Dopravní problémy: - patří mez specální metody řešení úloh lneárního programování, které sou označovány ako dstrbuční úlohy. - de o metody terační, t. k optmálnímu řešení dospíváme postupně, krok za krokem. Schéma výpočetního algortmu e shodné se schématem pro výpočet Smpleovým algortmem, pouze některé kroky se lší v realzac. Ekonomcká formulace úlohy: V úloze se edná o rozvoz zboží nebo materálu z dodavatelských míst k odběratelům tak, aby se malzovaly celkové náklady na přepravu. Pro tyto účely defnueme následuící základní pomy: - D 1, D 2,, D m dodavatelé (místa zdroů) - a 1, a 2,, a m omezené kapacty ednotlvých dodavatelů (kolk e schopen dodavatel dodat zboží nebo materálu za určté časové období) - O 1, O 2,, O n odběratelé (cílová místa) - b 1, b 2,, b n požadované množství ednotlvých odběratelů (za určté časové období) Každou dvoc (D, O ), t. souvslost -tého dodavatele a -tého odběratele, e potřeba něakým způsobem ocent. Většnou se používaí vykalkulované náklady na přepravu ednoho kusu zboží mez -tým dodavatelem a -tým odběratelem, nebo klometrová vzdálenost mez nm, apod. Toto ocenění označueme c. Cílem úlohy e naplánovat přepravu, t. stanovt obem přepravy pro každou takovou dvoc c (D, O ) tak, aby nebyly překročeny kapacty dodavatelů (zdroů) a aby byly uspokoeny požadavky odběratelů (cílových míst). Tento obem přepravy zboží označueme. Jednotlvé nformace potom zapsueme do tabulky: O 1 O 2 O n D 1 c 11 11 c 12 12 c 1n 1n a 1 D 2 c 21 21 c 22 22 c 2n 2n a 2 : : : : : D m c m1 m1 c m2 m2 c mn mn a m b 1 b 2 b n Před započetím výpočtu e nutné vzít v úvahu eště vztah mez celkovou kapactou zdroů a a součtem požadavků b. Mohou nastat pouze dvě možnost: 1) a b tzv. vyrovnaný dopravní problém Tento typ úlohy e vhodný pro další výpočet (ak uvdíme pozdě). 1
2) a b tzv. nevyrovnaný dopravní problém Tento typ úlohy v sobě zahrnue dva podtypy úloh (podle typu nerovnost): a) a > b úloha s převsem na straně nabídky Pro převedení na vyrovnaný dopravní problém stačí vytvořt fktvní cílové místo O F. Poté dopočítáme eho požadavek b F a b a příslušné ocenění c 0 F. b) a < b úloha s převsem na straně poptávky Pro převedení na vyrovnaný dopravní problém stačí vytvořt fktvní zdro D F. Poté dopočítáme eho nabídku a F b a a příslušné ocenění c 0 F. Příklad 1. Naplánute přepravu stého výrobku ze 3 skladů A, B a C do 3 prodeen P, Q a R. Celkové množství výrobku v ednotlvých skladech sou A100 kusů, B130 kusů a C90 kusů. Požadavky ednotlvých prodeen sou P110 kusů, Q160 kusů a R200 kusů. Neprve spočteme celkovou kapactu zdroů a 100 + 130 + 90 320 a celkový součet požadavků b 110 + 160 + 200 470. Z výsledků plyne, že se edná o nevyrovnaný dopravní problém s převsem na straně poptávky. Tuto úlohu upravíme na vyrovnaný dopravní problém tak, že přdáme fktvní sklad D F, ehož kapacta bude a F b a 470 320 150 kusů. Nyní ž máme úlohu přpravenou pro samotný výpočet optmalzace přepravy. Matematcký model vyrovnaného dopravního problému: Tento model obsahue: m. n proměnných, které určuí obem přepravy mez zdroem D a cílem O m + n omezuících podmínek, které tvoří kapactní omezení a omezení požadavků. Kapactní omezení tvoří m nerovnc a ( ) t. součet všech dodávek od dodavatele D všem odběratelům nesmí přesáhnout eho kapactu a b Omezení požadavků tvoří n nerovnc ( ) t. součet všech dodávek pro odběratele O od všech dodavatelů nesmí klesnout pod eho požadavek b Pro vyrovnaný dopravní problém platí rovnost, t. a a b 2
