1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti

Transkript

1 1. Úvod do záladních pojmů teore pravděpodobnost 1.1 Úvodní pojmy Většna exatních věd zobrazuje své výsledy rgorózně tj. výsledy jsou zísávány na záladě přesných formulí a jsou jejch nterpretací. em je většna výsledů lascé fyzy ( výpočet hmotnost, rychlost, teploty ), cheme( stavové rovnce). Přesto se v procesu vývoje ldsé společnost postupně objevovaly jevy, jejchž přesný výslede nebylo možno určt jao první jsou uváděny lascé hazardní hry jž v raném středověu ( vrhcáby nebol hod ostou nebo ostam, aretní hry ). Taovýchto případů stále přbývalo doonce v exatních vědách. Začalo mít proto smysl se jm důladněj zabývat. Matematcou nterpretací taovýchto jevů se zabývá obor teore pravděpodobnost. Jedním ze záladních pojmů teore pravděpodobnost je náhodný pous. Je to děj, terý je možno lbovolněrát opaovat ( alespoň hypotetcy ), přčemž výsledy taovýchto dějů nejsou jednoznačně určeny vstupním podmínam. Podle taovéhoto popsu jsou dříve uvedené přílady hodu ostou, hraní aret jednoduchým případy náhodných pousů. Nás nebude zajímat vlastní provádění náhodných pousů, ale především výsledy taovýchto dějů. To nás samozřejmě vede pojmu náhodného jevu. Náhodným jevem budeme rozumět lbovolný výro (tvrzení )o výsledu náhodného pousu, o terém lze po provedení náhodného pousu prohlást za je č není pravdvé. V tomto textu budeme náhodné jevy označovat zásadně velým písmeny abecedy. y taovýchto náhodných jevů může být padnutí čísla 3 př hodu ostou, vylosování čísle př tahu sporty, pohlaví narozeného dítěte, přítomnost elementární částce na daném místě, odpověď na otázu v dotazníu atd. Všechny možné výsledy náhodného pousu ( např. hodu ostou ) budeme dále označovat symbolem Ω a nazývat záladní množnou. Jestlže provádíme hod ostou je záladní množnou Ω ={1,2,3,4,5,6}. V případě, že množna Ω je onečná nebo spočetná mluvíme o tzv. lascé teor pravděpodobnost ( podrobnost jsou uvedeny v poznámce I. a II. na onc této aptoly ).. Představme s, že budeme postupně zoumat produc určtého výrobu přímo na onc výrobní lny. Symbolem A označíme náhodný jev výrobe je valtní, symbolem A výrobe je nevaltní. Budeme s delší časovou perspetvou zaznamenávat postupně náhodné jevy A a A ta ja budou výroby vyráběny. O povaze náhodného jevu A nebude vypovídat počet realzací A, ale bude mít smysl zjšťovat jaý je podíl valtních výrobů na celé výrobě. Celový objem valtních výrobů označujeme v teor pravděpodobnost a statstce jao absolutní četnost valtních výrobů a podíl valtních výrobů na celovém množství výrobů jao relatvní četnost valtních výrobů V dále uvedeném grafu můžeme pozorovat přblžování hodnoty relatvní četnost náhodného jevu A př zvětšování počtu náhodných pousů určtému číslu. Toto číslo můžeme za daných podmíne sutečně tomuto jevu jednoznačně přřadt a nazýváme ho pravděpodobností náhodného jevu A. Způsob zavedení pojmu pravděpodobnost je v tomto případě netradční jde o tzv. statstcý přístup. Na záladě obrázu 1.1 provedeme tedy onstruc pravděpodobnost náhodného jevu A ( dále A) ), zároveň uveďme jaé jsou záladní vlastnost taovéhoto pojmu pravděpodobnost : 1. Pravděpodobnost A) nabývá hodnot mez 0 a 1. Náhodný jev, pro terý je A) = 0 nazýváme jev nemožný ; jestlže A) = 1 nazýváme náhodný jev jao jev jstý.

