Závislost indexů C p,c pk na způsobu výpočtu směrodatné odchylky

Transkript

1 Závislost indexů C,C na zůsobu výočtu směrodatné odchyly Ing. Renata Przeczová atedra ontroly a řízení jaosti, VŠB-TU Ostrava, FMMI Podni, terý chce usět v dnešní onurenci, musí neustále reagovat na měnící se ožadavy trhu, usilovat o zvyšování jaosti a současně snižovat nálady. Existuje mnoho metod a nástrojů, ulatňovaných v různých etaách výrobního rocesu. Jednou z důležitých oblastí managementu jaosti je měření rocesů. Jeho součástí je hodnocení zůsobilosti rocesů, teré je důležitým odladem ro lánování a zlešování jaosti. Zůsobilostí rocesu se rozumí jeho schonost, trvale dosahovat ředem stanovená riteria vality. Je žádoucí vyjadřovat zůsobilost vantitativně, tedy nějaým číselným uazatelem. K jejímu hodnocení se oužívají indexy zůsobilosti. Porovnávají ředesanou maximálně říustnou variabilitu hodnot danou tolerančními mezemi se sutečnou variabilitou sledovaného znau jaosti dosahovanou u statisticy zvládnutého rocesu. Existuje oměrně mnoho uazatelů ro osuzování zůsobilosti rocesu,ale aždý z nich je oužitelný ouze tehdy, jsou-li slněny určité onrétní odmíny. V teorii indexů zůsobilosti se standardně ředoládá, že roces se nachází ve statisticy stabilním stavu, jehož data ochází z normálního rozdělení se známou střední hodnotou µ a směrodatnou odchylou σ. V taovém říadě lze oužít ro výočet C a C vztahy: C USL LSL, 6σ C USL µ µ LSL Min 3σ 3σ Ja bylo již řečeno ro výočet C a C je otřeba znát střední hodnotu µ, směrodatnou odchylu σ a horní a dolní toleranční mez (USL, LSL). Hodnoty směrodatné odchyly a střední hodnoty záladního souboru většinou nejsou disozici a ta se nahrazují vhodným odhadem.(tab.) Pro odhad směrodatné odchyly se dooručuje využít vztahů založených na růměrné variabilitě v odsuinách, teré lée charaterizují variabilitu vyvolanou náhodnými říčinami. Tím místo indexů C a C dostáváme ouze jejich odhady. Vztahy ro jejich výočet jsou uvedeny v tab. Odhad záladních charateristi Pro výočet odhadů lze oužít něolia vztahů: Tabula : Alternativní vztahy ro odhady µ a σ Odhad µ Odhad σ X X i i ( X ij X i ) / n S ( / ) n R i i j d d R i S c ( / ) c i S i

2 d, c - oeficienty závislé na rozsahu odsuiny očet odsuin R - růměrné variační rozětí v odsuinách s - růměrná hodnota výběrových směrodatných odchyle v odsuinách Koeficienty d *, d, c jsou uváděny nař. v (5). Běžně se data řadí do odsuin, s n naměřenými hodnotami ( rozsah odsuiny) v aždé odsuině. Tabula : Alternativní vztahy ro odhady USL LSL Cˆ ( ) 6S ˆ C ( ) USL LSL R 6 d USL LSL a USL X X LSL Cˆ ( ) Min 3S 3S ˆ C ( ) Cˆ ( 3) ˆ ( 3) S 6 c C USL X X LSL Min R R 3 3 d d USL X X LSL Min S S 3 3 c c Použitím různých vztahů ro výočet odhadů směrodatné odchyly se mohou lišit i výsledné hodnoty C a C. Pro ilustraci rovedeme řílad výočtu odhadů a s oužitím alternativních vztahů (tab.). Přílad Předoládejme že, data ocházejí z normálního rozdělení s : µ 38, σ, USL 6, LSL 30 ; sutečná hodnota C je rovna,333 Tabula 3: Analyzovaná data měření (n) odsuina 3 5 x R s 35,769 39,5 37,939,5595,087 39,37 6,83,665 0,0 39,868 37,6 38,75 37,309 38,78 3,0, ,33 39,086 35,965 36,339,58 39,03 9,9 3,6 36,577 35,77 38,998 39,9565 0,75 38,30 5,5, ,83 38,3 0,8765 0,5 39,35 39,089 3,69,8 6 37, ,85 35,0995,039 37,5 38,06 5,9, ,593 0,37 37,78 38,75 3,735 37,38 5,70, ,09 38,909 38,755 35,765 39,53 37,90 3,69, ,996 36,065 37,907 0,908 38,9 38,5,875, ,965 35,58 36,63 38,053 35,6 36,7,8, 0,736 35, , , ,605 37,53 5,3,89 38, ,3 38,858 38,085 36,7 37,575 3,5,9 3 0,68 39,857 35,6708 0, ,53 38,68,688,

