Zvyšování kvality výuky technických oborů

Transkript

1 Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV.2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.2.2 Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice Kapitola 16 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice I PaedDr. Iveta Unzeitigová

2 Obsah ÚVOD - ANOTACE VZTAHY MEZI KOŘENY A KOEFICIENTY KVADRATICKÉ ROVNICE I PRACOVNÍ LIST - VZTAHY MEZI KOŘENY A KOEFICIENTY KVADRATICKÉ ROVNICE I DOPORUČENÁ LITERATURA POUŽITÁ LITERATURA A ZDROJE... 7

3 Úvod - anotace Výukový materiál Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice I se zabývá výkladem a řešením obecných kvadratických rovnic, řešených pomocí Viètových vzorců. Ke každé kapitole je vypracován pracovní list sloužící k procvičení a upevnění učiva dle daného tématu. Každý pracovní list je kompletován i s výsledky. Výukový materiál Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice je určen žákům prvních ročníků všech oborů ukončených maturitní zkouškou, včetně žáků nástavbového studia. Je vhodný ksamostudiu i jako podpora pedagogických pracovníků při jejich přípravě na vyučovací hodinu. Rozsah učiva je v souladu s ŠVP předmětu Matematika s ohledem na Katalog požadavků společné části maturitní zkoušky zmatematiky, platný od školního roku 2014 i od roku 2015/

4 1 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice I Každou kvadratickou rovnici můžeme převést na normovaný tvar. Provedeme to tak, že obecnou kvadratickou rovnici ax 2 + bx + c = 0 vydělíme koeficientem a. Získáme rovnici 2 b c b c x x 0. Zavedeme nové koeficienty p, q a rovnici přepíšeme. Nová a a a a rovnice tvaru x 2 + px + q = 0 se nazývá normovaná kvadratická rovnice. V normované kvadratické rovnici platí následující vztahy - Viètovy vzorce: x 1 + x 2 = -p x 1 x 2 = q 2 kde p,q R, p 4q 0. Pro kořeny x 1, x 2 normované kvadratické rovnice platí zápis: x 2 + px + q = (x x 1 )(x x 2 ) Příklad 1 Na základě Viètových vzorců určete kořeny rovnice: x 2 + 8x + 15 = 0 Řešení: V rovnici určíme kořeny x 2 + 8x + 15 = 0 součet součin Součin kořenů se musí rovnat 15, součet 8. Snadno uhádneme, že kořeny jsou čísla 3 a 5. Zapíšeme ve tvaru součinu závorek (x x 1 )(x x 2 ) = 0 Výsledek: Kořeny dané rovnice jsou čísla x 1 = 3, x 2 = 5. Obor kořenů: K = 3;5 (x 3)(x 5) = 0 x 1 = 3 x 2 = 5 2

5 Příklad 2 Na základě Viètových vzorců určete kořeny rovnice: x 2 - x 12 = 0 Řešení: V rovnici určíme kořeny x 2 - x 12 = 0 součet součin Čísla, jejichž součin je -12 a součet -1, jsou -4 a 3. Zapíšeme ve tvaru součinu závorek (x x 1 )(x x 2 ) = 0 Výsledek: Kořeny dané rovnice jsou čísla x 1 = -4, x 2 = 3. Obor kořenů: K = 4;3 (x + 4)(x 3) = 0 x 1 = -4 x 2 = 3 3

6 1.1 Pracovní list - Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice I 1. Na základě Viètových vzorců rozložte kvadratické trojčleny na součin a určete kořeny rovnic v R : a) x 2 + 3x 4 = 0 b) x 2 + 7x + 10 = 0 c) x 2-7x + 10 = 0 d) x 2-3x 10 = 0 e) x 2 + 3x 10 = 0 f) x 2 + 7x + 12 = 0 g) x 2 + 4x 12 = 0 h) x 2-13x + 12 = 0 Výsledky (kvadratické trojčleny rozloženy v součin): 1. a) (x + 4)(x 1) b) (x + 2)(x + 5) c) (x - 2)(x 5) d) (x + 2)(x 5) e) (x - 2)(x + 5) f) (x + 4)(x + 3) g) (x - 2)(x + 6) h) (x - 1)(x 12) 4

7 Výsledky (kořeny rovnic): 1. a) -4;1 b) -2;-5 c) 2;5 d) -2; 5 e) 2;-5 f) -4;-3 g) 2;-6 h) 1;12 5

8 2 Doporučená literatura ČERMÁK, Pavel a Petra ČERVINKOVÁ. Odmaturuj! z matematiky. 1. vyd. Brno: Didaktis, 2002, 208 s. ISBN HALOUZKA, Alois. Přehled učiva k maturitní zkoušce z matematiky. 1. vyd. Praha: Fortuna, 2002, 240 s. ISBN KUBÁT, Josef, Dag HRUBÝ a Josef PILGR. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: maturitní minimum. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996, 195 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN JANEČEK, František. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy. 5. vyd. Praha: Prometheus,spol. s r. o., 2009, 194 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. Praha: Prometheus, 2011, 415 s. ISBN

9 3 Použitá literatura a zdroje FENDT, Walter. Java aplety z Matematiky. [online] [cit ]. Dostupné z: ČERMÁK, Pavel a Petra ČERVINKOVÁ. Odmaturuj! z matematiky. 1. vyd. Brno: Didaktis, 2002, 208 s. ISBN CHARVÁT, Jura, Jaroslav ZHOUF, Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: rovnice a nerovnice. 3. vyd. Praha: Prometheus, 2005, 223 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN X. ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: funkce. 3. upr. vyd. Praha: Prometheus, 2005, 168 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN HEJKRLÍK, Pavel. Matematika: sbírka řešených příkladů: rovnice a nerovnice. 1. vyd. Opava: Nakladatelství SSŠP, 2006, 556 s. ISBN HEJKRLÍK, Pavel. Matematika: sbírka řešených příkladů: rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou, soustavy rovnic. 1. vyd. Opava: Nakladatelství SSŠP, 2006, 556 s. ISBN HALOUZKA, Alois. Přehled učiva k maturitní zkoušce z matematiky. 1. vyd. Praha: Fortuna, 2002, 240 s. ISBN PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN CZUDEK, Pavel. Slovní úlohy řešené rovnicemi: pro žáky a učitele ZŠ, studenty a profesory SŠ: 555 úloh. 3. vyd. Praha: HAV, 2005, 153 s. ISBN KUBÁT, Josef, Dag HRUBÝ a Josef PILGR. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: maturitní minimum. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996, 195 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN JANEČEK, František. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy. 5. vyd. Praha: Prometheus,spol. s r. o., 2009, 194 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN