5.2.3 Kolmost římek rovin I ředokldy: 5202 vě římky jsou k soě kolmé rávě tehdy, když jejich odchylk je 90. Nvzájem kolmé mohou ýt i mimoěžky. vě úsečky jsou kolmé, rávě když leží n kolmých římkách. íšeme: římky:,, úsečky:. ř. 1: olň vzthy mezi římkmi,, r v rostoru. ) Je-li r, k ) Je-li r, k ) Je-li r, k r. ) Je-li r, k r. ř. 2: Rozhodni, zd ro římky,, r v rostoru ltí věty: ) Je-li r r, k. ) Je-li r, k r. okud vět neltí, njdi rotiříkld n římkách určených vrcholy stndrdní krychle. ) Je-li r r, k. ět ltí, jde o stejné tvrzení jko v odě 1 ), ouze s rohozeným význmem římek r. ) Je-li r, k r. ět oecně neltí, nříkld ve stndrdní krychli ro římky: = = r = Odchylk mezi římkou r může ýt liovolná. Nříkld okud ychom místo římky zvolili z římku r římku, yly y římky r rovnoěžné. r 1
ř. 3: Rozhodni, které z dvojic římek určených vrcholy stndrdní krychle jsou nvzájem kolmé. říkld řeš nejdříve ez orázku, jen v hlvě. ), ), c), d), ) římky, jsou kolmé (leží n nich strny čtverce). ) římky, jsou kolmé (římk je kolmé n římky, která je rovnoěžná s římkou ). c) římky, nejsou kolmé ( není kolmá s římkou, která je rovnoěžná s římkou ). d) římky, jsou kolmé ( je kolmá n římku, čtyřúhelník je odélník). Kdy je římk kolmá k rovině? římk je kolmá k rovině, rávě když je kolmá ke všem římkám roviny. íšeme: ρ = římk, je kolmá k rovině ρ = římk je kolmice k rovině ρ. ρ { } = = t kolmice Jk se řesvědčíme, že je rovin kolmá k římce (zkoušet všechny římky nemůžeme, je jich nekonečně mnoho)? kritérium kolmosti římky rovny: Je-li římk kolmá ke dvěm různoěžkám roviny, k je k rovině kolmá. 2
ř. 4: U stndrdní krychle njdi říkld toho, že římk nemusí ýt kolmá k rovině, když je kolmá ke dvěm rovnoěžným římkám v rovině. Možností je hodně, nříkld římk je kolmá k římkám i, le k rovině kolmá není. roč nestčí kolmost n dvě rovnoěžky? římk oshuje jeden směr, rovin dv směry dvě rovnoěžky určují ouze jeden směr nezručují tedy, že římk, která je k n ně kolmá, je kolmá ne celou rovinu. vě různoěžky určují dv různé směry tedy všechny směry roviny. ř. 5: Je dán stndrdní krychle. okž, že římk je kolmá k rovině. okud má ýt římk kolmá k rovině, musí ýt kolmá ke dvě různoěžkám, které v ní leží hledáme dvě tkové římky: je kolmá k římce (úhloříčky v odstvě) je kolmá k římce (strny odélník ), je rovnoěžná s je kolmá k je kolmá ke dvěm různoěžkám v rovině je kolmá k celé rovině ( tím i ke kždé římce v ní). 3
ř. 6: Je dán rvidelný čtyřstěn. okž, že ltí. Nejde nlézt římý důkz kolmosti zkusíme njít rovinu, která oshuje římku je kolmá n. det: rovin S. okzujeme, že S : římk je kolmá n úsečku S ( S je výšk v rovnostrnném trojúhelníku ), římk je kolmá n úsečku S ( S je výšk v rovnostrnném trojúhelníku ), římk je kolmá n rovinu S S S (je kolmá n dvě různoěžné římky v této rovině ) je tedy kolmá n všechny římky v této rovině i n římku. Se zájemci se vrátíme ke kritériu kolmosti římky roviny. ř. 7: (ONUS) klsické učenici je kritérium kolmosti římky roviny dokzováno zůsoem uvedeným níže. Zoecni důkz ro římku kolmou k římkám, v rovině ρ. římky, nejsou nvzájem kolmé nerochází tou kolmice římky. S Je dán rvidelný čtyřoký jehln. ředokládáme, že římky S je kolmá k římkám roviny (vyrvená šedě). N římce S sestrojíme od tk, y ltilo S = S (vznikne tk jehln shodný s jehlnem ). Trojúhelník S (modrý) je shodný s trojúhelníkem S (vět sss). Trojúhelník S (zelený) je shodný s trojúhelníkem S (vět sss). 4
S Nkreslíme si liovolnou římku ležící v rovině. Její růsečík s římkou oznčíme. okzujeme, že trojúhelníky S S jsou shodné. íme: S = S otřeujeme =. Trojúhelníky jsou shodné (vět sus) ltí = S S jsou shodné (vět sss) úhly S S jsou shodné, dohromdy se rovnjí římému úhlu jsou kolmé římk S je kolmá n římku. Krok 1: římk je kolmá k římkám, v rovině ρ. římky, nejsou nvzájem kolmé nerochází tou kolmice římky. yznčíme růsečík římky s rovinou ρ. N římce zvolíme od. N římce zvolíme od tk, y ltilo =. Krok 2: odem vedeme rovnoěžku s římkou, n které zvolíme liovolný od různý od. Trojúhelníky shodné odle věty sus (solečná strn, úhly, strny ). Krok 3: odem vedeme rovnoěžku s římkou, n které zvolíme liovolný od různý od. Trojúhelníky shodné odle věty sus (solečná strn, úhly, strny ). 5
Krok 4: ředchozích krocích jsme dokázli, že trojúhelníky jsou shodné odle věty sss (solečná strn, shodná dvojice strn, shodná dvojice strn, ). Krok 5: liovolnou římkou roviny (u které chceme dokázt její kolmost k římce ) sestrojíme rovnoěžku odem. Její růsečík s úsečkou oznčíme. otřeujeme dokázt shodnost trojúhelníků. íme, že se shodují dvě dvojice strn: solečná strn strny dokzujeme shodnost strn. Krok 6: Trojúhelníky jsou shodné odle věty sus: solečná strn, shodné úhly (ve shodných trojúhelnících viz. krok 4), shodné strny, strn je shodná se strnou. Krok 7: Trojúhelníky jsou shodné odle věty sss úhly jsou shodné, jejich součet je úhel rvý o jsou kolmé římk je kolmá k římce římk je kolmá k římce. okud y yl římk rovnoěžná s římkou stčí zvolit jeden z odů, jink. ostu důkzu se nemění. Shrnutí: 6
7