Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice Kapitola 8 Slovní úlohy řešené pomocí kvadratických rovnic PaedDr. Iveta Unzeitigová 30. 9. 01
Obsah ÚVOD - ANOTACE... 1 1 SLOVNÍ ÚLOHY ŘEŠENÉ POMOCÍ KVADRATICKÝCH ROVNIC... 1.1 PRACOVNÍ LIST SLOVNÍ ÚLOHY ŘEŠENÉ POMOCÍ KVADRATICKÝCH ROVNIC... 3 DOPORUČENÁ LITERATURA... 5 3 POUŽITÁ LITERATURA A ZDROJE...
Úvod anotace Výukový materiál Slovní úlohy řešené pomocí kvadratických rovnic se zabývá sestavením a řešením kvadratických rovnic. Pro úspěšné zvládnutí této kapitoly je nezbytné úspěšně zvládnout vzdělávací materiály: Ryze kvadratické rovnice I (Kapitola 10) Kvadratické rovnice bez absolutního členu I (Kapitola 1) Úplné kvadratické rovnice I (Kapitola 14) Ke každé kapitole je vypracován pracovní list sloužící k procvičení a upevnění učiva dle daného tématu. Každý pracovní list je kompletován i s výsledky. Výukový materiál Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice je určen žákům prvních ročníků všech oborů ukončených maturitní zkouškou, včetně žáků nástavbového studia. Je vhodný ksamostudiu i jako podpora pedagogických pracovníků při jejich přípravě na vyučovací hodinu. Rozsah učiva je v souladu s ŠVP předmětu Matematika s ohledem na Katalog požadavků společné části maturitní zkoušky zmatematiky, platný od školního roku 014 i od roku 015/01. 1
1 Slovní úlohy řešené pomocí kvadratických rovnic Příklad 1 Součet druhých mocnin tří po sobě bezprostředně následujících přirozených čísel je 110. Určete tato čísla. Řešení: Označíme nejmenší ze tří neznámých přirozených čísel písmenem. Pak další dvě čísla mají tvar + 1 a +. Jejich druhé mocniny jsou, 1,. Hledáme všechna přirozená čísla, pro která platí 1 110 1 4 4 110 3 105 0 a 3, b, c 105 D=3 4.3.(-105) = 1 9 1, 1 19 3 3 5 3 7 Číslo = -7 není kořenem rovnice, protože nepatří do N. Obor kořenů je tedy Výsledek: Hledaná čísla jsou 5,, 7. 5 K.
1.1 Pracovní list Slovní úlohy řešené pomocí kvadratických rovnic 1. Řešte slovní úlohy: a) Součet dvou čísel je 1, součet jejich druhých mocnin je 1. Určete tato čísla. b) Určete dvě přirozená čísla, z nichž první je o 10 větší než druhé a rozdíl druhých mocnin obou čísel je 300. c) Když dvě sousední strany čtverce zmenšíme o 5 cm, vznikne zase čtverec, který má obsah o 15 cm menší. Jaká je délka strany původního čtverce? d) Obdélník a čtverec mají stejný obsah. Čtverec má stranu o 30 mm kratší než je délka obdélníku a o 5 mm delší než šířka obdélníku. Vypočítejte rozměry obdélníku. e) Obsah obdélníku je 1 040 cm, jeho obvod je 1,3 m. Určete délky jeho stran. f) Dva rezistory zapojené paralelně dávají výsledný odpor Určete odpory obou rezistorů. 10 Ω, zapojené v sérii 1 Ω. 3
Výsledky: 1. Řešte slovní úlohy: a) Součet dvou čísel je 1, součet jejich druhých mocnin je 1. Určete tato čísla. Rovnice: a b 1 Výsledek: čísla 10;11 a b 1 b) Určete dvě přirozená čísla, z nichž první je o 10 větší než druhé a rozdíl druhých mocnin obou čísel je 300. Rovnice: první číslo +10 Výsledek: = 10 druhé číslo 10 300 c) Když dvě sousední strany čtverce zmenšíme o 5 cm, vznikne zase čtverec, který má obsah o 15 cm menší. Jaká je délka strany původního čtverce? Rovnice: 5 15 Výsledek: = 15 cm d) Obdélník a čtverec mají stejný obsah. Čtverec má stranu o 30 mm kratší než je délka obdélníku a o 5 mm delší než šířka obdélníku. Vypočítejte rozměry obdélníku. 30 5 Rovnice: strana čtverce v mm Výsledek: = 150 mm a = 180 mm; b = 15 mm e) Obsah obdélníku je 1 040 cm, jeho obvod je 1,3 m. Určete délky jeho stran. Rovnice: 1040 Výsledek: 40 cm; cm 1 f) Dva rezistory zapojené paralelně dávají výsledný odpor Určete odpory obou rezistorů. Rovnice: R R R 1 1 1 1 1 R R R 10 Ω, zapojené v sérii 1 Ω. Výsledek: R 1 = 10 Ω; R = Ω 4
Doporučená literatura ČERMÁK, Pavel a Petra ČERVINKOVÁ. Odmaturuj! z matematiky. 1. vyd. Brno: Didaktis, 00, 08 s. ISBN 80-8-8538-3. HALOUZKA, Alois. Přehled učiva k maturitní zkoušce z matematiky. 1. vyd. Praha: Fortuna, 00, 40 s. ISBN 80-71-8808-8. KUBÁT, Josef, Dag HRUBÝ a Josef PILGR. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: maturitní minimum. 1. vyd. Praha: Prometheus, 199, 195 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-030-. JANEČEK, František. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy. 5. vyd. Praha: Prometheus,spol. s r. o., 009, 194 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-719-30-8. HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. Praha: Prometheus, 011, 415 s. ISBN 978-807-193-189. 5
3 Použitá literatura a zdroje FENDT, Walter. Java aplety z Matematiky. [online]. 15. 7. 008 [cit. 01-1-7]. Dostupné z: http://www.walter-fendt.de/m14cz/ ČERMÁK, Pavel a Petra ČERVINKOVÁ. Odmaturuj! z matematiky. 1. vyd. Brno: Didaktis, 00, 08 s. ISBN 80-8-8538-3. CHARVÁT, Jura, Jaroslav ZHOUF, Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: rovnice a nerovnice. 3. vyd. Praha: Prometheus, 005, 3 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-154-X. ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: funkce. 3. upr. vyd. Praha: Prometheus, 005, 18 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-14-7. HEJKRLÍK, Pavel. Matematika: sbírka řešených příkladů: rovnice a nerovnice. 1. vyd. Opava: Nakladatelství SSŠP, 00, 55 s. ISBN 978-80-90381-0-5. HEJKRLÍK, Pavel. Matematika: sbírka řešených příkladů: rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou, soustavy rovnic. 1. vyd. Opava: Nakladatelství SSŠP, 00, 55 s. ISBN 978-80-90381-1-. HALOUZKA, Alois. Přehled učiva k maturitní zkoušce z matematiky. 1. vyd. Praha: Fortuna, 00, 40 s. ISBN 80-71-8808-8. PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-099-3. CZUDEK, Pavel. Slovní úlohy řešené rovnicemi: pro žáky a učitele ZŠ, studenty a profesory SŠ: 555 úloh. 3. vyd. Praha: HAV, 005, 153 s. ISBN 80-903-50-8. KUBÁT, Josef, Dag HRUBÝ a Josef PILGR. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: maturitní minimum. 1. vyd. Praha: Prometheus, 199, 195 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-030-. JANEČEK, František. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy. 5. vyd. Praha: Prometheus,spol. s r. o., 009, 194 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-719-30-8.