1. a) Lineární rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou. b) Skalární součin vektorů, úhel dvou vektorů, kolmost a rovnoběžnost vektorů.

Transkript

1 . a) Lineární rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou. b) Skalární součin vektorů, úhel dvou vektorů, kolmost a rovnoběžnost vektorů. A.: Řeš v R : 4 B.: Vypočti velikosti vnitřních úhlů v trojúhelníku ABC a délku strany BC je li dáno: A[0;], B[-;], C[;].. a) Řešení rovnic a nerovnic v součinovém a podílovém tvaru. b) Parametrické rovnice přímky, vzájemná poloha přímek daných parametrickým vyjádřením. A.: Řeš v R B.: Jsou dány přímky p: = 4t, y = t + a q: + y = 0. Urči, jsou-li přímky p a q rovnoběžné. Pokud ne, vypočítej souřadnice průsečíku.. a) Soustavy lineárních rovnic a nerovnic se dvěma a třemi neznámými. b) Obecná rovnice přímky, směrnicový tvar. A.: Řeš graficky v R soustavu nerovnic y 7 y B.: Je dán trojúhelník ABC kde A[0;0], B[;], C[;]. Napiš obecnou rovnici výšky v c a urči souřadnice průsečíku se stranou AB. Napiš směrnicový tvar rovnice přímky AB a přímky q, která je rovnoběžná s přímkou AB a prochází bodem C. 4. a) Rozklad kvadratického trojčlenu, vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. b) Vzájemná poloha bodu a přímky, vzdálenost bodu od přímky. (analyticky) 4A.: U dané kvadratické rovnice urči kořen a koeficient m, platí-li: + m + 4 = 0 a = 8. 4B.: Je dán trojúhelník ABC kde A[0;0], B[;], C[;]. Bod S je střed strany AB. Urči vzdálenost bodu S od přímky BC.

2 5. a) Řešení rovnice s neznámou pod odmocninou. b) Odchylka dvou přímek, kolmost a rovnoběžnost přímek (analyticky). 5A.: Řeš v R a urči množinu všech, pro která má daná rovnice smysl B.: Je dána přímka p: = + t, y = t, z = + t a vektory u = (;;) a v = (;;-). Urči souřadnice vektoru w který je současně kolmý k přímce p i k vektorům u, v. 6. a) Lineární a kvadratické rovnice s parametrem. b) Parametrické rovnice přímky a roviny v prostoru. 6A.: Pro které hodnoty reálného parametru má kvadratická rovnice dva různé reálné kořeny? ( + 5) + 4 = 0 6B.: Je dán trojúhelník ABC kde A[0;0;], B[;;-4], C[;;]. Napiš parametrické vyjádření roviny ABC a těžnice t a. 7. a) Soustavy lineárních rovnic a metody jejich řešení. b) Obecná rovnice roviny, vzdálenost bodu od roviny. 7A.: Řeš v R soustavu rovnic y z 6 y z y z 5 7B.: Napiš obecnou rovnici roviny, která prochází body A[;4;7], B[;6;0] a je rovnoběžná s přímkou CD, kde C[;;5], D[ ;0;4]. Urči vzdálenost přímky CD od roviny. 8. a) Kvadratická nerovnice, geometrická interpretace, souvislost s grafem kvadratické funkce. b) Odchylka přímky a roviny, dvou rovin, vzájemná poloha přímek a rovin (analyticky). 8A.: Řeš v R soustavu nerovnic B.: Urči vzájemnou polohu rovin : y z = 0 a : + y + z = 0, jejich odchylku a pokud eistuje tak i parametrické rovnice průsečnice.

3 9. a) Řešení rovnic a nerovnic s neznámou ve jmenovateli. b) Kružnice definice, základní vlastnosti, konstrukce. 9A.: Řeš v R: 5 4 9B.: Napiš rovnici kružnice, která má poloměr r = 5, prochází bodem Q [;5] a její střed leží na přímce p: + y 4 = a) Pojem funkce, definiční obor a obor hodnot funkce. b) Elipsa. 0A.: Urči definiční obor funkce log 5 (5 5) f ( ) 0B.: Rozhodni, je-li daná rovnice rovnicí elipsy. Pokud ano urči její střed, ohniska, vrcholy, ecentricitu, délky poloos a rovnici tečny v bodě T[0;?] y y = 0.. a) Graf funkce, funkce monotónní, prostá, sudá lichá, inverzní, periodická. b) Monotónnost funkce a její etrémy z hlediska derivace funkce. A.: Je dána funkce y = e +. Pokud eistuje, urči funkci inverzní a načrtni její graf. B.: Urči interval monotónnosti a lokální etrémy funkce y. a) Konstantní a lineární funkce, kvadratická funkce a její význam při řešení nerovnic. b) Parabola. A.: S využitím grafu kvadratické funkce řeš v R nerovnici: 5 4 B.: Na parabole y = najdi bod, který ke nejblíže přímce p: + y + 0 = 0.

