Uvažování o znalostech (agentů)

Flozofové se snažl ochot a analyzovat vlastnost znalostí v říadě jedného ndvdua. Uvažování o znalostech (agentů) Ale jádrem aždé analýzy onverzace obchodního vyjednávání rotoolu řízeného událostm v dstrbuovaném rostředí je nterace mez (více) agenty Naš agent mohou být vyjednávač, omunující robot, vodče, amět nebo složté očítačové systémy 1 2 Agent ve suně musí brát v úvahu fata, terá jsou ravdvá v oolním světě, ale taé znalost ostatních agentů ve suně. Přílad Dean neví, jestl Nxon ví, že Dean ví, že Nxon ví, že McCord se vloual do O Brenovy anceláře ve Watergate. Většna ldí se rychle ztrácí v tato zahnízděné suně znalostí. Přílad. Běžně se setáváme se stuací, dy aždý ve suně ví určtý fat. Každý řdč ví, že červená je stůj a zelená volno, ale samotným tímto fatem se nemusí cítt bezečněj, oud neví, že aždý zná toto ravdlo a dodržuje ho. V něterých alacích nestačí toto dvoustuňové vědění. 3 4

V něterých stuacích je třeba uvažovat stav, dy současně aždý ví nějaý fat F, aždý ví, že aždý ví F, aždý ví, že aždý ví, že aždý ví F atd. V tao vém říadě říáme, že suna má solečnou znalost F. Solečná znalost je často nutná orozumění v dsus je často odmínou dosažení dohody Zablácené dět. Výchozí stav n dětí s solečně hraje, o určté době se dětí zablátí na místě, teré nemohou vdět, nařílad na čele. Otec jednoho z nch: nejméně jeden z vás má bláto na čele. {to je fat známý aždému dítět, je-l > 1} Otec se oaovaně tá ví nědo z vás zda má bláto na čele? - 1 rát všechny dět odoví NE, v -tém ole všechny zablácené dět odoví ANO. První ous o důaz nducí odle. 5 6 Označíme-l tvrzení nejméně jeden z vás má bláto na čele ísmenem zdá se, že otec tímto tvrzením neosytl žádnou nformac v říadech > 1. Kdyby otec neřel, zablácené dět nebudou ndy schony usoudt, že mají bláto na čele. Inducí odle q se dá doázat, že bez ohledu na stuac t.j na očet zablácených dětí, všechny dět odoví NE na rvních q otáze. Analýza: dříve než otec řene aždá ví ( > 1), ale není vždy ravda, že aždý ví, že aždý ví. Je-l očet zablácených dětí = 2, není těžé uázat,že nelatí, že aždý ví, že aždý ví. Naoa, je-l = 3, tvrzení že aždý ví, že aždý ví, ale nelatí, že aždý ví,že aždý ví, že aždý ví. (3 rá Označme E tvrzení ( aždý ví, že) latí C tvrzení, že solečná znalost Cvčení Je-l zabláceno rávě dětí, dříve než otec romluví, latí E 1 ale nelatí E. Otcovo rohlášení mění stav znalostí dětí z na C. E 1 7 8

Model znalostí Kreho model možných světů. Idea. romě sutečného stavu světa exstuje jstý očet možných stavů - možné světy. S nformacem, teré agent má, nemusí být schoen říc, terý z možných světů osuje sutečný stav. Defnce říáme, že agent zná fat, jestlže je ravdvé ve všech stavech, teré agent oládá za možné (vzhledem nformacím, teré má). Přílad. Agent1 se rochází ulcem Ústí nad Labem, de je slunný den, ale nemá nformac o očasí v Humolc. Tedy ve všech světech, teré Agent1 oládá za možné, je v Ústí nad Labem slunný den. Na druhé straně, rotože agent neví jaé očasí je v Humolc, v něterých z jeho možných světů v Humolc rší a v jných je v Humolc slunný den. Agent1 tedy ví, že v Ústí nad Labem je slunný den, ale neví, je-l slunný den taé v Humolc. 9 10 Intutvně, čím méně světů agent ovažuje za možné, tím je menší jeho nejstota a tím více toho agent ví. Jestlže Agent1 zísá ze solehlvého zdroje nformac, že v Humolc je slunný den, a jž nemusí dále uvažovat jao možné ty světy, ve terých v Humolc rší (je zataženo, mlha a odobně). Abychom mohl tyto myšleny vyjádřt řesně, otřebujeme jazy, terý by dovoll vyjádřt ojmy týající se znalostí jednoznačným zůsobem. Použjeme jazy výroové modální logy. Předoládejme, že máme sunu n agentů, teré ojmenujeme 1, 2,..., n, teří chtějí uvažovat o světě, terý se dá osat nerázdnou množnou rvotních výroů Φ, teré budeme označovat.,,q, q,... Prvotní výroy vyjadřují záladní fata o světě, nařílad v Humolc rší, Mařena je zablácená. 11 12