Matematcký model potom vypadá následovně: z c + c + K+ c m (m. n proměnných ) 1 M m 1 M n Duální úloha: 11 a 1 a b 1 b n m 11 12 12 n mn (m kapactních omezení, tzv. řádkové součty) (n omezení požadavků, tzv. sloupcové součty) Označme u 1, u 2,, u m, duální proměnné příslušeící kapactním omezením. Označme v 1, v 2,, v n, duální proměnné příslušeící omezením požadavků. Matematcký model duální úlohy potom vypadá následovně: ma f a u + + a u + b v + K+ b v (m + n proměnných) 1 1 K m m 1 1 n n u + v c, omezuící podmínky ( ) (budeme to pozdě potřebovat pro test optmalty) 1. Výpočet výchozího základního řešení: Ještě než začneme e nutná úprava úlohy na vyrovnaný dopravní problém a z něho pak vypočítáme tzv. výchozí základní řešení. V následuícím tetu s uvedeme tř metody pro tento výpočet. T. tabulku vyrovnaného dopravního problému doplníme tak, aby platlo následuící: řádkové součty kapactám, sloupcové součty požadavkům a počet základních proměnných m+n-1 Příklad 2. Naplánute přepravu stého výrobku ze 4 skladů A, B, C a D do 3 prodeen P, Q a R. Celkové množství výrobků v ednotlvých skladech sou A100 kusů, B130 kusů, C90 kusů a D150 kusů. Požadavky ednotlvých prodeen sou P110 kusů, Q160 kusů a R200 kusů. Náklady na ednotlvou přepravu sou dány následuící tabulkou. požadavky A 40 35 25 100 B 37 53 40 130 C 15 20 55 90 D 18 52 80 150 kapacty 110 160 200 a b 470 3
Výpočet a b 470 určue, že se edná o vyrovnaný dopravní problém a tak se můžeme pustt do výpočtu základního řešení. Jednotlvé nformace zapíšeme do tabulky a poté provedeme výpočet hodnot podle některé z následuících metod: A 11 40 12 35 13 25 100 B 21 37 22 53 23 40 130 C 31 15 32 20 33 55 90 D 41 18 42 52 43 80 150 110 160 200 Metoda severozápadního rohu: Výhody metoda e velm rychlá a ednoduchá. Nevýhody metoda nebere do úvahy náklady c. Proto většnou vyhledá špatné řešení, které e daleko od optmálního řešení. Důsledkem e časově náročněší výpočet př hledání optmálního řešení. První dopočítávané pole e levé horní pole 11 (proto severozápadní metoda), kde 11 { a1, b1} { 100,110} 100. O tuto hodnotu snížíme příslušnou kapactu skladu A a požadavek prodeny P. Tím byla vyčerpána kapacta skladu A a proto sou z tabulky odstraněny hodnoty v daném řádku (ze skladu A už není co odvézt). Tabulka pak vypadá následovně: A 100 40-35 - 25 0 B 21 37 22 53 23 40 130 C 31 15 32 20 33 55 90 D 41 18 42 52 43 80 150 10 160 200 Předchozí postup opakueme, tentokrát pouze pro pole s neurčeným hodnotam. 4
Dopočítáme nyní { a, b } { 130,10} 10 21 2 1 A 100 40-35 - 25 0 B 10 37 53 22 40 23 120 C - 15 20 32 55 33 90 D - 18 52 42 80 43 150 0 160 200 Vypočteme { a, b } { 120,160} 120 22 2 2 A 100 40-35 - 25 0 B 10 37 120 53-40 0 C - 15 20 32 55 33 90 D - 18 52 42 80 43 150 0 40 200 Vypočteme { a, b } { 90,40} 40 32 3 2 A 100 40-35 - 25 0 B 10 37 120 53-40 0 C - 15 40 20 55 33 50 D - 18-52 80 43 150 0 0 200 Vypočteme { a, b } { 50,200} 50 33 3 3 A 100 40-35 - 25 0 B 10 37 120 53-40 0 C - 15 40 20 50 55 0 D - 18-52 80 43 150 0 0 150 Dopočítáme { a, b } { 150,150} 150 43 4 3 5
A 100 40-35 - 25 0 B 10 37 120 53-40 0 C - 15 40 20 50 55 0 D - 18-52 150 80 0 0 0 0 Nyní máme vypočítané základní řešení metodou severozápadního rohu. Potom malzační funkce má následuící tvar: z c + c + c + c + c + c (pouze dopočítané ) 11 11 21 21 22 22 32 32 33 33 43 43 a výsledek (pro vypočítané základní řešení): z 40 100 + 37 10 + 53 120 + 20 40 + 55 50 + 80 150 26280. Indení metoda (metoda matcového ma): Výhody metoda bere v potaz náklady c. Proto bývá většnou lepší než předchozí metoda. Nevýhody může se stát, že až na konc výpočtu e obsazeno pole s mamální hodnotou c. V případě, že vybíráme edno z polí, které maí stené hodnoty c, vybereme to, které má mamální hodnotu. Pokud estue fktvní c (c 0), potom se eho pole př výpočtu nepoužívaí, teprve až na konc podle toho, co na ně zbyde. První dopočítávané pole e pole 31, protože eho ocenění c 31 e ze všech uvažovaných ocenění nemenší (protože hledáme mum zadané funkce). Opět vypočítáme hodnotu 31 { a3, b1} { 90,110} 90. O tuto hodnotu snížíme příslušnou kapactu skladu C a požadavek prodeny R. Tím byla vyčerpána kapacta skladu C a proto sou z tabulky odstraněny hodnoty v daném řádku (ze skladu C už není co odvézt). Tabulka pak vypadá následovně: A 11 40 12 35 13 25 100 B 21 37 22 53 23 40 130 C 90 15-20 - 55 0 D 41 18 42 52 43 80 150 20 160 200 Předchozí postup opakueme, tentokrát pouze pro pole s neurčeným hodnotam. V tomto případě e nemenší hodnota ocenění c 41 18 pro hodnotu 41. Dopočítáme nyní 41 { a4, b1 } { 150,20} 20. 6
A - 40 35 12 25 13 100 B - 37 53 22 40 23 130 C 90 15-20 - 55 0 D 20 18 52 42 80 43 130 0 160 200 Vypočteme pro ocenění c 13 25 hodnotu { a, b } { 100,200} 100 A - 40-35 100 25 0 B - 37 53 22 40 23 130 C 90 15-20 - 55 0 D 20 18 52 42 80 43 130 0 160 100 13 1 3 Vypočteme pro ocenění c 23 40 hodnotu { a, b } { 130,100} 100 A - 40-35 100 25 0 B - 37 53 22 100 40 30 C 90 15-20 - 55 0 D 20 18 52 42-80 130 0 160 0 23 2 3 Vypočteme pro ocenění c 42 52 hodnotu { a, b } { 130,160} 130 A - 40-35 100 25 0 B - 37 53 22 100 40 30 C 90 15-20 - 55 0 D 20 18 130 52-80 0 0 30 0 Dopočítáme { a, b } { 30,30} 30 22 2 2 42 4 2 7
A - 40-35 100 25 0 B - 37 30 53 100 40 0 C 90 15-20 - 55 0 D 20 18 130 52-80 0 0 0 0 Nyní máme vypočítané základní řešení ndení metodou. Potom malzační funkce má následuící tvar: z c + c + c + c + c + c (pouze dopočítané ) 13 13 22 22 23 23 31 31 41 41 42 42 a výsledek pro dopočítané základní řešení: z 25 100 + 53 30 + 40 100 + 15 90 + 18 20 + 52 130 16560. VAM - Vogelova apromační metoda: Výhody často e nalezené řešení řešením optmálním. Nevýhody metoda e výpočetně nesložtěší. Pro každý řádek a sloupek počítáme tzv. dferenc d, která e rovna rozdílu dvou nemenších hodnot c v příslušném řádku nebo sloupc. Př výpočtu dferencí nesmíme opomenout an fktvní c (c 0). Vybíráme pole, které má mální c a mamální dferenc d. Po každém takovém výběru musíme přepočítat