Obsah ELEKTICKÉ OBVODY (Stejnosměrný proud) Studijní text pro soutěžící FO a ostatní zájemce o fyziku Miroslava Jarešová Úvod 3 1 ezistory 4 11 Vlastnostirezistorů 4 1 ezistorysvíceneždvěmavývody 5 13 Měřeníelektrickéhoodporurezistoru 6 a)metodapřímá 6 b)metodasubstituční 7 c)metodamůstková 7 d)měřeníelektrickéhoodporuohmmetrem 8 14 Spojovánírezistorů 9 a)spojovánízasebou sériově 9 b)spojovánívedlesebe paralelně 9 Příklad1 regulacevytápění 10 15 Transfigurace 11 Příklad drátěnákrychle 13 Cvičení1 16 Metody řešení elektrických obvodů 18 1 Skutečnéaideálnízdrojeelektrickéenergie 18 Kirchhoffovyzákony 0 Příklad3 Kirchhoffovyzákony rovnice 1 Příklad4 výslednýodporsítě 3 Příklad5 Dpřevodník 5 Cvičení 6 3 Principsuperpozice 7 Příklad6 principsuperpozice 8 Příklad7 principstereofonníhovysílání 8 Příklad8 nekonečněrozlehláčtvercovásíť 30 4 Spojovánízdrojů 31 a)sériovéspojenízdrojů 31
b)paralelníspojenízdrojů Millmanovapoučka 3 Příklad9 spojovánígalvanickýchčlánků 33 5 Metodasmyčkovýchproudů 34 Příklad10 metodasmyčkovýchproudů 34 6 Metodauzlovýchnapětí 35 Příklad11 metodauzlovýchnapětí 36 Cvičení3 37 7 Větyonáhradníchzdrojích 37 a) Théveninova poučka věta o náhradním zdroji napětí 37 Příklad1 použitíthéveninovypoučky 39 Příklad13 teplotnízávislostelektrickéhoodporu 40 8 Nortonovapoučka větaonáhradnímzdrojiproudu 4 Příklad14 Nortonovapoučka 43 9 Řetězovýobvod 44 Příklad15 řetězovýobvod 45 Cvičení4 47 Řešení úloh 49 Cvičení1 49 Cvičení 5 Cvičení3 53 Cvičení4 53 Literatura 56
Úvod Studijní text Elektrické obvody je zaměřen na řešení elektrických obvodů stejnosměrného proudu Jsou zde popsány různé metody, jak řešit elektrické obvody obsahující rezistory Popis konkrétní metody je doplněn řešenými úlohami Vtextujetakécelářadaúlohkřešení,abysikaždýmohlsámzkusit,jakpochopil danou metodu, a zda je schopen ji použít k řešení zadaného problému Úlohy k samostatnému řešení jsou pak doplněny řešením uvedeným v závěru textu Při studiu textu se předpokládají základní znalosti o elektrických obvodech stejnosměrného proudu v rozsahu středoškolského učiva Text volně navazuje na současnou gymnaziální učebnici[5] V této učebnici je také uvedena metoda řešení elektrických obvodů pomocí Kirchhoffových zákonů Při formulaci těchto zákonů používá učebnice popis Kirchhoffova zákona pomocí elektromotorického napětí Tento přístup se velmi často objevuje ve středoškolských učebnicích fyziky My však budeme v převážné míře používat místo elektromotorického napětí svorkové napětí, které se ve velké míře využívá v elektrotechnice Vzájemný vztah mezi těmito napětími je objasněn ve studijním textu Cílem studijního textu je seznámení s různými metodami řešení obvodů stejnosměrného proudu a jejich použitím Vzhledem k omezenému rozsahu je studijní text zaměřen pouze na řešení elektrických obvodů stejnosměrného proudu obsahujících rezistory Metody v textu použité je možno zobecnit i na obecnější obvody střídavého proudu obsahujících impedance 3
1 ezistory ezistory jsou elektrické součástky, jejichž základní vlastností je elektrický odpor Podle konstrukčního provedení rozdělujeme rezistory na dvě skupiny: 1 ezistory se dvěma vývody(pevné a nastavitelné) ezistory s více než dvěma vývody(rezistory s odbočkami a potenciometry) Jako nastavitelné rezistory(reostaty) pracují v elektrických obvodech většinou potenciometry nebo potenciometrické trimry, které mají jeden vývod odporové dráhy buď nezapojený, nebo spojený se sběračem Z technologického hlediska se rezistory dělí na: 1Vrstvové(odporovýmateriálveforměvrstvy) dělísenauhlíkovéa metalizované Drátové (vinuté odporovým drátem) mají indukčnost, jsou vhodné pouze pro použití v obvodech se stejnosměrným proudem 11 Vlastnosti rezistorů 1 Jmenovitý odpor rezistoru je daný výrobcem, je stanoven ČSN 358010 V souladu s mezinárodně