4 . a) Lineární lomená funkce. b) Hyperbola. A.: Načrtni graf, urči definiční obor, průsečíky se souřadnými osami funkce f: y B.: Napiš rovnice všech přímek, které procházejí bodem M[0;5] a mají s hyperbolou o rovnici 9y = 9 právě jeden společný bod. 4. a) Funkce s absolutní hodnotou, definice absolutní hodnoty. b) Středový tvar rovnice kuželoseček. 4A.: Sestroj graf funkce y = 4 + 4B.: Kuželosečka je dána rovnicí 9 + 6y y =. Urči o jaký typ kuželosečky se jedná a napiš její rovnici ve středovém tvaru. 5. a) Eponenciální a logaritmická funkce. b) Vzájemná poloha přímky a kuželosečky. 5A.: Načrtni graf a popiš vlastnosti funkce f a f, jestliže f: y = 0,5 -. 5B.: Urči vzájemnou polohu přímky p: 0 y = 0 a kuželosečky k: 4 y = 64. Pokud eistují společné body, vypočti jejich souřadnice a znázorni situaci v souřadných osách. 6. a) Logaritmus, věty o logaritmech, dekadický a přirozený logaritmus. b) Tečna kuželosečky podmínka eistence, rovnice tečny. t T 6A.: Vzorec m m0 (0,5) vyjadřuje radioaktivní přeměnu látky o hmotnosti m. Vyjádři z tohoto vzorce tzv. poločas rozpadu T. 6B.: Je dána přímka p: (m ) (5 m) = 0 a kuželosečka k: 4 y = 64. Pro jakou hodnotu parametru m bude přímka tečnou kuželosečky? 7. a) Eponenciální a logaritmická rovnice. b) Vektorový a smíšený součin vektorů a jejich aplikace. 7A.: Řeš v R nerovnici log + 5log > 0 + log. 7B.: Je dán trojúhelník ABC s vrcholy A[; ; ], B[;0;], C[ ; ; 5]. Urči obsah trojúhelníku ABC. 4

5 8. a) Obecný trojúhelník. b) Gaussova rovina, algebraický tvar kompleního čísla. 8A.: Na hmotný bod působí současně dvě síly o velikosti F = 0 N a F = 5 N, které spolu svírají úhel 60 o. Urči velikost výsledné síly výpočtem i graficky. 8B.: Komplení číslo 6(cos 80 isin80) z uprav a výsledek zapiš v algebraickém tvaru. (cos 0 isin 0) 9. a) Středový a obvodový úhel. b) Goniometrický tvar kompleního čísla. 9A.: Hodiny ukazují půl třetí. Kdybychom protáhli pomyslně obě ručičky, průsečíky s obvodem ciferníku na něm vytnou tětivu, např. AB. Pod jakým úhlem tuto tětivu AB vidíme z pozice čísla na ciferníku? 9B.: Zapiš komplení číslo z = - (sin0 o + i cos0 o ) v goniometrickém tvaru. 0. a) Pythagorova věta, Euklidovy věty a jejich použití. b) Moivreova věta a její použití. 0A.: V pravoúhlém trojúhelníku je přepona délky c. S použitím Euklidových vět vypočti délky stran b, c je li dáno a = 5/4 cm a c b = 4 cm. 0B.: Vypočítej reálnou a imaginární část kompleního čísla z = ( i ).. a) Množiny bodů dané vlastnosti. b) Binomická věta a její použití v oboru kompleních čísel. A.: Sestroj trojúhelník ABC je-li dáno: AB = 7 cm, = 0 o, t a = 6cm. B.: S využitím binomické věty odvoď vzorec pro výpočet sin(4), cos(4).. a) Goniometrické vzorce. b) Řešení lineární a kvadratické rovnice v oboru kompleních čísel. A.: Zjednoduš cos sin cos sin B.: Řeš v C rovnici: + (5i ) 4 8i = 0 5

6 . a) Oblouková míra, orientovaný úhel, funkce sinus, kosinus a tangens. b) Binomická rovnice, n-tá komplení odmocnina z kompleního čísla. 7 A.: Při interferenci dvou vln byl naměřen fázový rozdíl. Bez použití kalkulátoru urči 6 hodnoty goniometrických funkcí sin, cos, tg pro tento úhel. B.: Řeš v C: 4 i 4. a) Goniometrické rovnice. b) Posloupnost definice, způsoby určení posloupnosti. 4A.: Řeš v R: sin = (cos sin ) n n 4B.: Rekurentním vzorcem urči posloupnost log pro > a) Sinová a kosinová věta v obecném trojúhelníku a jejich užití. b) Aritmetická posloupnost. 5A.: V trojúhelníku ABC svírají přímky těžnic t a a t c úhel 60 o. Velikosti těžnic jsou t a = cm, t c = 6 cm. Urči velikosti všech stran a všech úhlů v trojúhelníku ABC. 5B.: Délky stran pravoúhlého trojúhelníku tvoří po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Delší odvěsna má délku 4 cm. Urči délky zbývajících stran. 6. a) Polohové vlastnosti přímek a rovin v prostoru (stereometricky). b) Geometrická posloupnost. 6A.: Je dána krychle ABCDEFGH. Urči a) vzájemnou polohu roviny ABC a přímky TD, kde T je střed BF, b) vzájemnou polohu rovin MOP a EBG. (M, O, P jsou po řadě středy EF, FG, FB) 6B.: Přičteme-li k číslům, 7, 7 totéž číslo, vzniknou první tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti. Urči toto číslo i členy posloupnosti. 7. a) Volné rovnoběžné promítání, řezy krychle a jehlanu. b) Limita posloupnosti, věty o limitách. 7A.: Je dána krychle ABCDEFGH. Bod M je střed CG, bod H je střed DN. Sestroj řez dané krychle rovinou AMN. n n n 7B.: Vypočti: lim n n n 6