dference. Neprve spočítáme dference pro každý řádek a sloupek polí s neurčeným hodnotam (rozdíl dvou nemenších ocenění c ). Dference A 11 40 12 35 13 25 100 d35-2510 B 21 37 22 53 23 40 130 d40-373 C 31 15 32 20 33 55 90 d20-155 D 41 18 42 52 43 80 150 d52-1834 110 160 200 dference d18-153 d35-2015 d40-2515 První dopočítávané pole e pole 41, protože se nachází v řádku s mamální dferencí (d34) a eho ocenění c 41 e ze všech ocenění v tomto řádku nemenší. Opět vypočítáme hodnotu 41 { a4, b1} { 150,110} 110. O tuto hodnotu snížíme příslušnou kapactu skladu D a požadavek prodeny P. Tím byly vyčerpány požadavky prodeny P a proto sou z tabulky odstraněny hodnoty v daném sloupc (do prodeny P už není potřeba něco vozt). 8
Tabulka pak vypadá následovně: A - 40 12 35 13 25 100 B - 37 22 53 23 40 130 C - 15 32 20 33 55 90 D 110 18 42 52 43 80 40 0 160 200 Předchozí postup opakueme, t. dopočítáme znovu dferenc pro pole s neurčeným hodnotam. Dference A - 40 12 35 13 25 100 d35-2510 B - 37 22 53 23 40 130 d53-4013 C - 15 32 20 33 55 90 d55-2035 D 110 18 42 52 43 80 40 d80-5228 dference 0 160 200 d35-2015 d40-2515 V tomto případě e mamální dference d35 a nemenší ocenění c 32 v tomto řádku určí hodnotu 32. Dopočítáme 32 { a3, b2} { 90,160} 90. A - 40 12 35 13 25 100 B - 37 22 53 23 40 130 D 110 18 42 52 43 80 40 0 70 200 Dopočítáme dferenc pro pole s neurčeným hodnotam. Dference A - 40 12 35 13 25 100 d35-2510 B - 37 22 53 23 40 130 d53-4013 D 110 18 42 52 43 80 40 d80-5228 dference 0 70 200 d52-3517 d40-2515 9
Vypočítáme pro ma d28 a c 42 hodnotu { a, b } { 40,70} 40 42 4 2 A - 40 35 12 25 13 100 B - 37 53 22 40 23 130 D 110 18 40 52-80 0 0 30 200 Dopočítáme dferenc pro pole s neurčeným hodnotam. Dference A - 40 35 12 25 13 100 d35-2510 B - 37 53 22 40 23 130 d53-4013 D 110 18 40 52-80 0 0 30 200 dference d53-3518 d40-2515 Vypočítáme pro ma d18 a c 12 hodnotu { a, b } { 100,30} 30 12 1 2 A - 40 30 35 25 13 70 B - 37-53 40 23 130 D 110 18 40 52-80 0 0 0 200 Dopočítáme dferenc pro pole s neurčeným hodnotam. Dference A - 40 30 35 25 13 70 d25-250 B - 37-53 40 23 130 d40-400 D 110 18 40 52-80 0 0 0 200 dference d40-2515 Vypočítáme pro ma d15 a c 13 hodnotu { a, b } { 70,200} 70 13 1 3 10
A - 40 30 35 70 25 0 B - 37-53 40 23 130 D 110 18 40 52-80 0 0 0 130 Nyní už není potřeba počítat dference. Dopočítáme { a, b } { 130,130} 130 23 2 3 A - 40 30 35 70 25 0 B - 37-53 130 40 0 D 110 18 40 52-80 0 0 0 0 Nyní máme vypočítané základní řešení Vogelovou apromační metodou. Potom malzační funkce má následuící tvar: z c + c + c + c + c + c (pouze dopočítané ) 12 12 13 13 23 23 32 32 41 41 42 42 a výsledek pro dopočítané základní řešení: z 35 30 + 25 70 + 40 130 + 20 90 + 18 110 + 52 40 13860. 2. Test optmalty: Tento test e založen na výpočtu redukovaných cenových koefcentů z (zapsueme e do levého horního rohu každého pole tabulky). Pro tyto koefcenty platí následuící rovnost: z u + v c (u a v sou duální proměnné, c sou cenové koefcenty) V tabulce dopočítané proměnné ( > 0 ) nazveme základní proměnné. Pro ně musí platt, že z u + v c 0, t. u + v c. Naprot tomu nedopočítané proměnné ( 0 ) nazveme nezákladní proměnné. Pro ně musí platt, že z u + v c 0. 11