normalizovanými řadami odporů součástek pro elektrotechniku Nejpoužívanější jsou řady E6, E1, E4 Tolerance jmenovitého odporu rezistoru rezistory jsou zařazeny do skupin, které se označují písmenovým kódem podle ČSN IEC 6 nebo barevným kódem podle ČSN 358013 Většina rezistorů se vyrábí s tolerancemi odporů ±0%, ±10%, ±5% 3 Jmenovité zatížení rezistorů je výkon, který se smí za určitých podmínek stanovených normou přeměnit v rezistoru na teplo, aniž by teplota jeho povrchu překročila přípustnou velikost Vrstvové rezistory se vyrábějí pro jmenovitézatížení0,15wažw,drátovérezistory1waž100w 4 Provozní zatížení rezistorů největší přípustné provozní zatížení rezistoru je určeno největší teplotou povrchu součástky, při které ještě nenastávají trvalé změny jejího odporu ani podstatné zkracování jejího života Závisí na teplotě okolí, ve kterém rezistor pracuje, a na způsobu odvádění tepla ztělíska 4
5 Největší dovolené napětí je udáno výrobcem, po překročení tohoto napětí může dojít k poškození součástky 6Teplotnísoučinitelodporurezistoru T k udávánejvětšípoměrnouzměnu odporusoučástkyodpovídajícívzrůstuteplotyo1 Cvrozsahuteplot,ve kterýchjezměnaodporuvratnáuvrstvovýchrezistorůmá T k hodnotu řádově(10 3 až10 5 )K 1,podletechnologievýrobymůžebýtkladný nebo záporný 7 Šumové napětí vzniká vlivem nerovnoměrného pohybu elektronů uvnitř materiálu mezi vývody rezistoru vznikají malé, časově nepravidelné změny potenciálu Kdybychom tyto změny zesílili a přivedli jako signál do reproduktoru nebo sluchátek, slyšeli bychom charakteristický zvuk šum elektrického obvodu Příčinou šumu je šumové napětí, které má dvě hlavní složky tepelné šumové napětí a povrchové šumové napětí Šumové napětíseudávávµvvztaženýchna1vpřipojenéhonapětíuvrstvových rezistorů s grafitovou vrstvou dosahuje šumové napětí přibližně 3µV/V, u metalizovaných rezistorů je menší 1 ezistory s více než dvěma vývody Pracují jako napěťové děliče Lze je rozdělit na dvě skupiny: 1 Děliče s pevným, popř nastavitelným dělicím poměrem(rezistory s odbočkou) obr1 Děliče s plynule proměnným dělicím poměrem(potenciometry a odporové trimry) obr,3 (Uvšechtěchtorezistorůuvedenýchvýšejedělicípoměr = U U 1 ) U 1 U U 1 U U 1 U Obr 1 ezistor s odbočkou Obr Potenciometr Obr 3 Odporový trimr 5
13 Měření elektrického odporu rezistoru a) Metoda přímá Vychází z definičního vztahu pro elektrický odpor Napětí na rezistoru a proud procházející rezistorem měříme současně voltmetrem a ampérmetrem v jednom zapojení(vizobr4,5),kde 0 jeochrannýrezistor + 0 + 0 I I I V V V I V Obr4 U V Obr5 Měření v zapojení podle obr 4 vede ke správnému výsledku, vezmeme-li vúvahuproud I V,kterýprocházívoltmetremPlatí = U I = U V I I V Proud I V určímepomocíjednohozevztahů I V = U V V, I V = U V U VM I VM, kde V jeodporvoltmetru, U VM jezvolenýrozsahvoltmetruai VM jeproud, kterýprocházívoltmetrempřiplnévýchylceukazatele V, I VM jsouuvedeny v návodu dodávaném k přístroji Pokudjesplněnapodmínka V,můžemeproudprocházejícívoltmetrem zanedbat a použít přibližný vztah = U V I Vzapojenípodleobr4musímepřihlížetkodporuampérmetru (viznávod kpřístroji)platí = U V I Pokudjesplněnapodmínka,můžemeúbyteknapětínaampérmetruzanedbatapoužítvztah = U V I 6
b) Metoda substituční Do obvodu na obr 6 nejprve zařadímeneznámýrezistoroodporu x a změříme procházející proud Potom pomocí přepínače nahradíme měřený rezistorodporovoudekádou d (sada sériově spojených přesných rezistorů o známých odporech různé velikosti) Měření ukončíme, když v obou případech poteče obvodem stejný proud Pakplatí x = d 0 d Obr6 x c) Metoda můstková C C x I G n I 1 G I x G n a b D I 3 I 4 B D a=x b=l x B 0 Obr7 Obr8 Základní zapojení Wheatstoneova můstku pro měření odporů je na obr 7, kde x jeměřenýrezistor, n jepřesnýrezistoroznámémodporu(odporový normál)agjegalvanometrpotenciometrmeziuzly abjejezdcemrozdělen nadvěčástioodporech a, b Přiměřenínastavímepolohujezdcepotenciometrutak,abyproud I G procházejícígalvanometrembylnulovývtakovém případěplatí I 1 = I, I 3 = I 4 avuzlech C, DjestejnýpotenciálNapětí U C = U D, U BC = U BD Podosazení x I 1 = n I, a I 3 = b I 4 Řešenímtěchtorovnicdostaneme x n = a b, zčehož x = n a b Potenciometr Wheatstoneova můstku může být realizován jako odporový drát natažený mezi masívními svorkami a opatřený délkovou stupnicí Drát je po- 0 7
hyblivým jezdcem rozdělen na dva úseky Jsou-li a, b délky obou úseků drátu, pak a x = n b = x n l x Můstkovámetodadávávelmipřesnévýsledky,pokudseměřenýodpor x příliš nelišíodznáméhoodporu n Vtakovémpřípaděsejezdecvyváženéhomůstku nachází blízko středu odporového drátu Poznámka Poslední tvrzení je možno dokázat pomocí diferenciálního počtu elativní odchylka Výraz l x(l x) maximapro x= l d x x = l x+x (l x) dx = x l x l x(l x) dx jeminimální,je-li x(l x)maximálnívýraz x(l x)nabývá Z výše uvedeného postupu je vidět, že odpor měříme nejpřesněji, je-li dotyk jezdce přibližně v okolí středu můstku Prakticky to znamená odhadnout hodnotuodporu x apakvolit n přibližněstejněvelikýměřenívyžaduje galvanometr s vyšší citlivostí d) Měření elektrického odporu ohmmetrem Většina univerzálních laboratorních měřicích přístrojů může být použita i jako ohmmetr,kterýseskládázvestavěnéhozdroje,měřidlaoodporu M asvorek pro připojení měřeného odporu Citlivost měřidla je upravena tak, aby přizkratusvorek,kdy x =0,nastalaplnávýchylkaukazateleoznačenána stupnici nulou Nulové výchylce ukazatele při rozpojených svorkách odpovídá nekonečně velký odpor Čím větší odpor připojíme, tím menší je výchylka ukazatele Přesnější ohmmetry pracují na principu Wheatstoneova můstku U číslicových ohmmetrů je použit operační zesilovač ve funkci převodníku odpor napětí 8
14 Spojování rezistorů a) Spojování za sebou sériově 1 3 n I U 1 U U 3 U n U Obr9 Procelkovénapětí Uplatívztah U= U 1 + U + U 3 + +U n PodleOhmovazákonaplatí U 1 = 1 I, U = I, U 3 = 3 I, U n = n I Podosazenídovztahupro Uaúpravědostaneme U= I( 1 + + 3 + + n )=I, kde je výsledný odpor rezistorů spojených za sebou Pro výsledný odpor pak platí = 1 + + 3 + + n Výsledný odpor sériově spojených rezistorů je roven součtu odporů jednotlivých rezistorů b) Spojování vedle sebe paralelně I U I 1 I I 3 1 3 I n n Obr 10 Celkovýproud Ijedánsoučtemjednotlivýchproudů I= I 1 +I +I 3 ++I n PodleOhmovazákonaplatí I= U, I 1= U 1, I = U, I 3 = U 3,, I n = U n Podosazenídostaneme U = U 1 + U + U 3 + + U n 9
Poúpravěmůžemepsát 1 = 1 1 + 1 + 1 3 + + 1 n Poznámka Vztah pro paralelní spojování rezistorů je možno přepsat také pomocí vodivosti G= 1 Pakjemožnopsát G=G 1+ G + G 3 + +G n Výsledná vodivost paralelně spojených rezistorů je určena součtem vodivostí jednotlivých rezistorů Příklad 1 regulace vytápění Mámedvatopnéčlánkyoodporech 1 a ( 1 > )Pomocítěchtočlánků chceme vytápět místnost s možností regulace jejího vytápění Kromě topných článků máme také k dispozici neomezený počet dvoupolohových spínačů a) Určete maximální počet stupňů regulace a naznačte realizaci takové regulace b) Určete nejmenší možný počet přepínačů, které je nutno použít k regulaci vúlozea) c) Nakreslete a zdůvodněte schéma zapojení pro tuto regulaci Řešení a) egulaci budeme provádět různým zapojením topných článků Za pomoci spínačů jsou možné čtyři stupně regulace(nesmíme zapomenout ještě na jednu polohu spínačů, a to když budeme chtět topení úplně vypnout): I obatopnéčlánkyjsouspojenydosérie,pak I = 1 +, II jezapojenpouzečlánekoodporu 1,pak II = 1, III jezapojenpouzečlánekoodporu,pak III =, IV obatopnéčlánkyjsouspojenyparalelně,pak IV = 1 1 +, (V vypnuto)jezřejmé,žeplatí I > II > III > IV b)proregulacibudemepotřebovat5různýchpoloh 4stupněregulace+poloha vypnuto Potřebujemetedy3přepínače,tj 3 =8možností(3možnosti zůstanou nevyužity) c) K navrženému schématu zapojení vytvoříme tabulku všech možných poloh přepínačů a tomu příslušejících stupňů regulace 10
