a = (2, 3, 1), b = (1, 2, 3), c = (2, 1, 1). Určete souřadnice vektoru x, platí-li x a x b x c = 6. Řešení: označme hledaný vektor x = (x 1, x 2, x 3 ) x a x a = 0 2x 1 + 3x 2 x 3 = 0
Příklad 6 Příklad 6. Jsou dány vektory a = (2, 3, 1), b = (1, 2, 3), c = (2, 1, 1). Určete souřadnice vektoru x, platí-li x a x b x c = 6. Řešení: označme hledaný vektor x = (x 1, x 2, x 3 ) x a x a = 0 2x 1 + 3x 2 x 3 = 0 x b x b = 0
Příklad 6 Příklad 6. Jsou dány vektory a = (2, 3, 1), b = (1, 2, 3), c = (2, 1, 1). Určete souřadnice vektoru x, platí-li x a x b x c = 6. Řešení: označme hledaný vektor x = (x 1, x 2, x 3 ) x a x a = 0 2x 1 + 3x 2 x 3 = 0 x b x b = 0 x 1 2x 2 + 3x 3 = 0
Příklad 6 Příklad 6. Jsou dány vektory a = (2, 3, 1), b = (1, 2, 3), c = (2, 1, 1). Určete souřadnice vektoru x, platí-li x a x b x c = 6. Řešení: označme hledaný vektor x = (x 1, x 2, x 3 ) x a x a = 0 2x 1 + 3x 2 x 3 = 0 x b x b = 0 x 1 2x 2 + 3x 3 = 0 x c = 6
Příklad 6 Příklad 6. Jsou dány vektory a = (2, 3, 1), b = (1, 2, 3), c = (2, 1, 1). Určete souřadnice vektoru x, platí-li x a x b x c = 6. Řešení: označme hledaný vektor x = (x 1, x 2, x 3 ) x a x a = 0 2x 1 + 3x 2 x 3 = 0 x b x b = 0 x 1 2x 2 + 3x 3 = 0 x c = 6 2x 1 x 2 + x 3 = 6
Příklad 6 Příklad 6. Jsou dány vektory a = (2, 3, 1), b = (1, 2, 3), c = (2, 1, 1). Určete souřadnice vektoru x, platí-li x a x b x c = 6. Řešení: označme hledaný vektor x = (x 1, x 2, x 3 ) x a x a = 0 2x 1 + 3x 2 x 3 = 0 x b x b = 0 x 1 2x 2 + 3x 3 = 0 x c = 6 2x 1 x 2 + x 3 = 6 řešení soustavy: x 1 = 3, x 2 = 3, x 3 = 3
Příklad 6 Příklad 6. Jsou dány vektory a = (2, 3, 1), b = (1, 2, 3), c = (2, 1, 1). Určete souřadnice vektoru x, platí-li x a x b x c = 6. Řešení: označme hledaný vektor x = (x 1, x 2, x 3 ) x a x a = 0 2x 1 + 3x 2 x 3 = 0 x b x b = 0 x 1 2x 2 + 3x 3 = 0 x c = 6 2x 1 x 2 + x 3 = 6 řešení soustavy: x 1 = 3, x 2 = 3, x 3 = 3 hledaný vektor: x = ( 3, 3, 3)
Příklad 7 Příklad 7 Jsou dány vektory a = (a 1, 0, 4), b = (2, b 2, 4), c = ( 5, 0, 2), d = (2, 3, 4), e = (3, 2, 2). a) Určete a 1 tak, aby a = 5. b) Určete b 2 tak, aby b e. c) Zjistěte, zda vektor c je lineární kombinací vektorů d, e.
Příklad 7 Příklad 7 Jsou dány vektory a = (a 1, 0, 4), b = (2, b 2, 4), c = ( 5, 0, 2), d = (2, 3, 4), e = (3, 2, 2). a) Určete a 1 tak, aby a = 5. b) Určete b 2 tak, aby b e. c) Zjistěte, zda vektor c je lineární kombinací vektorů d, e. Řešení: a) a = 5 a = a 2 1 + 00 + 4 2
Příklad 7 Příklad 7 Jsou dány vektory a = (a 1, 0, 4), b = (2, b 2, 4), c = ( 5, 0, 2), d = (2, 3, 4), e = (3, 2, 2). a) Určete a 1 tak, aby a = 5. b) Určete b 2 tak, aby b e. c) Zjistěte, zda vektor c je lineární kombinací vektorů d, e. Řešení: a) a = 5 a = a 2 1 + 00 + 4 2 } porovnáme: a 2 1 + 4 2 = 5
Příklad 7 Příklad 7 Jsou dány vektory a = (a 1, 0, 4), b = (2, b 2, 4), c = ( 5, 0, 2), d = (2, 3, 4), e = (3, 2, 2). a) Určete a 1 tak, aby a = 5. b) Určete b 2 tak, aby b e. c) Zjistěte, zda vektor c je lineární kombinací vektorů d, e. Řešení: a) a = 5 a = a 2 1 + 00 + 4 2 } porovnáme: a 2 1 + 4 2 = 5 a 2 1 + 16 = 25
Příklad 7 Příklad 7 Jsou dány vektory a = (a 1, 0, 4), b = (2, b 2, 4), c = ( 5, 0, 2), d = (2, 3, 4), e = (3, 2, 2). a) Určete a 1 tak, aby a = 5. b) Určete b 2 tak, aby b e. c) Zjistěte, zda vektor c je lineární kombinací vektorů d, e. Řešení: a) a = 5 a = a 2 1 + 00 + 4 2 } porovnáme: a 2 1 + 4 2 = 5 a 2 1 + 16 = 25 a 2 1 = 9
Příklad 7 Příklad 7 Jsou dány vektory a = (a 1, 0, 4), b = (2, b 2, 4), c = ( 5, 0, 2), d = (2, 3, 4), e = (3, 2, 2). a) Určete a 1 tak, aby a = 5. b) Určete b 2 tak, aby b e. c) Zjistěte, zda vektor c je lineární kombinací vektorů d, e. Řešení: a) } a = 5 a = a 2 1 + porovnáme: 00 + 4 2 a 1 = 3 a 1 = 3 a 2 1 + 4 2 = 5 a 2 1 + 16 = 25 a 2 1 = 9
Příklad 7 Řešení: b) b = (2, b2, 4), e = (3, 2, 2) b e
Příklad 7 Řešení: b) b = (2, b2, 4), e = (3, 2, 2) b e b e = 0
Příklad 7 Řešení: b) b = (2, b2, 4), e = (3, 2, 2) b e b e = 0 6 2b2 8 = 0
Příklad 7 Řešení: b) b = (2, b2, 4), e = (3, 2, 2) b e b e = 0 6 2b2 8 = 0 b 2 = 1
Příklad 7 Řešení: b) b = (2, b2, 4), e = (3, 2, 2) b e b e = 0 6 2b2 8 = 0 b 2 = 1 Řešení: c) c = ( 5, 0, 2), d = (2, 3, 4), e = (3, 2, 2) má platit: c = k d + l e, k, l R
Příklad 7 Řešení: b) b = (2, b2, 4), e = (3, 2, 2) b e b e = 0 6 2b2 8 = 0 b 2 = 1 Řešení: c) c = ( 5, 0, 2), d = (2, 3, 4), e = (3, 2, 2) má platit: c = k d + l e, k, l R ( 5, 0, 2) = k (2, 3, 4) + l (3, 2, 2)
Příklad 7 Řešení: b) b = (2, b2, 4), e = (3, 2, 2) b e b e = 0 6 2b2 8 = 0 b 2 = 1 Řešení: c) c = ( 5, 0, 2), d = (2, 3, 4), e = (3, 2, 2) má platit: c = k d + l e, k, l R ( 5, 0, 2) = k (2, 3, 4) + l (3, 2, 2) 5 = 2k + 3l
Příklad 7 Řešení: b) b = (2, b2, 4), e = (3, 2, 2) b e b e = 0 6 2b2 8 = 0 b 2 = 1 Řešení: c) c = ( 5, 0, 2), d = (2, 3, 4), e = (3, 2, 2) má platit: c = k d + l e, k, l R ( 5, 0, 2) = k (2, 3, 4) + l (3, 2, 2) 5 = 2k + 3l 0 = 3k 2l
Příklad 7 Řešení: b) b = (2, b2, 4), e = (3, 2, 2) b e b e = 0 6 2b2 8 = 0 b 2 = 1 Řešení: c) c = ( 5, 0, 2), d = (2, 3, 4), e = (3, 2, 2) má platit: c = k d + l e, k, l R ( 5, 0, 2) = k (2, 3, 4) + l (3, 2, 2) 5 = 2k + 3l 0 = 3k 2l 2 = 4k + 2l
Příklad 7 Řešení: b) b = (2, b2, 4), e = (3, 2, 2) b e b e = 0 6 2b2 8 = 0 b 2 = 1 Řešení: c) c = ( 5, 0, 2), d = (2, 3, 4), e = (3, 2, 2) má platit: c = k d + l e, k, l R ( 5, 0, 2) = k (2, 3, 4) + l (3, 2, 2) 5 = 2k + 3l 0 = 3k 2l 2 = 4k + 2l k = 2, l = 3
Příklad 7 Řešení: b) b = (2, b2, 4), e = (3, 2, 2) b e b e = 0 6 2b2 8 = 0 b 2 = 1 Řešení: c) c = ( 5, 0, 2), d = (2, 3, 4), e = (3, 2, 2) má platit: c = k d + l e, k, l R ( 5, 0, 2) = k (2, 3, 4) + l (3, 2, 2) 5 = 2k + 3l 0 = 3k 2l 2 = 4k + 2l k = 2, l = 3 Vektor c je lineární kombinací vektorů d, e.