Abychom mohl vyjádřt tvrzení Karel ví, že rší v Humolc rozšíříme jazy o modální oerátory K, aždý ro jednoho agenta. 1, K2, K Kn Výraz čteme agent ví. K K jazyu atří taé záladní výroové sojy a z nchž se dají ostatní sojy defnovat. 13 Formule. Φ Formule A, B Formule A, ( A B) Formule A Formule & 1 n K A Formule Standardní zraty z výroové logy A B za ( A B) A B za A B A B za (( A B) ( B A)) true za false za true { je evně zvolená rvotní formule } 14 Přílad. a) K1 K2 K2K1K2 Uvažujme tvrzení Dean neví zda Nxon ví, že Dean ví, že Nxon ví, že McCord se vloual do anceláře O Brena ve Watergate. Agent1 ví, že agent2 ví, ale agent2 neví, že agent1 ví, že agent2 ví. b) možnost cháeme jao duální e znalost. Agent1 ovažuje A za možné, jestlže neví A. K 1 A Označíme-l Deana za agenta 1, Nxona za agenta 2 a za výro McCord se vloual do anceláře O Brena ve Watergate. Pa uvedené tvrzení lze zasat tato K1 2 1 2 1 2 1 2 ( K K K ) K ( K K K ) 15 16

K Sémanta (naší) modální logy. Kreho sémanta možných světů. Kreho strutura M ro n agentů nad množnou rvotních formulí Φ je (n+2)-tce ( S, π, K1, K2, K, Kn) de S je množna možných světů nebo rátce stavů, π je nterretace stavů, terá aždému stavu s řřazuje ravdvostní ohodnocení rvotních formulí z Φ, tedy π( s) : Φ { true, false} a jsou bnární relace na S. Na začátu našeho výladu, budeme ředoládat, že tyto relace jsou evvalence. Potom ( s, K ( t, s) K Znamená-l ( s, K, že agent ve stavu s ovažuje svět t za možný, a ze symetre a tranztvty lyne, že agent má v s t stejnou nformac o světě (stejnou množnu možných světů). Stavy s a t jsou ro něj nerozlštelné, tento řístu se dá oužít u řady alací. 17 18 Sémanta možných světů. Budeme defnovat ojem (M, s) = A, terý čteme formule A latí ve strutuře M a stavu s nebo A je slněna v (M, s). Postuujeme nducí odle strutury A. ( ) = rávě dyž π( s)( ) = true { Φ} ( ) = A rávě dyž =/ ( ) = A B rávě dyž = A a = B ( v) = K A rávě dyž A ( M, = A ro všechna t, ( s, K Kreho strutury lze zobrazt jao ohodnocené orentované grafy. Uzly grafu jsou stavy s S. Uzly jsou ohodnoceny množnou rvotních formulí, teré v s latí. Orentované hrany ohodnocujeme množnam agentů, ohodnocení hrany z uzlu s do t obsahuje ndex, jestlže s, K. ( 19 20

Přílad. Nechť Φ = {} a n = 2, tedy náš jazy má jednu rvotní formul a exstují dva agent. Uvažujme Kreho struturu de () S = {s, t, u} M = ( S, π, K 1, K 2 ) () je ravdvé ve stavech s a u, tedy () agent1 neumí rozlšt stav s od t, taže K 1 = {( s, s),( s,,( t, s),( t,,( u, u)} agent2 neumí rozlšt stav s od u, tedy K 2 = {( s, s),( s, u),( u, s),( t,,( u, u)} Stuac znázorníme následujícím grafem, terý osuje relace. K π(s)() = π(s)(u) = true a π(s)( = false 21 22 1, 2 Je-l výro v Ústí nad Labem je slunný den, otom ve stavu s je v Ústí nad Labem slunný den, ale algent1 o tom neví, rotože ve stavu s ovažuje za možné oba stavy s a t. 1, 2 t s 1 2 u 1, 2 Agent1 je s vědom, že s a t jsou dva různé stavy, to co chceme říc je, že agent1 nemá dostatečné nformace, aby rozlšl stavy s a t. Agent2 ve stavu s, ví že v Ústí nad Labem je slunečno, rotože ve stavu s ovažuje za možné jen stavy s a t a v obou latí. Agent2 ví ve stavu t jaý je sutečný stav, že není slunečno. 23 24

Z toho lyne, že ve stavu s, agent1 ví, že agent2 ví v zda v Ústí nad Labem je slunný den nebo ne v obou stavech, teré agent1 ovažuje za možné ve stavu s, jmenovtě je stavech s a t, agent2 zná sutečný stav věcí v obou z nch. Tedy ačolv agent1 neví ve stavu s sutečnou stuac, ví že agent2 zná sutečnou stuac ve stavu s. V ontrastu tomu, dyž agent2 ve stavu s ví, že v Ústí nad Labem je slunný den, neví, že agent1 nezná tento fat {v jednom světě, terý agent2 ovažuje za možný, jmenovtě u agent1 ví že v Ústí je slunečno, ale ve druhém možném světě agenta2, jmenovtě s agent1 tento fat neví}. 25 Tato omlovaná úvaha může být shrnuta do jedného sémantcého tvrzení = K1 K2 K1( K2 K2 ) K2 K1 Protože ve stavech s a u má naše jedná rvotní formule stejné ohodnocení, zdálo by se, že je možné jeden z nch vynechat. To ale není možné. Stav není určen jen ravdvostním ohodnocením, ale taé relacem mez možným světy. Kdyby agent1 ovažoval ve stavu s za možný stav u místo stavu t, věděl by jaá je stuace ve stavu s. 26 Zatím jsme racoval s výroovou modální logou. Nemáme zde vantfac rvního řádu unverzální an exstenční, roto nemůžeme osat výroy: Mařena umí vyjmenovat (zná jménem) všechny rajsé hejtmany. V redátové modální logce bychom nasal ( x)( Kraj( x) ( y)( K Krajsý _ hejtman( x, y)) Mařena V dalším zůstaneme u výroové modální logy, terá ostačí ro naše účely a vyhneme se ta omlovaným stuacím, teré řnáší redátová modální loga. Všeobecné a dstrbuované znalost K vyjádření těchto ojmů řdáme do jazya tř modální oerátory E {" aždý ve suně ví"} C {" je to všeobecná znalost mez agenty v " } {" je to dstrbuovaná znalost mez agenty v " } D ro aždou nerázdnou odmnožnu množny [1, 2,..., n]. Je-l A formule, otom E A, C A a D A jsou taé formule. 27 28

Přílad. K3 2] C[ 1, agent3 ví, že není všeobecná znalost mez agenty 1 a 2. D q C q q je dstrbuovaná znalost, ale není to znalost všeobecná. Není těžé defnovat sémantu těchto oerátorů. Nejrve defnujme terac oerátoru. E E 0 n+ 1 n A A E A E E A Defnujeme = E A = K A ro všechna = C A = E A ro všechna Oba ojmy mají zajímavou grafovou nterretac, je-l nerázdná odmnožna agentů, říáme, že stav t je -dosažtelný ze stavu s v rocích, jestlže exstuje oslounost stavů s s0, s1, K, s t taová, že ro aždé j, 0 j < exstuje taové, že ( s Říáme, že t je -dosažtelné z s, je-l j, s j+ 1) K. -dosažtelné o onečném očtu roů. 29 30 Lemma. ( ) = E A ( M, = A ro aždé t, dosažtelné v dosažtelné z s. rocích ( ) = C A ( M, = A ro aždé t, Důaz. () se doáže nducí odle, () lyne z (). Obě tvrzení se doáží ro lbovolné relace K, žádná jejch vlastnost se neředoládá. Dstrbuované znalost. Vraťme se našemu modelu z Ústí nad Labem. Ve stavu s agent1 ovažuje za možné oba stavy s t, ale ne stav u. Přtom agent2 ovažuje za možné stavy s a u, zatímco stav t ne. Kdo by uměl využít znalost obou agentů, by věděl, že možný je jenom stav s : agent1 má dost znalostí, aby mohl vyloučt stav u a agent2 by ze stejného důvodu vyloučl stav t. 31 32

Obecně, ombnujeme znalost agentů ze suny, abychom vyloučl všechny světy, teré něterý agent ovažuje za nemožné. Tomu odovídá růn relací K. Defnujeme = D A ( M, = A ( s, ro aždé t, I K Přílad. Karetní hra = { 1, 2 } hrají dva hráč 1 a 2 c = { A, B, C} tř arty A, B, C Φ = { 1A, 1B, 1C, 2A, 2B, 2C, 3A, 3B, 3C } rvní hráč drží artu A S = { (A,B), (A,C), (B, A), (B, C), (C, A), (C, B) } množna stavů: rvní hráč drží A, druhý B,... π((a, B))(1A) = true π((a, B))(1B) = false... M = (S, π, K 1, K 2 ) 33 34 Snadno se ověří ( M, ( A, B)) = C ( 1A 1B 1C ) ( M, ( A, B)) = C ( 1B ( 2A 2C)) ( M, ( A, B)) = D ( 1A 2B) 35