X Y 1 1 X Y 3 Obr 11 X Y Přepínač Stupeň 1 3 regulace X X X IV Y X X III X Y X I Y Y X 0 X X Y 0 Y X Y 0 X Y Y II Y Y Y 0 15 Transfigurace Ve schématech elektrických sítí se často setkáváme s případem, že tři spotřebiče jsou spojeny do trojúhelníku, jak je znázorněno na obr 1 Mnohdy je výhodné nahradit tuto trojici trojicí jiných spotřebičů spojených do hvězdy podle obr 13, tj trojúhelník nahradit hvězdou, neboli provést transfiguraci C C 3 r 3 O r 1 r 1 B Obr 1 Zapojení do trojúhelníku Obr 13 Zapojení do hvězdy Při provádění transfigurace je nutné, aby se hvězda chovala v síti stejně jako původní trojúhelník, tj aby mezi kteroukoli dvojicí svorek, B, C byly v obou případech odpory stejně velké Z tohoto požadavku vyplývají následující vztahy B = r 1 + r = 1( + 3 ) 1 + + 3, (1) BC = r + r 3 = ( 3 + 1 ) 1 + + 3, () C = r 3 + r 1 = 3( 1 + ) 1 + + 3 (3) 11 B
Jsou-li odpory v trojúhelníku dány, lze z těchto vztahů snadno vyjádřit odpory ve hvězdě Nejlepší je všechny tři vztahy sečíst a součty na obou stranách dělit dvěma Dostaneme pomocný vztah r 1 + r + r 3 = 1 + 3 + 3 1 1 + + 3 (4) Když od vztahu(4) postupně odečítáme vztahy(1),(),(3), dostaneme r 1 = r = r 3 = 1 3 1 + + 3, 1 1 + + 3, 3 1 + + 3 Pravidlo: Odpor mezi některým vrcholem a uzlem hvězdy vyjádříme jako zlomek, v jehož čitateli je součin odporů stýkajících se v odpovídajícím vrcholu trojúhelníku a v jehož jmenovateli je součet všech tří odporů tvořících trojúhelník Jemožnéprovéstitransfiguraciopačnou,tjvyjádřitodpory 1,, 3 pomocíodporů r 1, r, r 3 Vtomtopřípadějdezřejměotransfiguracihvězdy na trojúhelník Při výpočtu postupujeme nejlépe takto: Ze vztahů(1),(),(3) vyjádříme např poměry r : r 3 = 1 : 3, (5) r 1 : r 3 = 1 : (6) Jestliženyníz(5)vyjádříme 3 aze(6) adosadímedo(1),dostaneme vztah, z něhož po úpravách dostaneme 1 = r 1 + r + r 1r r 3 Dosazením do(6) a(5) dostaneme po úpravách = r + r 3 + r r 3 r 1, 3 = r 1 + r 3 + r 1r 3 r 1
Pravidlo: Odpor mezi kterýmikoli dvěma vrcholy trojúhelníku vyjádříme jako součet odporů vycházejících z odpovídajících bodů hvězdy zvětšený o jejich součin dělený zbývajícím třetím odporem hvězdy Příklad drátěná krychle Vypočítejte odpor drátěné krychle, jejíž každá hrana H máodpor 0,jestližezdrojstejnosměrnéhonapětíje připojen a) ke dvěma protějším vrcholům( a G), b) ke středům dvou protějších hran, E F c) ke dvěma vrcholům tvořícím stěnovou úhlopříčku D (ac), d)kedvěmasousednímuzlům(ae) Přechodové odpory v uzlech zanedbejte B Obr 14 G C Řešení a) I způsob: Každou ze šesti hran krychle vycházejících z protějších vrcholů a G je možno nahradit dvojicí paralelních drátů o polovičním průřezu, tedy sodporem 0 = 0Pakbudememítvsítimezibody agcelkem6 paralelníchvětví,jednaznichje E + EH + HG Jejíodporje 1 = = 0 + 0 + 0 =5 0 Prosíťpakplatí 1 =6 1 = 6,takže = 5 1 5 0 6 0 IIzpůsob:Proudvstupujedokrychlevevrcholu avystupujeznívrcholem GVrcholy B, D, Emajístejnýpotenciál ϕ 1,vrcholy C, F, Hstejný potenciál ϕ Můžemetedynahraditvrcholy B, D, Euzlem1opotenciálu ϕ 1, vrcholy C, F, Hdruhýmuzlemopotenciálu ϕ (vizobr15)všechnyrezistory naobr15majístejněvelkýodpor 0 1 G Obr 15 13
Mezibody a1protékáproudtřemiparalelnímivodičioodporu 0,mezi body1ašestiamezibodyagtřemitakovýmivodičiprocelkovýodpor této sítě tedy dostáváme: = 1 + 1 + G, = 0 3 + 0 6 + 0 3 =5 6 0 IIIzpůsob:Proud Ivstupujícívrcholem dodanésítěsezdevětvínatři proudyovelikosti I 3,každýznichsedáledělínadvaproudyovelikosti I 6, dovrcholu Gpakvstupujízasetřiparalelníproudyovelikosti I 3 Procelkový výkon obvodu pak platí: I =3 0 ( I 3 Ztohoplyne = 5 6 0 ) ( ) ( ) I I +6 0 +3 0 = 5 6 3 6 0I Poznámka Úlohua)jemožnořešittaképomocítransfigurace,cožalenenívtomto případě příliš vhodný postup, i když by vedl také k témuž výsledku b) Proud, který vstupuje středem hrany E, se rozděluje do dvou stejných větví, horní a dolní, které se spojují a vystupují z krychle společně ve středu hrany CG Musí platit: 1 = 1 + 1 =, d h h protožeoběvětvemajístejnýodpor h = 0 + + 0,kde jeodpor soustavyhorníchhranpro platí: 1 = 1 + 1 = 1, 0 0 0 zčehož = 0 Jetudíž h = 0 acelkovýodporkrychlepakdostaneme 1 jakoparalelníkombinacitěchtoodporů h,tj = 1 + 1,zčehož 0 0 0 = 0 14
c)určímeodpor C Víme,žebody B, Dmajístejnýpotenciálamůžemeje tedyspojittotéžplatíiobodech F, HPakmůžemenakreslitzjednodušené schéma tohoto obvodu: E 0 H F B D G 0 0 0 0 Obr 16 0 0 C ezistorem mezi spojenými body H F a B D nepoteče proud(všechny popsané body mají stejný potenciál), tento rezistor nemusímeuvažovat,hrany HDaBFvypustíme Pak můžeme psát: 1 C = 1 1 0 + + 0 0 + 0 +, 0 + 0 atedy C = 3 4 0 d)kvýpočtuodporu E použijemepoznatkůzúlohyc)ospojováníbodů se stejným potenciálem Pro řešení úlohy d) využijeme zjednodušené schéma zapojení z obr 16 úlohy c), které ještě dále zjednodušíme: E 0 Nyní již můžeme psát: 0 5 0 0 Obr 17 1 E = 1 0 + odkud E = 7 1 0 1 0 + 0 +, 5 0 Poznámka Úlohyc),d)byopětbylomožnořešitpomocívýkonu(vizIIIzpůsobúlohy a)), jen je třeba si dobře uvědomit, jakým způsobem zde dojde k rozdělení proudů a kterými větvemi proud vůbec nepoteče 15
Cvičení 1 1 Černá skříňka Včernéskříňce(obr18)jsouzapojenytřirezistory,atotak,žeplatí 1 =Ω, 3 =Ω, 13 =ΩVčernéskříňcejsoupouzerezistory Určete, jaké rezistory jsou v černé skříňce a jak jsou zapojeny 1 3 Obr 18 Pravidelný čtyřstěn Určete velikost elektrického odporu mezi body, B drátěného modelu pravidelného čtyřstěnu (vizobr19)odporjednéhranyčtyřstěnuje 0, všechny hrany mají stejně velký odpor 3 Pravidelný šestiúhelník D C Obr 19 Určete odpory mezi body, B sítí vytvořených doplněním pravidelného šestiúhelníkuvšechnyúsekymeziuzlysítěmajístejněvelkýodpor 0 Přechodové odpory v uzlech zanedbejte Řešte pro všechny tři případy B O B O B O B Obr 0 Obr 1 Obr 4 Čtvercová síť Určete odpor mezi body, B elektrické sítě znázorněnénaobr3mezivšemiuzlysítějestejně velkýodpor 0 B Obr 3 16
5Vobvoduzakreslenémnaobr4jedáno: 1 =1Ω, =4Ω, 3 =5Ω, 1 =4Ω, =10Ω, 3 =6Ω, r 5=0,6Ω, r 6 =4,3Ω, U 0 =0V, i =3ΩStanovteproud IprotékajícínerozvětvenoučástíobvoduPři řešení úlohy použijte vhodným způsobem transfiguraci r 5 C C I 1 1 3 B r 6 B 3 i + Obr 4 U 0 17
Metody řešení elektrických obvodů 1 Skutečné a ideální zdroje elektrické energie Ideální zdroj napětí(schématická značka viz obr 5) je takový zdroj napětí, jehož vnitřní odpor je roven nule Na svorkách takového zdroje je tedy stále stejně velké napětí, které nezávisí na velikosti odebíraného proudu U 0 Obr 5 Ideální zdroj proudu(schématická značka viz obr 6) je takový zdroj proudu, který má nekonečně velký vnitřní odpor Tento zdroj dodává stále stejně velký proud bez ohledu na velikost odporu připojené zátěže I 0 Obr 6 Skutečnýzdrojmůžemenahraditideálnímzdrojemstáléhonapětí U e 1, kněmužjesériověpřipojenpomyslnýrezistoroodporu i,neboideálnímzdrojemelektrickéhoproudu I 0,kněmužjeparalelněpřipojenpomyslnýrezistor oodporu i Skutečný zdroj napětí je tedy charakterizován svýmtzv elektromotorickýmnapětím U e (popř i svorkovýmnapětím U 0 vizobr7)asvýmvnitřnímodporem U e U 0 i Obr 7 Závislost napětí na svorkách lineárního zdroje, který dodává spotřebiči o odporu proud I,jedánavztahem U= U e i I, (7) kde i Ijeúbyteknapětínavnitřnímodporu Obdobnědlepoznámky1aobr7bychommohliobdobnývztahnapsat taképomocínapětí U 0 : U= U 0 i I Kdybychom zjišťovali závislost napětí U na velikosti odebíraného proudu I, dostali bychom tzv zatěžovací charakteristiku zdroje(viz obr 8) 1 V elektrotechnice se kromě pojmu elektromotorické napětí zdroje U e používá pojmu vnitřní(svorkové)napětízdroje U 0,přičemžplatí U 0 = U e(vizobr7)popřipojenízátěže oodporu pakmůžemepsát U= U 0 i I,kde I= U 0 i + jeproudprotékajícíobvodem 18
U U 0 Při nulovém odebíraném proudu je svorkové napětí nezatíženého zdroje U 0 = U e Přizvětšování odběru proudu svorkové napětí zdroje klesá dle vztahu 0 I k I Obr 8 Zatěžovací charakteristika lineárního zdroje U= U 0 i I Stejnou zatěžovací charakteristiku můžeme také získat při paralelním zapojení vnitřního odporu k ideálnímu zdroji proudu Pak bychom dostali(pomocí 1Kirchhoffovazákona vizdalšíkapitola) I= I k U i,podosazenízevztahu U 0 = I k i za I k aúpravěbychomdostalivztah(7) Vzhledem k charakteru dalšího výkladu, který zasahuje ve větší míře již do oblasti elektrotechniky, budeme používat spíš názvosloví z elektrotechniky, tj příslušnévztahybudemeformulovatpomocínapětí U 0 i I U U 0 U i I k U i Obr 9 Náhradní obvod pro zdroj elektrického napětí Obr 30 Náhradní obvod pro zdroj elektrického proudu Skutečnézdroje,ukterýchje i,nazývámenapěťovětvrdé(přizměnách proudu dochází jen k velmi malým změnám výstupního napětí) Jsou to např akumulátory nebo stabilizátory napětí Skutečnézdroje,ukterýchje i,nazývámenapěťověměkképatřísem např stabilizátory proudu nebo elektronické generátory s velkým výstupním odporem 19
Kirchhoffovy zákony Uzel místo,kdesestýkádvaavícevodičů Větev obvodu dráha mezi dvěma uzly tvořená jedním prvkem nebo několika prvky spojenými za sebou Smyčka uzavřená dráha v části obvodu tvořená větvemi První Kirchhoffův zákon Vyjadřuje zákon zachování elektrického náboje Stejnosměrný proud je dán elektrickým nábojem, který projde průřezem vodiče za jednu sekundu Tento náboj se nemůže ve vodiči nikde nahromadit ani vznikat Dělí-li se proud do několika větví, musí být součet proudů přicházejících do uzlu roven součtu proudů, které z uzlu odcházejí První Kirchhoffův zákon lze vyslovit také takto: n lgebraický součet všech proudů v uzlu se rovná nule, tj I k =0 Vtétoformulacijevšakještěnutnávolbaznamének proudů Zpravidla proudům přicházejícím do uzlu přiřadíme kladná znaménka, odcházejícímzuzlupakzápornáznaménka(vizobr31) k=1 I 1 I 3 I I 4 I 1 + I I 3 I 4 =0 Obr 31 Druhý Kirchhoffův zákon Je důsledkem zákona zachování energie Napětí na každém spotřebiči elektrického obvodu je dáno prací potřebnou k přemístění elektrického náboje mezi svorkami spotřebiče Projde-li náboj po uzavřené dráze, musí být příslušná práce nulová, neboť náboj se vrátil na místo téhož potenciálu DruhýKirchhoffůvzákonlzevyslovittakétakto : lgebraický součet všech svorkových napětí zdrojů a všech úbytků napětí na n spotřebičích se v uzavřené smyčce rovná nule, tj U k =0 Vestředoškolskýchučebnicíchfyziky,napřv[5]jeKirchhoffůvzákondefinovánpomocí elektromotorického napětí, ze kterého je lépe patrný výše jmenovaný důsledek zákona zachování energie Součet úbytků napětí na odporech je roven součtu elektromotorických napětízdrojů VtomtotextubudemepoužívatformulaciKirchhoffovazákonapomocí svorkového napětí často používaného v elektrotechnice k=1 0
Při psaní rovnic podle Kirchhoffova zákona je nutné zachovat následující postup: 1 Vyznačíme šipkami očekávané směry proudů v každé větvi obvodu Uzdrojůzakreslímešipkupronapětí U 0 odkladnékzápornésvorce Zaoblenou šipkou vyznačíme směr postupu smyčkou Při psaní rovnice vyjdeme ze zvoleného uzlu a projdeme smyčkou ve zvoleném směru Součiny I zapisujeme jako kladné, souhlasí-li směr postupu se směrem šipky u daného proudu Totéž platí pro zdroje napětí Příklad 3 Kirchhoffovy zákony rovnice U 01 1 Sestavte pomocí Kirchhoffových zákonů soustavu rovnic, jejímž vyřešením bychom získali proudy, které protékají jednotlivými rezistory na obr 3 I 1 I 3 I I B I 1 I 3 3 U 0 Obr 3 Řešení K určení tří proudů budeme potřebovat tři rovnice Použijeme-li 1 Kirchhoffův zákonnaobauzlyakirchhoffůvzákonnatřijednoduchéobvody,kterésíť obsahuje, budeme mít k dispozici celkem 5 rovnic I 1 + I I 3 = 0, (8) I 1 I + I 3 = 0, (9) 1 I 1 I U 01 = 0, (10) I + 3 I 3 + U 0 = 0, (11) 1 I 1 + 3 I 3 U 01 + U 0 = 0 (1) Je zřejmé, že dvě z těchto rovnic jsou nadbytečné Snadno nahlédneme, že rovnice(9)sestavenáprouzel Bjeshodnásrovnicí(8),kterábylasestavena 1
prouzel (povynásobeníminusjednou)má-lisíťobecně Luzlů,jejen(L 1) rovnic tohoto typu lineárně nezávislých Podobně je tomu i s rovnicemi sestavenými podle Kirchhoffova zákona pro jednoduché obvody Lineárně nezávislých(a tudíž využitelných) rovnic tohoto typu je jen tolik, kolik je nezávislých jednoduchých obvodů sítě Jednoduchý obvod je nezávislý, obsahuje-li alespoň jednu větev, která není součástí žádného jiného nezávislého obvodu Označme počet jednoduchých nezávislých obvodů vsíti Mapočetvšechvětví(atímipočetneznámýchproudů) NPakobecně platí N= M+(L 1) Tentovztahurčuje,kolikrovnicjetřebasestavitpodle1Kirchhoffovazákona 3 (L 1)akolikpodleKirchhoffovazákona 4 (M) Počet všech rovnic 1 typu určíme tak, že spočítáme uzly, přičemž jeden vynechámepočetrovnictypu Murčímetak,žeodpočtuvšechvětvísítě Nodečteme(L 1) Vnašempřípaděje L=aN =3,tjpotřebujeme N (L 1)= rovnice typu(podle KZ) Protože každá rovnice(10),(11),(1) je lineární kombinací zbývajících dvou, je jedno, které dvě zařadíme do sestavované soustavy rovnic Vezmeme první dvě Hledané proudy budou řešením této soustavy rovnic I 1 + I I 3 = 0, 1 I 1 I U 01 = 0, I + 3 I 3 + U 0 = 0 Poznámka Metoda úplného stromu Při praktickém řešení sítě je užitečné využít při volbě nezávislých jednoduchých obvodů tzv metody úplného stromu Úplný strom elektrické sítě je libovolná soustava větví sítě, která spojuje všechny její uzly, přičemž nevytváří žádnou uzavřenou smyčku Lze tedy přejít větvemi úplného stromu z libovolného uzlu do kteréhokoliv jiného uzlu, a to jediným možným způsobem Např úplným stromem sítě na obr 33 je kterákoliv ze tří větví Pro usnadnění praktického postupu je účelné překreslit si nejdříve danou síť zjednodušeně tak, že větve jsou znázorněny úsečkami(bez vyznačení zapojených prvků) Na obr 33 je znázorněno několik možností(ne všechny) volby úplného stromu určité sítě(úplný strom je tučně vyznačen) 3 dálebudemepsátužjenzkráceně1kz 4 dálejenzkráceněkz
Obr 33 Při libovolné volbě úplného stromu zůstává vždy stejný počet větví, které k němu nepatří Počet těchto větví je roven počtu nezávislých jednoduchých obvodů dané sítě Tyto obvody je účelné volit tak, že větev nepatřící k úplnému stromu doplníme větvemi úplného stromu Vznikne tak právě M nezávislých jednoduchých obvodů dané sítě Příklad 4 výsledný odpor sítě Stanovte výsledný odpor mezi uzly a C(vizobr34),jsou-lidányodpory všechrezistorů: 1 =6Ω, =4Ω, 3 =5Ω, 4 =7Ω, 5 =3ΩŘešte pomocí a) Kirchhoffových zákonů, b) přeměny trojúhelníku na hvězdu 1 4 3 5 Obr 34 C Řešení a) Pomocí Kirchhoffových zákonů 1 D 4 I I 3 I 1 I 1 I 3 I 3 C I I + I 3 B 5 Obr 35 Uzel: I= I 1 + I, Smyčka DB: 1 I 1 + 3 I 3 I =0, Smyčka DCB: 4 (I 1 I 3 ) 5 (I + I 3 ) 3 I 3 =0 Po dosazení hodnot odporů: 6I 1 4I = 5I 3, 7I 1 3I =15I 3 3
Řešenímtétosoustavyobdržíme: I 1 = 75I 3 10, I = 15I 3 10 Celkovýproudje tedy I= I 1 + I =0I 3 Výpočetnapětímezibody, C: U C = U D + U DC = 1 I 1 + 4 (I 1 I 3 )=90,5I 3 Výslednýodporje = U C I = 90,5I 3 0I 3 =4,55Ω b) Pomocí transfigurace trojúhelník na hvězdu Obr34nejprvepřekreslímenaobr36,potomdálenaobr37 D 1 4 D r 3 4 3 C r 1 O C 5 r 5 B Obr 36 Obr 37 B Užitím vztahů pro transfiguraci obdržíme: r 1 = r = r 3 = 1 = 4 1 + + 3 15 Ω=1,60Ω, 3 = 0 1 + + 3 15 Ω=4 3 Ω, 1 3 = 30 1 + + 3 15 Ω=,00Ω Odpormezibody O, Csenyníurčíjakoparalelnířazenírezistorů r 3 + 4 a r + 5,tj 1 1 1 = + = 40 OC r 3 + 4 r + 5 117, takže OC =,95ΩVýslednýodporceléhozapojeníseurčí = O + OC = r 1 + OC =4,55Ω 4
Příklad5 Dpřevodník Na obr 38 je znázorněn invertující operační zesilovač Protože vstupní diferenciálnínapětí U D jerovnovirtuálnínuleanapětíneinvertujícíhovstupu je nulové, bude napětí invertujícího vstupu také rovno nule Zesilovač napětí mezi oběma vstupy zesílí nekonečněkrát a vstupní odpor zesilovače je nekonečně velký Pak součet proudů na každém vstupu je nulový a rozdíl napětí mezivstupy u u + = u =05 1 I U 1 O U U D I 1 Obr 38 Platí I = U, I 1 = U 1 1 Napíšeme1KZprouzel O: I 1 + I =0 Po dosazení dostaneme U = 1 U 1 Úpravou výše uvedeného schématujemožnévytvořitdpřevodník Ukážeme si, jak vytvořit takový čtyřbitový D převodník(v praxi se používají osmibitové, které ale pracují na stejném principu) Čtyřbitový D převodník může být realizován pomocí schématu na obr 39 U a U b B U c C a =8 0 I a b =4 0 I b c = 0 I c I = 0 3 Pomocí Kirchhoffových zákonů vyjádřete U = U (U a,u b,u c,u d ) U d D d = 0 I d U Obr 39 Řešení Z1KZplyne: I a + I b + I c + I d + I =0, (13) 5 Podrobnějijsoufunkceoperačníchzesilovačůpopsányv[10] 5
potom zčehož U a 8 0 + U b 4 0 + U c 0 + U d 0 + U =0, (14) ( Ud U = + U c + U b + U ) a 0 0 4 0 8 0 Podosazeníza = 0 3 aúpravědostaneme U = 1 4 (8U d+4u c +U b + U a ) Poznámka Zavedením U a = U H, U b = BU H, U c = CU H, U d = DU H dostaneme U = U H (8D+4C+B+ ), 4 kde U H jenapětílogickýchvstupůvhorníúrovni(zpravidla U H =0,1V,ale napřvttlobvodech U H =3,5V),, B, C, D {0,1}jsoulogicképroměnné Cvičení 1 Pomocí Kirchhoffových zákonů určete velikost napětí U elektrického obvodu naobr40 U 0 U Obr 40 6
Kirchhoffovy zákony 1 3 U 1 U Obr 41 a)vypočtěteproudyprotékajícírezistory 1,, 3 vobvodunaobr41 b)jaksezměníhodnotyproudůvobvodu, jestližeuzdroje U zaměnímepolaritu? c)jakábymuselabýtvelikostodporuurezistoru 3, aby rezistory 1 a protékal stejně velký proud? Řešteprohodnoty 1 =1Ω; =1,5Ω; 3 =Ω; U 1 =7V; U =9V Metoda řešení elektrických obvodů pomocí Kirchhoffových zákonů se nejeví vždy jako výhodná v případě složitějších elektrických obvodů musíme řešit soustavy rovnic s vyšším počtem neznámých Z tohoto důvodu se postupně rozšířilo i použití dalších metod, které si dále ukážeme 3 Princip superpozice V elektrické síti sestavené z lineárních zdrojů a lineárních spotřebičů můžeme uvažovat působení každého zdroje samostatně Výsledné proudy protékajícími jednotlivými větvemi, popř napětí na těchto větvích a jejich prvcích jsou algebraickými součty dílčích proudů a napětí vyvolaných jednotlivými zdroji, přičemž ostatní zdroje jsou vyřazeny(tj skutečné zdroje jsou nahrazeny svými vnitřními odpory, ideální zdroje napětí jsou nahrazeny zkraty a ideální zdroje proudu jsou odpojeny) Postup při řešení obvodu metodou lineární superpozice 1 Vyznačíme polaritu jednotlivých zdrojů Vypočteme napětí nebo proud na uvažovaném prvku při působení jednoho zdroje, při ostatních zdrojích napětí nahrazených zkratem a vyřazených zdrojích proudu 3 To provedeme postupně pro každý zdroj 4 Výsledné napětí nebo proud na uvažovaném prvku jsou pak dány algebraickým součtem všech dílčích napětí nebo proudů 7
Příklad 6 princip superpozice V obvodu zapojeném podle obr 4 vypočtěte napětí U na výstupních svorkách Napětízdrojůjsou U 1 =0V, U =40V,odporyrezistorůjsou 1 =15Ω, =10Ω 1 1 1 U 1 U U U 1 U U U Obr 4 Obr 43 Obr 44 Řešení Napětínavýstupníchsvorkáchstanovímejakoalgebraickýsoučetnapětí U vyvolanéhozdrojem U 1 přizkratovanémzdrojinapětí U (vizobr43)anapětí U vyvolanéhozdrojem U přizkratovanémzdrojinapětí U 1 (vizobr44) Potom U = 1 + U 1, U = 1 1 + U Výslednénapětínavýstupníchsvorkách U= U + U = U 1 + 1 U 1 + Prodanéhodnoty U=3V Příklad 7 princip stereofonního vysílání Na obr 45 je nakreslen elektrický obvod sedvěmazdrojinapětí U 1, U ačtyřmi rezistory o stejném elektrickém odporu Určetenapětí U B a U BC U U 1 U B U BC B Obr 45 C 8