2 2. Př provádění náhodného pousu mnohorát ( 1000x, 10000x atd. ) je určté, že relatvní četnost výsytu náhodného jevu se nemusí rovnat ( a většnou taé nerovná ) hodnotě A), bude se od ní vša jen nepatrně lšt. 3. Jestlže tedy budeme chtít ověřt, zda náhodný jev je č není jstý je možné opaovat mnohorát náhodný pous, poud je výslede jen nepatrně odlšný od jedné ( menší než jedna ) je pratcy zřejmé, že př jedném náhodném pousu náhodný jev nastane. Podobné tvrzení lze uvést o jevu nemožném. 4. Taovýto přístup tvorbě pravděpodobnost je možný jen tam, de můžeme sutečně reálně opaovat náhodné pousy a výsledy nterpretovat jao pravděpodobnost, selže tam, de by opaování bylo možné, ale z určtých důvodů nemožné. Proto se teore pravděpodobnost většnou jao matematcá teore buduje axomatcy vz [1] nebo poznáma I. na onc této aptoly. Relatvní četnost valtních výrobů 1 0,98 0,96 0,94 0,92 0,9 0,88 0, počet výrobů Poud bychom se zabýval naším onrétním případem dále a prováděl šetření něol dní mohl bychom zísat napřílad výslede uvedený v tabulce 1.1. Údaje, teré jsou v tabulce uvedeny podporují grafcé výsledy, lze z nch tedy usuzovat, že pravděpodobnost vyrobeného výrobu se nemění a je rovna přblžně 0,957. Den Počet vyrobených výrobů Relatvní četnost valtních výrobů , , , , , , ,951

3 ,957 Celem , Záony pro prác s náhodným jevy a pravděpodobnostm Př pratcé prác se většnou setáváme s úoly, teré závsí často na více než na jednom náhodném jevu. Napřílad př určté odpověd v dotazníu sledujete zároveň tuto odpověď, ale zároveň j onfrontujete s fatem pohlaví respondenta. Proto je důležté se zabývat artmetou záonů teore pravděpodobnost. Budeme tedy dále uvádět jsté defnce záladních pojmů. Jev opačný náhodnému jevu A je náhodný jev B taový, že nastává právě tehdy, dyž náhodný jev A nenastává. : A př hodu ostou padne 6; jev B př hodu ostou padnou buď 1 nebo 2 nebo 3 nebo 4 nebo 5. Jevy A a B se nazývají neslučtelné, jestlže nemohou oba nastat součastně. Bude l náhodným jevem A např. padnutí 6, B může být např. náhodný jev padnutí lchého čísla. Důležté je, že pro dva náhodné jevy A a B platí, že sjednocení ( sečtení ) náhodných jevů A a B je taé náhodný jev C = A U B. Tento náhodný jev tedy nastává právě tehdy, dyž nastává aspoň jeden z náhodných jevů A, B. Podle poznámy I. na onc této aptoly je náhodným jevem doonce lbovolné onečné nebo spočetné sjednocení náhodných jevů. Podobně pro dva náhodné jevy A a B platí, že průn náhodných jevů A,B je opět náhodný jev C = A B.Tento náhodný jev nastává právě tehdy, dyž nastávají oba náhodné jevy A, B součastně. Podobně jao u předchozího případu platí, že onečné nebo spočetné průny náhodných jevů jsou opět náhodné jevy : Náhodný jev A nastává př hodu ostou, jestlže padne 3 nebo 6. Náhodný jev B nastane, jestlže padne sudé číslo. Potom C = A U B = {2;3;4;6} ; dále C = A B = {6}. Pro vlastní výpočty pravděpodobností jstých stuací je důležté se naučt pracovat s hodnotou pravděpodobnost náhodného jevu jao s určtou mírou, terá má jsté vlastnost : A. I. Vlastnost doplňu. Nechť A je náhodný jev a B je jev opačný náhodnému jevu Potom platí B ) = 1 A ) (1.1) II. Vlastnost sjednocování. Jestlže náhodné jevy A, B jsou neslučtelné, potom platí A U B ) = A ) + B ) (1.2) Přesné nformace nalezne čtenář buď v poznámce I. na onc této aptoly nebo v [1]. Z těchto vlastností můžeme odvodt jednu velm důležtou nformac o obecné hodnotě pravděpodobnost sjednocení č průnu dvou náhodných velčn. Tvrzení Nechť A, B jsou náhodné jevy potom platí A U B ) = A ) + B ) A B ) (1.3) Důaz: Provedeme obrázem 1.2

4 A U B A A» B B Z obrázu je zřejmé, že sjednocení náhodných jevů A a B je možno upravt na sjednocení tří neslučtelných náhodných jevů. Poud tedy sečteme pravděpodobnost náhodných jevů A a B je výslede nutně větší o pravděpodobnost průnu těchto náhodných jevů, neboť ten se vysytuje v obou náhodných jevech součastně, počítal bychom ho tedy dvarát poračování Počítáme pravděpodobnost nyní nol pomocí statstcé defnce pravděpodobnost, ale pomocí defnc uvedených v poznámce I. na onc této aptoly. A ) = 2 / 6 = 0,33 ; B ) = 3 / 6 = 0,5. A B ) = 1 / 6 = 0,167 ; A U B ) = 4 / 6 = 2 / 3 = 0,67 nebo podle (1.3) A U B ) = 0,33 + 0,5-0,167 = 0,67 Př řešení něterých onrétních stuací nás nezajímá přímo otáza pravděpodobnost určtého náhodného jevu A, ale řešíme stuac výsytu náhodného jevu A za podmíny, že zároveň nastal určtý náhodný jev B ( předpoládáme, že jev B není nemožný ). Napřílad nás mohou zajímat odpověd na určtou otázu v dotazníu za předpoladu, že respondent byl muž. Pro řešení taovýchto stuací byl vymyšlen celý matematcý aparát tzv. podmíněných pravděpodobností. Prncpální myšlenou je zahrnout do výpočtu pravděpodobnost ( podmíněné ) jevu A jen tu část, terá je společná oběma náhodným jevům. Proto nás nepřevapí následující defnce podmíněné pravděpodobnost jevu A vzhledem náhodnému jevu B( opět ne nemožnému ) jao A = (1.4). Z výrazu (1.4) můžeme odvodt pravděpodobnost průnu dvou náhodných jevů A a B pomocí podmíněné pravděpodobnost jao P ( A =. (1.5) PA ( = PB ( / APA ). ( ) (1.5 ) Zjstěte hodnotu podmíněné pravděpodobnost náhodného jevu A vzhledem náhodnému jevu B z příladu Hodnotu podmíněné pravděpodobnost zjstíme pomocí výsledů příladu Tedy A 0,167 = = = 0,33. 0,5 Toto číslo vyjadřuje relatvní četnost náhodného jevu A mez případy, dy zároveň nastal náhodný jev B. Pro vlastní prác s pojmem pravděpodobnost náhodného jevu je velm důležtý pojem nezávslost náhodných jevů ( dvojce náhodných jevů ). Intutvně cítíme, že jevy A a B