Příklady k provičení Cvičení 1 Jsou dány vektory a = (2, 1, 1), b = (3, 2, 1), c = (1, 3, 2). Najděte souřadnice vektoru u, pro který platí a u = 2, b u = 7, c u = 1. [ u = (2, 1, 3)]
Příklady k provičení Cvičení 2 Jsou dány vektory a = (1, r, 2), b = ( r, 4, 2 + r), c = (1, 3, 2), d = (2, 1, 1), e = (3, 4, 5). a) Určete r tak, aby velikost vektoru a byla 3. b) Určete r tak, aby vektory a, b byly navzájem kolmé. c) Najděte všechny vektory, které jsou kolmé k vektorům c, d. d) Zjistěte, zda vektor c je lineární kombinací vektorů d, e. [a) r 1 = 2, r 2 = 2, b) r = 4, c) (k, 3k, 5k), k R {0}, d) ne]
Příklady k provičení Cvičení 3 V trojúhelníku ABC je c = (2, 6, 4), b = (4, 2, 2), kde c = B A, b = C A. a) Vypočtěte souřadnice vektorů, jejichž umístěními jsou těžnice trojúhelníku ABC, přičemž počáteční body těchto umístění jsou vrcholy daného trojúhelníku. b) Vypočtěte velikost ostrého úhlu, který svírá těžnice t c a strana CB. [ a) t a = (3, 4, 3), t b = (0, 5, 3), t c = ( 3, 1, 0), b) C 1CB. = 49 48 ]
Příklady k provičení Cvičení 4 Jsou dány body A[ 1, 1, 1], B[5, 1, 7], C[4, 2, 3], D[1, 2, 1]. a) Dokažte, že ABCD je lichoběžník. b) Které strany jsou základnami lichoběžníku ABCD a v jakém poměru jsou jejich délky? c) Vypočítejte velikost úhlu BAD. [b) Základnami jsou strany AB a CD, přitom platí AB : CD = 2 : 1, c) BAD. = 57 33 ]
Příklady k provičení Cvičení 5 Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV s podstavnou hranou a = 4 cm a výškou v = 6 cm; střed hrany BC je označen E. Zvolte vhodně soustavu souřadnic v prostoru a řešte následující úkoly. a) Vypočítejte délku boční hrany jehlanu. b) Určete velikost α úhlu vektorů u = V E a v = D A. c) Určete velikost β úhlu vektorů u = V E a w = C A. [a) AV = 2 11 cm, b) α = 90, c) β. = 102 55 ]
Příklady k provičení Cvičení 6 Určete bod D tak, aby obrazec ABCD byl rovnoběžník, je-li dáno A[2, 3, 1], B[4, 0, 3], C[ 2, 3, 4]. [D[ 4, 0, 0]]
Příklady k provičení Cvičení 7 Jsou dány body A[20, 5, 10], B[8, 4, 10], C[ 4, 13, 10], D[8, 4, 10]. a) Dokažte, že ABCD je rovnoběžník. b) Vypočítejte velikost úhlu DAB. c) Vypočítejte velikost úhlu ABD. [ b 53 08, c) 90 ]