Zvyšování kvality výuky technických oborů

Transkript

1 Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice Kapitola 6 Kvadratické nerovnice I PaedDr. Iveta Unzeitigová

2 Obsah ÚVOD - ANOTACE... KVADRATICKÉ NEROVNICE I.... PRACOVNÍ LIST KVADRATICKÁ NEROVNICE I... 4 DOPORUČENÁ LITERATURA POUŽITÁ LITERATURA A ZDROJE... 7

3 Úvod anotace Výukový materiál Kvadratické nerovnice I se zabývá výkladem a řešením kvadratických nerovnic. Novému učivu vždy předchází opakování znalostí na dané téma ze základní školy, následuje vysvětlení s ukázkovými příklady a příklady ksamostatnému řešení. Ke každé kapitole je vypracován pracovní list sloužící k procvičení a upevnění učiva dle daného tématu. Každý pracovní list je kompletován i s výsledky. Výukový materiál Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice je určen žákům prvních ročníků všech oborů ukončených maturitní zkouškou, včetně žáků nástavbového studia. Je vhodný ksamostudiu i jako podpora pedagogických pracovníků při jejich přípravě na vyučovací hodinu. Rozsah učiva je v souladu s ŠVP předmětu Matematika s ohledem na Katalog požadavků společné části maturitní zkoušky zmatematiky, platný od školního roku 04 i od roku 05/06.

4 Kvadratické nerovnice I Kvadratickou nerovnicí s neznámou x budeme nazývat každou nerovnici, kterou lze ekvivalentními úpravami převést na jeden z následujících tvarů: ax + bx + c < 0, ax + bx + c > 0, ax + bx + c 0, ax + bx + c 0, kde ar, a 0, br, cr. Zásady řešení kvadratických nerovnic (metoda nulových bodů):. Nerovnici vyjádříme v anulovaném tvaru ax + bx + c < 0,.. Vyřešíme kvadratickou rovnici. 3. Kořeny kvadratické rovnice x, x (průsečíky paraboly s osou x) jsou nulové body, které rozdělí číselnou osu na tři intervaly. 4. Zvolíme bod na ose (kromě nulových) a určíme hodnotu levé strany rovnice v tomto bodu. 5. Znaménka ostatních intervalů určíme z toho, že znaménka se v intervalech střídají. Příklad Řešte v R nerovnici: x 4x 6 x Řešení: Nerovnici x 4x 6 x anulujeme na tvar x x 8 0 a vyřešíme kvadratickou rovnici x x 8 = 0 (x - 4)(x + ) = 0. Kořeny rovnice (nulové body) jsou x = 4 x = - Z předchozích znalostí o průběhu kvadratické funkce f : y x x 8 určíme tvar paraboly.

5 Parabola rozdělí číselnou osu na tři intervaly: ;, ; 4, 4; Zvolíme bod na ose např. x = 5 a určíme hodnotu levé strany rovnice (x - 4)(x + ) = 0 v tomto bodě: L (5) = (5 4 ) (5 + ) = (+).(+) = (+) 0 Znaménka v intervalech se střídají: (+) (-) (+) ; ; 4 4; Výsledek: Z obrázku lze vyčíst (podle znamének) pro která x R platí x x 8 0. Obor kořenů (definiční obor):k = ; 4; Příklad Řešte v R nerovnici: x x 8 < 0 Řešení: x = 4; x = - (+) (-) (+) ; ; 4 4; Výsledek: Obor kořenů (definiční obor): K = ; 4 3

6 . Pracovní list Kvadratická nerovnice I. Řešte kvadratické nerovnice o neznámé x R: a) x 9 0 b) x 9 > 0 c) x 9 0 d) x 9 < 0 e) 9 x 0 f) 9 x < 0 4

7 Výsledky:. Řešte kvadratické nerovnice o neznámé x R: a) x 9 0 (x+3)(x -3) 0 (+) (-) (+) x ; x 3 3 K = ; 3 3; b) x 9 > 0 (x+3)(x -3) > 0 (+) (-) (+) x ; x 3 3 K = ; 3 3; c) x 9 0 (x+3)(x -3) 0 (+) (-) (+) x ; x 3 K = 3; 3 3 d) x 9 < 0 (x+3)(x -3) < 0 (+) (-) (+) x ; x 3 K = 3 3;3 e) 9 x 0 (3+x)(3-x) 0 (-) (+) (-) x ; x 3 K = 3; 3 f) 3 9 x < 0 (3+x)(3-x) < 0 (-) (+) (-) x ; x 3 3 K = ; 3 3; 5

8 Doporučená literatura ČERMÁK, Pavel a Petra ČERVINKOVÁ. Odmaturuj! z matematiky.. vyd. Brno: Didaktis, 00, 08 s. ISBN HALOUZKA, Alois. Přehled učiva k maturitní zkoušce z matematiky.. vyd. Praha: Fortuna, 00, 40 s. ISBN KUBÁT, Josef, Dag HRUBÝ a Josef PILGR. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: maturitní minimum.. vyd. Praha: Prometheus, 996, 95 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN JANEČEK, František. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy. 5. vyd. Praha: Prometheus,spol. s r. o., 009, 94 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. Praha: Prometheus, 0, 45 s. ISBN

9 3 Použitá literatura a zdroje FENDT, Walter. Java aplety z Matematiky. [online] [cit. 0--7]. Dostupné z: ČERMÁK, Pavel a Petra ČERVINKOVÁ. Odmaturuj! z matematiky.. vyd. Brno: Didaktis, 00, 08 s. ISBN CHARVÁT, Jura, Jaroslav ZHOUF, Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: rovnice a nerovnice. 3. vyd. Praha: Prometheus, 005, 3 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN X. ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: funkce. 3. upr. vyd. Praha: Prometheus, 005, 68 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN HEJKRLÍK, Pavel. Matematika: sbírka řešených příkladů: rovnice a nerovnice.. vyd. Opava: Nakladatelství SSŠP, 006, 556 s. ISBN HEJKRLÍK, Pavel. Matematika: sbírka řešených příkladů: rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou, soustavy rovnic.. vyd. Opava: Nakladatelství SSŠP, 006, 556 s. ISBN HALOUZKA, Alois. Přehled učiva k maturitní zkoušce z matematiky.. vyd. Praha: Fortuna, 00, 40 s. ISBN PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy.. vyd. Praha: Prometheus, 998, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN CZUDEK, Pavel. Slovní úlohy řešené rovnicemi: pro žáky a učitele ZŠ, studenty a profesory SŠ: 555 úloh. 3. vyd. Praha: HAV, 005, 53 s. ISBN KUBÁT, Josef, Dag HRUBÝ a Josef PILGR. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: maturitní minimum.. vyd. Praha: Prometheus, 996, 95 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN JANEČEK, František. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy. 5. vyd. Praha: Prometheus,spol. s r. o., 009, 94 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN