1.7.12 Střední příčky trojúhelníku Předpoklady: 010711 Př. 1: Narýsuj libovolný trojúhelník A (zvol ho tak, aby se co nejvíce lišil od trojúhelníku, který narýsoval soused). Najdi středy všech stran S A, S a S A. Spoj tyto body úsečkami. Najdi všechny zajímavé rysy narýsovaného obrázku. S A S A S A Trojúhelník A se rozdělil na čtyři stejné menší trojúhelníky: ASAS A, SAS, SS ASA, SAS, úsečky, které vznikly spojením narýsovaných středů, jsou rovnoběžné s protějšími stranami trojúhelníku, úsečky, které vznikly spojením narýsovaných středů, mají poloviční délku než protější strany trojúhelníku, vzniklé trojúhelníky mají stejný tvar jako původní trojúhelník A, mají poloviční délku stran, Všechny postřehy platí pro libovolný trojúhelník zřejmě jde o obecnou vlastnost všech trojúhelníků. Pedagogická poznámka: Předchozí příklad je cvičením všímavosti, čím víc postřehů, tím lépe. Př. 2: Vysvětli, proč je úsečka SAS označována jako střední příčka. Střední spojuje středy dvou stran. 1
Příčka jde napříč trojúhelníkem. Př. 3: Na obrázku jsou dvě dvojice shodných trojúhelníků, u každé dvojice je shodnost zapsána pomocí znaku shodnosti. Jeden ze zápisů je nesprávný. terý? Proč? a) A A Z A Z b) A a) A A Správný zápis, body jsou uvedeny v pořadí, ve kterém si odpovídají (vrcholy A, leží u nejmenšího úhlu, vrcholy, u středního úhlu a vrcholy, u největšího úhlu). Z A Z b) A Špatný zápis, bodu A (leží u nejmenšího úhlu) je přiřazen bod (leží u prostředního úhlu), bodu (leží u prostředního úhlu) je přiřazen body (leží u nejmenšího úhlu). Správný zápis: A Z. 2
Př. 4: Načrtni libovolný trojúhelník A, označ středy jeho stran a dokresli střední příčky. Zapiš shodnost menších trojúhelníků (které vrcholy jednotlivých trojúhelníků si odpovídají). S A S A S A Při zápisu shodnosti budeme vrcholy trojúhelníků zapisovat podle velikostí úhlů v pořadí nejmenší, prostřední, největší úhel: AS AS A S AS S AS SS AS A. Pedagogická poznámka: Rozhodující pro úspěch při řešení předchozího příkladu je nakreslený obrázek. Pro žáky, kteří načrtnou rovnostranné (rovnoramenné) trojúhelníky, je řešení daleko těžší (spíš nemožné). Neupozorňuji na to dopředu (mluvili jsme o tom už v minulých hodinách), ale zmiňujeme to při kontrole příkladu. Př. 5: Je dán rovnoramenný trojúhelník se základnou. teré strany jsou shodné? teré střední příčky jsou shodné? Pokud je základnou strana, musí být u rovnoramenného trojúhelníku shodné zbývající strany a. Neshodnou střední příčkou bude úsečka SS, která je rovnoběžná se základnou shodné jsou střední příčky S S a S S. Nakreslíme náčrtek a ověříme si odhad. S S S Z obrázku je zřejmé, že náš odhad byl správný: shodné strany: a, shodné střední příčky S S a S S. Pedagogická poznámka: Opět dopředu neříkáme, že je dobré kreslit obrázky a jak mají vypadat. Při kontrole je samozřejmě využíváme. Př. 6: Narýsuj libovolný trojúhelník Z. Narýsuj trojúhelník A takový, aby strany trojúhelníku Z byly střední příčky trojúhelníku A. ibovolný trojúhelník Z 3
Z Střední příčky jsou rovnoběžné se stranami trojúhelníku, krajní body jsou středy stran strana A je rovnoběžná se stranou Z, strana A prochází bodem, přímky, na které leží strana A získáme tím, že bodem narýsujeme rovnoběžku se stranou Z. Pokud podobné rovnoběžky narýsujeme i přes zbývající body trojúhelníku Z, získáme trojúhelník A. A Z Př. 7: olikrát větší jsou strany trojúhelníka A než strany trojúhelníka středních příček? olikrát větší je jeho obsah trojúhelníka A než obsah trojúhelníka středních příček? de jsme se s podobnou situací už setkali? Strany trojúhelníku A jsou dvakrát delší než strany trojúhelníku středních příček, obsah trojúhelníku je A je čtyřikrát větši než obsah trojúhelníku středních příček (trojúhelník A je rozdělený na čtyři shodné trojúhelníky). S podobnou situací jsme se setkali u převodů jednotek plochy (platí 2 2 1 m = 10 dm, protože 1 m = 1 m 1 m = 10 dm 10 dm = 100 dm ). 2 2 1 m = 100 dm, i když Př. 8: Narýsuj trojúhelník, k = 4cm, = 115, l = 8cm. Narýsuj všechny jeho výšky. Sestroj jeho obraz v osové souměrnosti podle přímky, na které leží výška v. k 4
Náčrtek l = 8 cm 115 k = 4 cm Návrh postupu: 1. strana 2. úhel = 115 3. kružnice k ( ; l = 8cm), kvůli straně l 4. průsečík kružnice s ramenem úhlu je bod 5. trojúhelník 1. úsečka, = k = 4cm 2. polopřímka, = 115 3. kružnice k ( ; l = 8cm) 4. bod průsečík kružnice k a polopřímky 5. trojúhelník 6. výšky trojúhelníku v k v l v m Přímku, na které leží výška k v vytáhneme a sestrojíme obraz trojúhelníku v osové souměrnosti s touto osou (bod se zobrazí sám na sebe). 5
= v k v l v m Shrnutí: Střední příčky spojující středy stran rozdělí trojúhelník na čtyři shodné trojúhelníky o poloviční délce stran. 6