PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04

Transkript

1 PLANIMETRIE Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/ Modernizace výuky na učilišti

2 Název školy Název šablony Předmět Tematický celek Téma Klíčová slova Druh učebního materiálu Střední odborné učiliště Svitavy Nádražní 1083, Svitavy III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Matematika Planimetrie Trojúhelník Úhly trojúhelníku, trojúhelníková nerovnost, výška, střední příčka, těžnice, kružnice opsaná, kružnice vepsaná Prezentace (Microsoft PowerPoint) Metodický pokyn Prezentace je určena pro žáky SOU 2. ročníku maturitního oboru mechanik seřizovač a mechanik seřizovač mechatronik Datum vytvoření

3

4 A, B, C vrcholy trojúhelníku a, b, c strany trojúhelníku

5 α, β, γ vnitřní úhly ABC α, β, γ - vnější úhly ABC vnější úhly jsou vedlejší úhly k úhlům vnitřním α + α = 180 β + β = 180 γ + γ = 180

6 součet vnitřních úhlů je úhel přímý α + β + γ = 180 vnější úhel je roven součtu vnitřních úhlů při zbývajících dvou vrcholech α = β + γ β = α + γ γ = α + β

7 proti delší straně leží větší vnitřní úhel, proti většímu vnitřnímu úhlu leží delší strana trojúhelníku a > b α > β b > c β > γ c > a γ > α....

8 Podle velikosti vnitřních úhlů a) ostroúhlý trojúhelník b) pravoúhlý trojúhelník c) tupoúhlý trojúhelník Podle délek stran a) různostranný trojúhelník b) rovnoramenný trojúhelník c) rovnostranný trojúhelník

9 součet každých dvou stran trojúhelníku je větší než strana třetí a < b + c, b < a + c, c < a + b všechny tři nerovnosti jsou splněny, právě když platí b c < a < b + c

10 úsečka, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníku a pata kolmice vedené tímto vrcholem k přímce určené zbývajícími vrcholy trojúhelníku se nazývá výška trojúhelníku výšky trojúhelníku se protínají v jediném bodě O, v průsečíku výšek, který se nazývá ortocentrum

11 ostroúhlý trojúhelník

12 Průsečík výšek (ortocentrum) O leží: a) uvnitř trojúhelníku trojúhelník ostroúhlý b) vně trojúhelníku trojúhelník tupoúhlý c) ve vrcholu trojúhelníku, u kterého je vnitřní úhel pravý trojúhelník pravoúhlý

13 tupoúhlý trojúhelník

14 pravoúhlý trojúhelník

15 úsečka spojující středy dvou stran trojúhelníku rovnoběžná se stranou, jejíž střed nespojuje délka je rovna polovině délky strany, se kterou je rovnoběžná

16 úsečka spojující vrchol trojúhelníku se středem protější strany těžnice trojúhelníku se protínají v jednom bodě T = těžiště vzdálenost těžiště od vrcholu trojúhelníku je rovna dvěma třetinám délky příslušné těžnice

17

18 Každému trojúhelníku můžeme opsat i vepsat kružnici

19 Každému trojúhelníku můžeme opsat i vepsat kružnici

20 kružnice procházející všemi vrcholy trojúhelníku středem kružnice trojúhelníku opsané je průsečík os stran trojúhelníku poloměr značíme r, je to vzdálenost středu kružnice ke kterémukoliv vrcholu trojúhelníku

21 Poloměr kružnice opsané r: r = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ r = ab v c = bc v a = ca v b r = abc 4S

22 Střed kružnice trojúhelníku opsané a) je vnitřním bodem ostroúhlého trojúhelníku b) je vnějším bodem tupoúhlého trojúhelníku c) splývá se středem přepony v pravoúhlém trojúhelníku (poloměr je roven polovině délky přepony pravoúhlého trojúhelníku)

23 ostroúhlý trojúhelník

24 tupoúhlý trojúhelník

25 pravoúhlý trojúhelník

26 kružnice, která se dotýká všech stran trojúhelníku střed kružnice vepsané leží v průsečíku os vnitřních úhlů, je vždy vnitřním bodem trojúhelníku poloměr značíme ρ

27

28 Poloměr kružnice vepsané ρ: ρ = S s ρ = s a tg α 2 = s b tg β 2 = = s c tg γ 2

29 obvod o o = a + b + c obsah S S = 1 2 av a = 1 2 bv b = 1 2 cv c S = 1 2 ab sin γ = 1 2 bc sin α = = 1 2 ca sin β

30 Heronův vzorec S = s s a s b (s c), kde s je polovina obvodu s = 1 2 (a + b + c)

31 Calda, Emil; Petránek, Oldřich; Řepová, Jana. Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU, 1. část. Dotisk 6. vydání. Praha: SPN, 2000, ISBN Mikulčák, Jiří; Charvát, Jura. Matematické, fyzikální a chemické tabulky a vzorce pro střední školy. Dotisk 1. vydání. Praha: Prometheus, 2007, ISBN Matematický software GeoGebra,