Samotný test probíhá ve dvou částech. Neprve s pro všechny základní proměnné vyádříme rovnce ve tvaru u + v c. Tak získáme m+n-1 rovnc o m+n proměnných u a v. Díky tomu s můžeme vybrat ednu proměnnou, kterou položíme rovnu 0. Ostatní proměnné s eí pomocí dopočítáme. Nyní spočítáme redukované cenové koefcenty z pro nezákladní proměnné. V případě, že všechny tyto koefcenty sou záporné, e dané základní řešení řešením optmálním. Pokud ale získáme alespoň edno z kladné, e nutné tabulku základního řešení přepočítat na nové základní řešení (toto základní řešení není optmální). Metoda severozápadního rohu: Získal sme tabulku základního řešení A 100 40-35 - 25 0 B 10 37 120 53-40 0 C - 15 40 20 50 55 0 D - 18-52 150 80 0 0 0 0 Pro ednotlvé základní proměnné získáme následuící rovnce: pro 11 dostaneme u + v c 40, 1 1 11 2 1 21 2 2 22 3 + v 2 c32 3 + v3 c33 4 + v3 c43 pro 21 dostaneme u + v c 37, pro 22 dostaneme u + v c 53, pro 32 dostaneme u 20, pro 33 dostaneme u 55, pro 43 dostaneme u 80. Zvolíme-l například u 1 0, potom můžeme dopočítat ostatní proměnné: u 2 3, u 3 36, u 4 11, v 1 40, v 2 56 a v 3 91. Pro nezákladní proměnné dopočítáme redukované cenové koefcenty. pro 12 dopočítáme z u + v c 0 + 56 35 21 0, 12 1 2 12 > 13 u1 + v3 c13 0 + 91 25 66 > pro 13 dopočítáme z 0, pro 23 dopočítáme z u + v c 3 + 91 40 48 0, 23 2 3 23 > 31 u3 + v1 c31 36 + 40 15 41 u4 + v1 c41 11+ 40 18 11 > 42 u4 + v2 c42 11+ 56 52 pro 31 dopočítáme z 11, pro 41 dopočítáme z 0, pro 42 dopočítáme z 7. 12
Vzhledem k tomu, že některé hodnoty z sou kladné, není dané základní řešení řešením optmálním. Je nutný výpočet nového základního řešení. 3. Výpočet nového základního řešení: Vstupuící proměnná (klíčové pole) e hodnota nezákladní proměnné, pro kterou sme vypočítal mamální kladnou hodnotu z (v našem příkladě e to 13, protože z 66 ). Vystupuící proměnnou určíme následuícím postupem: Vytvoříme uzavřený okruh, t. posloupnost obsazených polí (pole základních proměnných), která začínaí a končí v klíčovém pol. V každém pol měníme směr následuícího postupu. Každé pole označíme střídavě +t, -t, +t, -t, atd. Tento uzavřený okruh e pro nedegenerované řešení určen ednoznačně. Výstupní pole e takové, které má označení -t a má nemenší hodnotu. Tuto hodnotu pak dosadíme za t a celou tabulku přepočítáme. Hodnota malzační funkce se pak sníží o hodnotu t. z. Metoda severozápadního rohu: 13 Pro naš tabulku základního řešení e klíčový prvek 13, protože z 66. Toto pole 13 označíme +t a začneme vytvářet uzavřený okruh. Výsledek vdíme v tabulce. A 100-t 40-35 +t 25 0 B 10+t 37 120-t 53-40 0 C - 15 40+t 20 50-t 55 0 D - 18-52 150 80 0 0 0 0 Vystupuící proměnou volíme z polí 11, 22 a 33 (označeny -t). Nemenší hodnotu má pole 50. Tuto hodnotu dosadíme za t a přepočítáme tabulku malzační funkc. 33 A 50 40-35 50 25 0 B 60 37 70 53-40 0 D - 18-52 150 80 0 0 0 0 Mnmalzační funkce z 26280 t z1 3 26280 50 66 22980. 13
Tento postup opakueme, dokud nezískáme po konečném počtu kroků optmální řešení. Sam s můžete ověřt, že nalezené základní řešení metodou VAM e řešení optmální. 14