5 jsou nezávslé, jestlže výsyt jednoho náhodného jevu neovlvňuje výsyt druhého náhodného jevu. Bude tedy podstatné pro zoumání této vlastnost chování pravděpodobnost průnu náhodných jevů A a B. Matematcým vyjádřením této myšleny je to, že hodnota podmíněné pravděpodobnost jednoho náhodného jevu vůč druhému musí být rovna nepodmíněné pravděpodobnost. Tedy A / B ) = A ) nebo velm podobně B / A ) = B ). Odsud můžeme odvodt jný způsob defnce nezávslost náhodných jevů A a B : Defnce 1.1 Náhodné jevy A, B ( an jeden není nemožný ) nazveme nezávslé právě tehdy, dyž P ( A = A). (1.6) Defnc 1.1 o nezávslost náhodných jevů lze rozšířt na lbovolný počet nezávslých jevů A 1, A 2,,A. Označíme-l C jev, terý spočívá v současném výsytu těchto jevů, tj. C= A 1 A 2, A, potom pravdlo o násobení pravděpodobností má tvar C ) = A 1 A 2, A ) = A 1 ) A ) (1.7) V daném ročníu na gymnázu, terý má 240 žáů bylo hodnoceno v matematcé ompozc známou výborně 30 žáů, v ompozc z česého jazya celem 40 žáů. 5 žáů bylo hodnoceno známou výborně z obou ompozc. Zjstěte, zda náhodný jev být výborný z matematy je nezávslý na výborném hodnocení z česého jazya. Podle vzorce (1.6) nejdříve zjstíme příslušné odhady pravděpodobností jednotlvých náhodných jevů. Pravděpodobnost být výborný v matematce je tedy rovna 30 / 240 = 0,125 ; pravděpodobnost být výborný v česém jazyce je rovna 40 / 240 = 0,167; podle uvedených údajů je pravděpodobnost být zároveň výborný v obou předmětech rovno 5 / 240 = 0,021. Zjstíme, zda platí vztah (1.6): 0,125. 0,167 = 0,021. Oba náhodné jsou tedy nezávslé Po provedení průzumu názorů občanů ve vzoru 1500 ldí odpovědělo 820 respondentů ladně na otázu zda se jejch celová stuace zlepšla. Celový počet mužů ve vzoru byl 710. Na otázu záporně odpovědělo 600 ldí, z toho 300 mužů. Nechť A je náhodný jev celová stuace se zlepšla, B je náhodný jev celová stuace se nezlepšla, C je náhodný jev respondent je muž, D je náhodný jev respondent je žena. Určete odhad podmíněné pravděpodobnost A / C) a B / D ). Abychom zísal odhad podmíněné pravděpodobnost A / C) je nutné podle vzorce (1.4) postupně zjst hodnoty A C) a C).Náhodný jev A C obsahuje muže,u nchž se stuace zlepšla. Celový počet taovýchto mužů podle zadání je roven 410, celový počet mužů je roven 710, proto A C) = 410 / 1500 = 0,273; C).= 710 / 1500 = 0,473. Použjeme l vzorec (1.4) je C) = 0,273 / 0,473 =0,577. Poud budeme počítat přímo, ta počet mužů splňující naše podmíny je roven 410 a celový počet mužů je 710, tedy počítejme ještě jednou podmíněná pravděpodobnost A C) = 410 / 710 = 0,577. Obdobně budeme postupovat v případě výpočtu B / D ). Nejdříve určíme počet prvů množny D ( žen ) ten je roven = 790 žen. Pro výpočet je podstatné zjštění počtu prvů B D tedy žen,teré nejsou spoojeny. Tento počet je roven 300. Tedy počítejme B D)=300/1500 = 0,2; D) = 790 / 1500 = 0,523, pro je B/D) = 0,2 / 0,523 = 0,382. Budeme l počítat přímo zísáme tuto hodnotu jao podíl 300 a 790.