3 38, ,08 37,96 35,86 36,989 37,0 3,06,99 5 0,05 37,55 37,38 36,35 36,35 37,58 3,70, ,367 3, ,0737 3, ,5 36,50,96, ,0 0,066 37,707 0,8 38,37 38,80,9,7 8 36, ,639 37,667 0,9 38,68 38, 3,56, ,066 39,788 38, ,877 37,75 39,055,39 0, ,78 0,90 38,7 35,89 39,6 38,688 5,55,05 X 38,0 R,53 s,86 Normalita byla ověřena omocí testu chí vadrát χ, de hodnota testového riteria 0,356 je větší než hodnota 0,05, roto hyotéza, že data ochází z normálního rozdělení může být řijata. Data oužita v říladu charaterizuje následující histogram: Obráze : Histogram oisující data z říladu Tabula : Odhady a ,93 ( ), 380 ˆ ( ), 363 ˆ 50 5 C 6,90 ( ), 375 ˆ 50 5 C 6,93 ( 3), 37 C 6 38,0 38,0 30 Min 3,93 3,93 ˆ 6 38,0 38,0 30 3,90 3,90 C ( ) Min ;, 357 ˆ 6 38,0 38,0 30 3,93 3,93 C ( 3) Min ;, 355 Ja uazují tyto výsledy, odhady indexů C a C závisí na zvoleném zůsobu rovedení jejich výočtu. 3

4 Pro srovnání,ja se liší hodnoty indexů C,C vyočítané dle vztahů (,3) a C, C s oužitím vztahu (), byly stanoveny rozdíly v rocentech. (tab.5) Tabula 5: Rozdíl mezi výslednými hodnotami indexů C, C stanovený v rocentech: ( ), ˆ ( ) ( ),375 99,550 ˆ ( ) ( 3),37 99,3 ( 3) % % C, C,357 99,550 ˆ C,355 99,30 Vztahy ro výočet odhadů směrodatné odchyly ve vzorcích oužívají ři onstruci regulačních diagramů ( x, R) (, 3) i ro (,3) se Obráze : Regulační diagram (x) ro data z tab. 3 Obráze 3 : Regulační diagram (R) ro data z tab. 3

5 Intervalové odhady indexů zůsobilosti Ze vztahů ro výočet indexů zůsobilosti vylývá, že jejich výočtu otřebujeme teoreticé charateristiy ( µ, σ ), teré jsou raticy nedostuné. Stanovit lze ouze jejich odhady, a roto vyočtené hodnoty indexů zůsobilosti jsou rovněž odhady. Z toho vylývá, že s vyočtenou hodnotou indexu zůsobilosti nelze zacházet jao s onstantou, ale jao s odhadem, ro terý lze stanovit onfidenční interval. Šíře onfidenčního intervalu výrazně závisí na veliosti výběru. Závislost šířy onfidenčního intervalu C na očtu hodnot je ro říad C,33 a hladinu významnosti α 0,05 znázorněna na obr.. Pro říad indexu zůsobilosti C lze nařílad dvoustranný onfidenční interval vyjádřit vztahem: χ α Cˆ C χ α Cˆ χ αl, ; χ αl, - vantily rozdělní χ s stuni volnosti α - hladina významnosti - očet stuňů volnosti Pro říady, dy se směrodatná odchyla odhaduje na záladě růměrných charateristi variability v odsuinách, se očet stuňů volnosti stanovuje omocí vztahu: ( n ) f c očet odsuin n rozsah odsuiny f c oreční fator, terý závisí na rozsahu odsuiny a zůsobu odhadu směrodatné odchyly Hranice onfidenčního intervalu C,33 3,5 3,5,5 0, očet hodnot Obráze : Interval solehlivosti odhadu indexu zůsobilosti C,33 v závislosti na veliosti výběru ( α 0,05) Z grafu je atrné, že ři malém očtu hodnot je interval solehlivosti odhadu velmi široý a terve s vyšším rozsahem výběru se zužuje. 5

6 Pro data z říladu, viz. tab.3., de bylo analyzováno 00 hodnot, onfidenčí interval ro C ři hladině významnosti α 0,05 leží v rozmezí,838 ;, 5638 a ro C v rozmezí,5686 ;,5560, byl vyočten omocí softwaru. Obráze 5: Graficé znázornění zůsobilosti rocesu Shrnutí: Článe je zaměřen na roblematiu současných indexů zůsobilosti. Uozorňuje na oužití alternativních metod výočtu výběrové směrodatnéodchyly ři odhadu C a C. Uazuje, že odhady indexů C a C římo závisí na zvoleném zůsobu výočtu směrodatné odchyly. Dále se článe věnuje oblasti intervalového odhadu již zmiňovaných indexů zůsobilosti, a oisuje závislost šíře onfidenčního intervalu na veliosti výběru. Použitá literatura:. Kaminsy, F. C., Dovich, R. A., Bure, R. J. Process caability indices: Now and in the future, Quality Engineering 0(3) (998). Kotz, s., Johnson, N,. W.L., Distributional and Inferential Proerties of Process Caabiltiy Indices, J. qual. Techni., () (99) 3. Gaminsy, F. c. and Davis R. D., Statistical measures of Process Caability and Thein Relationshi to Nonconforming Produt, in roceedings of the Third Biennial International Manufacturing Research Forum (989). Montgomery, D. C., Introduction to Statistical duality ontrol, John Wiley and Sons, New Yor, Plura, J: Plánování a neustálé zlešování jaosti, Comuter Press, Praha, 00 Letoroval: Prof. RNDr. Josef Tošenovsý, CSc. 6