7 8. a) Kolmost přímek a rovin, vzdálenosti a odchylky (stereometricky). b) Nekonečná geometrická řada a její vztah ke konvergenci posloupnosti. 8A.: V pravidelném trojbokém jehlanu je odchylka boční stěny a roviny podstavy = 45 o. Urči odchylku boční hrany od roviny podstavy. 8B.: Řeš v R: n n a) Objemy a povrchy těles. b) Matice a operace s maticemi. 9A.: Jaké množství vody proteče za hodinu potrubím kruhového průřezu s průměrem 6 cm, teče-li voda rychlostí,5 ms -. 9B.: Je dána matice Výsledek zdůvodni. A 5 4 a matice B 0. Urči A + B, B + A, A.B a B.A a) Determinant matice a metody jeho výpočtu. b) Elementární funkce, jejich vlastnosti a grafy. 0A.: Vypočti determinant matice A 0 0B.: Načrtni graf funkce y =, urči definičním obor a intervaly monotónnosti.. a) Inverzní matice a metoda jejího výpočtu. b) Limita funkce ve vlastním a nevlastním bodě. A.: Je dána matice 4 A. Urči inverzní matici A -. 5 B.: Vypočti limitu funkce y v nevlastních bodech. 7

8 . a) Řešení soustav n lineárních rovnic o n neznámých (pro n =,,4) s využitím determinantů. b) Jednostranné a nevlastní limity funkce v bodě. A.: S použitím determinantů řeš v R soustavu rovnic: y + 4z v = + y z v = y + z +v = + y z + v = 8 B.: Vypočti limity funkce y v bodech nespojitosti. 4. a) Složená funkce, inverzní funkce. b) Derivace elementárních funkcí, derivace složené funkce. A.: Urči inverzní funkci k funkci y = ln(+4). B.: Vypočti derivaci funkce y = sin (+). 4. a) Mocniny s racionálním eponentem, odmocniny. b) L Hospitalovo pravidlo a jeho použití. 4A.: Uprav a zjednoduš výraz: 8 6 4B.: S využitím L Hospitalova pravidla vypočti limitu lim 5 5. a) Derivace funkce, její geometrický a fyzikální význam. b) Primitivní funkce a neurčitý integrál. 5A.: Napiš rovnici tečny a normály ke grafu funkce f: y = ln v jeho bodě T [;?]. 5B.: Najdi všechny primitivní funkce k funkci f: y 8

9 6. a) Derivace součtu, součinu a podílu. b) Integrace elementárních funkcí. 6A.: Vypočti derivaci funkce f: d 6B.: Vypočti: e y e ln 7. a) Druhá derivace funkce, konvenost a konkávnost funkce. b) Integrační metody. 7A.: Vypočti inflení bod funkce f: y = (-6). 7B.: Vypočti: e d 8. a) Užití limity funkce (asymptoty se směrnicí, bez směrnice, tečna grafu). b) Průběh funkce. 8A,B.: Vyšetři průběh funkce f: y 9. a) Použití diferenciálního počtu v prai. b) Aplikace integrálního počtu v prai. 9A.: Na konzervu tvaru válce se má spotřebovat 5 dm plechu. Jaké musí mít konzerva rozměry, aby měla maimální objem? 9B.: Rychlost hmotného bodu je dána vztahem v = + t. Urči jak velkou dráhu urazí hmotný bod v době mezi t = 5s a t = 5s. 40. a) Rovnoběžnost přímek a rovin definice, vlastnosti, kritéria. b) Okolí bodu, spojitost funkce v bodě a na intervalu. 40A.: Je dána krychle ABCDEFGH. Bod K je středem stěny EFGH, bod L je střed hrany EH a bod S je střed podstavy ABCD. Urči vzájemnou polohu roviny BCK a přímky SL. Svoji odpověď zdůvodni. 40B.: Urči, jsou-li si funkce f a g rovny. f: y = +, g: y a svoji odpověď zdůvodni. 9