6 1.2.5 Zjstěte za předchozích podmíne, zda náhodné jevy A a C resp.b a D jsou nezávslé. Použjeme rovnost (1.6) pro nezávslé náhodné jevy A a C platí A C) = A). C). V našem případě je A C) = 410 / 710 = 0,577, A) = 820 / 1500 = 0,547; C) = 710/1500 = 0,473. Poud by měl být náhodné jevy nezávslé musí platt (1.6), ale A).C) = 0,259. Náhodné jevy A a C nejsou tedy nezávslé. Postupujme obdobně u náhodných jevů B a D. B D)=300/1500 = 0,2; D) = 790 / 1500 = 0,523 ; = 680 / 1500 = 0,453. Zjstěme tedy hodnotu. D) = 0,523. 0,453 =0,237. Náhodné jevy B a D nejsou nezávslé. 1.3 Věta o úplné pravděpodobnost a Bayesův vzorec Vzorce pro podmíněnou pravděpodobnost sam o sobě nemají velý význam, jejch využtí př výpočtech je velm důležté právě pro exstenc tvrzení typu Bayesova vzorce resp. Věty o úplné pravděpodobnost. Věta o úplné pravděpodobnost Nechť náhodné jevy {B }, de =1,,n jsou navzájem neslučtelné a dále je B )>0. Nechť dále pro náhodný jev A platí, že n A.Potom Důaz: n = 1 B =1 A) = B ). ) (1.8) n B =1 B Protože platí A, platí tato nluze A ( A B ) A. = 1 Pravděpodobnost je podle poznámy II. na onc této aptoly monotóní tedy platí n A) = A B ) = B ). B ). = 1 = 1 Q.E.D. n Pro platnost tohoto tvrzení je podstatné, že systém náhodných jevů B je vzhledem náhodnému jevu A úplný tj. aždý prve množny A se nachází v právě jedné množně B. Nechť A je náhodný jev nutnost jsté opravy určtého typu automoblu. Pravděpodobnost opravy tohoto typu automoblu za předpoladu stáří automoblu do dvou let ( náhodný jev B 1 ) je rovna 0,1; pravděpodobnost opravy tohoto typu automoblu za předpoladu stáří automoblu od 2 do 7 let ( náhodný jev B 2 ) je rovna 0,5; v ostatních případech ( náhodný jev B 3 ) je rovna 0,75. Pravděpodobnost, že automobl tohoto typu bude patřt do těchto supn jsou B 1 ) = 0,3 ; B 2 ) = 0,5 ; B 3 ) = 0,2. Zjstěte pravděpodobnost této opravy tohoto typu automoblu. Náhodné jevy B 1, B 2, B 3 jsou navzájem neslučtelné a vždy nastává jen právě jeden z nch. Pro využtí předchozího tvrzení je ještě třeba znát podmíněné pravděpodobnost oprav v jednotlvých ategorích stáří automoblu, protože je ale známe můžeme přímo dosazovat do vzorce (1.8) A) = B 1 ).B 1 ) + B 2 ).B 2 )+ B 3 ).B 3 ) = = 0,1. 0,3 + 0,5. 0,5 + 0,75. 0,2 = 0,43 n

7 Pravděpodobnost opravy je tedy 43 %. V průzumovém dotazníu byla položena jstá otáza a zoumala se ladná odpověď na n ( náhodný jev A ). Pravděpodobnost ladné odpověd u respondenta ve věu maxmálně do 18 let ( náhodný jev B 1 ) je rovna 0,1 ; pravděpodobnost ladné odpověd u osoby v reprodučním věu ( náhodný jev B 2 ) je rovna 0,3 ; pravděpodobnost u osoby v postreprodučním věu ( náhodný jev B 3 ) je rovna 0,4. Pravděpodobnost jednotlvých náhodných jevů B jsou rovny B 1 ) = 0,25 ; B 2 ) = 0,60 ;B 3 ) = 0,15. Zjstěte pravděpodobnost ladné odpověd v dané společnost. Podobně jao v předchozím případě ověříme, že náhodné jevy B 1, B 2, B 3 jsou navzájem neslučtelné a vždy nastává jen právě jeden z nch. Použjeme opět vztah (1.8). A) = B 1 ).B 1 ) + B 2 ).B 2 )+ B 3 ).B 3 ) = = 0,1. 0,25 + 0,3. 0,6 + 0,4. 