SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6 Z GEODÉZIE 1 (Měřické body, bodová pole, souřadnicové systémy, základy výpočtů) 1. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G doc. Ing. Jaromír Procházka, CSc. listopad 2016 1
Geodézie 1 přednáška č.6 SOUŘADNICOVÉ VÝPOČTY Měřické body Měřické body tvoří základ, na který se připojují veškeré zeměměřické práce. Dělí se na body geodetické a ostatní měřické body, které mají speciální použití a jsou pouze dočasně stabilizovány. o Geodetické body Geodetické body jsou trvale stabilizované body bodového pole, které mají určeny ve stanovených geodetických referenčních systémech souřadnice, nadmořské výšky nebo tíhový údaj s přesností a dokumentací geodetických údajů, stanovených ČSN 73 0415 Geodetické body (2010). Tyto body mohou být i trvale signalizovány. Podle účelu, pro který byly vybudovány se dělí na: polohové geodetické body, výškové geodetické body, tíhové geodetické body. Geodetické body tvoří bodová pole a geodetické sítě, jejichž vznik a vývoj má v našich zemích mnohaletou tradici, sahající až do 19. století. Jednotlivé geodetické body jsou označeny číslem, popř. i názvem pro jednoznačnou identifikaci (viz dále). Jejich geodetické údaje (podrobný obsah je uveden ve skriptech Geodézie1, str.182) jsou vedeny na předepsaném formuláři (obr.1). Součástí geodetických údajů je místopis, umožňující vyhledání bodu v terénu. Geodetické body se stabilizují předepsaným způsobem (viz dále), podle potřeby se chrání ochrannými zařízeními (ochranné tyče, výstražné tabulky) a v odůvodněných případech i zřízením chráněných území. o Rozdělení bodových polí (Vyhláška č.31/1995 Sb. k zákonu o zeměměřictví) Bodová pole polohová, výšková i tíhová se vždy dělí na základní a podrobná. Zvláštní kategorii tvoří geodynamické bodové pole používané pro vědecké účely. K budování a údržbě základních bodových polí je oprávněn stát, prostřednictvím Českého úřadu zeměměřického a katastrálního, respektive Zeměměřického úřadu, jehož je ČÚZK zřizovatelem. Metody měření a výpočtů v základních bodových polích jsou náplní vyšší a kosmické geodézie, geodetické astronomie, vyrovnávacího počtu a matematické kartografie. Bodová pole byla po roce 1918 budována jednotně pro celou tehdejší Československou republiku, což se i po rozdělení ČSFR odráželo v jejich oficiálních názvech. Polohové bodové pole o Základní polohové bodové pole (ZPBP) je tvořeno (ČSN 73 0415 Geodetické body, 2010): Body referenční sítě nultého řádu, zaměřené metodami GNSS. Body Astronomicko-geodetické sítě (AGS), která vznikala od 30. let jako základní síť. Na rozdíl od řady jiných států není totožná s I. řádem České státní trigonometrické sítě (ČSTS), která tvoří druhou polohovou síť. AGS 2
obsahuje 144 bodů vytvářejících trigonometrickou (trojúhelníkovou) síť s průměrnou délkou stran 36 km. Některé vrcholy sítě jsou tvořeny tzv. Laplaceovými body, na nichž jsou určeny astronomický azimut A a zeměpisné souřadnice φ, λ, zajišťující orientaci a umístění sítě na elipsoidu. Rozměr sítě je odvozen z tzv. základnových měření, kdy délka několika základen byla velmi přesně změřena (s relativní přesností nepřesahující 1/10 6, tj. do 1mm na 1km) základnovými přístroji, jejichž podstatnou součástí byly invarové dráty. V současné době je možno měřit délky trigonometrických stran s požadovanou přesností elektronickými dálkoměry. AGS umožňuje spojení se sítěmi sousedních států. 3
Body České státní trigonometrické sítě (ČSTS), která byla dokončena v 50. letech, po vývoji začínajícím v 19. století. Člení se na 5 řádů a body nižšího řádu vždy plošně zahušťují síť bodů řádu vyššího. Hustota bodů nejnižšího, tj. V. řádu je od 1 do 3 km, v průměru cca 1,5 km. Relativní polohová přesnost, vztažená k sousedním bodům sítě, je udávána hodnotou souřadnicové směrodatné odchylky σ x,y = 15 mm. o Zhušťovací body tvoří samostatnou kategorii a slouží pro zhuštění ZPBP pro potřeby katastru a další geodetické činnosti. Volí se přednostně na trvalých objektech (na plochých střechách, nivelačních kamenech atd.) nebo jako trvale signalizované body (např. věže kostelů). Jejich přesnost je charakterizována souřadnicovou směrodatnou odchylkou σ x,y = 20 mm. o Podrobné polohové bodové pole (PPBP) je tvořeno: trvale stabilizovanými či signalizovanými body podrobného polohového bodového pole (PBPP) pro speciální geodetické činnosti a účelové mapování vyšší přesnosti (např. pro tvorbu základních map závodů a pro geodetické práce ve výstavbě), se souřadnicovou směrodatnou odchylkou σ x,y = 40 mm, trvale stabilizovanými či signalizovanými body podrobného polohového bodového pole (PBPP) pro účely katastrálního mapování a pro geodetické činnosti obdobné přesnosti, se souřadnicovou směrodatnou odchylkou σ x,y = 60 mm. Poznámka: Uvedené přesnosti zhušťovacích bodů a bodů podrobného polohového pole odpovídají dříve používaným třídám přesnosti 1, 2 a 3. Třídy 4 a 5 se již neuvažují. Geodetické polohové body (ZPBP i PBPP) se počítají v S JTSK. o Stabilizace a signalizace Trigonometrické body se stabilizují v terénu podle obrázku č.2, a to jednou povrchovou a dvěma podzemními značkami. Povrchová značka je tvořena žulovým kamenem délky kolem 0,8 m, s opracovanou hlavou tvaru krychle o straně 0,2 m a s křížkem ve směru úhlopříček, vytesaným na horní vodorovné ploše. Poloha povrchové značky je jištěna dvěma podzemními značkami, obvykle kamennou a skleněnou deskou s křížkem na horní ploše, které jsou uloženy zhruba 0,2 m pod značkou předchozí. Stabilizační značky musí být umístěny na svislici s přesností 3 mm. Pro snazší vyhledávání se jáma zasypává odlišným materiálem. 4
Pokud nelze osadit jednu ze dvou podzemních značek, zajistí se bod nejméně jedním zajišťovacím bodem, který se stabilizuje způsobem příslušejícím zajišťovanému bodu. Nelze-li osadit ani jednu podzemní značku, zřizují se minimálně 2 zajišťovací body, stabilizované kameny s hlavou o straně 0,15 m a jednou podzemní značkou. Trvale signalizované body ČSTS se zajišťují nejméně 2 zajišťovacími body se vzájemnou viditelností, a to ve vzdálenosti do 500 m od zajišťovaného bodu. Na každém trigonometrickém bodě musí být ve výšce horizontu přístroje zajištěna viditelná orientace na jiný trigonometrický bod, na bod 1. třídy přesnosti nebo na jiný směrově zaměřený jednoznačný trvalý bod. Není-li tato orientace možná, zřizuje se nejméně jeden orientační bod, stabilizovaný jako druhý zajišťovací bod, tedy kamenem s jednou podzemní značkou. Na ploché střeše se trigonometrický bod osazuje kovovou značkou se 2 zajišťovacími body. Zhušťovací body se stabilizují stejně jako druhý zajišťovací bod bodu ČSTS. Jsou-li tyto body trvale signalizovány, zajišťují se stejně jako trigonometrický bod. Trvale stabilizované body podrobného polohového bodového pole se stabilizují především na objektech, jako např. na hraničních kamenech, znakem na šachtách a poklopech podzemních vedení, šrouby podpěr či sloupů apod. Lze je též stabilizovat kamennými hranoly s křížkem nebo důlkem na horní ploše, vytesáním křížku do opracované skály, vhodně osazenými nivelačními hřebovými značkami se svislým vývrtem, ocelovými trubkami nebo roxory v betonových blocích 0,3 x 0,3 x 0,8 m apod. Ve městech mohou být stabilizace i pod úrovní vozovky či dlažby a kryty litinovými nebo jinými poklopy (obr.3). K osazení dočasně stabilizovaných měřických bodů se užívá dřevěných kolíků (popř. s hřebíčkem či křížkem na horní plošce), nastřelovacích hřebů apod. Signalizace bodů ČSTS bez trvalé signalizace byla prováděna trojbokými či čtyřbokými dřevěnými pyramidami, v jejichž vrcholku byla svisle umístěna černobílá signální tyč. Trigonometrické body vyšších řádů byly signalizovány dřevěnými měřickými věžemi, tvořenými dvěma nezávislými konstrukcemi. Vyšší a štíhlejší nesla signální tyč, nižší a širší byla zvýšeným stanoviskem přístroje. Výjimečná je signalizace zděnými věžemi. Pro signalizaci PBPP se používá svisle postavených výtyček ve stojánku nebo terčů či hranolů umístěných na stativech apod. o Číslování bodů Číslo bodů ZPBP je devíticiferné, kde prvních pět cifer tvoří tzv. číslo skupinové a další čtyři cifry pak tzv. číslo vlastní. Číslo bodů PBPP je patnáctimístné, kde skupinové číslo tvoří prvních jedenáct cifer a číslo vlastní pak další čtyři cifry. Společně pak vytvářejí tzv. číslo úplné, které jednoznačně identifikuje každý jednotlivý bod, a to i pro zpracování výpočtu a kresby na počítači. Vlastní číslo bodu Již podle vlastního čísla je možno identifikovat druh měřických bodů: Body základního polohového bodového pole (ZPBP), tedy trigonometrické body se číslují od 001 do 199 v rámci triangulačního listu TL (10 x 10 km). 5
Body zhušťovací (ZhB) se číslují v intervalu od 201 do 499 opět v rámci TL (10 x 10 km). Při zpracování na počítači se uvede jako čtvrtá cifra 0. U bodů přidružených (zajišťovacích či orientačních bodů viz předchozí odstavce) se jako čtvrtá cifra uvede jeho pořadové číslo. Pokud se neuvádí úplné číslo, je pořadí přidruženého bodu uvedeno jako číslo desetinné s tečkou. Ostatní body podrobného bodového polohového pole (PBPP) se číslují v intervalu od 501 do 3999, a to v rámci katastrálního území. Pomocné body zpravidla dočasně stabilizované kolíky nebo trubkami pro podrobné měření se číslují od 4001 v rámci katastrálního území. Skupinové číslo bodu Skupinová čísla jednoznačně zařazují měřické body do území, kterými jsou triangulační listy (evidenční jednotky, nomenklatura) pro body ZPBP a ZhB nebo katastrální území pro ostatní body PBPP a body pomocné Pro body ZPBP a ZhB má tvar 9ZLTL, kde ZLTL je číslo tzv. evidenční jednotky. ZL je číslo základního triangulačního listu (50 x 50 km) a TL je číslo triangulačního listu (10 x 10 km) v rámci ZL (obr.4 a 5). Číslování triangulačních listů roste od severovýchodního rohu základního triangulačního listu (ZTL) směrem na jih a na západ (obr.5). Pro ostatní body PBPP a body pomocné má tvar PPPPPP00000, kde PPPPPP je šestimístné číslo (kód) katastrálního území podle souboru popisných informací (SPI). Úplné číslo bodu Úplné číslo bodu se skládá, jak již bylo výše řečeno, z čísla skupinového a vlastního. Příklady úplných čísel různých druhů bodů: Bod ZBPP č.42 v evidenční jednotce 1424 má číslo 914240420, jeho zajišťovací bod 42,1 bude mít číslo 914240421, zhušťovací bod č.222 ve stejné evidenční jednotce bude 914242220, ostatní bod č.501 v katastrálním území 123456 má číslo 123456000000501. 6
Výškové bodové pole (podrobněji bude probíráno ve 2. semestru) o Základní výškové bodové pole (ZVBP) Základní nivelační body (ZNB) Kostru tvoří 22 základních nivelačních bodů (ZNB), přičemž referenčním (vztažným) bodem je ZNB Lišov u Českých Budějovic. Body České státní nivelační sítě I. až III. řádu (ČSNS). o Podrobná nivelační síť Body nivelační sítě IV. řádu Plošné nivelační sítě Stabilizované body technických nivelací Tíhové bodové pole (bude probíráno v Teoretické geodézii) Souřadnicové systémy Polohové geodetické body jsou podkladem polohových měření, prováděných na fyzickém povrchu Země. Pro vyjádření výsledků měření v rovině (např. v mapě) slouží kartografická zobrazení (viz přednáška č.2), která převod zprostředkují. S nimi pak souvisí souřadnicové soustavy, které souřadnicemi y, x jednoznačně definují polohu bodu. o Geodetické referenční systémy, závazné na území ČR (Nařízení vlády č.430/2006 Sb.) Pro úplnost je níže uveden přehled referenčních systémů, které jsou závazné pro zeměměřické činnosti na území České republiky: Světový geodetický referenční systém 1984 (WGS84) Evropský terestrický referenční systém (ETRS) Souřadnicový systém Jednotné trigonometrické sítě katastrální (S-JTSK) Katastrální souřadnicový systém gusterbergský Katastrální souřadnicový systém svatoštěpánský Výškový systém baltský po vyrovnání (Bpv) Tíhový systém 1995 (S-Gr95) Souřadnicový systém 1942 (S-42/83) (Souřadnicové systémy budou podrobně probírány v předmětech Matematická kartografie, Teoretická geodézie a Mapování). Na území bývalé ČSR a jejich nástupnických států bylo použito při mapovacích pracích větší množství zobrazovacích systémů, z nichž některé se používají dosud: Cassini Soldnerovo zobrazení Jedná se o ekvidistantní (délkojevné) válcové příčné zobrazení poledníkových pásů, které bylo použito za Rakouska-Uherska pro mapy stabilního katastru v základním měřítku 1: 2880 (po roce 1871 v základním metrickém měřítku 1: 2500). Na každý z 11 použitých válců se promítal pruh území o šířce cca 400 km, omezený hranicemi jednotlivých zemí habsburské říše. Počátek souřadnicových os byl vložen do některého z trigonometrických bodů, ležících zhruba ve středu zobrazovaného území. Pro Čechy to byl trigonometrický bod Gusterberg u Lince, pro Moravu a Slezsko trigonometrický bod Sv. Štěpán ve Vídni a pro 7
Slovensko trigonometrický bod Gellerthégy v Budepešti. Poloosa +x směřovala k jihu, poloosa +y na západ. Souřadnice trigonometrických bodů byly počítány v rovině. Křovákovo zobrazení Jde o kuželové zobrazení v obecné poloze, jehož autorem byl Ing.Křovák a bylo v ČSR zavedeno v roce 1927. Je používáno jako národní pro civilní účely (neumožňuje bez ztráty přesnosti výrazněji překročit hranice ČSR). Body Besselova elipsoidu jsou konformně (při zachování úhlů) převedeny na tzv. Gaussovu kouli (r = 6381 km) a odtud konformně na obecně položenou kuželovou plochu (pro tento postup je Křovákovo zobrazení označováno jako podvojné). Počátek souřadnicových os byl volen v obrazu vrcholu kužele (nad Petrohradem) tak, aby celé území bývalé ČSR leželo v I. kvadrantu, poloosa +x je vložena do obrazu poledníku s elipsoidickou délkou 42 30 východně od Ferra (což odpovídá zhruba 24 50 východní délky od Greenwiche). Poloosa +y směřuje na kartografický západ. Jedná se tedy o pravotočivý souřadnicový systém. Souřadnice se uvádějí v pořadí y, x a pro území ČSR se výrazně odlišují (y má 6 číslic, zatímco x 7 číslic před desetinnou čárkou). Další matematickou úpravou (zmenšením poloměru Gaussovy koule při přechodu z elipsoidu) bylo dosaženo snížení délkového zkreslení na 0,1m na 1km (zkreslení uprostřed 0,9999 a na okrajích 1,0001 obr.6 a 7). Uvedený souřadnicový systém je nazýván Souřadnicový systém Jednotné sítě katastrální se závaznou zkratkou S JTSK. 8
9
Gauss Krügerovo zobrazení Jedná se o příčné konformní válcové zobrazení šestistupňových poledníkových pásů, které se po 1. světové válce rozšířilo z Německa do řady států světa (dnes např. po úpravě mezinárodní zobrazení UTM na Hayfordově elipsoidu), bylo na našem území použito v některých oblastech za druhé světové války. Jednotně bylo zavedeno po roce 1948 pro vojenské účely s výpočtem na Krasovského elipsoidu, který je prostřednictvím pásů přímo zobrazován do roviny (obr.8). Střední poledník každého pásu je zobrazen nezkresleně a v průsečíku jeho obrazu s obrazem rovníku je volen počátek soustavy pravoúhlých souřadnic. Poloosa +x směřuje k severu, poloosa +y na východ. Tento souřadnicový systém byl označen S 42. Délkové zkreslení na okraji pásu je zhruba 1,00057. Území bývalé ČSR patří do dvou šestistupňových pásů označených čísly 33, 34 a dvou čtyřstupňových vrstev označených písmeny M, L. Zobrazení pracuje též s pásy šířky 3 pro mapy větších měřítek. Zobrazení bylo použito pro topografické mapy od měřítka 1:5000 (3 pásy) a pro menší měřítka (6 pásy). V současné době ho nahrazuje zobrazení UTM. Základy souřadnicových výpočtů Pro souřadnicové výpočty v rovině není rozhodující v jakém systému jsou počítány. Všechny geodetické souřadnicové systémy jsou pravotočivé, tzn. že kladná poloosa +y se získá otočením kladné poloosy +x o 100 gon ve směru otáčení hodinových ručiček (v matematice a geometrii je tomu naopak, tedy úhel roste od poloosy +x proti směru otáčení ručiček hodinových). Výpočetní vzorce platí pro libovolně orientovaný, a to i pomocný souřadnicový systém, ve kterém je dodržena výše uvedená zásada orientace souřadnicových os. Veškeré souřadnicové výpočty budou uvažovány v souřadnicovém systému S-JTSK. Vyjádření polohy bodů pravoúhlými rovinnými souřadnicemi je velmi výhodné, neboť souřadnicové řešení i těch nejsložitějších úloh je velmi přehledné, rychlé a body lze snadno a přesně zobrazit (skripta Geodézie1, str.180). Pro určení 10
pravoúhlých rovinných souřadnic jednoho bodu musíme znát dvě na sobě nezávislé veličiny (např. úhel a délku, dva úhly, dvě délky). Poloha bodů ZPBP i PPBP je dána pravoúhlými rovinnými souřadnicemi v kartézském souřadnicovém systému. Souřadnice těchto geodetických bodů lze získat v oddělení dokumentace Zeměměřického úřadu nebo katastrálních úřadů (pracovišť). o Výpočet směrníku a délky Základními prvky souřadnicových výpočtů jsou souřadnicové rozdíly, délka a směrník (obr.9). K výpočtu délky strany s12 (popř. s21) mezi body P1 a P2 a k výpočtu směrníků σ12 (nebo σ21) slouží souřadnicové rozdíly x12 a y12 (nebo x21 a y21). Souřadnicové rozdíly bodů P1 a P2 jsou dány rozdílem příslušných souřadnic obou bodů, přičemž na pořadí závisí jejich znaménko, tedy zda je počítán souřadnicový rozdíl z bodu P1 na bod P2 a nebo naopak:,,,. To je důležité zejména při výpočtu směrníků (σ12 nebo σ21), neboť délka strany s12 (popř. s21) mezi body P1 a P2 je vždy kladná. Směrník σ12 spojnice bodů P1 a P2 je úhel s vrcholem v bodě P1, orientovaný k rovnoběžce s kladným směrem osy x souřadnicové soustavy, jehož druhé rameno tvoří spojnice obou bodů (obr.9). Směrník σ21 spojnice bodů P2 a P1 je obdobný úhel s vrcholem v bodě P2, který se od směrníku σ12 liší o 200 gon (obr.9) Výpočet délky strany Z daných rovinných pravoúhlých souřadnic bodů P1 a P2 se vypočtou souřadnicové rozdíly a z nich délka spojnice obou bodů ze vztahu:. Délku lze po výpočtu směrníku vypočítat rovněž ze vztahů:. 11
Výpočet směrníku Směrník strany s12 se vypočte ze vztahu:. Uvedený vztah platí pro případ, že oba souřadnicové rozdíly jsou kladné, tady pro x2 > x1 a y2 > y1, tedy jestliže směrník σ12 je v I. kvadrantu. V závislosti na poloze strany s12 vzhledem k souřadnicovým osám (obr.10) může být směrník σ12 v kterémkoliv ze 4 kvadrantů. Při výpočtu směrníku σ12 se potom postupuje tak, že se z absolutních hodnot souřadnicových rozdílů vypočte úhel φ12 ze vztahu:. Podle znamének souřadnicových rozdílů se určí kvadrant, ve kterém leží hledaný směrník σ12 a určí se jeho hodnota podle tabulky č.1: Tab. 1 Kvadrant y12 (sin σ12 ) x12 (cos σ12 ) σ12 = I. + + φ12 II. + 200 gon - φ12 III. 200 gon + φ12 IV. + 400 gon - φ12 Správnost výpočtu směrníku je vhodné kontrolovat tzv. padesátigonovou zkouškou: ( ) 12 ( ) ( ) ( ) ( ).