0,15 = 0,265 Pravděpodobnost ladné odpověd v celé společnost je 26,5%. Druhým velm významným tvrzením je Bayesova věta, terá určuje jaým způsobem lze počítat tzv. podmíněné pravděpodobnost B / A) náhodného jevu B za podmíny, že nastal náhodný jev A, jestlže známe aprorní pravděpodobnost B ) a podmíněné pravděpodobnost A / B ). Přesněj Bayesova věta Nechť náhodné jevy {B }, de =1,,n jsou navzájem neslučtelné a dále je B )>0. Nechť dále pro náhodný jev A platí, že n A, A) > 0. Potom = 1 B =1 B j ). B j ) B j / A) = n (1.9). B ). B ) Důaz: Podle podmíne tvrzení má B j / A ) smysl. Využjeme vztahy (1.4) a (1.8.). Čtatel ve zlomu (1.4) je roven B j A), což je podle (1.5) rovno právě A / B j ). B j ). Jmenovatel ve zlomu (1.9) zjstíme přesně podle tvrzení Q.E.D. Pravděpodobnost hypotéz před provedením náhodného pousu B j ) se nazývají pravděpodobnost a pror a pravděpodobnost hypotéz po provedení náhodného pousu B j / A) se nazývají pravděpodobnost a posteror. Jeden ze tří střelců vystřelí a zasáhne cíl. Pravděpodobnost zásahu př jednom výstřelu je pro prvého střelce 0,3, pro druhého střelce 0,5 a pro třetího střelce 0,8. Určete pravděpodobnost, že střílel druhý střelec. Označíme postupně A 1 náhodný jev zasáhl 1. střelec; A 2 náhodný jev zasáhl 2. střelec; A 3 náhodný jev zasáhl 3. střelec. Označme dále jao náhodný jev A cíl byl

8 zasažen. Jstě platí B /A 1 ) = B /A 2 ) = B /A 3 ) = 1. Chceme vypočítat B 2 / A ), tedy podle (1.9) je 1.0,5 0,5 P ( B 2 / A) = = = 0, , , ,8 1,6 Výrobce barometrů zjstl testováním velm jednoduchého modelu, že občas uazuje nepřesně. Za deštvého počasí uazuje v 10% jasno a za jasného počasí uazuje déšť ve 30% případů. V září je u nás zhruba 40% dní deštvých. Předpoládejme, že barometr uazuje dne na deštvo. Jaá je pravděpodobnost, že bude sutečně pršet? Pousíme se provést řešení této úlohy pomocí grafcé metody, znázorníme všechny možnost do tzv. Vennova dagramu. Obráze 1.3 Na barometru jasno Na barometru deštvo 60% 42% 18% Sutečně jasno 40% 4% 36% Sutečně deštvo Budeme l tedy vycházet z obrázu 1.3 bude pravděpodobnost, že sutečně prší za předpoladu, barometr uazuje déšť rovna podílu 0,36 / 0,4 = 0,9. Odpověď: Hledaná pravděpodobnost je rovna 90%. 1.4 Záladní pojmy ombnatory V této část budeme předpoládat, že vešeré množny, s terým budeme pracovat jsou onečné. Pojem 1 Nechť množna A má celem n > 0 prvů. Permutací nazveme uspořádání prvů množny A ta, že v tomto uspořádání je aždý prve uveden právě jednou. Počet taovýchto uspořádání nazýváme počtem permutací ( nebo počtem permutací bez opaování ) množny A. Tento počet n) = n! ( součn všech přrozených čísel od 1 do čísla n ). Ve supně 6 studentů chceme zjstt počet všech možných pořadí přhlášení na zoušu. Student se na zoušu hlásí 1x tedy hledáme počet permutací tedy 6) = 6! = 120. Student se můžou přhlást celem 120 možným způsoby. Pojem 3

9 Nechť množna A má celem n > 0 prvů. Permutací s opaováním nazveme uspořádání prvů množny A ta, že v tomto uspořádání se aždý prve může opaovat 0 až n rát. Celový počet prvů taovéhoto uspořádání je roven n. Počet taovýchto uspořádání nazýváme počtem permutací s opaováním množny A. Tento počet P (n) = n n. Podržme zadání stejné jao v předchozím případu. Zjstěme jaý počet různých uspořádání je možné nalézt za těchto podmíne. Řešení : Podle předchozího je tento počet roven P (6) = 6 6 = V tomto případě se student mohou přhlást celem způsoby. Pojem 5 Nechť množna A má celem n > 0 prvů. Varací té třídy bez opaování nazveme lbovolnou člennou podmnožnu V množny A taovou, že v tomto uspořádání je aždý prve uveden nejvýše jednou a dále v daném uspořádání záleží na pořadí prvů. Počet taovýchto uspořádání nazýváme počtem Varací té třídy bez opaování množny A. Tento počet je roven n! V n = = n.( n 1)...( n + 1) ( n )! Určete počet všech přrozených čísel menších než 500, v jejchž zápsu jsou pouze číslce 4, 5, 6, 7, a to aždá nejvýše jednou. Počet jednomístných přrozených čísel je roven počtu varací první třídy ze čtyř prvů; pro dvojmístná přrozená čísla je počet roven varacím druhé třídy ze čtyř a onečně jedná trojmístná přrozená čísla, terá splňují zadání jsou čísla začínající 4, jejch počet je tedy roven počtu varací bez opaování druhé třídy ze čtyř prvů. Celově tedy bude ! 4! 3! x = V1 + V2 + V2 = + + = = 22. (4 1)! (4 2)! (3 2)! Podmíny splňuje 22 přrozených čísel. Pojem 7 Nechť množna A má celem n > 0 prvů. Varací té třídy s opaování nazveme lbovolné členné uspořádání prvů množny A taové, že v tomto uspořádání záleží na pořadí prvů a aždý prve uveden nejvýše jednou. Počet taovýchto uspořádání nazýváme počtem Varací té třídy s opaování množny A. Tento počet je roven ' n V = n Předpoládejme, že první dva znay SPZ automoblu v naší republce se sládají ze dvou znaů abecedy, a zbylých pět členů ombnace jsou čísla. Určete počet Všech SPZ. První část se sládá z dvojce písmen ( je jch 26 ), terá mohou lbovolně opaovat, přčemž záleží na pořadí ( jde o uspořádanou dvojc ). Celově jch je tedy jao počet varací s opaováním druhé třídy z 26 prvů. Druhá část SPZ je tvořena uspořádanou pětcí čísel, jejch počet je roven počtu varací s opaováním 5 třídy z 10 prvů. Celový počet znače je proto roven : x = V ' 2. V ' 5 = =

10 Pojem 9 Nechť množna A má celem n > 0 prvů. Kombnací té třídy bez opaování nazveme lbovolnou člennou podmnožnu V množny A taovou, že v tomto uspořádání je aždý prve uveden nejvýše jednou a dále v daném uspořádání nezáleží na pořadí prvů. Počet taovýchto uspořádání nazýváme počtem ombnací té třídy bez opaování množny A. Tento počet je roven n n n! C = ( ) =!.( n )! Zjstěte počet možností výběru správné šestce př hře sporta. Celový počet těchto šestc je roven počtu ombnací šesté třídy z 49 prvů. 49! 49! x = ( 49 6 ) = = = = = !.(49 6)! 6!.43! Pojem 11 Nechť množna A má celem n > 0 prvů. Kombnací té třídy s opaováním nazveme lbovolnou člennou podmnožnu V množny A taovou, že v tomto uspořádání je aždý prve uveden nejvýše rát a dále v daném uspořádání nezáleží na pořadí prvů. Počet taovýchto uspořádání nazýváme počtem ombnací té třídy s opaování množny A. Tento počet je roven n+ 1 n+ 1 ( n + 1)! C' = =!.( n 1)! Hra domno představuje soubor oste, z nchž je aždá osta rozdělena na dvě polovny a aždá polovna je samostatně označena body 0 až 8. Každá osta se ve hře vysytuje pouze jednou. Určete počet oste jedné hry. Jde o ombnace druhé třídy s opaováním z devít prvů ( nezáleží nám na pořadí výběru dané dvojce, prvy se mohou opaovat a celých čísel od 0 do 8 je devět ). Podle výše uvedeného vztahu je počet oste jedné hry roven ! C ' 2 = = = = !.8! 2